EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N Estudaremos este capítulo as equações diereciais lieares de ordem, que são de suma importâcia como suporte matemático para vários ramos da egeharia e das ciêcias. Na classiicação do capítulo, observamos que as equações podem ser descritas coorme a tabela abaio: Ordem (A.y () + A -.y (-) A.y + A.y = B()). Coeicietes costates (A, A -,..., A, A ).. B() = (equação homogêea)... Raízes reais... Raízes repetidas... Raízes compleas.. B() = ()... B() = poliômio... B() = e k... B() = se(k) ou cos(k)...4 Todos os casos jutos. Coeicietes ão - costates.. Séries de potêcias Ates de passarmos aos tipos descritos acima, estudaremos algus coceitos e características importates destes tipos de equações. As equações diereciais lieares de ordem são aquelas da orma: A. y () + A -.y (-) A.y + A.y = B() Ode: B(), A, A -, A -,.., A, A, A depedem de ou são costates. Se B() = tem-se uma equação dierecial liear e homogêea de ordem. A solução geral desta equação cotém costates arbitrárias. Se y, y,..., y orem soluções particulares da equação liear homogêea e, C, C,..., C desigarem costates, a epressão y = C y + C y C y também será solução (teorema para equações homogêeas pricípio da superposição). Se y, y,..., y orem soluções particulares de uma equação liear e homogêea, a epressão y = C y + C y C y será a solução geral de tal equação, desde que as uções y, y,..., y sejam liearmete idepedetes, isto é, desde que ão se teha C y + C y C y =, a ão ser para todas as costates ulas. De ato: esse caso a solução cotém

2 costates arbitrárias, úmero esse que ão pode ser reduzido porque as uções y, y,..., y são liearmete idepedetes. Eemplos: () As uções y = e, y = e e y = e ão são liearmete idepedetes, pois: C e + C e + C e = para C = -, C = e C =, por eemplo. () As uções y =, y = e y = são liearmete idepedetes, pois: C + C + C = se e somete se C =, C = e C =. Um critério para idepedêcia liear de uções pode ser visto em um teorema desevolvido por Wroski e chamado Wroskiao das uções, que euciamos abaio: Supoha que (), (),..., () sejam diereciáveis pelo meos vezes. Se o determiate ' ( ) ' or dierete de zero em pelo meos um poto do itervalo I, etão as uções (), (),..., () serão liearmete idepedetes o itervalo. ( ) '... ( ). Coeicietes costates (A, A -,..., A, A ) As primeiras equações que aremos reerêcias são aquelas que evolvem os coeicietes costates, ou seja, úmeros reais. No item. estudaremos equações com coeicietes que podem também depeder da variável idepedete geralmete desigada por ou por t... B() = (equação homogêea) A equação dierecial liear A. y () + A -.y (-) A.y + A.y = será chamada de homogêea e sua solução pode ser deduzida a partir do eemplo que segue. Eemplo: Iicialmete desevolvemos a solução para uma equação de primeira ordem descrita abaio: WRONSKI, Jose Maria Hoëe. (778 85). Nascido a Polôia e educado a Alemaha, passou a maior parte da sua vida a Fraça. Era mais um ilósoo do que matemático. Uma das cotribuições à matemática oi o determiate acima.

3 A.y + A.y = (variáveis separáveis, coorme item.7.) A.y = -A.y dy dy A = A y = y A A l(y) = A A + K r y = Ce ode r = e C = e K () A A Vamos supor que toda solução da equação dierecial liear de ordem possa ser escrita da orma epoecial, assim, para a equação A. y () + A -.y (-) A.y + A.y = teremos uma solução do tipo r y = Ce. Para veriicar, se de ato temos uma solução, derivamos y = r Ce vezes, observe: y ' = r Cre y' ' = Cr e r y r ''' = Cr e... ( ) y = Cr e r Substituido a equação, temos: A Cr e r + A - Cr - e r +... A Cr e r + A Cre r + A Ce r = Ce r.( A r + A - r A r + A r + A ) = () Coclui-se da epressão acima que C é dierete de zero, seu valor é e K, coorme epressão () e o mesmo acotece com e r (a ução epoecial tem imagem real positiva e dierete de zero). Logo, para a equação () ser igual a zero, resta: A r + A - r A r + A r + A = () Portato, para resolução de uma equação dierecial liear de ordem com coeicietes costates, basta que trasormemos a equação dierecial em uma equação auiliar, ou também chamada de equação característica [equação()]. A partir de agora, passamos a aalisar o que acotece com as raízes da equação característica ().... Raízes reais A equação característica () possui raízes reais e distitas. A solução geral da equação dierecial liear será do tipo: y = C e + C e C r r r. e Eemplos: () y 5y + 6y = Vamos supor que a equação r y = Ce é solução da equação acima, assim: y ' = r Cre y r '' = Cr e (derivada primeira e seguda da solução) Cr e r -5Cre r + 6Ce r = Ce r.(r - 5r + 6) = Ce r e r - 5r + 6 = Portato, a equação dierecial de seguda ordem passa a ter uma equação auiliar (característica) para que sua solução possa ser descoberta, achado para isso as raízes do poliômio:

