Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 NOTS E U Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres Professor: ui Ferdo Nues, r

2 Geometri lític e Álger ier ii Ídice Sistems de Equções ieres efiições Geris Iterpretção Geométric de Sistems de Equções Iterpretção Geométric de Sistems de Equções O Método do Esclometo O Método de Crmer Comprção etre o Método do Esclometo e o Método de Crmer Sistems Homogêeos 8 Motdo um diet limetr com sistems lieres Referêcis Biliográfics Sistems de Equções ieres

3 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres Sistems de Equções ieres efiições Geris Form lgéric de um Sistem de Equções ieres com m equções e icógits m m m m Form Mtricil: m m m m Ode: mtri dos coeficietes; vetor ds icógits (ou vetor solução); vetor dos termos idepees Mtri umetd ou Mtri Complet do Sistem B [ ] m m m m efiições i-se que um sistem de equções lieres é icomptível (ou sistem impossível SI), se ão dmite ehum solução Um sistem de equções lieres que dmite um úic solução é chmdo de comptível ermido (ou sistem possível ermido SP) Se um sistem de equções lieres tem mis de um solução (ifiits soluções) ele recee o ome de comptível iermido (ou sistem possível iermido SPI) iscutir um sistem de equções lieres S sigific efetur um estudo visdo clssificá-lo de cordo com s defiições teriores Resolver um sistem de equções lieres sigific ermir tods s sus soluções O cojuto desss soluções recee o ome de cojuto solução do sistem

4 Geometri lític e Álger ier Iterpretção Geométric de Sistems de Equções Nest seção são presetdos três eemplos que ilustrm iterpretção geométric pr solução de sistems de equções lieres de dus equções com dus icógits: Eemplos Resolver e iterpretr geometricmete solução do sistem: Solução: = e = - Como o sistem tem solução úic, est é represetd pel itersecção ds rets cujs equções geris são: e Resolver e iterpretr geometricmete solução do sistem: Solução: SPI Como o sistem tem ifiits soluções, ests são represetds pel itersecção ds rets cujs equções geris são: e (rets coicies) Sistems de Equções ieres

5 Geometri lític e Álger ier Resolver e iterpretr geometricmete solução do sistem: Solução: SI (Sistem Impossível) O sistem ão tem solução e fto, s rets cujs equções geris são: e são prlels (ão coicies) Sistems de Equções ieres

6 Geometri lític e Álger ier Iterpretção Geométric de Sistems de Equções do um sistem de equções com três equções com três icógits: cd equção represet um plo o espço tridimesiol est form os plos, e são os plos defiidos pels equções do sistem ssim, s soluções do referido sistem pertecem à iterseção desses plos Se pelo meos dois desses plos são prlelos, ou se dois deles itersectm o terceiro segudo rets prlels, iterseção é vi e o sistem é impossível Se os três plos se itersectm em um ret r, isto é, se r, o sistem é iermido e qulquer poto d ret r é um solução do sistem O sistem é ermido (solução úic), qudo os três plos se ecotrm em um úico poto Eistem o todo, oito posições reltivs possíveis pr os plos, e Qutro desss posições correspodem os sistems impossíveis e s outrs qutro, o sistem tem solução N seqüêci são descrits ests oito posições reltivs de, e : º Cso: Os três plos coicidem Neste cso o sistem é iermido e qulquer poto dos plos é um solução do sistem Eemplo: º Cso: ois plos coicidem e o terceiro é prlelo eles Neste cso o sistem é impossível Eemplo: 8 º Cso: ois dos plos coicidem e o terceiro os itersect segudo um ret r Neste cso o sistem é iermido e qulquer poto d ret r é um solução do sistem Sistems de Equções ieres

7 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres Eemplo: º Cso: Os três plos são prlelos dois dois Neste cso o sistem é impossível Eemplo: º Cso: Os plos e são prlelos e o plo os itersect segudo dus rets prlels Neste cso o sistem é impossível Eemplo: 8 º Cso: Os três plos são distitos e tem um ret r em comum, isto é r Neste cso o sistem é iermido e qulquer poto d ret r é um solução do sistem Eemplo: º Cso: Os três plos se itersectm, dois dois, segudo rets r, s e t, prlels ums às outrs Neste cso o sistem é impossível Eemplo: 8 8º Cso: Os três plos se itersectm em pes um poto Neste cso, o sistem é possível e ermido (solução úic)

8 Eemplo: Geometri lític e Álger ier O Método do Esclometo efiição i-se que um mtri é esclod qudo o primeiro elemeto ão-ulo de cd um ds sus lihs situ-se à esquerd do primeiro elemeto ão-ulo d lih seguite lém disso, s lihs que tiverem todos os seus elemetos iguis ero devem estr io ds demis efiição i-se que um sistem de equções lieres é um sistem esclodo, qudo mtri umetd ssocid este sistem é um mtri esclod O Método do Esclometo pr resolver ou discutir um sistem de equções lieres S cosiste em se oter um sistem de equções lieres esclodo equivlete S (equivlete o setido de possuir s mesms soluções que este) Prtido do sistem S pode-se chegr este sistem esclodo equivlete por meio de um seqüêci de operções elemetres, que são s seguites: ) Trocr ordem ds equções do sistem; ) Multiplicr um equção por um costte diferete de ero; ) Sustituir um equção do sistem por su som com outr equção multiplicd por um costte diferete de ero est form, se um sistem de equções foi esclodo e, retirds s equções do tipo =, etão restm p equções com icógits Se últim ds equções resttes é do tipo: p p, etão o sistem de equções é impossível SI (ão dmite soluções); Cso cotrário, sorm dus ltertivs: (i) Se p = o sistem é possível ermido SP (dmite solução úic); (ii) Se p <, etão o sistem é possível iermido SPI (dmite ifiits soluções) Oservção: Pr se esclor um sistem S é mis prático efetur o esclometo d mtri umetd ssocid o sistem Um ve cocluído o esclometo dess mtri umetd, ssocimos el o ovo sistem que é equivlete o sistem origil S Sistems de Equções ieres

