Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos" name="description"> Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos">

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.

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1 !"$# &%$" ')( * +-,$. /-0 3$4 5 6$7 8:9)$;$< =8:< > Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos particulares de equações diofatias, a equação de Pitágoras e a de Pell, e determiar suas soluções. Também estudaremos o método da descida, que os permitirá mostrar que algumas equações diofatias ão possuem soluções ão triviais, um setido a ser precisado. Teros Pitagóricos Queremos estudar as soluções (,, z) da equação + = z, com,, z iteiros ão ulos. Após determiar tais soluções, vamos ver como podemos utilizar as iformações obtidas para resolver outras equações em úmeros iteiros. O resultado fudametal é o seguite Teorema : As soluções (,, z) da equação + = z, com,, z iteiros ão ulos, são dadas por:(,, z) = ( uvd,( u v ) d,( u + v ) d ) ou (,, z) = (( u v ) d,uvd,( u + v ) d) ode d, u, v são iteiros ão ulos, com u v, mdc(u, v) = e u e v de paridades distitas. Prova: Sejam,, z iteiros positivos quaisquer satisfazedo a equação acima (os demais casos são aálogos), e d o mdc de e. Etão d divide z, e daí d divide z. Eistem portato iteiros ão ulos a, b, c, com mdc(a, b) =, tais que (,, z) = (da, db, dc). Ademais, como + = z a + b = c, basta determiarmos as soluções (a, b, c) da equação, sujeitas à codição mdc(a, b) = (que por sua vez implica mdc(a, c) = e mdc(b, c) = ). Note agora que, dado um iteiro qualquer t, temos que t deia resto 0 ou a divisão por 4, quado t for respectivamete par ou ímpar. Assim, se fossem a e b ímpares, teríamos a e b deiado resto a divisão por 4, e daí c = a + b deiaria resto quado dividido por 4, o que é um absurdo. Como a e b são primos etre si, ão podem ser ambos pares. Há etão dois casos: a ímpar e b par, a par e b ímpar. Aalisemos o primeiro caso (o segudo é aálogo). Se a for ímpar e b par, etão c também é ímpar. De a + b = c obtemos b = ( c a)( c + a), e ão é difícil cocluir que mdc(c a, c + a) =. Podemos etão b ca c+ a c a c+ a escrever( ) = ( )( ). Note que ( ) e ( ) c a c+ a Mas se o produto de dois aturais primos etre si ( e ) são primos etre si. é um quadrado perfeito, etão cada um deles deve ser um quadrado perfeito. Eistem etão iteiros positivos primos etre si u e v, tais que c a = v, c + a = u, e daí ( a, b, c) = ( u v, uv, u + v ). Note aida que, como u v c + = é ímpar, u e v devem ter paridades distitas. Por substituição a equação origial, cocluímos que os teros acima são realmete soluções da equação, de modo que ada mais há a fazer.

2 Vemos etão que há uma quatidade ifiita de teros (,, z) satisfazedo a equação acima. Por eemplo, fazedo d = v = e u =, iteiro positivo, obtemos o tero (,, z) = ( 4, 4, 4 + ) Um tero de iteiros positivos (,, z) tais que + = z é deomiado um tero Pitagórico, em alusão ao matemático grego Pitágoras e seu famoso teorema sobre triâgulos retâgulos. De fato, um tal tero (,, z) determia um triâgulo retâgulo de catetos e e hipoteusa z iteiros. z Vejamos em que a equação acima pode ajudar a solução de outros problemas. Cosideremos a tarefa de determiar as soluções iteiras ão ulas da equação + = z, com. Em uma qualquer dessas soluções, devemos ter e com a mesma paridade, pois caso cotrário + seria um úmero ímpar. Assim, eistem iteiros a e b tais que = a + b, = a b Basta tomarmos a = ( + ) e b = ( ), otado que + e são úmeros pares. Substituido as epressões acima para e a equação origial, cocluímos que + = z a + b = z Mas essa última equação é a ossa já cohecida equação de Pitágoras. Etão, de acordo com o teorema acima, podemos escrever ( a, b, z) = ( uvd,( u v ) d,( u + v ) d) ou( a, b, z) = (( u v ) d, uvd,( u + v ) d) ode d, u, v são iteiros ão ulos, com u v, mdc(u, v) = e u e v de paridades distitas. Segue daí que as soluções (,, z) de ossa equação são de um dos tipos abaio, ode d, u, v satisfazem as mesmas codições do teorema acima. (,, z) = ( uvd + ( u v ) d, uvd ( u v ) d,( u + v ) d) ou (,, z) = (( u v ) d + uvd,( u v ) d uvd,( u + v ) d) Descida de Fermat e Equações sem Soluções As equações aalisadas acima são, em um certo setido, privilegiadas, pois possuem uma ifiidade de soluções. Nosso próimo eemplo será o de uma equação que só admite a solução iteira = = z = 0. Ela ilustra um método que pode ser estedido a outras equações, a fim de provar que elas ão possuem soluções iteiras ão ulas. Eemplo : A equação 3 + = z ão possui soluções iteiras ão ulas. Prova: Supoha o cotrário. Etão a equação possui uma solução (,, z) em iteiros positivos. Etão, detre todas as soluções (,, z), com, e z iteiros positivos, eiste uma (,, z) = (a, b, c) para a qual z = c é o meor possível. Trabalhemos tal solução. Vamos usar o seguite fato, que você pode provar facilmete: se um iteiro u ão for múltiplo de 3, etão u deia resto, quado dividido por 3. Etão, se b ão for múltiplo de 3, teremos de 3a + b = c que c também ão será múltiplo de 3. Olhado os restos de cada