4 r - 5r + 6 = r = e r = Logo, a equação dierecial tem como solução geral: y = C e + Ce. () y y + y = Equação característica: r r + r = r.( r r + ) = r =, r = e r = A solução geral da equação dierecial é: y = C + C e + C e.... Raízes repetidas A equação característica () possui raízes reais e repetidas. A solução geral da equação dierecial liear será do tipo: y = C e + C e + C e C r r r r. Eiste a ecessidade de acrescetarmos,,... a solução acima para que seja liearmete idepedete. Lembre-se: a quatidade de costates a solução geral depede da ordem da equação. Eemplos: () y 4y + 4y = Vamos supor que a equação r y = Ce é solução da equação acima, assim: e y ' = r Cre y r '' = Cr e (derivada primeira e seguda da solução) Cr e r -4Cre r + 4Ce r = Ce r.(r - 4r + 4) = Ce r e r - 4r + 4 = Achado as raízes da equação auiliar: r - 4r + 4 = r = e r = Logo, a equação dierecial tem como solução geral: y = C e + Ce. () y y + y = Equação característica: r r + r = (r ) = r =, r = e r = A solução geral da equação dierecial é: y = C e + C e + C e.... Raízes compleas A equação característica () possui raízes compleas. A solução geral da equação a dierecial liear será do tipo: y = e [ C cos( b) + Cse( b)]. Ode: a é parte real do compleo e b a parte imagiária. Esta solução se deve a duas epressões desevolvidas por Euler : EULER, Leohard. (77 78). Fez grades e etesos estudos em geometria aalítica e trigoometria. Cotribuiu de orma decisiva para o avaço da geometria, cálculo e teoria dos úmeros.

5 e iθ = cos(θ) + i.se(θ) e -iθ = cos(θ) i.se(θ) Observe que se escrevêssemos a solução com epoete compleo teríamos: y ( a+ bi) ( a bi) a bi bi = Ke + K e y = e.( Ke + K e ) y = e a.{ K[cos( b) + ise( b)] + K [cos( b) ise( b)]} a a y = e.{[ K + K ]cos( b) + [( K K ) i] se( b)} y = e [ C cos( b) + Cse( b)] Eemplos: () y + 4y = Achado as raízes da equação auiliar: r + 4 = r = i e r = - i Logo, a equação dierecial tem como solução geral: y = C cos() + C se(). () y y + y = Equação característica: r r + = r = + i e r = i A solução geral da equação dierecial é: y = e [C cos() + C se()]... B() = () A equação dierecial liear A. y () + A -.y (-) A.y + A.y = () será chamada de ão-homogêea e sua solução será desevolvida para os três casos que seguem usado o Método dos Coeicietes a Determiar. Eistem outros métodos de resolução de equações diereciais de ordem, como por eemplo, Método dos Operadores e Método da Variação dos Parâmetros que ão abordaremos este livro. O Método dos Coeicietes a Determiar será aqui abordado por sua maior simplicidade, sem evolvimeto de itegrais ou determiates como os outros dois métodos citados. É iteressate relembrar, que o método que escolhemos serve apeas para resolução de equações diereciais lieares com coeicietes costates. Caso isto ão ocorra, utilizaremos séries de potêcias para a resolução das equações. Uma ução y p idepedete de parâmetros, que satisaça a equação ão-homogêea é chamada de solução particular para a equação. Sedo y, y,..., y soluções para a equação dierecial liear homogêea de ordem em um itervalo I e se y p é qualquer solução para a equação ão-homogêea o mesmo itervalo, etão: y = C y + C y C y + y p é também

