Matemática. Módulo 10. Equações Diferenciais. Por

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1 Mtemátic Módulo Equções Difereciis Por George L. Ekol, BSc,MSc. Abril 7 Module Developmet Templte

2 C. ESTRUTURA DO MÓDULO I. INTRODUÇÂO. TÍTULO DO MÓDULO Equções Difereciis. PRÉ-REQUISITOS PARA O CURSO Cálculo: uidde. DURAÇÃO A durção totl deste módulo é de hors de estudo, distribuíds d seguite form: Actividde d Tem Uidde Durção Apredizgem # Itrodução às equções difereciis de primeir hors e de segud ordes. # Técics e istrumetos pr resolver um vriedde de problems de equções difereciis lieres. hors # Soluções de séries de equções difereciis lieres de segud ordem. #4 Equções difereciis prciis; Trsformções de Lplce; Séries de Fourier e sus plicções. hors hors 4. MATERIAL Os estudtes devem ter cesso à litertur básic especificd dite. Necessitrão, tmbém, de um computdor pr terem cesso completo à ess litertur. Mis id, os estudtes devem ser cpzes de istlr o softwre wmim o computdor e usá-lo pr prátic de coceitos lgébricos. 5. LÓGICA DO MÓDULO As equções difereciis surgem em váris áres d ciêci e d tecologi sempre que se relciom lgums qutiddes cotiumete mutáveis, cohecids ou formds trvés de sus ts de mudç. Por eemplo, mecâic clássic, o movimeto de um corpo é descrito pel su posição e velocidde em vrição com o tempo. As leis de Newto permitem relcior posição, velocidde, celerção e s váris forçs ctudo um corpo. Est relção pode ser epress como Module Developmet Templte

3 um equção diferecil pr um posição descohecid do corpo, como um fução do tempo. Em muitos csos, equção diferecil pode ser resolvid, de modo coduzir à lei do movimeto. As equções difereciis são estudds mtemticmete sob váris perspectivs diferetes, mioritrimete sob sus soluções e fuções que mtêm com equção verddeir. Digósticos de doeçs e o crescimeto de váris populções, segudo Bru M. (978), são lgus eemplos ilustrtivos de ode s equções difereciis têm sido usds pr resolver problems d vid rel. As equções difereciis de primeir ordem e de ordem superior são tmbém plicds em vários problems de mecâic, circuítos eléctricos, Geometri, Biologi, Químic, Ecoomi, Egehri e Ciêci dos mísseis, Spiegel, M.R. (98,pp.7-6).O estudo ds equções difereciis deve, portto, equipr os professores de Mtemátic e de Ciêcis com cohecimetos e hbiliddes pr esirem bem s sus respectivs disciplis, icorpordo plicções relevtes s áres ds sus disciplis. II. CONTEÚDO 6. Perspectiv Gerl Descrição Este módulo é costituído por dus uiddes, omedmete:. Itrodução às equções difereciis ordiáris;. Equções difereciis de ordem superior. N uidde, mbs equções difereciis, ordiáris homogées e ão homogées, são discutids e s sus soluções são obtids trvés de um vriedde de técics. Algums desss técics icluem vrição de prâmetros, o método dos coeficietes idetermidos e os operdores iversos. N uidde são discutids váris soluções de séries de equções difereciis. São tmbém discutids equções difereciis prciis e sus soluções trvés d seprção de vriáveis. Outros tópicos discutidos são s trsformds de Lplce, s séries e s trsformções de Fourier e sus plicções. Esboço: Sílbos Uidde : Itrodução às equções difereciis ordiáris Nível. Prioridde A: Cálculo é pré-requisito. Equções difereciis e plicções. Equções difereciis homogées de segud ordem. Equções homogées com coeficietes costtes. Equções com coeficietes vriáveis. Equções Não - homogées. Coeficietes idetermidos. Vrição de prâmetros. Operdores difereciis iversos. Uidde : Equções Difereciis de Ordem Superior e Aplicções Module Developmet Templte

4 Nível. Prioridde B: Equções Difereciis é pré-requisito. Soluções de Séries de segud ordem, Equções difereciis lieres. Fuções especiis. Métodos de seprção de vriáveis plicds às equções diferecis. Hrmóic esféric. As trsformds de Lplce e plicções. Série de Fourier, trsformções de Fourier e plicções. Digrm Eqs. difereciis de ª ordem e plicções Equções com coeficietes vriáveis Equções difereciis de ª ordem e plicções Equções Homogées c/ coeficietes costtes Equções Não - homogées Coeficietes Idetermidos Vrição de prâmetros Método de seprção de vriáveis Soluções de séries de equções difereciis lieres ordiáris de segud ordem Hrmóic esféric Séries e trsformções Fourier e plicções Fução especil Trsformd de Lplce e plicções Operdores difereciis Iversos 7. Objectivo(s) geris do módulo No fim deste módulo, o estudte deve ser cpz de: Module Developmet Templte 4

5 . Demostrr compreesão sobre equções difereciis e domir s diferetes técics pr plicá-ls solução de problems d vid rel;. Demostrr compreesão sobre coceitos e proprieddes de fuções especiis Trsformd de Lplce, Séries e Trsformções de Fourier e domir s sus plicções;. Eplorr s oportuiddes ds TICs, em gerl, e os sistems iformáticos de Álgebr (CAS), em prticulr, e eplorr álgebr e s soluções de equções difereciis. 8. Objectivos específicos d predizgem (Objectivos Istruciois seprdos por uiddes): O estudte deve ser cpz de:. Demostrr compreesão sobre equções difereciis e domir s diferetes técics pr plicá-ls solução dos problems.. Demostrr compreesão de coceitos e proprieddes de fuções especiis, Trsformd de Lplce, séries de Fourier, Trsformções de Fourier e domir s sus plicções. O estudte deve ssegurr os cohecimetos de mtemátic em:. Cálculos Básicos: diferecição e itegrção. O estudte deve eplorr s TICs e oportuiddes em:. Uso de sistems iformáticos de Álgebr (CAS) pr eplorr álgebr ds equções difereciis. Module Developmet Templte 5

6 III. ACTIVIDADES DE ENSINO E APRENDIZAGEM 9. PRÉ-AVALIACÃO QUESTÕES. Quis ds equções trigoométrics bio ão são ideticmete verddeirs? A. si cos B. sec t C. t( ) t D. cos( ) cos. Qul é equção d tgete à curv o poto (,)? A. B. 4 7 C. 4 9 D. 4 5 d. Se tg, etão e? d A. cot g B. sec C. sec tg D. cosec 4. Clcule derivd de f ( ) e em relção. A. e 4 B. e C. e 4 D. e A fução f ( )... é form pdrão d série de Tlor pr:! 5! 7! A. si B. cos C. si( ) D. cos( ) 6. Pr determir derivd d fução si, o pricípio básico plicdo é: A. Trigoometri B. Regr do quociete C. Regr de fuções Prmétrics D. Regr do produto Module Developmet Templte 6

7 7. Por vezes, itegrção é descrit como d diferecição. (Preech o espço em brco com plvr proprid) A. processo; B. ivers; C. etremo; D. resultdo. 8. Pr determir solução de e si d, form mis comum é plicr: A. itegrção direct; B. método de substituição; C. frcções prciis; D. itegrção por prtes. 9. Trsforme A. ; B. ; C. ; D... Clcule o itegrl de A. l( ) c B. l( ) c C. l( ) c D. l( ) c CHAVE DE RESPOSTAS em frcções prciis. C. B. B 4. D. 5. A 6. D 7. B 8. D 9. C. D Module Developmet Templte 7

