Professores Edu Vicente e Marcos José Colégio Pedro II Departamento de Matemática Potências e Radicais

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1 POTÊNCIAS A potênci de epoente n ( n nturl mior que ) do número, representd por n, é o produto de n ftores iguis. n = ( n ftores) é chmdo de bse n é chmdo de epoente Eemplos =... = 8 =... = PROPRIEDADES ) Tod potênci de bse diferente de zero, elevd epoente pr, é positiv. () = 6 (-) = 9 c) (-) = 6 ATENÇÃO(CUIDADO!!!!!!!!!!!!) ( ), porque: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 Isto contece, pois o que está elevdo é só o número e não o sinl tmbém. ) Tod potênci de bse diferente de zero, elevd epoente ímpr, tem o mesmo sinl d bse. () = 7 (-) = - ) Pr multiplicrmos potêncis de mesm bse, conservmos bse e sommos os epoentes.. = + = 7.. = ++ = 0 c) 6 = +6 = 8

2 ) Todo número diferente de zero, elevdo zero, é igul. 0 = (-) 0 = 0 c) = ) Todo número diferente de zero, elevdo um epoente negtivo, é igul o inverso desse número elevdo o simétrico do epoente. - = c) 6) Pr dividirmos potêncis de mesm bse, conservmos bse e subtrímos os epoentes. 6 = 6- = 7 = 7- = c) ) Pr elevrmos um potênci um epoente, conservmos bse e multiplicmos os epoentes. ( ) = ( ). ( )= elevdo + =. = 6 [( ) ] =.. = ATENÇÃO(CUIDADO!!!!!!!!!!!!!!) ( ), porque: N potênci ( ), temos propriedde 7, ou sej, estmos elevndo um potênci um epoente. Logo: ( ).

3 N potênci como não eistem prênteses, o número está elevndo pens o número e não tod potênci, como nos eemplos nteriores. Portnto, nestes csos, não podemos usr propriedde 7. Pr resolvermos tl potênci, devemos começr de cim pr bio. Assim: = = 6 8) Pr elevrmos um produto um epoente elevmos cd ftor do produto o epoente. (.8) =.8 (..) =.. 8) Pr elevrmos um quociente um epoente elevmos dividendo e divisor o epoente POTÊNCIAS DE 0 Um número é potênci de 0 qundo pode ser escrito n form 0 n, onde n é um número inteiro. 0 = = = c) 0 - = 0, d) = 0 7 e) 0,0000 = 0 - OBS. Podemos escrever qulquer número rcionl eto com o uílio de potêncis de = = 8.0 c),7 = d) 0,000 =.0 - e),0 = 0.0 -

4 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Vimos que todo número rcionl eto pode ser escrito como um potênci de 0. Qundo tl representção possuir pens um lgrismo significtivo em su prte inteir, estremos dinte d chmd representção em notção científic. Est mneir de representr um número é muito usd pr escrever números muito grndes ou muito pequenos. Eemplos 987 =, =,.0 8 c),98 =,98.0 d) 0, = 6,.0-6 e) 0,0000 =.0 - OBS. ) O lgrismo significtivo, que fic ntes d vírgul, não pode ser zero. ) Qundo um número N é tl que N < 0, então ele já está escrito em notção científic. Eemplos,876 8,6 c) ORDEM DE GRANDEZA Ddo um número N, escrito em notção científic, n form N =.0 n, com 0 < < 0, temos que: Se,6 então ordem de grndez de N será 0 n+. Se <,6 então ordem de grndez de N será 0 n. OBS. O número,6 á riz qudrd proimd de 0. Eemplos

5 ,7.0 ordem de grndez 0 6,.0 0 ordem de grndez 0 0 c),.0-6 ordem de grndez 0 - d),0.0 - ordem de grndez 0 - Eercícios propostos ) Clcule s potêncis bio utilizndo s proprieddes.. 7. = 6 = c) 7 9 = d). = e) 0 = f) (.y) = g) = h) i) 6 j) = k) ) Represente os números bio, utilizndo potêncis de , c) d) 0,0000 ) Escrev os números bio em notção científic e dê sus ordens de grndez. 000