9 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres Eemplo iscutir e resolver o sistem: cujo sistem equivlete é Como o úmero de equções resttes é igul o úmero de icógits, o sistem é possível e ermido (SP) Resolvedo este sistem de io pr cim, otemos, e filmete est form, solução pode ser dd pel úic tripl orded,,,, Eemplo iscutir e resolver o sistem: cujo sistem equivlete é Como o úmero de equções resttes é meor que o úmero de icógits, o sistem é possível ms iermido (SPI) est form, pr cd vlor de, pode-se ecotrr e ssim, solução pode ser dd por um tripl orded,,,,, sedo

10 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres 8 Eemplo iscutir e resolver o sistem: cujo sistem equivlete é Como est últim equção ão possui solução, o sistem é impossível (SI) Eemplo etermir o vlor de pr que o sistem lier S dmit um úic solução e ermiá-l: S que é um mtri mplid de um sistem que somete será possível se = ssim, o sistem equivlete é est form, solução pode ser dd pelo úico pr ordedo,, Eemplo iscutir o sistem de cordo com os prâmetros e :

11 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres 8 8 cujo sistem equivlete é: P S P I S I S qulquer e Se e Se e Se

12 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres O Método de Crmer O método de Crmer se plic pr sistems de equções lieres ode mtri dos coeficietes ds icógits é qudrd Form lgéric de um Sistem de Equções ieres com m equções e icógits Form Mtricil: Ode: mtri dos coeficietes; vetor ds icógits (ou vetor solução); vetor dos termos idepees Chmmos de o ermite de, isto é e i o ermite d mtri otid de, sustituido i-ésim colu de pel colu dos termos idepees ssim, se, etão i i Neste cso ( ) solução será úic, pois e I Eemplo Utilido o Método de Crmer, resolver o seguite sistem de equções lieres: i i i

13 Geometri lític e Álger ier Sistems de Equções ieres 8 Oservção Importte: Se o sistem ão é ecessrimete SPI!!! ssim, plicr o Método de Crmer pes pr os csos em que Eemplo 8 Utilido o Método de Crmer, resolver o seguite sistem de equções lieres: isto é: Ms esclodo o sistem otemos: cujo sistem equivlete é: que é impossível (SI)!!!

14 Geometri lític e Álger ier Comprção etre o Método do Esclometo e o Método de Crmer Supoh um computdor cp de efetur de operções de multiplicção e divisão por segudo Etão serim eigidos os seguites tempos pr resolução de sistems de equções lieres cujs mtries dos coeficietes ds icógits têm o formto:, e, respectivmete Esclometo Crmer,8 milésimos de seg mi e 8 seg, milésimos de seg o, mês e dis milésimos de seg milhões, mil, os Fote: Revist do Professor de Mtemátic, Sistems de Equções ieres

15 Geometri lític e Álger ier Sistems Homogêeos m m m Sistems Homogêeos de Equções ieres com m equções e icógits são sistems de equções lieres ode os termos idepees são todos ulos Este tipo de sistem é sempre possível, pois dmite solução est form, se um sistem homogêeo de equções foi esclodo e, retirds s equções do tipo =, etão restm p equções com icógits (i) Se p = o sistem é possível ermido SP (dmite solução úic), e est solução é, cohecid por solução trivil; (ii) Se p <, etão o sistem é possível iermido SPI (dmite ifiits soluções) 8 Motdo um diet limetr com sistems lieres Neste eemplo, presetdo por FIHO,, temos um iteresste plicção dos sistems lieres tel que segue tr os pricipis utrietes presetes em lgus limetos: rro Feijão Frgo Suco Pão Mrgri VR (g) (g) (8g) (ml) (g) (g) Eergi(Kcl) Croidrtos(g) 8 8 Proteís(g) Gordurs Totis(g), 8 Sistem ier Pr motr um diet é ecessário ermir s qutiddes,,,, e (em porções) de cd limeto, ecessáris pr compor os VR (Vlores iários de Referêci) Isto correspode resolver o sistem lier: 8 8, Esclodo este sistem, podemos oter o seguite sistem equivlete: Sistems de Equções ieres

16 Geometri lític e Álger ier,,,,,,8,8,, 8,,, ssim, este sistem é do tipo possível iermido SPI (dmite ifiits soluções) Os vlores de,, e podem ser colocdos em fução de e Temos etão:,,, 8,,,8,,,8,,, ssim, se fiermos, por eemplo: e, podemos oter:,8;, ;, e,, O que correspode, proimdmete, g de rro, g de feijão, g de frgo, ml de suco, g de pão e 8g de mrgri Oservção: Eviemete diet qui propost tem cráter didático; pes médicos ou utricioists podem prescrever diets limetres Referêcis Biliográfics BORINI, José ui et l Álger ier Edição São Pulo: Hrper & Row do Brsil, 8 CIOI, Crlos et l Álger ier e plicções Edição São Pulo: tul, FIHO, dlerto Motdo um diet limetr com sistems lieres Revist do Professor de Mtemátic, Sociedde Brsileir de Mtemátic, IM, Elo, et l Mtemátic do Esio Médio Edição Rio de Jeiro: Coleção do Professor de Mtemátic Sociedde Brsileir de Mtemátic, POOE, vid Álger ier São Pulo: Thomso erig, Sistems de Equções ieres