3 termo da equação por 3, teremos que 3a + b deia resto e c deia resto. =. Logo, ão poderia ser 3a + b = c. Assim, b deve ser múltiplo de 3, digamos b = 3b. Daí vem que 3a + 9b = c, e c também é múltiplo de 3, digamos c = 3c. Substituido a equação, chegamos a 3b + a = 6c. Etão, a também é múltiplo de 3. Sedo a = 3a, a equação acima os dá b + 3a = c, e c ( b, a, c ) é uma outra solução de ossa equação origial, com c = 3 < c. Mas isso é uma cotradição, pois partimos de uma solução a qual o valor de z era c, míimo possível. Logo, ossa equação ão possui soluções ão ulas. Esquematicamete, o método da descida (devido ao matemático fracês Pierre Simo de Fermat) cosiste etão o seguite: i. Supor que uma dada equação possui uma solução em iteiros ão ulos. ii. Cocluir daí que ela possui uma solução em iteiros positivos que seja, em algum setido, míima. iii. Deduzir a eistêcia de uma solução positiva meor que a míima, chegado a uma cotradição. Já que determiamos acima as soluções da equação de Pitágoras, ada mais atural que tetar estudar a equação mais geral abaio, deomiada equação de Fermat. Aqui, > é um iteiro fiado. + = z, Por cerca de três séculos os matemáticos defrotaram-se com o problema de decidir sobre a eistêcia de soluções ão ulas (,, z) dessa equação, problema que somete foi resolvido a década de oveta, utilizado métodos muitíssimo compleos. Vamos aproveitar o método da descida para aalisar um caso simples dessa equação, aquele em que é um múltiplo de 4. O leitor iteressado em saber mais sobre essa equação pode cosultar uma das referêcias [] ou [3] da bibliografia, ode o caso = 3 é discutido. Teorema : Se for múltiplo de 4 etão ão eistem iteiros ão ulos,, z tais que + = z. k k k Prova: Seja = 4k, k atural. Se + = z, etão teremos ( ) + ( ) = ( z ), ou 4 4 k k k 4 4 seja, (,, z ) será uma solução da equação a + b = c. Assim, basta mostrarmos que essa última equação ão admite soluções ão ulas. Por absurdo, supohamos que 4 4 eistam iteiros positivos a, b, c tais que a + b = c. Podemos também supor que a, b e c foram escolhidos de tal modo que ão há outra solução positiva a', b', c' com c ' < c (aqui vamos usar o método da descida). Etão a e b são primos etre si, e o teorema garate a eistêcia de iteiros positivos primos etre si u e v tais que a = u v, b = uv, c = u + v. Como a + v = u, segue ovamete do teorema a eistêcia de iteiros positivos primos etre si p e q tais que a = p q, v = pq, u = p + q. Mas aí b = uv = 4 pq( p + q ) Como p e q são primos etre si, temos que ambos são também primos com p + q. Portato, sedo 4 pq( p + q ) um quadrado devemos ter p, q e p + q quadrados, digamos p = α, q = β, p + q = γ, com α, β, γ positivos. Por fim, segue que