6 uma solução para a equação ão-homogêea o itervalo para quaisquer costates C, C,..., C. Em outras palavras, a solução geral para uma equação dierecial liear ão-homogêea é: y = C y + C y C y + y p y = ução complemetar + qualquer solução particular Os passos que adotaremos para a solução da equação ão-homogêea são os seguites: º. Etraímos a solução da equação homogêea; º. Descobrimos uma solução particular que satisaça a equação, coorme o aspecto de B(); sempre observado se tal solução já ão aparece a solução complemetar; º. Usamos a solução particular a equação para a descoberta dos coeicietes descohecidos (método dos coeicietes a determiar, também cohecido como método dos coeicietes idetermiados); 4º. A solução geral é a soma da solução complemetar com a solução particular que descobrimos. Abaio, segue o procedimeto que adotaremos para y p coorme o aspecto da ução B().... B() = poliômio Quado B() or um poliômio iteiro em de grau m, a solução particular (y p ) também será um poliômio iteiro em, com grau m + h, ode h é a ordem da derivada de meor ordem cotida a equação. Eemplos: () y y y = Primeiramete resolvemos a equação homogêea y y y =. Usado uma equação auiliar, temos: r r r = r.( r r ) = r =, r = - e r = y c = C + C e - + C e Em um segudo mometo, observamos o grau do poliômio B() = (grau ) e somamos com a ordem da derivada de meor ordem cotida a equação (ordem ). Isto resulta em um poliômio de grau ; assim a solução particular terá o seguite aspecto: y p = A + B + C. Na seqüêcia aremos a substituição desta solução a equação, observe: y p = A + B + C

7 y p = A + B y p = A y p = A equação y y y = ica: - A B = - A.(A + B) = 5-4A = - 4A = A = - ¼ e B = Portato a solução da equação ão-homogêea será a soma da solução complemetar com a solução particular ecotrada: y = C + C e - + C e - ¼ 5 + (observe que a costate C ão oi ecotrada o sistema acima, mas ela já está represetada pela costate C da solução homogêea). () y y = + Resolvedo a equação homogêea y y = temos: r r = r.( r ) = r =, r = e r = y c = C + C + C e O grau do poliômio B() = + (grau ) com a ordem da derivada de meor ordem cotida a equação (ordem ) resulta em um poliômio de grau 4; assim a solução particular terá o seguite aspecto: y p = A 4 + B + C + D + E. Achado as derivadas: y p = A 4 + B + C + D + E y p = 4A + B + C + D y p = A + 6B + C y p = 4A + 6B Substituido a equação y y = + : 6B 4C = 4A + 6 B.(A + 6B + C) = + 4A - B = - 4A B = - -4A = -4A = A = 8 B = C = 8 Portato a solução da equação ão-homogêea será a soma da solução complemetar com a solução particular ecotrada: y = C + C + C e (observe que as costates D e E já estão cotempladas pelas costates C e C da solução homogêea).... B() = e k

8 Quado B() tiver a orma e k, a solução particular (y p ) será da orma A h e k, ode h é o grau de multiplicidade de k como raiz da equação característica ou auiliar. Eemplos: () y 4y + 4y = e Resolvedo a equação homogêea y 4y + 4 = temos: r 4r + 4 = r = e r = y c = C e + C e A solução particular y p será da orma: y p = A e (observe que já tíhamos a solução da equação homogêea dois termos que depediam de e, como as soluções precisam ser liearmete idepedetes, tivemos que acrescetar o termo ). Derivado y p e substituido a equação, temos: y p = A e y p = Ae + A e y p = Ae + 4Ae + 4Ae + 4A e y 4y + 4y = e Ae + 4Ae + 4Ae + 4A e 4.( Ae + A e ) + 4.( A e ) = e A = A = Solução geral da equação ão-homogêea: y = C e + C e + e. () y y + y = e - A solução complemetar será y c = C e + C e. A solução particular terá a orma: y p = Ae -. Derivado y p e substituido a equação, temos: y p = Ae - y p = -Ae - y p = Ae - y y + y = e - Ae -.( -Ae - ) +. Ae - = e - 6A = A = ½ Solução geral da equação ão-homogêea: y = C e + C e + ½ e B() = se(k) ou cos(k) Se B() tiver a orma se(k) ou cos(k), a solução particular (y p ) será da orma [Ase(k) + Bcos(k)]. h, ode h idica o grau de multiplicidade da raiz imagiária ki como raiz da equação característica. Eemplos:

