FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 2

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 4º Teste º Ao de escolridde Versão Nome: Nº Turm: Professor: José Tioco 09/0/08 Apresete o seu rciocíio de form clr, idicdo todos os cálculos que tiver de efetur e tods s justificções ecessáris Qudo, pr um resultdo, ão é pedid um proximção, pretede-se sempre o vlor exto, su form mis simples Evite lterr ordem ds questões Not: O teste é costituído por dus prtes Cdero : 0 miutos (é permitido o uso de clculdor) Cdero : 40 miutos (ão é permitido o uso de clculdor) Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão

2 Cdero : 0 miutos (é permitido o uso de clculdor) Cosidere sucessão de termo gerl (0) Mostre que é um progressão geométric e idique rzão d progressão é um p geométric se e só se r (costte) Logo, é um p geométric de rzão (0) Clcule o vlor exto d som dos 0 primeiros termos de Temos Assim, 0 r S0 0, com e r r S () Qul é o vlor de lim? (A) (B) (C) 0 (D) lim lim lim 0 OPÇÃO C/D () Três termos cosecutivos de um progressão geométric são ddos, pr um determido úmero rel x, respetivmete, por: x, x 6 e x 6 Qul é rzão d progressão? (A) 4 (B) (C) (D) Como são termos cosecutivos, rzão etre eles é rzão d progressão Assim, x6 x6 x 6 x 6xx 6 xx 6 x 6 6 x x 8 x x x x 6 6 Os termos d progressão são x, x 6 6 4, x A rzão d progressão é 8 4 r 4 OPÇÃO B/D Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão

3 Sejm, b e c sucessões, defiids por: b c () Qul ds firmções seguites é fls? (A) (C) limb (B) Temos, b b é limitd (D) se ímpr se pr Assim, lim 0 e Temos tmbém,, b b b b é covergete b é moóto lim 0 pelo que limb e b é covergete, pelo que b é limitd OPÇÃO D/C (0) Idique, justificdo, o vlor lógico d proposição seguite, c 0000 Resolvmos codição c ,7 A proposição dd é FALSA, pois pes pr se tem c 0000 Outro processo: Usr um cotrexemplo (porque firmção é fls) Pr temos c () Clcule lim c Temos, lim c lim limc lim lim lim lim limc lim lim Portto, lim c 0 Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão

4 4 De um progressão ritmétic sbe-se que e 0 (0) 4 Determie expressão do termo gerl de O termo gerl de um progressão ritmétic de rzão r é d form Como 0 r temos r 0 r r Portto, k r 0 9 é o termo gerl d sucessão k (0) 4 Clcule correspode à som de 0 6 progressão, icluido e 0 0 Como SN N, temos S N termos cosecutivos d (0) 4 Usdo defiição, mostre que lim Not: se ão respodeu à questão cosidere 9 Temos de mostrr que por muito grde que sej o úmero rel positivo L, existe um ordem p prtir d qul todos os termos de são superiores L L 9 L 9 L L 9 L 9 Assim, L, existe um ordem p, turl e superior, tl que, p L, o que sigific que lim (0) Defi, pelo termo gerl, progressão ritmétic v cujo vigésimo termo é e tl que lim 0 v Se v é um progressão ritmétic etão o seu termo gerl é d form v r b, sedo r rzão d progressão De lim 0 result lim 0 v r b Já sbemos que v b 0 r 0 Como v0 vem, 0 b b 4 b 8 Logo, v 8 r r Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági 4/7 Versão

5 6 Sejm b e c dus sucessões tis que, b e c b () 6 Usdo defiição de limite de um sucessão, prove que b coverge pr limb se e só se 0, p :, p b b Assim, sedo p um úmero turl mior do que tem-se, p b, ou, todos os termos pertecem Pelo que sucessão tem limite V (0) 6 Determie ordem prtir d qul todos os termos d b pertecem Pel líe terior cocluímos que b V0, 0 Portto, prtir do termo de ordem 00 (iclusive), b Outro processo: Resolver codição b 0, 0 0, V0, 0 V 0, 0 () 6 Qul é o vlor de lim c? (A) (B) 7 (C) (D) 7 Pels proprieddes, limc lim c limc limb limb OPÇÃO C/A limb, pois sucessão c difere de b pes os dois primeiros termos Cdero : 40 miutos (ão é permitido o uso de clculdor) 7 Cosidere sucessão u defiid por recorrêci: u u 4 u, (0) 7 Usdo o método de idução mtemátic, prove que, u Sedo B codição u, temos de mostrr que: Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági /7 Versão

6 B é verddeir: temos B é hereditriedde: Hipótese: u ; u, proposição verddeir; Tese: u u 4 4 Como u, vem, sucessivmete, u 4 4 u cqm Logo, pelo método de idução cocluímos que, u () 7 Mostre que sucessão u é decrescete u é decrescete, u u 0 u u 0 u u u 4 u u 4 u u u 4 u 4 u 4 u, que é verdde, pel líe terior Logo u é decrescete () 7 Justifique que u é covergete Como, u, sbemos que sucessão é miord ( é miorte) Pel líe terior sbemos que sucessão miord e decrescete é covergete u é decrescete, logo u é covergete, pois tod () 8 Acerc de um sucessão u sbe-se que: Qul ds firmções seguites é fls? (A) (C) u u 7 u ão é um progressão ritmétic (B) u tem três termos iguis (D) u é crescete em setido lto u é moóto crescete u ão é um progressão ritmétic porque u u ão é costte (depede de ) Vejmos o que podemos cocluir sobre o sil de u u Pr temos u4 u 0, pelo que u4 u Pr 4 temos uu4 0, pelo que u u4 Portto, u u4 u, ou sej, u tem três termos iguis Pr os resttes vlores de temos u u 0, pois os termos de 7 estão sobre um prábol de cocvidde voltd pr cim e zeros em e 4 Assim,, u u 0, pelo que u é crescete em setido lto OPÇÃO D/C Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági 6/7 Versão

7 9 Cosidere sucessão b de termo gerl b cos () 9 O vlor de b00 b99 é (A) 00 (B) Temos b cos cos 00 e b99 (C) 0 (D) cos Portto, b00 b99 0 OPÇÃO D 0 0 () 9 Mostre que b tem um ifiidde de termos ulos 0 b 0 cos 0 0 cos 0 Eq impossível k, k k, k k, k Portto, pr k 0 os termos de ordem k são todos ulos (0) 9 Clcule, cso exist, lim b lim b lim cos 0 Pois,, cos, isto é, cos é um sucessão limitd e lim 0 limite do produto de um sucessão limitd por um sucessão que coverge pr zero é zero e o () 0 De um progressão ritmétic Qul é o vlor de v 4? v sbe-se que v0 v80 0 (A) 0 (B) (C) 8 (D) 0 Como v80 v0 70r, temos v 0 v 80 0 v0 v0 70r 0 v0 70r 0 v0 r v4 OPÇÃO B/C Fich de vlição d Mtemátic A º Ao Pági 7/7 Versão

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