4 4 4 α + β = γ, com c = u + v > u= p + q =γ γ, cotrariado a miimalidade de c. Logo, ão há soluções ão ulas de + = z quado for múltiplo de 4. A Equação de Pell Nem sempre é fácil, ou mesmo possível, determiar todas as soluções em iteiros de uma dada equação. Por eemplo, para a equação =, é bem mais fácil mostrar que ela possui uma ifiidade de soluções do que determiar todas elas. Podemos gerar ifiitas soluções dessa equação a partir de uma só solução ão ula. Uma vez que a b =, teremos ( a + b )( a b ) =, e daí ( a + b ) ( a b ) = Desevolvedo os biômios, chegamos a ( a + b + ab )( a + b ab ) =, e daí a( a + b ) ( ab) = Portato, se (a, b) for uma solução, ( a b, ab) + será outra solução. Sedo a e b positivos, temos a < a + b, e desse modo determiamos uma ifiidade de soluções da equação (cotato que tehamos uma solução ão ula). Veja que (3, ) é uma solução ão ula de ossa equação. É fácil ver que o método acima utilizado também garate que, quado d for um iteiro tal que d é irracioal, a equação d = admite ifiitas soluções ão ulas, desde que admita uma solução ão ula. Também, com poucas modificações podemos tratar a equação d = (veja o eercício 6). Observe que, apesar de determiarmos facilmete ifiitas soluções da equação acima, ão sabemos se há outras. Vamos agora começar a respoder essa perguta, para uma classe mais ampla de equações. Defiição (Equação de Pell): Seja d um iteiro positivo que ão seja um quadrado. Nesse caso, sabemos que d é irracioal. Chamamos equação de Pell à equação d = m, ode m é um iteiro qualquer. É claro que o caso m = 0 a equação ão admite soluções além da trivial = = 0, pois se esse fosse o caso teríamos e ão ulos, e daí d =, um racioal. Lema : Seja ξ um irracioal qualquer. Eistem ifiitos racioais, com e iteiros ão ulos primos etre si, tais que ξ <. Prova: Seja > um atural qualquer, e cosidere os úmeros jξ, com j = 0,,...,. Seja { j ξ} = jξ [ jξ ] [0,). Como [ 0, ) = [ 0, ) [, )... [, ), segue do pricípio de Dirichlet que eistem 0 k < j tais que { jξ } e { kξ } pertecem a um mesmo itervalo dos que aparecem o lado direito da igualdade acima. Etão { jξ } - { kξ } < jξ kξ ξ ( jk ) < jk ( ) Daí, ( ) ( ) ( jk) j k ξ jξ kξ <, e segue que Eiste etão um par (, ) de iteiros, = jξ kξ, = j k, tais que ξ <. Se = d, = d, com d >, etão ξ < < podemos supor que e são primos etre si., de modo que

5 Para garatirmos a eistêcia de ifiitos tais pares, supoha que achamos e primos etre si e tais que ξ <. Escolha agora um atural tal que argumeto acima, chegamos a um par de iteiros primos etre si,, com. Portato, ξ < < ξ lema. e < ξ. Repetido o ξ < e ξ <, dode (, ) (, ) satisfaz o Lema : Seja d um iteiro positivo que ão seja um quadrado. Eiste um iteiro m para o qual a equação d = m admite ifiitas soluções iteiras. Prova: Sabemos que etre si tais que desigualdade, etão d é irracioal. Assim, o cojuto S dos pares (, ) de iteiros primos d < é ifiito. Mas se e forem iteiros satisfazedo essa d = d + d < ( d + d ) < ( ) + d < d + Segue que algum iteiro ão ulo m etre ( d + ) e d + se repete um úmero ifiito de vezes etre os valores de d dizer que a equação d = m admite ifiitas soluções., com (, ) em S. Mas isto é o mesmo que Teorema 3 (Soluções da Equação de Pell): Seja d um iteiro positivo que ão seja um quadrado. A equação d = admite ifiitas soluções em iteiros positivos,. Ademais, eiste uma solução em iteiros positivos, tal que todas as demais soluções dessa equação são da forma + d = ( + d ), ode é um úmero atural. Prova: Admitamos por equato que ossa equação teha uma solução em iteiros positivos,. Detre todas essas soluções, escolha aquela, tal que α = + d seja o meor possível. Dado um atural qualquer, sabemos que eistem iteiros positivos, tais que ( + d ) = + d. Daí, sabemos que ( d ) = d, e assim = ( d ) = ( + d ) ( d ) = = ( + d )( d ) = d Etão todos os pares (, ) são soluções da equação. Seja agora (, ) uma solução qualquer em iteiros positivos. Para termiar, basta mostrarmos que eiste um atural tal que + d = α. Supoha o cotrário. Etão eiste um atural tal que α < + d < α +. Daí, vem que < α ( + d ) < α. Mas α ( + d ) = ( + d ) ( + d ) = ( + d ) ( + d ) = = ( d )( + d ) = ( d ) + ( ) d e ocorre que ( d ) d( ) = ( d ) + ( d ) = d =,