9 () y + y = 4cos() A solução complemetar será y c = C cos() + C se(). A solução particular terá a orma: y p = [Ase() + Bcos()]. (a ecessidade da multiplicação por, deve-se a eistêcia da solução complemetar com o mesmo aspecto da solução particular). Derivado y p (derivada de um produto) e substituido a equação, temos: y p = [Ase() + Bcos()]. y p = [Ase() + Bcos()] + [Acos() - Bse()]. y p = [Acos() - Bse()] + [Acos() - Bse()] + [-Ase() - Bcos()]. y + y = 4cos() [Acos() - Bse()] + [Acos() - Bse()] + [-Ase() - Bcos()]. + [Ase() + Bcos()]. = 4cos() A = 4 A = e B = (o º membro da equação ão aparece se()) Solução geral da equação ão-homogêea: y = C cos() + C se() + [se()]. () y y + y = se() A solução complemetar será y c = C e + C e. A solução particular terá a orma: y p = Ase() + Bcos(). Derivado y p e substituido a equação, temos: y p = Ase() + Bcos() y p = Acos() - Bse() y p = -4Ase() - 4Bcos() y y + y = se() -4Ase() - 4Bcos().( Acos() - Bse()) + 4 Ase() + Bcos() = se() -A + 4B = e -4A B = B = 5 e A = 5 Solução geral da equação ão-homogêea: y = C e + C e 4-5 se() + 5 cos()....4 Todos os casos jutos Nesta seção apresetamos algus eemplos com os casos que estudamos até o mometo. Veja como se comporta a solução particular em cada situação. Eemplos: dy () + y = e + 6 dy Resolvedo a equação homogêea + y = r r + r = r =, r = e r = temos:

10 y c = C e + C e + C e A solução particular terá a orma: y p = A e + B + C Derivado y p e substituido a equação, temos: y p = A e + B + C y p = A e + A e + B y p = 6Ae + A e + A e + A e y p = 6Ae + 6Ae + 6Ae + A e + 6Ae + A e + A e + A e dy + y = e + 6 6Ae + 6Ae + 6Ae + A e + 6Ae + A e + A e + A e.( 6Ae + A e + A e + A e ) +.( A e + A e + B) - A e - B - C = e + 6 6A = A = 6, B = e B - C = 6 C = - Solução geral da equação dierecial: y = C e + C e + C e + 6 e +. dy () 8y = e 8cos() dy Resolvedo a equação homogêea 8y = : r r 8 = r = 4 e r = - y c = C e 4 + C e - A solução particular terá a orma: y p = Ae + Bse() + Ccos() Derivado y p e substituido a equação, temos: y p = Ae + Bse() + Ccos() y p = Ae + Bcos() - Cse() y p = Ae - 4Bse() - 4Ccos() dy 8y = e 8cos() Ae - 4Bse() - 4Ccos().(Ae + Bcos() - Cse()) 8.( Ae + Bse() + Ccos()) = e 8cos() -9A = A = 9-4B + 4C 8B = -B + 4C = C = B -4C 4B 8C = -8-4B C = -8 B = 5 e C = 5 Solução geral da equação dierecial: y = C e 4 + C e e + 5 se() + 5 cos()

11 dy () + y = 6 e ode: y() = e y () = A solução complemetar será y c = C e + C e. A solução particular terá a orma: y p = A + B e Derivado y p e substituido a equação, temos: y p = A + B e y p = Be + B e y p = Be + Be + Be + B e dy + y = 6 e Be + Be + Be + B e.( Be + B e ) + A + B e = 6 e = A = 6 e B = - B = (observe que os demais termos se aulam). Solução geral da equação dierecial: y = C e + C e e. Neste problema, com codição iicial, precisamos aida ecotrar as costates C e C da solução geral, com y() = obtemos: = C + 6 C = -5. Com a seguda codição precisamos determiar a derivada da solução geral e realizar a substituição dos valores, observe: y = C e + C e e y = C e + C e + C e - e - e y () = = C + C = -5 + C C = 6 Portato, a solução particular para a equação dierecial liear ão-homogêea com codições iicias é: y = -5e + 6e e. Neste último eemplo, você deve ter percebido a etesão os cálculos. Quato maior a ordem da derivada a equação dierecial, mais codições iiciais aparecerão para a descoberta das costates. Se B() tiver muitas peculiaridades, a solução particular de que trata o Método dos Coeicietes a Determiar também será etesa. No capítulo 4 você terá a possibilidade de resolver tais equações com o auílio das Trasormadas de Laplace, um poderoso método para a resolução de algumas equações diereciais.. Coeicietes ão - costates Até aqui, mostramos procedimetos detalhados e sistemáticos para a costrução das soluções udametais de equações com coeicietes costates. Para tratar de uma classe muito mais ampla de equações, com os coeicietes variáveis, é ecessário esteder ossa pesquisa a soluções além das uções elemetares comus do cálculo. O pricipal istrumeto para que isto