8 COMENTÁRIOS PEDAGÓGICOS PARA OS APRENDENTES. As idetiddes trigoométrics ecotrm-se em vários tetos de Mtemátic Básic. Deve prestr teção e otr ests idetiddes.. Em gerl, o problem de determir tgete um poto P resume-se o problem de determir iclição d tgete o poto P. Vej uidde do módulo.. Derivds de fuções trigoométrics são epressões pdroizds dispoíveis os tetos básicos de Mtemátic. Em lgus csos, esss derivds surgem de regrs básics. Por fvor vej tmbém uidde do módulo. 4. Por fvor vej uidde do módulo. 5. Por fvor vej uidde do módulo. 6. Por fvor vej uidde do módulo. 7. Por fvor vej uidde do módulo. 8. Por fvor vej uidde do módulo. 9. Por fvor vej uidde do módulo.. Por fvor vej uidde do módulo. Module Developmet Templte 8

9 . ACTIVIDADES DE APRENDIZAGEM ACTIVIDADE DA APRENDIZAGEM # Itrodução às equções difereciis de primeir e de segud ordem Objectivos específicos d predizgem No fim dest uidde, o estudte deve ser cpz de: Idetificr correctmete s ordes e os grus ds equções difereciis; Formr um equção diferecil pel elimição de costtes rbitráris; Resolver problems de equções difereciis de primeir ordem usdo o método de seprção de vriáveis; e Resolver problems de equções difereciis homogées de primeir ordem, pel redução ds vriáveis sepráveis. Resumo Est uidde itroduz o módulo de equções difereciis. Supõe-se que os cohecimetos e hbiliddes em cálculos, diferecil e itegrl, form estuddos o módulo de cálculo. Dest form, est uidde, o estudte vi preder como idetificr equções difereciis correctmete, eucido su ordem e o seu gru. Aprederá tmbém, formr um equção diferecil com bse um fução. Resolverá problems de equções difereciis pelo método de seprção de vriáveis. E, filmete, prederá resolver equções difereciis homogées pelo método de redução de vriáveis sepráveis. Leitur Obrigtóri: Much, S. (4).Itroductio to Methods of Applied Differetil Equtios or Advced Mthemtics Methods for Scietists d Egieers: Much Publishig Comp. Leitur Gerl Adiciol: Stepheso, G. (97). Mthemticl Methods for Sciece Studets. Sigpore: Logm. P Wikibooks, Differetil Equtios Plvrs-chve Equção diferecil: Um equção diferecil é relção etre um fução e sus derivds. Ordem: A ordem de um equção diferecil é um úmero iteiro que mostr derivd de mior ordem um dd equção. Gru: O gru de um equção diferecil ordiári é potêci d derivd de mior ordem. Module Developmet Templte 9

10 . Actividde de Apredizgem: Itrodução às equções difereciis de primeir e de segud ordem. Equções Difereciis Um equção diferecil é um relção etre um fução e sus derivds. As equções difereciis formm um ligugem, qul são epresss s leis básics d Físic. A ciêci diz-os como é que um sistem físico mud de um istte pr o istte seguite. A teori ds equções difereciis forece os istrumetos e s técics pr, prtir dest iformção de curt durção, obtermos o comportmeto de log durção de todo o sistem. Os pssos d rte e d prátic de equções difereciis evolvem seguite sequêci: Equção Diferecil Solução Comportmeto o logo do tempo (Psso ) Um sistem diâmico físico. Modelo (Psso ) (Psso ) Iterpretção (Psso 4) Vlidção. Plvr Físic Este pêdulo ilustr como é que um sistem físico mud com o tempo... Defiição: Equções difereciis ordiáris e prciis Um equção diferecil (ED) é um equção que evolve derivds de um fução descohecid com um ou mis vriáveis. Qudo fução descohecid depede somete de um úic vriável, equção deomi-se equção diferecil ordiári (EDO). Qudo fução descohecid depede de mis de um vriável, equção deomi-se equção diferecil prcil (EDP). Module Developmet Templte

11 d / Eemplo : ou é um equção diferecil ordiári, ddo que fução d f () depede somete d vriável. N fução f (), é vriável idepedete, e é vriável depedete. Eemplo : z é um equção diferecil prcil, ddo que fução f (, z) depede de dus vriáveis e z... Defiição: Ordem e gru de um equção diferecil A ordem de um ED é ordem d derivd de mior ordem evolvid epressão. O gru de um equção diferecil ordiári é o gru lgébrico d derivd de ordem mior. d Eemplo : é um ED ordiári de primeir ordem e de primeiro gru. d Eemplo 4: z é um ED prcil de primeir ordem e de primeiro gru. d d Eemplo 5: 5 é um ED ordiári de segud ordem e de primeiro gru. dt t Actividde.. Actividde de Softwre: Ivestigr um ED simples usdo wmim. O wmim pode resolver equções difereciis pr si. Este sistem ão deve substituir resolução ds perguts. Ele deve ser usdo pr eplorr s diferetes equções e judr pesr form como els fuciom. Primeiro crregue o wmim. Escrev sobre lih de comdo, o fim do ecrã. Escrev diff(,) e pressioe ENTER. Ateção o postrofe o iicio. d d Isto itroduz i.e.. d d d Agor itroduz ED, começdo por um simples :. Primeiro pese: Qul é d solução? Se o diferecil é, etão fução tem de ser. Com um costte rbitrári diciod i.e. + C Em wmim, escrev: diff(,)= e pressioe ENTER. d Deve observr equção diferecil. d Agor peç wmim pr resolver-lhe equção. Pr isso, use fução ode. El serve pr equções difereciis ordiáris (té o segudo gru). Module Developmet Templte

12 Precis de usr wmim pr três coiss:. qul é fução que está usr;. qul é vriável depedete; e. qul é vriável idepedete. A fução é quel que itroduziu e us-se % pr wmim. As vriáveis são: idepedete: e depedete:. Etão, escrev: ode(%,,) e pressioe ENTER. A solução é % C Note que wmim mostr que costte de itegrção rbitrári é dd como %C. [Pode fzer tudo isso de um só vez, escrevedo: ode( diff(,)=,,) ] Agor deve eercitr com equções difereciis diferetes. Decid, sempre, qul deve ser respost tes de pressior ENTER em wmim! Pr começr, tete seguite equção: d d d d 5,, si, 5 d d d d [Recorde-se que itroduz-se como ^ e se deve ser itroduzido como si().] Leitur Obrigtóri: Much, S. (4). Pp Dispoível em CD. Usdo s ots de leitur obrigtóri e s ots dds secção.4, discut em pequeos grupos de -4 membros, ordem e o gru ds equções difereciis que se seguem. No cso em que o gru d equção diferecil é dd em frcções, dverte-se que se rciolize frcção primeiro, multiplicdo pelo meor deomidor comum. Note, por fvor, que o gru d equção diferecil é obtido trvés do mesmo termo que tribui mior ordem um dd equção. (i) d d Module Developmet Templte