6 de modo que α ( + d ) = ( d, ) também é solução. Como < α ( + d ) < α, basta mostrarmos que d, > 0 para chegarmos uma cotradição. Sejam a = d, b =. Temos a + b d > 0 e a db =, dode a b d = ( a + b d ) > 0. Etão, a = ( a + b d ) + ( a b d ) > 0. Por outro lado, a + b d > implica a b d = ( a + b d ) <, e daí b d > a 0. Logo, b > 0. Para termiar, basta mostrarmos que a equação d = admite uma solução. Tome, de acordo com o lema, um iteiro (ão ulo) m tal que d = m admita uma ifiidade de soluções. Podemos escolher duas dessas soluções, (, ),(, ) digamos, tais que mas e, módulo m. Etão ( + d )( d ) = ( d ) + ( ) d (*) 0(mod ) e m Mas d d m (mod ), dode eistem iteiros u e v tais que d = mu, = mv Segue de (*) que ( + d )( d ) = m( u + v d ), e daí ( d )( + d ) = m( u v d ). Multiplicado ordeadamete essas duas igualdades, chegamos a m = ( d )( d ) = m ( u dv ), ou seja, u dv =. Resta mostrarmos que u e v são ão ulos. Se u = 0 teríamos dv =, um absurdo. Se v = 0, viria u = ou. De (*) seguiria que ( + d )( d ) = ± m, e assim ( + d ) = ± ( + d ), dode por fim =, o que é um absurdo. Eemplo : Agora podemos determiar todas as soluções iteiras ão ulas da equação =. O teorema 3 esia que as soluções positivas dessa equação são da forma (, ), ode e são os úicos iteiros para os quais + = ( + ), sedo (, ) a solução positiva para a qual + é o meor possível. Como os pares (, ) = (, ), (, ), (, ), (, ), (, 3) ão são soluções da equação e (3, ) é, é fácil os covecermos de que (, ) = (3, ). Desse modo, temos os pares (, ) dados pela igualdade + = ( 3 + ) Determie agora as demais soluções ão ulas da equação acima. O eercício 7 discute mais algus aspectos dessa equação. Eercícios:. Seguido os passos da prova do teorema, mostre que as soluções em iteiros ão ulos da equação + = z são da forma = ± ( u v ) d, = uvd, z = ( u + v ) d, ode d, u, v são iteiros ão ulos, com u e v primos etre si.. Mostre que as equações a seguir ão possuem soluções iteiras ão ulas: i = z 4 4 ii. + = z iii. + = 3z

7 O item i do eercício a seguir tem a ver com o eemplo do teto. 3. i. Mostre que ão eistem racioais e tais que + + =. ii. Determie todas as soluções racioais da equação + + =. Para resolver os próimos dois eercícios utilizamos o teorema. Eles são mais difíceis que os ateriores, e o primeiro deles você pode achar útil o seguite resultado, cohecido como Teorema de Ptolomeu: dado um quadrilátero coveo iscritível ABCD, tem-se AB. CD + AD. BC = AC. BD A B D C Para uma prova do Teorema de Ptolomeu, você pode cosultar a referêcia [4]. 4. Temos o plao uma circuferêcia de raio. Mostre que podemos escolher em tal circuferêcia 000 potos A, A,..., A000 tais que A i A j é racioal, quaisquer que sejam i < j Seja r um iteiro positivo dado. Queremos determiar o úmero de triâgulos ABC, dois a dois ão cogruetes, satisfazedo as seguites codições: i. O raio da circuferêcia iscrita em ABC mede r. ii. Os comprimetos dos lados de ABC são úmeros iteiros, primos etre si. Mostre que o úmero de tais triâgulos é k, ode k é o úmero de fatores primos distitos de r. 6. Prove, sem apelar para o teorema, que a equação = admite uma ifiidade de soluções iteiras. 7. Prove que as soluções positivas (, ) da equação do eemplo são dadas pelas seqüêcias (, ) = ( 3, ) e + = 3 + 4, + = Prove que há ifiitos iteiros tais que + ( + ) seja quadrado. Bibliografia [] Itrodução à Teoria dos Números. Plíio O. dos Satos. Coleção Matemática Uiversitária. IMPA [] A Itroductio to the Theor of Numbers. I. Nive, H. Zuckerma. Joh Wile & Sos. New York [3] A Classical Itroductio to Moder Number Theor. K. Irelad & M. Rose. Spriger-Verlag. New York [4] Quadriláteros e Triâgulos. M. Medes. Eureka! N o 5. OBM 999

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