APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA"

Transcrição

1 UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (III ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

2 Ídice Itrodução Aplicação do cálculo matricial aos sistemas de equações lieares 6 Método de Gauss8 Método da matriz iversa0 Regra de Cramer0 4 Método dos determiates 7 5 Sistemas homogéeos0

3 Itrodução Os sistemas de equações lieares e suas soluções costituem um dos maiores tópicos em álgebra liear Vamos itroduzir alguma termiologia básica e discutir métodos para classificar e resolver sistemas de equações lieares de úmeros reais e ver como a álgebra matricial pode simplificar o seu estudo Comecemos por relembrar o coceito de equação liear Como é sabido, qualquer recta o plao oy pode ser represetada aaliticamete por uma equação da forma a + a y b, ode a, a e b e a, a são ão simultaeamete ulos Uma equação esta forma é chamada uma equação liear as variáveis e y Mais geericamete, pode defiir-se uma equação liear com variáveis Defiição (Equação liear): Uma equação liear (ou do primeiro grau) as variáveis,,, (as icógitas) é uma equação que pode ser escrita a forma a + a + + a b, ode os coeficietes a, a,, a e o termo idepedete b são úmeros reais, e a, a,, a ão todos simultaeamete ulos Repare-se que uma equação liear ão evolve, por eemplo, produtos ou raízes de variáveis Todas as variáveis aparecerem elevadas a, e ão aparecem com argumetos para fuções trigoométricas, logarítmicas ou epoeciais Resolver a equação liear é ecotrar uma sequêcia de úmeros s, s,, s de maeira a que a equação é satisfeita quado se substitui s,,, s s A essa sequêcia dá-se o ome de solução da equação liear O cojuto de todas as soluções é chamado o cojuto solução ou a solução geral da equação Equações dizem-se equivaletes quado tema mesma solução Obs: É vulgar represetar, uma solução da equação liear por ( s, s,, s ) ou [ s s s ] T cujos elemetos satisfazem a equação quado se substitui s,,, s s Eercício: Ecotre as soluções das equações a) 4 y e b) / 6

4 Defiição (Sistema de equações lieares): Um cojuto fiito de equações lieares as variáveis,,, é chamado um sistema de equações lieares (sistema liear) e pode ser represetado por a + a + + a b a + a + + a b, am + am + + am bm em que a ij (ão todos ulos) e b k são costates reais, para, i, k,, m e j,, Obs: Repare-se que o sistema tem m equações e variáveis E que, as m equações lieares do sistema evolvem, cada uma, as mesmas variáveis Os ídices as costates a s são utilizados para idicar a localização do coeficiete o sistema O primeiro úmero do ídice do coeficiete a ij idica qual a equação ode o coeficiete ocorre, o segudo úmero idica qual a icógita que multiplica Assim, a pertece à primeira equação e multiplica a icógita Uma sequêcia de úmeros s, s,, s é chamada a solução do sistema se s,,, s s é uma solução de cada uma das equações do sistema (verificam todas as equações simultaeamete) O cojuto solução de um sistema de equações lieares é o cojuto de todas as soluções do sistema Vamos referir o processo de ecotrar o cojuto solução de um sistema de equações lieares como resolver o sistema Obs: Uma solução de um sistema de equações lieares, ( s, s,, s ) ou [ s s s ] T, é simultaeamete solução de cada uma das equações do sistema Assim como o caso das equações, os sistemas lieares são chamados equivaletes quado têm o mesmo cojuto solução Recordamos as possibilidades que ocorrem quado se resolve um sistema de equações lieares, o que pode ser iterpretado como classificar o sistema Cosideremos, para isso, o seguite sistema liear com duas equações e duas icógitas e y, a + b y c ( a, b ão simultaeamete ulos) a + b y c ( a, b ão simultaeamete ulos) / 6

5 Como sabemos, os gráficos destas duas equações são rectas (porquê?), por eemplo, r e r Uma vez que o poto (, y ) pertece a uma recta se os úmeros e y satisfazem a equação da recta, a solução do sistema de equações correspode a potos de itersecção etre r e r Um sistema de equações lieares pode ser classificado da seguite maeira: As rectas r e r podem ser paralelas, e, ão havedo itersecção etre elas, o sistema ão tem solução (é impossível); As rectas r e r podem ter um úico poto de itersecção, o sistema tem uma solução (é possível e determiado); As rectas r e r podem coicidir, têm ifiitos potos de itersecção, o sistema tem ifiitas soluções (é possível e idetermiado) A solução do sistema é obtida através de métodos de resolução, a sua classificação tem a ver com o facto dessa solução eistir ou ão Portato, ao resolvermos um sistema estamos a classificá-lo, cotudo, podemos classificá-lo sem o resolver Vamos ilustrar o que aqui foi dito com um eemplo que visa, pricipalmete, recordar o processo de resolução/classificação de sistemas de equações lieares com duas variáveis e duas equações Eemplo: Resolva e classifique os seguites sistemas de equações lieares a) + y 4 b) + y + y 4 c) + y 8 + y 4 + y 6 Resolução: Resolver um sistema sigifica ecotrar os úmeros que satisfazem simultaeamete as suas equações Uma estratégia de resolução é, utilizado operações as equações, trasformar o sistema de equações lieares dado um sistema equivalete de tratameto mais fácil a) Multiplicado a ª equação por ( ) e somado à ª, resulta + y 4 + y 4 y y + y + 0 y A solução do sistema é o poto (vector) (,), quado à classificação, uma vez que o sistema tem uma úica solução, diz-se possível e determiado / 6