13 d (ii) d d (iii) d d (iv) d d d d d 5 e.. Formção de um equção diferecil Embor o primeiro problem o estudo de um equção diferecil sej determir solução de um dd equção diferecil, o problem iverso é igulmete iteresste. Isto é, o problem pr determir um equção diferecil que se verific um dd solução resolve-se pel diferecição repetid e pel elimição de costtes rbitráris. Eemplo: Determie ED que tem ce ce como su solução gerl. Solução: Diferecie epressão dd dus vezes. () ce ce / () ce ce // () ce ce // Elimie c e c subtrido () de () pr obter que dá equção diferecil desejd. Note que equção diferecil desejd é livre de costtes rbitráris. Actividde.. Determie ED com soluções geris seguites: Sugestão: Use o Eemplo d secção.. / /. 4c( c), c é um costte rbitrári. [Sol: ( ) ]. Ae Be, A e B são costtes rbitráris. [Sol: // 4 / ].. Soluções de equções difereciis de primeir ordem O desevolvimeto sistemático de técics pr resolução de equções difereciis, como é lógico, começ com equções de primeir ordem e do primeiro gru. As equções deste tipo, em gerl, podem ser escrits como d F(, ), (..) d ode F(, ) é um fução dd. Porém, pesr d prete simplicidde dest equção, s soluções lítics, o gerl, somete são possíveis qudo F(, ) tem forms simples. Tis forms são itroduzids est ctividde.... Vriáveis sepráveis Module Developmet Templte

14 Leitur Obrigtóri: Much, S. (4).Pp dispoível em CD Se F(, ) f ( ) g( ) (..) ode f () e g() são fuções somete de e somete de, respectivmetes. d Etão, (.) tor-se f ( ) g( ) (..b). d ddo que s vriáveis e estão gor seprds, obtêm-se, (..b), d f ( ) d, (..c). g( ) que epress implicitmete em termos de. d Eemplo: Resolv equção, (..d). d Solução: Reescrevedo (..d) form de (..c), d d, (..e). ou log e ( ) log e ( ) log e C (..f) ode C é um costte rbitrári. Assim C, (..g) é solução gerl. Actividde.. Dd codição iicil em. Use epressão pr solução gerl em (..g) com vist determir um solução prticulr. [Solução: ( ) ) ].... Equções difereciis Homogées Leitur Obrigtóri: Much, S. (4).Pp dispoível em CD Um epressão do - esimo gru em e diz-se que é homogée de gru, qudo e são substituídos por t et e o resultdo é um epressão origil multiplicd por t ; simbolicmete f ( t, t) t f (, ). Eemplo: Mostre que é homogée e determie o gru. Solução: substitu e por t e t respectivmete, pr obter t ( t)( t) t = t ( ). O gru é. Cosidere equção diferecil M (, ) d N(, ) d. Diz-se que equção é homogée em e se M e N forem fuções homogées do mesmo gru em e. A técic pr resolver est equção costitui substituição de v ou v com bse o teorem seguite. Module Developmet Templte 4

15 Teorem: Tod equção diferecil homogée de primeir ordem e do primeiro gru pode ser reduzid um equção de vriáveis sepráveis pel substituição de v ou v. Eemplo: Determie solução gerl d equção diferecil d ( ) d. Solução: Um simples verificção revel que equção é homogée (Vej o primeiro eemplo est secção). Cosidere v e d vd dv, e substitu equção diferecil de form obter ( v) d ( v )( vd dv) ( v v ) d ( v ) dv. Dividido por ( v v ) sepre s vriáveis: d ( v ) dv + v( v ) A itegrção coduzirá l l v l( v ) l c ou ( v ) cv Reescrevedo s vriáveis origiis e substituido v, obtem-se c como solução gerl. Actividde.. Estudo em grupo: Nest ctividde, os estudtes devem trblhr em grupos de 4-5 membros. Cd membro do grupo deverá ler Much, S. (4).Pp dispoível em CD. Usdo iformção d litertur obrigtóri, iicilmete, devem resolver o problem ddo idividulmete. Qudo todos os membros do grupo estiverem protos devem se reuir e discutir s sus resposts. Cd membro presetrá su solução em cico miutos equto os outros membros tomm ot. Os membros são livres de efectur qulquer outr pergut que ecessite de esclrecimeto. d Problem:, ddo ( ). d Sugestão: Escrev = v, o que implic que d =vd + vd. Covert equção resultte um equção de primeir ordem seprável em termos de v e e resolv. A seguir, substitu v=/ pr obter solução requerid em termos de e. [solução: ]. Actividdes Adiciois pr Uidde: Trblho em Grupo Ests ctividdes d predizgem devem ser usds somete qudo se tem certez de se ter tempo etr pr trblhá-ls. Tmbém, só s deve usr se já tiver respodido às questões teriores de form correct. Module Developmet Templte 5

16 Cuiddos ter em cot pelos estudtes: Acoselh-se ão olhr pr s soluções forecids o fim de cd eercício tes de ter registrdo s sus resposts o ppel. Module Developmet Templte 6

17 Preech os espços em brco pr cd um ds Equções Difereciis pós completr o eercício. Equção Diferecil / 5 Ordiári ou Prcil Ordem Gru Vriável idepedete Vriável Depedete // / e u u u 4 t d d d s dt d s s t dt Soluções pr Actividdes de predizgem Equção Ordiári Orde Gru Vriável Vriável Diferecil ou m Idepedete Depedete prcil / = + 5 Ordiári X Y // 4 / -5 = e Ordiári X Y u u u Prcil,, t U 4 t d d 4 d s d s Ordiári T S s t dt dt Cometários Pedgógicos sobre s Soluções ds ctividdes de predizgem. Q. Est é um equção diferecil ordiári de primeir ordem. / = d/d idic que ordem é. O gru é tmbém porque ( / ) = /. A vriável idepedete é. Q. Est é um equção diferecil de segud ordem. // = d /d idic-os que ordem é. O gru é tmbém porque ( // ) = //. Novmete, vriável idepedete é. // Q. Est é um equção diferecil de segud ordem. u d u dt idic que ordem é. O gru é tmbém porque (u // ) =u //. Neste cso, s vriáveis idepedetes são,, e t. /// Q4. Est é um equção diferecil de terceir ordem. s d s dt Idic que ordem é. O gru é ddo pel potêci, sobre qul derivd de mior ordem ( s /// ) é elevd. Portto, o gru é dois porque (s /// ). A vriável idepedete é t. Referêcis Module Developmet Templte 7

18 Zwilliger, D (997).Hdbook of Differetil Equtios..( rd Ed).Bosto: Acdemic Press. Poli, A.D.,& Zitsev, V.F., ().Hdbook of Ect Solutios for Ordir Differetil Equtios ( d Ed).Boc Rto: Chpm & Hll/CRC Press. ISBN Johso, W. (9) A Tretise o Ordir d prtil Differetil Equtios.Uiversit of Michig Historicl Mth Collectio: Joh Wile d Sos. Wikibooks, Differetil Equtios Ice, E.L. (956). Ordir Differetil Equtios. Dover Publictios, Module Developmet Templte 8

19 Liks Eteros Lectures o differetil equtios MIT Ope CourseWre video Olie Notes/Differetil Equtios Pul Dwkis, Lmr Uiversit Differetil Equtios, S.O.S Mthemtics Itroductio to modelig vi differetil equtios Itroductio to modelig b mes of differetil equtios, with criticl remrks. Differetil Equtio Solver Jv pplet tool used to solve differetil equtios Module Developmet Templte 9

