A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shine - Colégio Etapa

Transcrição

1 A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shie - Colégio Etapa Artigo baseado em aula miistrada a IV Semaa Olímpica, Salvador - BA Nível Iiciate. A Torre de Haói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares. Ele foi ivetado por Edouard Lucas em Peças As peças são de tamahos diferetes e todos com um furo em seu cetro e três pios ode são colocados os. Certamete podem ser ecotrados em qualquer loja de briquedos. 2. Regras e objetivos do jogo Iicialmete os formam uma torre ode todos são colocados em um dos pios em ordem decrescete de tamaho. Devemos trasferir toda a torre para um dos outros pios de modo que cada movimeto é feito somete com um disco, uca havedo um disco maior sobre um disco meor. 3. A Perguta que será calada Queremos saber qual é o meor úmero de movimetos ecessários para resolver uma torre de Haói com. Há uma história (imagiada pelo próprio Edouard Lucas) sobre a torre de Haói: No começo dos tempos, Deus criou a Torre de Brahma, que cotém três pios de diamate e colocou o primeiro pio 64 de ouro maciço. Deus etão chamou seus saserdotes e ordeou-lhes que trasferissem todos os para o terceiro pio, seguido as regras acima. Os sacerdotes etão obedeceram e começaram o seu trabalho, dia e oite. Quado eles termiarem, a Torre de Brahma irá ruir e o mudo acabará. 4. Estudado o problema Para resolver um problema (ão só este, mas vários outros problemas a matemática) que evolve coisas, ajuda ver o que acotece para valores pequeos de. Vejamos algus casos. = 1. Fazemos 1 movimeto foi suficiete.

2 = 2. Fazemos 3 movimetos deram. = 3. Fazemos 7 movimetos deram. Mas é claro que ão podemos fazer só isso. Não podemos ficar observado o que acotece para todos os valores de! Etão temos que começar a tirar algumas coclusões. 5. Como resolver o problema com? Vamos olhar o caso = 3 mais perto. Observe os três primeiros movimetos: Note que o que fizemos foi mesmo para resolver o caso = 2. O próximo movimeto foi Isto é, passamos o disco maior para o pio sem. Agora, veja os três últimos movimetos:

3 Novamete fizemos o mesmo que foi feito para o caso = 2, só que trasferido agora a "subtorre" para o pio ode estava o disco maior. Agora, imagiemos uma torre com. Imagie também que sabemos resolver o problema com 1. Podemos trasferir os 1 de cima para um pio vazio: vários movimetos 1 Depois passamos o disco maior para o outro pio vazio: Por fim, colocamos os 1 meores sobre o disco maior: vários movimetos 1 Assim, podemos resolver o problema com. Por exemplo, para resolver o problema com 4, trasferimos os 4 1 = 3 de cima para um pio vazio (já sabemos fazer isso!), depois passamos o disco maior para o outro pio vazio e por fim colocamos os 3 sobre o disco maior. Para resolver o problema com 5, trasferimos os 5 1 = 4 de cima para um pio vazio (acabamos de apreder a fazer isso!), e assim por diate.

4 6. Dado ome aos bois Voltemos à perguta que será calada: queremos saber o úmero míimo de movimetos ecessários para resolver uma torre de Haói com. Vamos dar um ome para este úmero, digamos T. Assim, o úmero míimo de movimetos ecessários para resolver um problema com 1 disco é T 1, com 2 é T 2, com 2001 é T 2001, com é T, e, em especial, com 1 é T Voltado ao problema Já vimos que podemos resolver o problema da seguite forma: vários movimetos 1 vários movimetos 1 Vamos ver quatos movimetos são ecessários este modo de resolver o problema. Precisamos de T 1 movimetos para movimetar os 1 primeiros, mais um para movimetar o disco maior e mais T 1 para colocar os 1 sobre o disco maior. Assim, precisamos de T T 1 = 2T movimetos. Mas ão sabemos se este modo de resolver o problema usa o meor úmero de movimetos; poderia haver outro modo que use meos movimetos. Como o meor úmero de movimetos é T, temos: T 2T (I) Provemos que a verdade T Para isso, mostraremos que T (lembre-se = T T de que se a b e a b etão a = b). Esta aparetemete estraha maeira de se demostrar que uma coisa é igual a outra é a verdade bem comum em vários problemas. Muitas igualdades podem ser obtidas a partir de desigualdades.

