Equações Diferenciais (ED) Resumo
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- Stéphanie Desconhecida Barroso
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1 Equações Difereciais (ED) Resumo Equações Difereciais é uma equação que evolve derivadas(diferecial) Por eemplo: dy ) 5 ( y: variável depedete, : variável idepedete) d y dy ) 3 0 y ( y: variável depedete, : variável idepedete) 3) y ' y 3 ( y: variável depedete, : variável idepedete) 4) y' '' ( y'') y' cos( ) ( y: variável depedete, : variável idepedete) 5) ( y'') 3 ( y' ) y 3se( y) ( y: variável depedete, : variável idepedete) d u d v 6) u v ( u e v: variáveis depedetes, : variável idepedete) 7) z z z y ( z: variável depedete, e y: variáveis idepedetes) 8) z z y y ( z: variável depedete, e y: variáveis idepedetes) Eq Diferecial Ordiária: quado cotém uma só variável idepedete como em ) a 6) Eq Diferecial Parcial: quado eiste duas ou mais variáveis idepedetes como em 7) e 8) A ordem da ED é a maior ordem da derivada que ocorre a equação E ), 3) e 7) são EQ de primeira ordem; ), 5), 6) e 8) são ED de seguda ordem; e 4) é EQ de terceira ordem A Liearidade da ED, depede dos termos que evolvem as variáveis depedetes, se todos são lieares, a ED é liear, se pelo meos um termo for ão-liear a ED é ãolieares E ), 3), 4), 6), 7) e 8) são EDs lieares, pois todos os termos evolvedo variáveis depedetes são lieares ao passo que ) e 5) são ão-lieares, pois cotém dy 3 termos ão-lieares dos tipos:, (y''), ( y ') y e se (y)
2 Soluções Para uma Equação Diferecial Defiição: Qualquer fução f defiida em algum itervalo I, que, quado substituída a equação diferecial, reduz a equação a uma idetidade, é chamada de Solução para a equação o itervalo Em outras palavras, uma solução para uma equação diferecial ordiária F (, y',, y ( ) ) 0 é uma fução f que possui pelo meos derivadas e satisfaz a equação; F(, f ( ), f '( ),, f ( ) ( )) 0 Para todo o itervalo I, I pode represetar um itervalo aberto (a,b), um itervalo fechado [a,b], um itervalo ifiito (0,+ ), ( -,0) ou (-,+ ) e assim por diate O estudo de equação diferecial é semelhate ao cálculo itegral quado calculamos uma atiderivada ou itegral idefiida, utilizamos uma úica costate de itegração g ( ) G( ) c, G () = g() De maeira aáloga, quado resolvemos uma equação diferecial de primeira ordem F(,y ) = 0, ormalmete obtemos uma família de curvas ou fuções G(,y c), cotedo um parâmetro arbitrário tal que cada membro da família é uma solução da ED Quado ( ) resolvemos uma equação de -ésima ordem F (, y',, y ) 0, em que y () sigifica d ( ) y, esperamos uma família a -parâmetro de soluções G (, c,, ) 0 Dizemos que a família a -parâmetros é uma Solução Geral ou Completa, para qualquer ED Uma solução para a equação diferecial que ão depede de parâmetros arbitrários é chamada de Solução Particular Uma maeira de obter uma solução particular é escolher valores específicos para o(s) parâmetro(s) a família de soluções c
3 Por eemplo: y ce é uma família a um parâmetro de soluções para a equação de primeira ordem muito simples y = y Para c = 0, -, 5, obtemos soluções particulares y = 0, y e e y 5e, respectivamete As vezes, uma ED possui uma solução que ão pode ser obtida especificado-se parâmetros em uma família de soluções Tal solução é chamada de Solução Sigular Uma solução para uma Equação Diferecial Ordiária (EDO) que pode ser escrita a forma y = f() é chamada solução eplícita E: y e é uma solução eplícita de y = y Uma relação G(,y) = 0 é uma solução implícita de uma EDO em um itervalo I, se ela defie uma ou mais soluções eplícitas em I Para o itervalo ( -, ) a relação y 4 0 é uma solução implícita para a EDO dy y Problema de Valor Iicial Em geral estamos iteressados a resolução de uma equação diferecial sujeita a determiadas codições prescritas, codições estas que são impostas à solução descohecida y = y() e suas derivadas Em algum itervalo I cotedo 0, o problema d y ( ) Resolver: f (, y', y'',, y ) ( ) Sujeita a: y ( 0 ) y0, y'( 0 ) y,, y ( 0 ) y Ode 0, y 0, y,, y - são costates reais especificadas, é chamado de problema de valor iicial (PVI) de ordem Os valores de y() e suas - derivadas em um úico ( ) poto 0 : y ( 0 ) y0, y'( 0 ) y,, y ( 0 ) y, são chamados de codições iiciais PVI de primeira ordem: dy Resolver: f (, y) Sujeita a: y( ) y 0 0
4 E: y ce é uma família a um parâmetro de soluções da equação diferecial de primeira ordem y = y o itervalo (, ) Se especificarmos uma codição iicial y(0) = 3, e etão substituirmos = 0, y = 3 a família, determiamos a costate ce 0 3, logo c = 3 Assim sedo, a fução y 3e é uma solução do problema de valor iicial Teorema: Eistêcia de uma úica solução y = y(0) = 3 Seja R uma região retagular o plao y defiida por a b, c y d que cotém o f poto ( 0, y 0 ) Se f(,y) e são cotiuas em R, eiste algum itervalo I0 : 0 h < < 0 +h y cotido em a b, e uma úica solução y(), defiida em I 0, que é uma solução do problema de valor iicial de primeira ordem PVI de seguda ordem: d y Resolver: f (, y' ) Sujeita a: y( 0 ) y0, y' ( 0 ) y E: c cos4t c se 4t é uma família de a dois parâmetro de soluções de '' 6 0 Ache uma solução do problema de valor iicial '' 6 0,, ' Aplicado à família dada de soluções: c cos c se Uma vez que cos e se 0, verificamos que c = - Em seguida aplicamos ' à família dada de soluções: c cos c se Difereciado e fazedo t e ', obtemos 8se 4c cos, ode vemos que c = ¼
5 Logo cos 4t se 4t é solução do problema de valor iicial de seguda ordem 4 '' 6 0,, ' Teorema: Eistêcia de uma úica solução Sejam a (), a - (),, a (), a 0 () e g() cotiuas em um itervalo I e seja a () 0 para todo esse itervalo, etão eiste uma úica solução y() do problema de valor iicial esse itervalo
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