20 ACTIVIDADE DA APRENDIZAGEM # Técics e istrumetos pr resolver um vriedde de problems de equções difereciis lieres Objectivos específicos d predizgem No fim dest uidde, o estudte deve ser cpz de: Idetificr e resolver problems de equções difereciis com coeficietes vriáveis; Idetificr e resolver problems de equções difereciis ão - homogées; Aplicr o método dos coeficietes idetermidos s equções difereciis; Aplicr o método de vrição de prâmetros os problems de equções difereciis; e Aplicr o operdor diferecil iverso solução de equções difereciis lieres. Resumo Nest uidde itroduz-se equções difereciis com coeficietes vriáveis, discute-se Equções ão homogées, Equções com coeficietes idetermidos e tmbém o método de solução pel vrição de prâmetros. Por fim, discute-se, igulmete, técic do iverso pr solução de equções difereciis. Como ctividdes de predizgem, est uidde propõe-se o estudo idepedete, leitur de trblhos, discussões em grupo, e solução de problems. Leitur Obrigtóri (Teto ucler): Nest ctividde d predizgem, o teto de referêci é Much, S. (4,Cpítulo 7). Leitur Gerl Adiciol: Wikibooks, Differetil Equtios (iclue pgi do web ou site especifico) Plvrs-chve Coeficietes vriáveis: Cotrrimete às equções difereciis com coeficietes costtes, eistem tmbém equções difereciis com coeficietes vriáveis. Essecilmete, um coeficiete vriável é quele que ão é costte, isto é, é epresso em form de fução. Equções ão - homogées: Um equção diferecil homogée é um equção que tem o segudo membro igul zero. Um equção diferecil ão- homogée é um equção qul o segudo membro é diferete de zero. Coeficietes idetermidos: Ests são costtes serem eplicitmete determids trvés d solução do itegrl prticulr de um equção diferecil. O método usdo pr tl deomi-se método dos coeficietes idetermidos. Vrição de prâmetros: Este é um método usdo pr determir um solução prticulr de um equção diferecil lier, qudo solução gerl d equção reduzid (equção homogée ) é cohecid. (Pr mis detlhes, vej s ots bio) Técic Ivers: Est técic é plicd solução de equções difereciis usdo proprieddes de um operdor diferecil.(vej s ots que se seguem). Module Developmet Templte

21 . Actividdes de predizgem: Técics e istrumetos pr resolver um vriedde de problems de Equções difereciis lieres... Defiição: Equções Lieres As equções lieres de primeir ordem, já estudds uidde, são um cso especil d equção lier gerl de ordem d d d ( ) ( )... ( ) ( ) f ( ) (..) d d d ode ), ( )... ( ) e f () costituem fuções de ou costtes. (.. Defiição: Equções Homogées e ão - homogées. Cosidere equção (..).Se f ( ). El chm-se equção homogée com vriáveis ou coeficietes costtes, depededo de ( ), ( )... ( ) serem fuções de ou serem costtes. Tmbém pode ser desigd por equção diferecil reduzid d d Eemplo:, é um equção homogée de segud ordem com coeficietes d d vriáveis. Se f ( ) equção (..), el chmr-se- equção ão - homogée com vriáveis ou coeficietes costtes, depededo de ( ), ( )... ( ) serem fuções de ou de serem d d costtes. Eemplo: se é um equção ão - homogée de segud ordem d d com coeficietes vriáveis. Actividde..: Trblho em Grupo: Trblhe com colegs solução destes problems. Prtilhe e discut s sus soluções com eles. Usdo equção (..) determie s equções difereciis lieres com os seguites coeficietes: (i),., 5, f ( ) cos (ii),., f ( ).. Defiição: Solução de um equção diferecil lier de segud ordem. Supoh que e são dus soluções idepedetes d equção reduzid (..) d d d ( ) ( )... ( ) ( ) d d d (..) Etão hverá um combição lier c c qul c, c são costtes rbitráris, o que tmbém costitui um solução. Demostrção: Substitu c c equção (..), obter-se-à Module Developmet Templte

22 d d d [ ( ) ( )... ( ) ( ) ] + d d d d d d [ ( ) ( )... ( ) ( ) ] d d d (..b) A equção (..b) tor-se ideticmete igul zero, pois cd prêtesis é zero pelo fcto de e serem soluções de (..)...4 Geerlizção d defiição.. pr solução de equções difereciis lieres. Teorem..4: Se,,..., são, fuções liermete idepedetes de que stisfzem equção homogée (..), etão hverá um combição lier c c c... c (..4) ode c, c,..., c são costtes rbitráris e é solução. A equção (..4), que costitui solução d equção homogée, chm-se fução complemetr. Teorem..4b: A solução gerl seri um equção diferecil ão-homogée complet é igul som d su fução complemetr com qulquer itegrl prticulr. Se P é um solução prticulr de (..), etão solução gerl é c P c c... c + P (..4b) Assim, pr equções ão - homogées: Solução Gerl = Fução Complemetr + Itegrl Prticulr..5 Aplicção do teorem..4b A equção gerl lier (..4b) estudd secção..4 é difícil de resolver, em gerl, e requer técics especiis. Porém um cso especil e importte ocorre qudo os coeficietes ( ), ( )... ( ) são costtes, sedo equção chmd de equção de coeficietes costtes. Cosidere um equção homogée de coeficietes costtes d d d... (..5) d d d d Deotdo, D, equção (..5) se terá d D D... D D D... D ). (..5b) ( Fzedo um substituição forml D m em (..5b), obter-se- um poliómio em m de gru ddo: Module Developmet Templte

23 g m) m m... m, (..5c) ( E se se igulr equção (..5c) zero ter-se- um equção lgébric de gru que tem rízes. A equção g( m) deomi-se equção uilir d equção diferecil (..5c). Teorem..5: Se m é um riz d equção uilir m m... m, etão m e é um solução d equção diferecil lier homogée. D D... D ) ode é um costte. ( Demostrção: Pel diferecição sucessiv obter-se- m e m e / m // m m e /// m m e i ( ) m m e Substituido ests derivds equção diferecil, obter-se-à m m m m m e m e... me e m ou ( m m... m ) e e como m é um riz d equção uilir, epressão etre prêtesis é igul zero, e equção é resolvid...6 Resumo d solução de um equção diferecil homogée. A resolução d equção diferecil reduz-se resolução d equção uilir lgébric pr s mi rízes e form um combição liermete idepedete c i e ( i,..., ) como solução gerl, se s rízes forem tods distits. // / Eemplo: Determie solução gerl de 6 Solução: A equção uilir e m m 6 ( m )( m ), que tem rízes m ou m. A solução é c e + c e O estudte deve verificr respost. Como é que isto pode ser feito? Sugestão: Fç revisão dos eercícios efectudos o formr um equção diferecil ctividde de predizgem. Module Developmet Templte