12 possa acotecer é o da represetação de uma dada ução por uma série de potêcias. A idéia básica é semelhate à do Método dos Coeicietes a Determiar: admitimos que a solução da equação dierecial dada teha uma epasão em série de potêcias e depois tetamos determiar os coeicietes de modo a satisazer à equação dierecial... Séries de potêcias O emprego das séries de potêcias para costruir cojutos udametais de soluções de equações diereciais lieares cujos coeicietes sejam uções da variável idepedete é o que trataremos este mometo. Observe a equação: A. y () + A -.y (-) A.y + A.y = B() Agora passaremos para os casos em que além de B(), os termos A, A -, A -,.., A, A, A também poderão depeder de.... Deiição Uma série de potêcias em - a é uma série iiita a orma = c ( a). úmero. Eemplo: = ( ) ( ) Uma série como essa é também cohecida como uma série de potêcias cetrada o... Covergêcia Para um valor especíico de, uma série de potêcias é uma série de costates. Se a série é igual a uma costate real iita para o dado, etão dizemos que a série coverge em. Se a série ão coverge em, dizemos que ela diverge em. Toda série de potêcias tem um itervalo de covergêcia. O itervalo de covergêcia é o cojuto de todos os úmeros para os quais a série coverge. Por sua vez, todo itervalo de covergêcia tem um raio de covergêcia R. Uma série de potêcias represeta uma ução:

13 () = = c ( a) = c + c ( a) + c ( a) + c ( a) +... cujo domíio é o itervalo de covergêcia da série. Se a série tiver raio de covergêcia R > O etão a ução () será cotíua, diereciável e itegrável o itervalo (a R, a + R). Este livro ão tem como objetivo abordar com mais detalhes o assuto de séries de um modo geral. Nosso iteresse está em saber como as séries de potêcias poderão os auiliar a resolução de equações diereciais com coeicietes variáveis. A leitura de uma outra reerêcia para o assuto, icará a cargo do leitor. Passamos agora para algus eemplos da utilidade das séries as equações diereciais. Eemplos: () y y = Vamos supor que a solução da equação pode ser escrita o ormato: y = c + c + c + c +... (uma série cetrada em zero) Usado a mesma idéia do Método dos Coeicietes a Determiar, teremos: y = c + c + c + 4c y = c + 6c + c 4 + c 5 + Substituido a equação: y y = (c + 6c + c 4 + c 5 + ) (c + c + c + c +...) = c = c = 6c c = c = c 6 c c 4 c = c 4 = c c 5 c = c 5 = c 5 = c c c 6 c = c 6 = c6 = 8 c 7 =.. c c Solução geral: y = c + c () ( )y + y = Supodo que a solução da equação pode ser escrita o ormato:

14 ...) = y = c + c + c + c +... (uma série cetrada em zero) y = c + c + c + 4c y = c + 6c + c 4 + c 5 + Substituido a equação: ( )y + y = ( )(c + 6c + c 4 + c 5 + ) + (c + c + c + c + c + c = c = c 6c c + c = c = c 4 6c + c = c 4 = c c 6 c c 4... c 5 =.. c Solução geral: y = c + c - - c + c - 6 c + c Eercícios.. Resolver a equação: 4 dy + 5 y = 4. Determiar a solução geral das seguites equações: 4 a) 4 = b) 6y = se() 4 dy c) 8y = e 8cos(). Pelo Método dos Coeicietes a Determiar, resolver as equações diereciais:

15 a) + + dy + y =. e dy b) + y = e.se() 4. Resolver, utilizado séries de potêcias, a equação dierecial abaio: ( + ) dy y = 5. Resolver a equação: = e + 6. Determiar a solução geral das seguites equações: dy a) + = e + 6 b) + 5y = 6se( ) + cos() 7. Resolver as equações diereciais com codições iiciais: a) 64y = 6 com y() =, y () = π π b) + y = 8.cos() 4.se( ) com y( ) = -, y ( ) = 8. Nas equações abaio, utilizar o Método dos Coeicietes a Determiar: a) y - 9y = 54 b) y - 7y + 5y = - c) y + 4y + 4y = + 6 d) y - y - y = 4e 9 e) y + 4y = 4 cos() + se() 8 ) y - y - y + y = cosh() g) y + y + y =.se() h) y 5y + 6y = + e i) y - y = se() e + j) y + 4y = e se()

16 k) y + 9y = ( + )e l) y 6y + 9y = e.se() m) y iv + y - y = + e + 4 se 9. Resolver, utilizado séries de potêcias, as equações abaio: a) ( + ).y +.y - y = b).y - ( + ).y = -

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