6 76 c),78986 d) 0, e) 0,00 f),76 ) O resultdo d epressão 0 é: 0 c) d) ) O vlor d epressão = é: c).0 - d).0 - e) 0.0-6) O vlor de é: 6 c) d) 7) Observndo tbel bio, podemos dizer que ordem de grndez d áre dos Ocenos Pcífico, Atlântico e Glcil Ártico, respectivmente, é: 0 6, 0 6, , 0 7, 0 7 c) 0 8, 0 8, 0 8 d) 0 8, 0 8, 0 7 e) 0 8, 0 7, 0 6 OCEANOS ÁREA EM km Pcífico Atlântico Glcil Ártico

7 8) Se 6 ( ) ( 6) A e B 7 ( 7), determine o vlor de K n epressão K A B. 9 9) A mss de um plnet é de, kg, e mss do Sol é de, kg. Clcule, em notção científic: som ds dus msss diferenç ds dus msss 0) A populção mundil é de proimdmente 7 bilhões de hbitntes. Sbese que,% dess populção é formd por vscínos, determine ordem de grndez do número de torcedores do VASCO de nosso plnet. ) A pltform continentl brsileir é ric em jzids de petróleo. Del são etríds 60% d produção ncionl. As reservs de petróleo do pís somm,86 milhões de brris. Escrev em notção científic e em uniddes de brris nosss reservs petrolífers. )(CEFET-RJ) Sej n (,0).(0,) (9,9). O número que está mis próimo de n é:,, c) d) 0 e)00 ) (MACK-SP) Sendo k b ; então K vle: b b b c) d) b e) b

8 0 ) Determine o vlor de 8 9 ) Se 6 99 ; 7 b 99 ; c 99 8, então (bc) vle: A) 99 B) 99 C) 6) Determine o vlor de: 8 99 D) E) ( ) ( ) 7) Se sec e sen cos cos, determine os vlores de sen, sbendo que sec. 8) (EEAer) O vlor d epressão [( ) ( ) ]: ( ) ( ) é: A) 0,0 B) 0, C) 0, D),0 9) O vlor de 9 6 0, é: 7 8 : 8 A) - B) C) 6 6 D) 0 E) GABARITO: ) 8 c) - d) - e) f).y g) 8/ h) 8 i) 9 j) k) zero ) c) 0 d) 6 0 ), c) 8, ) C )D 6) A 7) D 8) k=0 9),99 0, ) 0 8

9 6 ), uniddes de brris ) E ) C ) 6 ) D 6) 7) sen 8) C 9) E 6 7. RADICAIS Ddo um número rel e um número nturl n, n, define-se n (riz n-ésim de como sendo o número rel R, se eistir, tl que: º) Pr n pr n = R desde que R n = e R 0. º) Pr n ímpr n = R desde que R n =. Nomencltur: n =R onde n é o índice, é o rdicndo, é o rdicl e R é riz Eemplos 7 c) não eiste d) e) 8 9

10 PROPRIEDADES ) Todo número elevdo um epoente frcionário é igul um rdicl, cujo índice é o denomindor do epoente e cujo rdicndo é o número elevdo o numerdor do epoente. b N b N 7 7 ( ) ( ) 7 ) Pr etrir riz de um potênci, dividimos o epoente d potênci pelo índice do rdicl. º cso) A divisão é et. 7 7 º cso) A divisão não é et. Então o quociente d divisão será o epoente do mior ftor possível que sirá do rdicl, enqunto que o resto será o epoente do ftor que ficrá no rdicl. 0.. = = 8 OBS. Qundo o epoente d potênci que se encontr no rdicndo for menor do que o índice, tl potênci não poderá ser etríd do rdicl