24 Teorem..6 Se equção uilir de um equção diferecil lier homogée cotém r como riz s r múltipl, etão ( c c c... c ) e é um solução d equção diferecil Eemplo: Se r m (riz dupl), solução é. s c c ) e (..7 Equção uilir com rízes comples Se equção uilir com coeficietes reis cotém dus rízes comples m m bi etão e ( C cosb Cseb) é um solução d equção diferecil e são costtes. m bi e C, C,, b Geerlizção Se s rízes comples são múltipls, isto é, se ( ( bi) é um pr de rízes comples múltipls, etão os termos correspodetes d fução complemetr são s s e [( C C C.... Cs )cosb ( D D D.... Ds ) seb] Actividdes de Apredizgem..7 (i) Leitur Idividul: Lei o cpítulo 7 de Much, S. (4) (ii) Solução de um Problem: Escrev equção uilir pr s equções difereciis seguites e determie su solução: () // / [Solução: Ae Be ] d d (b) 6 9 [Solução: ( A B) e ]. d d Sugestão: Use o Teorem.. e o eemplo seguite como idei pr o problem. /// // / (c) 7 5 Sugestão: Use geerlizção d secção..7. (iii) Trblho em Grupo Discut s sus proposts de soluções pr s perguts (ii) em pequeos grupos e vej se coicidem ou ão com s soluções sugerids etre prêtesis...7 Equções de coeficietes idetermidos. N secção terior predeu-se que solução de um equção diferecil lier complet é formd pel som d fução complemetr com o itegrl prticulr. As técics pr obter fução complemetr c form desevolvids s secções com vários eemplos. O que flt pes é forecer s técics pr determir o itegrl prticulr, de modo se obter um solução Module Developmet Templte 4

25 complet. Nest secção discutir-se- s técics desigds por método dos coeficietes idetermidos. Embor o método dos coeficietes idetermidos ão sej plicável em todos os csos, este pode ser usdo se o segudo membro de f (), coter pes termos com um úmero fiito de derivds, m liermete idepedetes tis como, e,seb, cosb ou produtos dests.. Procedimeto pr técic dos coeficietes idetermidos. O procedimeto gerl est técic é ssumir o itegrl prticulr p de form similr do segudo membro de f () equção (..). As derivds ecessáris de p são obtids e substituíds equção diferecil forecid. Isto result um idetidde pr vriável idepedete e, cosequetemete, os coeficietes dos termos semelhtes serão iguldos. Os vlores dos coeficietes idetermidos são determidos pelo sistem de equções lieres resultte. O procedimeto é melhor ilustrdo com um eemplo. A tbel.. bio simplific regr gerl pr formulção do itegrl prticulr. Se f () e d form Escolh pr P c c c... c C C C... C.. r ( c c c.... c ) e ( C C C.... C ) e cseb c cosb Cseb C cosb Tbel.. Eemplo..: Determie o itegrl prticulr: // / e Solução: N ctividde d predizgem d secção., trblhou com fução complemetr dest equção pr ser Ae Be. Isto é, equção uilir é m m ( m )( m ), resultdo m ou m. Cosequetemete, fução complemetr é c Ae Be, como tes. Olhdo pr o segudo membro d equção diferecil cim, eemplo.. e regr gerl tbel.., o itegrl prticulr é / // Y Ae, Y Ae, Y 4Ae Substituido equção origil ( 4A 6A A) e e Comprdo os coeficietes de mbos os membros, A A A solução gerl seri, etão, fução complemetr + o itegrl prticulr, que é Ae Be Actividde d Apredizgem.. r Module Developmet Templte 5

26 (i) Leitur: Estude o mteril presetdo secção.. (ii) Trblho em Grupo Use litertur básic d secção. e desevolv ideis sobre como trblhr s soluções geris ds equções difereciis que se seguem. Compre s sus soluções com s providecids ctividde d predizgem. As sus soluções estão de cordo com s providecids? // / () 5 6 [Solução Gerl: Ae Be (/ 6) (5/8) (9 /8) ] // (b) 4 si [Solução Gerl: Acos Bse (/ 4) cos ]. Solução pelo Método de vrição de prâmetros (VDP) Nest ctividde d predizgem o seu teto de mior referêci é Much, S. (4, pp )... Itrodução O método dos coeficietes idetermidos estuddo secção é limitdo est plicção. Por ecessit-se de um outr técic com um vst plicção. A técic estudd est secção é deomid método de vrição de prâmetros... Descrição do método O procedimeto pr o VDP cosiste em substituir s costtes fução complemetr por fuções idetermids, de vriável idepedete e, etão, determir esss fuções de form que fução complemetr modificd sej substituíd equção diferecil, e f () sej obtid o primeiro membro. Isto coloc pes um restrição s fuções rbitráris c i,(i,..., ), e terse- ( ) codições disposição. Utilizmos est liberdde de modo seguite: dc / () Pr diferecir c com vist determir D c, surgirão termos que cotêm c i ( ). d Deve-se justr est combição de termos zero. (b) Como voltmos diferecir pr ecotrr D. Novmete igulmos combição de / termos resultte cotedo c i ( ), zero. (c) Cotiumos com este processo trvés de D c (d) Etão, determi-se D c e se substituí todos esses vlores equção diferecil dd. Como é fução complemetr, os resultdos dest substituição somete coterão os c termos de D c, os quis surgem porque s ci são fuções de. (e) As equções obtids de (d) e s ( ) codições imposts por ()-(c) coduzirão um sistem de equções lieres em descohecids c / i,( i,..., ).Isto resolve-se e itegr-se pr coduzir s fuções c i (). O procedimeto ão é muito difícil, ddo que ordem d equção diferecil é peque. O eemplo que se segue ilustr técic. c Module Developmet Templte 6

27 Eemplo..: // Determie solução gerl de (..) Solução: A equção uilir é m m ou m Tedo em cot o estudo secção., fução complemetr d equção diferecil é: c k. e ke (..) Sej c,( i, ) um fução de : i p c. ( ) e c ( ) e (..b) / / Diferecie pr obter p c e c e + c e c e (..c). / / / Supoh que primeir codição sej. c e ce (..d) Com codição (..d) supost em (..c), diferecie ovmete pr obter // / c e c e + c e c e (..e) p. / Substitu (..e) e (..b) em (..) obtedo: / c. e c e + c e c / e c. e ce, / / ou c e ce (..f) Note que todos os termos, ecepto os que cotêm s derivds de c i,( i,..., ), desprecem e pode-se poupr tempo simplesmete cosiderdo est prte de (..e) igul f (). As equções (..d) e (..f) formm, gor, um sistem de dus equções lieres serem / / simultemete resolvids pr c e c. Adiciodo esss dus equções obter-se- / c e ou dc e d c e d A Itegrção por prtes coduzirá c ( ) e ). D equção (..d), ter-se- / / c ce e Itegrdo ovmete por prtes coduzirá c ( ) e A solução gerl é, etão e como sempre, som d fução complemetr com o itegrl prticulr i.e. k. e ke + c( ) e c ( ) e = k. e k e + [ (/ ) ] + [ (/ ) ] = k e k e -. Module Developmet Templte 7