6 b) Repare-se que a ª equação deste sistema é o dobro da primeira, por isso, dividido-a por, o sistema fica reduzido à equação, y 4 Assim, as soluções do sistema são as soluções desta equação, ou seja, os potos da recta y 4, tedo ifiitas soluções, o sistema é possível e idetermiado Aaliticamete podemos fazer + y 4 y 4 y 4 y 4, + y 8 + (4 ) (PV) cocluido-se que, a resolução deste sistema de duas equações, reduz-se à resolução de uma equação com duas icógitas, y 4, ou seja, tem ifiitas soluções y 4 Obs4: y {(,5),(0,4},(,)} {(,5),(0,4},(,)}, 0 0 (PV) as soluções da equação y 4 (represetáveis a forma paramétrica por ( t, 4 t), odet é o parâmetro) A cojução de codições correspode à itersecção dos seus cojutos solução + y 4 c) Dividido por a ª equação do sistema, resulta, e, uma vez que a soma de dois + y úmeros e y ão pode ser, simultaeamete, 4 e, o sistema ão tem solução, diz-se impossível Aaliticamete a resolução pode ser + y 4 y 4 y 4 + y 6 + (4 ) Proposição Falsa (PF) Como chegámos à absurda coclusão que 8 6, coclui-se que o sistema ão tem solução Obs5: y 4 y {(,5),(0,4},(,)} (o cojuto vazio) 8 6 (PF) Até aqui resolvemos e, cosequetemete, classificámos o sistema através de métodos aalíticos Vamos agora utilizar o método gráfico Como sabemos, cada uma das duas equações dos sistemas represetam uma recta, por isso, a solução de cada sistema está relacioada com o posicioameto o plao dessas duas rectas (a solução do sistema é dada pela itersecção das duas rectas) 4/ 6

7 A represetação gráfica das equações dos diferetes sistemas do eemplo é ilustrada a seguir a) rectas cocorretes b) rectas coicidetes c) rectas paralelas Como se pode verificar, os ceários resultates da represetação gráfica, das rectas evolvidas em cada sistema, estão de acordo com a resolução aalítica desses sistemas: As rectas do sistema a) tem um úico poto de itersecção As rectas são cocorretes e o sistema é possível e determiado (tem uma úica solução); As rectas do sistema b) tem ifiitos potos em comum As rectas são coicidetes e o sistema diz-se possível e determiado (tem ifiitas soluções); As rectas do sistema c) ão tem potos de itersecção As rectas são paralelas e o sistema é impossível (ão tem solução) Apesar de se ter apeas cosiderado sistemas com duas equações e duas icógitas, os três sistemas do eemplo ilustram as úicas três possibilidades que se verificam a classificação de qualquer sistema de equações lieares com coeficietes reais Geeralizado: Um sistema de m equações lieares com coeficietes reais pode ser: Possível e determiado (tem uma úica solução), SPD; Possível e idetermiado (tem ifiitas soluções), SPI; Impossível (ão tem solução), SI Obs6: Nos sistemas possíveis as m equações são compatíveis, estes sistemas dizem-se compatíveis ou cosistetes Se p < m das equações do sistema têm uma solução comum, etão qualquer das outras equações que seja satisfeita por essa mesma solução diz-se compatível com as p equações Nos sistemas impossíveis as equações são icompatíveis, por isso, os sistemas dizem-se icompatíveis ou icosistetes 5/ 6