11 ) Considerndo e b números nturis, riz de um produto é igul o produto ds rízes dos ftores. n n n. b. b.. ) Considerndo e b números nturis e b diferente de zero, riz de um divisão é igul riz do dividendo dividid pel riz do divisor. n b n n b ) Qundo multiplicmos ou dividimos o índice do rdicl e o epoente do rdicndo pelo mesmo número diferente de zero, riz não se lter OBSERVAÇÃO IMPORTANTE Chmmos de rdicis semelhntes queles que presentm o mesmo índice e o mesmo rdicndo. e y ; y ; - y OPERAÇÕES COM RADICAIS ) Adição e Subtrção

12 Só podemos somr ou subtrir rdicis semelhntes. Pr isso, devemos conservr o rdicl e somr ou subtrir os coeficientes ) Multiplicção º cso) Rdicis com mesmo índice º cso) Rdicis com índices diferentes. Neste cso, devemos, inicilmente, reduzir o mesmo índice.. =? Primeiro devemos tirr o MMC entre os índices. Este MMC será o índice do rdicl. Assim, o MMC entre e é 6, que será o índice do rdicl. Depois dividimos o MMC pelo índice de cd um dos rdicis iniciis e multiplicmos cd resultdo obtido pelo epoente do respectivo rdicndo. Logo: =? MMC(,,) = ) Potênci Pr elevrmos um rdicl um epoente devemos mnter o índice e elevr o rdicndo esse epoente

13 ) Riz Pr etrir riz de um rdicl devemos mnter o rdicndo e multiplicr os índices ) Introdução de um ftor em um rdicl O número que está multiplicndo o rdicl, vem pr dentro do rdicl elevdo o índice ) Divisão º cso) Rdicis com mesmo índice º cso) Rdicis com índices diferentes. Neste cso devemos multiplicr e dividir o numerdor e o denomindor d frção dd por um mesmo ftor, convenientemente escolhido, de modo eliminr riz do denomindor. Este processo é chmdo de Rcionlizção de Denomindores. Temos lguns tipos diferentes de rcionlizção, dependendo do denomindor. (A rcionlizção é usd pr percebermos melhor qul é o vlor do número observdo, sem ter riz embio). º tipo) O denomindor é composto de um únic riz qudrd

14 º tipo) O denomindor é composto por um único rdicl com índice diferente de º tipo) O denomindor é composto por um som ou um diferenç contendo rízes qudrds. Neste tipo precisremos do produto notável ( +.( = b Eercícios propostos ) Simplifique os rdicis 6 c) 00 d) 0, e) f) 7 g)

15 h). y. z (; y e z > 0) 6. y i) z (; y e z > 0) ) Resolv c) d) e) f) g) ) Rcionlize os denomindores bio. 8 c) d) e) f) g)

16 ) O vlor d epressão 7 é:, c) d), e) 6 ) A diferenç - 0, , 8 9 é igul : c) -. d) 6) O vlor d epressão ; > 0: é: c) d) e) ) Simplificndo 0 encontrmos: 0 6 c) d) 6 e) 8) Sendo IR *, o vlor d epressão é: c) 6

17 d) e) 9) O vlor de ( ) c) + 9 d) zero e) 6 0) (C.NAVAL) Efetundo-se c) d) e) ) DESAFIO: O vlor de ( ) ( ) é: A) B) C) zero D) ( ) E) ( ) GABARITO:. y y ) 8 c) 0 d) 0, e) 6/7 f) / g) 9 h) y z e) z z ) c) 6 d) 8 e) f) 6 g) ) 7 c) d) e) ) A ) D 6) E 7) C 8) C 9) D 0) A ) B f) ( ) g)

d) xy 2 h) x c a b c) d) e) 20

d) xy 2 h) x c a b c) d) e) 20 AS RESPOSTAS ESTÃO NO FINAL DOS EXERCÍCIOS. Rdicis ) Escrev em form de potênci com epoente frcionário ) Escrev em form de rdicl ) Dividindo o índice do rdicl e os epoentes de todos os ftores do rdicndo

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