28 Actividdes d Apredizgem. (i) Solução de problem: Aplique s técics do método de vrição de prâmetros (VDP) discutids secção. os problems que se seguem. Note que estes problems form tmbém resolvidos usdo um outro método secção.: // / () 5 6 // (b) 4 si Determie se VDP coduz às mesms soluções obtids secção.. (ii) Trblho em grupo Qul dos métodos ch mis fácil plicr os problems ddos e porquê?.4. Operdores difereciis Itrodução: Nest secção mostr-se teori sobre operdores difereciis e discute-se plicção d teori solução ds equções difereciis lieres. Vários eemplos são forecidos, jutmete com ctividdes de predizgem pr s secções que se julg importte trblhr tes de prosseguir pr s secções seguites..4. Defiição e Notção. Operr sigific produzir um efeito proprido, e um operdor é o istrumeto ou o efeito que desecdei isso. Já usmos otção k d k D, k,,... k d k Pr idicr derivd de ordem k d fução em relção. D deot derivd de ordem k, k em relção à vriável idepedete proprid. Ness ordem, D é chmdo operdor diferecil, ddo que este deve produzir um efeito ou deve operr sobre um fução e deve se comportr de cordo com s regrs de diferecição. As proprieddes seguites são vlids: Propriedde.4.. se c é um costte, D k (c) = cd k Propriedde. 4.b. D k ( ) = D k ( ) + D k ( ) Propriedde..4.c. Dois operdores A e B são iguis se e somete se A B. Propriedde.4.d. Se operdor A, B, e C são quisquer operdores difereciis, etão devem stisfzer s seguites regrs ordiáris d álgebr:. A comuttividde d dição A+B=B+A;. A ssocitividde d dição (A+B) +C= A+ (B+C);. A ssocitividde d multiplicção (AB) C= A (BC); 4. A distributividde d multiplicção A (B+C) = AB+AC; e Module Developmet Templte 8

29 5. A comuttividde d multiplicção se todos os operdores tiverem coeficietes costtes AB=BA. Module Developmet Templte 9

30 Propriedde.4.e. Mudç epoecil Se P(D) é um poliómio com coeficietes costtes, em D, etão: r r () e P( D) P( D r)[ e ]; r r (b) P( D)[ e ] e P( D r) ; r r (c) e P( D)[ e ] P( D r).5 Operdores Iversos Pr completr o estudo do operdor diferecil, cosidere-se gor o sigificdo de ser cosistetes, cosider-se D z um epressão tl que D Dz. D k. Pr se Por outrs plvrs, o efeito pelo operdor diferecil com ídice egtivo chm-se itegrção. Este operdor vi se chmr operdor diferecil Iverso. k Defiição.5. O operdor diferecil iverso ( D c), k,,..., defie-se como k k ( u) c( u) itegrl ( D c) ( ) = e ( u) du, ode é um úmero rbitrário, ms ( k )! fio. Propriedde.5.: As proprieddes seguites são relevtes pr discussão est secção. r Propriedde.5.. [ e ] = e r P( D) P(r), if P ( r) k r r e Propriedde.5.b. e =. P ( D) k! ( r) Propriedde.5.c. ser = - cos r. D r r Propriedde.5.d. cos r = ser D r r c Propriedde.5.e. ( cseb) = seb, b r D r r b c Propriedde.5.f. ( c cosb) = cosb, b r D r r b 4 Propriedde.5.g. Ilustrdo pelo eemplo: [ ] = 6 D( D ) 4 4 Demostrção: = D ( D D...) D( D ) Module Developmet Templte

31 = D D D... Ter-se-á [ D( D ) ] = D [ ] D [ 4 = 6 4 ] D [ ]... Propriedde.5.h. Mudç Epoecil. r [ e ] = e r [ ]. P( D) P( D r) Actividde de predizgem.5 Nest ctividde de predizgem o seu teto de referêci é Much, S. (4, pp.9-95). Idetifique propriedde correct ds secções.4 e.5 cim e use- pr eecutr s operções bio:. D e 4. ( D 4) se (Sugestão: Tete propriedde.5.c) 4. [ D( D )] 5 (Sugestão: Tete propriedde.5.g).6 Aplicção do operdor diferecil iverso pr solução de equções difereciis lieres. O uso d teori de operdores pode simplificr procur de itegris prticulres pr um equção diferecil lier complet. P( D) f ( ) (.6.) Se se trtr de (.6.) como um simples equção lgébric, terá pes que resolver trvés de um divisão f ( ) P( D) (.6.) As proprieddes s secções.5. e.5. podem gor ser tids em cot pr o seu melhor uso e vtgem. Eemplo. Determie o itegrl prticulr D ( D ) ( D ) = e Solução: Usdo o eemplo d equção (.6.), resolv pr obter o itegrl prticulr p [ D( D ) ( D )] Pel propriedde (.5.b), com r, k, e ( D) D( D ) e Module Developmet Templte

32 De modo que, ( r) r( r ) = () () = 6, e obterá p e!6 6 e Actividde d predizgem.6: Trblho em grupo Nest ctividde discutirá solução, um pequeo grupo de -5 membros. Prte d ctividde d predizgem correspode à idetificção d propriedde correct ds secções.4 e.5 pr cd questão. Por fvor teh em mete que s dus equções podem tmbém ser resolvids trvés de outros métodos já predidos por si. Por eemplo, o método dos coeficietes idetermidos secção.. Determie solução complet ds equções difereciis seguites:. ( D 4D 4) e. ( D 4) 4cos Module Developmet Templte

33 ACTIVIDADE DA APRENDIZAGEM # Séries de Soluções de equções difereciis lieres de segud ordem. Objectivo específico d predizgem. No fim dest uidde, o estudte deve ser cpz de: Resolver problems de equções difereciis com coeficietes vriáveis, usdo o método ds séries de potêcis. Sumário Nest uidde são estudds s soluções de equções difereciis lieres trvés de séries de potêcis. O método ds séries de potêcis é prticulrmete plicável solução de equções difereciis com coeficietes vriáveis, ode lgus dos métodos estuddos s uiddes prévis teriores podem ão servir. Assim, os dois métodos estuddos est ctividde de predizgem são: o método d diferecição sucessiv e o método dos coeficietes idetermidos. A técic ds séries de potêcis pr resolver equções difereciis requer lgus cohecimetos básicos de fuções especiis de séries de potêcis, como por eemplo série de Tlor. Leitur Obrigtóri (Teto ucler) O teto ucler dest ctividde é Much, S (4). Itroductio to Methods of Applied Mthemtics. Este está dispoível o CD do curso. Leitur Adiciol Gerl: Wikibooks, Differetil Equtios Plvrs-chve Séries de Potêcis: Um série cujos termos cotêm potêcis de itegris, positivs e crescetes, de um vriável. E , ode os ' s são costtes e é um vriável. Coeficietes vriáveis: (Vej s plvrs-chve d ctividde d predizgem #) Série de Tlor: Em gerl, se qulquer fução pode ser epress como um série de potêcis tl como c c ( ) c ( ) c( )... c ( )..., quel série cosiderd um série de Tlor. Diferecição sucessiv: é um dos métodos usdos pr determir um solução em série de potêcis de um equção diferecil. Coeficietes idetermidos: (Vej s plvrs-chve d ctividde d predizgem #) Module Developmet Templte