8 Aplicação do cálculo matricial aos sistemas de equações lieares Cosidere-se o seguite sistema de equações lieares com m equações e icógitas, a + a + + a b a + a + + a b am + am + + am bm Como sabemos, um método básico de resolução de sistemas de equações lieares é por elimiação sistemática das suas icógitas, ou seja, trasforma-se o sistema origial um sistema equivalete de mais fácil resolução Para isso são utilizadas, por eemplo, as seguites operações: Multiplicação de uma equação por uma costate diferetes de zero; Troca de duas equações; Adicioar duas equações Pretedemos aplicar o cálculo matricial ao estudo (classificação e resolução) de sistemas de equações lieares O sistema apresetado em cima, pode ser represetado a forma matricial AX B, ode a a a a a a A a a a m m m ( m ), X ( ) e b b B b m ( m ) A ( m ) é a matriz dos coeficietes do sistema, ode m é o º de lihas/equações e, é o º de coluas/variáveis (repare-se que, a colua j correspode à variável j ); X ( ) é matriz colua das icógitas (a calcular); B ( m ) é a matriz colua dos termos idepedetes (valores cohecidos), Para efectuar o estudo do sistema de equações lieares, podemos represetar o sistema liear pela a matriz ampliada [ A B ] (matriz completa do sistema) associada que se obtém acrescetado a colua dos termos idepedetes B à matriz do sistema A, ou seja, [ A B] a a a b a a a b a a a b + m m m m ( m ( )) 6/ 6

9 A ideia é operar a matriz ampliada [ A B ] por forma a obter uma matriz que esteja associada a um sistema liear equivalete ao origial, ou seja, obter uma matriz [ C D ] equivalete a [ A B ] Como as lihas de [ A B ] correspodem às equações do sistema, as três operações utilizadas para a resolução de sistemas, correspodem às operações elemetares por lihas das matrizes Assim, para se obter um sistema equivalete ao origial, utilizam-se as operações elemetares das matrizes, aplicadas às lihas, para codesar [ A B ], visado, o fial da codesação, obter uma matriz equivalete [ C D ], em que C é a codesada da matriz A, da forma, [ C D] c c c d 0 c c d 0 0 c d m m ( m ( + )) Obs7: Esta codesação pode ser efectuada por coluas, ão esquecedo que as coluas represetam as icógitas, e que ão se pode trocar a colua associada à matriz B Neste termos, o sistema associado à ova matriz [ C D ] é equivalete ao sistema iicial, portato, estudar o sistema associado a [ A B ] é o mesmo que estudar o sistema associado a [ C D ] Comecemos por classificar o sistema tedo por base a matriz [ C D ] Para isso, calculam-se a característica da matriz do sistema, A, idicada pela matriz C, e a característica da matriz ampliada [ A B ], idicada por [ C D ] (uma vez que estas matrizes são equivaletes) Desigado por: r a característica da matriz A, r r( A) ; r a característica da matriz [ A B ], r r( A B) ; m o úmero de equações, que correspode ao úmero de lihas em A; o úmero de icógitas, que correspode ao úmero de coluas em A Tedo em cota os valores de r, r, m e de podemos ter vários tipos de sistemas: ) r m Como m a matriz A e, cosequetemete, a matriz C são quadradas, e, como r( A) (eiste A ), a matriz pode ser trasformada uma matriz triagular Assim, a matriz [ C D ], obtida por codesação de [ A B ], é do tipo [ C D] c c c d 0 c c d 0 0 c d ( ( + )), uma vez que r ( det( C) 0 e c 0, i,, ) ii 7/ 6

10 Obs8: A matriz obtida por codesação ão é úica, cotudo, r( C D) r( A B) r( A) r( C) O sistema associado à matriz [ C D ] é c + c + + c d 0 + c + + c d c d com todos os cii 0 Ou seja, estas codições temos um sistema possível e determiado (reparese que a última equação do sistema é possível e determiada) Apresetam-se de seguida algus métodos de resolução de sistemas de equações lieares possíveis e determiados Método de elimiação de Gauss ou de substituição regressiva Quado se codesa a matriz ampliada do sistema de equações lieares, criamos um sistema equivalete que pode ser resolvido por substituição regressiva Da última liha sai, d, c substituido este valor a peúltima liha obtém-se O processo cotiua sucessivamete até à primeira liha, da qual sai, uma vez que essa altura já são cohecidos os valores de,,, O processo iteiro é cohecido como método de elimiação de Gauss Método de elimiação de Gauss-Jorda Uma modificação do método de Gauss simplifica bastate a fase de substituição regressiva, e é particularmete útil quado os cálculos estão a ser feito à mão Essa variate, cohecida como o método de elimiação de Gauss-Jorda, baseia-se em reduzir aida mais a matriz ampliada Partido da matriz codesada [ C D ], podemos cotiuar a operar esta matriz e trasformá-la em 0 0 l 0 0 l [ I L] 0 0 l Para tal, basta dividir cada liha de matriz [ C D ] por c ii e codesar a matriz para cima da diagoal pricipal Assim, os valores da matriz L coicidem com os valores das icógitas X, ou seja: l, l,, l Obs9: Obviamete o processo pode começar com a matriz [ A B ] 8/ 6