5 Cosidere agora, etão, o disco maior. Ele vai ter que sair da torre iicial uma hora. Mas para ele sair, é preciso que os outros 1 saiam de cima dele! E mais, se quisermos mudá-lo de lugar ele vai ter que ir para um pio vazio, pois ele ão pode ficar sobre ehum dos outros por ser o maior (que trabalho esse disco dá!)! Logo precisamos trasferir os 1 para um pio só, o que requer o míimo T 1 movimetos. Para mudarmos ele de lugar, precisamos, é claro, de mais um movimeto. E depois, para colocarmos os 1 sobre o disco maior precisamos o míimo mais T 1 movimetos. Assim, para resolver o problema precisamos a verdade de o míimo T + T = 2T 1 movimetos. Logo T 2T (II) Assim, de (I) e (II), T = 2T (*) Assim, como T 1 (é só ver o caso = 1), podemos, fazedo = 2, cocluir que 1 = T 2 = 2T = = 3 (exatamete como achamos ates!!) e, fazedo = 3, descobriríamos que T 3 = 2T = = 7 (que coisa!). Para = 4, acharíamos T 4 = 2T = = 15. Se quiséssemos etão T para um valor qualquer de, devemos ter todos os valores de T k para k = 1, 2,, 1, mas com certeza é possível calcular. Uma seqüêcia deste tipo (isto é, tal que para calcular um dos valores usamos os valores ateriores) é chamada recorrete e a equação que relacioa os termos da seqüêcia é chamada de relação de recorrêcia (o caso, temos que (*) é uma equação de recorrêcia). 1 Poderíamos parar por aqui (pois já sabemos como calcular os valores de T ), mas ecotraremos uma fórmula para T que ão depede de seus valores ateriores (tal fórmula é costumeiramete chamada fórmula fechada). Nem sempre se pode (e quado se pode, pode ser bem difícil) fazer isso com uma relação de recorrêcia, mas com esta em particular pode ser feita. Observe que temos "quase" T = 2T 1. Vamos ver se podemos acertar isso. Se somarmos um úmero x aos dois lados da equação (*), temos 1 + x T + x = 2T x T + x = 2 T Se fizermos x = ( 1 + x) / 2 x = 1 e sedo A T + 1, temos A = = 2 2A 2 = 2 A 2 = 2 2A 3 = 2 A 3 =... = 2 A 1 = T1 + 1 = = 2 temos A 2 =. Assim, = 2A A Como, A = T = T + 1 T = 2 1 Assim, precisamos de 2 1movimetos para resolver o problema da torre de Haói com. Ou seja, os sacerdotes precisarão de movimetos. Mesmo se eles fizessem um movimeto por segudo, eles precisariam de mais de 500 bilhões de aos!! Podemos ficar traqüilos por equato. 1 1 Para outros cometários e resultados sobre recorrêcia veja o artigo "Equações de Recorrêcia", de Héctor Soza Pollma, publicado a revista Eureka! N o. 9

6 8. Observação importate Os aluos mais observadores devem ter otado de atemão que T = 2 1 bem ates, quado calculamos T para valores pequeos de. Ter essa percepção é bom, mas só perceber que T = 2 1 ão é suficiete. É preciso provar que esta relação realmete é verdadeira. As aparêcias podem egaar!! Por exemplo, cosidere a seqüêcia ( 1)( 2)...( 2000) a = ! (lembre-se : 2001! = ) Temos a1 = 1, a2 = 2,..., a2000 = Isto poderia os levar a crer que a =, ão? Pois veja quato vale a 2001 e você terá uma bela surpresa! Exercícios 01. Ecotre uma fórmula fechada para cada uma das relações de recorrêcia a seguir: a) a = a + 4, a = 2b 1 + 3, 1 = b) b = b (Prova de Seleção para a IMO e Olimpíada Iberoamericaa 2001, adaptada) Seja f uma fução de # em # tal que, para todos x, y, z reais, f ( x + y) + f ( y + z) + f ( z + x) 3 f ( x + 2y + 3z) a) Mostre que f ( a) f (0) para todo a real. b) Mostre que f ( a) f (0) para todo a real e coclua que as fuções f ode f ( a) = f (0) são as úicas soluções do problema. Observação: A grosso modo, uma fução f de um cojuto A em um outro cojuto B, é uma relação que toma cada elemeto x de A e o trasforma em um elemeto f(x) de B. As equações de recorrêcia que acabamos de estudar são exemplos de fuções de N em R. 03. Na torre de Haói, supoha que em vez de trasferir a torre para um dos pios, você teha que trasferir a torre para cada um dos outros pios uma vez. Ecotre o úmero míimo de movimetos para resolver esse problema.