34 . Actividde d predizgem: Série de solução de um equção diferecil lier de segud ordem. Até gor o foco de cocetrção esteve virdo às equções difereciis que podim ser resolvids com ectidão e váris plicções coduzids pels mesms. Há determids equções difereciis que são de grde importâci em plicções cietífics, ms que ão podem ser resolvids ectmete em termos de fuções elemetres, trvés de qulquer método. Por eemplo, s equções difereciis / // / e (.) Não podem ser ectmete resolvids em termos ds fuções usulmete estudds o cálculo elemetr. A questão é: se solução eiste, qul é o cmiho possível ser seguido pr determir solução requerid? Um possível cmiho ser seguido pode ser o de ssumir que solução (se el eiste) possui um solução série. Neste mometo, é importte itroduzir um série de potêcis, pr uilir procur de um solução de tis problems como os epostos os ddos cim em (.)... Defiição: Série de Tlor. Com bse Aálise Mtemátic, predeu que um fução pode ser represetd por um série de Tlor : // / f f ( ) f ( ) f ( )( ) ( )..., (..)! Sbedo que tods s derivds eistem em ( ). Mis id, pode-se dizer que fução é lític em se f () poder ser desevolvid um série de potêcis válids o mesmo poto... Defiição- Poto ordiário, poto sigulr e poto regulr. Cosidere equção diferecil lier [ ( ) D ( ) D... ( ) D ( )] f ( ) (..) N qul i (), e ( i,..., ) são poliómios. O poto diz-se poto ordiário d equção se ( ). Qulquer poto pr o qul ( ) diz-se poto sigulr d equção diferecil. O poto diz-se poto regulr se equção (..) com f ( ) pode ser escrit form [( D ) ( ) b ( ) D ( ) b ( ) D... ( ) b ( ) D b ( )] f () (..), ode b i (), ( i,..., ) são lítics. Eemplos Idique os potos sigulres de: // () ( ) ( ) [Solução: ] Module Developmet Templte 4

35 /// // (b) ( ) [Solução: i ] Actividde d Apredizgem.. Idique os potos sigulres de: /// // (i) 8 4.[Solução: Não tem solução] (ii) // / ( ) ( ).[Solução: regulr] A epressão Determie um solução sobre o poto, é usd o estudo de soluções de séries de potêcis de equções difereciis. Est sigific obter um série de potêcis de ( ) que sã válids um região (vizihç) à volt do poto, que correspode um epsão de um fução () que stisfz equção diferecil.. Método de diferecição sucessiv. Este método é tmbém desigdo por método d série de Tlor. Este evolve determição d solução série de potêcis d equção diferecil. // / p( ) q( ) r( ) (..) ode p ( ), q( ) e r() são poliómios, um poto ordiário. // N solução de (..) pr, obtém-se / // q( ) r( ) (..) p( ) Como vimos teriormete, um vlor tl que p ( ) deomi-se um poto sigulr ou sigulridde, d equção diferecil (..). Qulquer outro vlor de deomi-se um poto ordiário ou poto ão sigulr. O método utiliz os vlores ds derivds determids o poto ordiário que são obtids d equção diferecil (..) por diferecição sucessiv. Qudo s derivds tiverem sido determids, usmos etão série de Tlor. // /// / ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )...!! Que dá solução requerid. (..) Eemplo. Determie solução de // / / que stisfz e em. Solução // /// iv / // / ( ), /// (4 ) // ( 6 ) / 6. Module Developmet Templte 5

36 Clculdo s derivds em // (), /// () 4, iv ( ) 8. Substituido série de Tlor (..), solução é ( ) 4( ) 8( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Actividde d Apredizgem. (i) Litertur Obrigtóri: A leitur obrigtóri pr est ctividde de predizgem deve ser Much, S (4,pp.84-98). (ii) (iii) Trblho em Grupo Costru equção diferecil de segud ordem d form (..) e pr cd um ds equções clcule sigulridde, o poto ordiário e o poto regulr respectivmetes. Solução de problem (Trblho em grupo) / () Resolv ddo em [Solução ( )... ]!! 4! 5! /// // / (b) Ecotre solução de ( ) ( ) 5 [Solução: ( ) + - se ]! 5!. Método dos coeficietes idetermidos Se é um poto ordiário de um equção diferecil forecid, solução pode ser epdid form k i ) c c ( ) c ( )... c ( )... = c ) (..) ( k Flt determir os coeficietes obter i i ( c ( i,...). Difereci-se série (..), termo termo, pr se, i / i ( ) c ( ) c ( )... = ic ( ) (..) i // i ( ) c.c ( ) 4.c ( )... = i( i ) c ( ) (..) etc 4 i i i Module Developmet Templte 6

37 Estes vlores são substituídos equção diferecil forecid e regrupdos em termos de i ), ou sej, ( i C ( ) i i (..4) Ode Ci são fuções de c i, e equção é um idetidde em ( ), de modo que C i, i,.... Isto determir os vlores de. c i Eemplo. Procure solução série de // / ( ) 4 (..5) Solução: Como se desej solução de um poto ordiário, o primeiro psso cosiste em escolher o poto mis simples, o cso, tl poto é pr este eemplo. Assim, escreve-se 4 ( ) c c c c c4..., / 4 5 ( ) c c c 4c4 5c5 6c6..., (..6 ) // 4 ( ) c 6c c c c +, As equções (..6) são gor substituíds equção (..5) e os termos semelhtes em são reuidos. Recomed-se que fç isso um tbel coforme que, seguir, se ilustr: 4 5 // c 6c c 4... // c 6c c4 c5 c6... / - c 4c 6c 8c c 4c 4c 4c 4c4... Som... Adiciodo os coeficietes s colus: c 4c ; c c 6c 6c ; c c c4 6c ; c4 c c c5 4c ; c 5 c c 5 5 c c4 ; c 6 Algus dos primeiros termos d série podem gor ser escritos form Module Developmet Templte 7

38 6 4 5 ) ( c c c c c c...) 5 (...) ( 5 4 c c Module Developmet Templte 8

39 Actividde d Apredizgem. (i) Solução de problem: Tete primeiro resolver este problem soziho usdo o eemplo (.) como mteril de suporte. Determie solução d série de: // / () ( ) // / (b) ( ) 6 (ii) Discussão em Grupo: Discut s sus soluções prte (i) um pequeo grupo. Preste teção pr form como os outros membros do grupo resolverm o mesmo problem. Coloque-lhes questões relciods com form como chegrm às sus soluções. (iii) Leitur Adiciol: Wikipedi iformção sobre o método ds séries de potêcis Este rtigo está licecido sob o GNU Free Documettio Licese e us mteriis d Wikipedi rticle "Power series method"..4 Fuções especiis Em mtemtic, fuções especiis, são fuções prticulres, tis como s fuções trigoométrics que têm proprieddes úteis que ocorrem em diferetes plicções, muits vezes, suficietes pr grtir um ome e su própri teção. Há vários potos de vist sobre fuções especiis, desde teori clássic, o século XX, té s teoris cotemporâes sobre s fuções especiis. Algums ds fuções especiis icluem s fuções de Bessel, de Bet, de itegris Elíptics, Hiperbólics, Prbólics Cilídrics, de erros, Gm e s de Whittker. A list rel é mis vst que est, por isso se quiser ceder mis iformções sobre teori de fuções especiis, ecotr dispoível em Actividdes de predizgem.4: Lei iteret, pági e use os liks dispoíveis mesm pr idetificr mis fuções especiis. Module Developmet Templte 9

40 ACTIVIDADE DA APRENDIZAGEM # 4 Equções difereciis prciis; Trsformções de Lplce, Séries de Fourier, e sus plicções. Objectivos específicos d predizgem No fim dest uidde, o estudte deve ser cpz de: Defiir o que é um equção diferecil prcil; Defiir correctmete s termiologis ssocids às equções difereciis prciis; Obter soluções de lgums equções difereciis simples; Aplicr o método de vrição prâmetros pr resolver equções difereciis prciis de segud ordem; Defiir trsformd de Lplce e s séries de Fourier, respectivmetes; Aprecir plicção d trsformd de Lplce e d série de Fourier solução de problems Físicos, como por eemplo, d codução do clor. Resumo A formulção de problems mtemáticos evolvedo dus ou mis vriáveis idepedetes coduz equções difereciis prciis. Nest ctividde de predizgem são defiids equções difereciis prciis (EDPs) e termiologis ssocids com EDPs. São tmbém itroduzids soluções de lgums EDPs simples e discute-se o método de vrição de prâmetros su relção com s EDPs de segud ordem. A trsformd de Lplce e série de Fourier são tmbém defiids est ctividde de predizgem, jutmete discussão sobre o seu uso solução de problems de vlores froteiriços. Litertur Obrigtóri (Teto ucler): O teto ucler pr est ctividde é Much, S (4). Itroductio to Methods of Applied Mthemtics : Much Publishig Comp. Dispoível o CD do curso. Leitur gerl diciol: Wikibooks, Differetil Equtios Plvrs-chve Vriáveis Idepedetes: A epressão 7 defie como um fução de qudo se especific que o domíio é, por eemplo, um cojuto de úmeros reis; tor-se, etão, um fução de. O vlor de é ssocido cd úmero rel e o vlor de ssocido pel multiplicção do qudrdo de por, diciodo 7 e cosider-se ser vriável idepedete d fução. Equções difereciis prciis: Um equção diferecil prcil (EDPs) é um equção que evolve mis do que um vriável idepedete e derivds prciis reltivs à ests vriáveis. Vrição de prâmetros (Cofir s plvrs-chve d ctividde d predizgem # ) Module Developmet Templte 4

41 Trsformd de Lplce: A fução f é trsformd de Lplce de o qul o cmiho de itegrção é um curv o plo compleo. O costume é restrigir o cmiho de itegrção o eio rel de.cosequetemete, epressão forml pr trsformd de Lplce pss ser f ( ) e t g( t)dt Série de Fourier: Um série d form ( cos bse) ( cos b eiste um fução f de tl form que: pr, f ( ) cos d e pr, b f ( ) sed. g se se)... ( cos bse) e t f ( ) g( t) dt,, pr qul Problems do vlor froteiriço: O problem de determir solução de um dd equção diferecil que estrá em fce de certos requisitos específicos pr um ddo cojuto de vlores. Actividdes de predizgem 4. Equções difereciis prciis (EDP) de segud ordem 4.. Itrodução Nos cpítulos teriores, os estudos cetrrm-se s equções difereciis ordiáris evolvedo derivds de um ou mis vriáveis depedetes em relção um úic vriável idepedete. Apredeu-se como é que tis equções difereciis surgem, os métodos pelos quis s sus soluções podem ser obtids, mbs ects e proimds, e tomou-se em cosiderção s sus plicções em vários cmpos cietíficos. Costtou-se que formulções mtemátics de problems evolvedo dus ou mis vriáveis idepedetes coduzem equções difereçis prciis. Como deve esperr, itrodução de mis vriáveis idepedetes tor s equções difereciis prciis mis complicds do que s equções diferecis prciis ordiáris. A discussão que se segue, limit-se equções difereciis prciis de segud ordem e o método de seprção de vriáveis. 4.. Algums Defiições b presete. Um equção diferecil prcil é um equção que cotém um fução descohecid de dus ou mis vriáveis e sus derivds prciis em relção esss vriáveis. A ordem de um equção diferecil prcil é d derivd de mior ordem Module Developmet Templte 4

42 u Eemplo 4..b. é um equção diferecil prcil de ordem dois ou um equção diferecil de segud ordem. A vriável depedete é u e s vriáveis idepedetes são e. 4..c A solução de um equção diferecil prcil é um fução que stisfz equção ideticmete. 4..d A solução gerl é um solução que cotém um úmero de fuções rbitráris idepedetes iguis ordem d equção. 4..e A solução prticulr é quel que pode ser obtid d solução gerl por escolh prticulr de fuções rbitráris. Eemplo 4..e. Como já se viu, substituição u F( ) G( ) é equção diferecil prcil. Ddo que est cotém dus fuções rbitráris idepedetes F () e G(), e tmbém solução gerl. Em prticulr se F( ) se, G( ) obtém-se solução prticulr, 4 u (, ) se 5 prtir d solução geerlizd prtir d escolh prticulr de fuções rbitráris. 4..g Um problem do vlor froteiriço evolvedo um equção diferecil prcil, procur tods s soluções de um equção diferecil prcil que stisfçm s codições deomids Codições limites. 4. Soluções de lgums equções difereciis simples A clsse ds equções difereciis que cotém s derivds prciis em relção um úic vriável resolve-se pels técics ds equções difereciis ordiáris, de modo obter lgums ideis sobre turez ds soluções d equção diferecil prcil. Cosidere-se o problem seguite pr discussão: 4.. Eemplos: Determie solução d EDP U 6 (4..) Aqui, vriável depedete U depede ds dus vriáveis idepedetes e. Pr determir solução, procurmos determir U (, ), isto é, U em termos de e se se escrever (4..) form U 6 (4..b) Pode-se itegrr em relção mtedo costte, pr determir U F( ) (4..c) Ode dicio-se costte rbitrári de itegrção que depede de Module Developmet Templte 4

43 deotd por U F(). Agor, pode-se itegrr (4..c) em relção 4 F( ) d G( ) mtedo costte, obtedo (4..d) Neste mometo, fução rbitrári de, G() é diciod, ddo que o itegrl de um fução rbitrári de é um outr fução rbitrári de, pode-se escrever (4..d) form U 4 H ( ) G( ) (4..e) Isto pode ser verificdo pel substituição dest em (4..) e obtedo um idetidde. A equção (4..e) deomi-se solução gerl de (4..). Se H () e G()são cohecids, por eemplo H ( ) e G( ) se, equção (4..) é desigd solução prticulr. Em gerl, dd um equção diferecil prcil de -ésim ordem, um solução cotedo fuções rbitráris é desigd solução gerl, e qulquer solução obtid dest solução gerl por escolhs prticulres de costtes rbitráris pss ser chmd de solução prticulr. Como o cso de equções difereciis ordiáris, pode cotecer que eistm soluções sigulres que ão possm ser obtids d solução gerl por qulquer escolh de fuções rbitráris. Por eemplo, supohmos que pretedemos resolver (4..) sujeit dus codições U (, ), U (,) 5 5 (4..f) Etão, d solução gerl (4..e), costitui primeir codição de (4..f) e se obtêm U (, ) () 4() H ( ) G() ou H ( ) 5 4 G() de modo que U G() G( ) (4..g) Etretto, se se usr segud codição solução gerl (4..e) U (,) () 4() () 5() 4() G() + G() = 5 5 (4..h) Em que G () = 7 6 G(). Usdo- em (4..g), obtêm-se solução requerid U U G() G( ) (4..i) 4. O Método de Seprção de Vriáveis Neste método ssume-se que um solução pode ser epress como um produto de fuções descohecids, em que cd um é depedete, somete, de um vriável idepedete. O sucesso do método reside em se coseguir escrever equção resultte, de modo que um membro d equção deped somete de um vriável, equto que o outro membro deped ds resttes Module Developmet Templte 4