11 Resumido, estes dois métodos cosistem os seguites passos: (a) Escrever a matriz ampliada do sistema; (b) Através das operações elemetares, codesar a matriz ampliada; (c) Resolver o sistema equivalete que correspode à matriz codesada; ou, em alterativa, (d) Através das operações elemetares, trasformar A uma matriz idetidade Obs0: Estes dois métodos vem o seguimeto da codesação de [ A B ] + 6 Eemplo: Classifique e resolva o sistema Resolução: Comecemos pela classificação, a matriz dos coeficietes é 0 A 4 6, como a matriz A é quadrada ( ) e det( A ) 44 0, podemos trasformá-la uma matriz triagular, e assim, o sistema associado é possível e determiado O que pode ser cofirmado através da codesação por lihas da matriz ampliada [ A B] [ C D] repare-se r r( A) r( A B) m Destas matrizes equivaletes, resultam os seguites sistemas equivaletes, cuja solução é obtida pelo método de Gauss, Ou, como alterativa, podemos utilizar o método de Gauss-Jorda, [ C D] [ I L] dode,, e é a solução do sistema Repare-se que, à classificação do sistema pelo processo de codesação da matriz ampliada, está automaticamete associado o método de resolução de Gauss-Jorda 9/ 6

12 Método da matriz iversa ou método de eplicitação Tedo por base o facto do sistema ser possível e determiado, pois só assim a matriz dos coeficietes admite iversa, resolver a equação matricial AX A, uma vez que, r( A) det( A) 0 B em ordem à matriz X, Este método cosiste em AX B A AX A B IX A B X A B Não é ecessário codesar a matriz, se assim fosse poderia utilizar-se o método de Gauss Eemplo: Resolva os seguites sistemas: a) + y b) y + y c) y + y 4 y 5 Resolução: Neste eemplo, propomo-os resolver três sistemas com matriz dos coeficietes igual Vamos usar o método da matriz iversa, para isso, covém verificar se a sua aplicação é possível A matriz dos coeficietes é A, uma matriz quadrada de ordem, ode det( A) r( A), portato, A admite iversa e o sistema é possível e determiado Temos que resolver a equação X A B, sedo A vem a) X 5 9, b) X 4 e c) 4 X 5 4 Regra de Cramer A regra de Cramer, dá uma fórmula que descreve a solução de sistemas de equações lieares com variáveis possíveis e determiados, iteiramete em termos de determiates Teorema (Regra de Cramer): Se AX que A 0, etão o sistema tem solução úica Essa solução é B é um sistema de equações lieares a icógitas tal Ai i, i,,, ode A i é a A matriz que se obtém de A, substituido a colua i pela colua dos termos idepedetes B Obs: Um sistema de equações lieares diz-se de Cramer se, e só se: i) O úmero de equações é igual ao úmero de icógitas ( m ) ; ii) A matriz dos coeficietes tem determiate A 0 0/ 6

13 Como se pode verificar, para um úmero qualquer de equações, a regra de Cramer evolve o cálculo de + determiates de ordem, o que para > 4 pode ser tedioso para ser feito à mão Mesmo tedo, este resultado, pouco valor prático para além de sistemas com duas equações e duas variáveis, tem uma grade importâcia teórica Esta regra é útil para se estudar propriedades matemáticas da solução sem ser ecessário resolver o sistema É uma alterativa à codesação da matriz [ A B ] para se classificar sistemas Com base o valor do determiate de A ( ), vamos clarificar o processo de classificação de sistemas, com equações e icógitas, através da regra de Cramer: Caso A 0, do teorema aterior resulta imediatamete que, podemos sempre ecotrar uma solução que é úica, o sistema é possível e determiado + 6 Eemplo4: Resolva o sistema Resolução: A matriz dos coeficietes é A 4 6 e a dos termos idepedetes B 0 8 Como a matriz A é quadrada ( ) e A 44 0, o sistema diz-se de Cramer, logo, é possível e determiado Sedo 6 0 A A 40 A A 7 8, 0 6 A 4 0 A 5, 8 e vem A 40 0 A 44, A 7 8 A 44 e A 5 8 A 44 Ou, pelo que foi dito, o sistema AX B, com A ( ), tem solução úica sse A 0, sedo esta solução dada por AX B X A B (verifique!) Caso A 0, como o determiate da matriz dos coeficietes aparece o deomiador, a divisão por zero ão é possível No etato, temos que cosiderar dois casos: i) Se tivermos 0 i, i,, (todos os umeradores iguais a zero), ou seja, uma 0 idetermiação para todas as icógitas, o sistema é possível e idetermiado ou impossível (ver teorema de Rouché) ii) Se pelo meos um dos umeradores for diferete de zero, o sistema é impossível / 6

14 y + z Eemplo5: Classifique o sistema + 6y 9z + 4y 6z Resolução: Para classificar o sistema, vamos utilizar a regra de Cramer Comecemos por ver que, A 0, ou seja, o sistema ão pode ser possível e determiado Por outro lado, como, A A A 0, temos 0 i, i,,, uma idetermiação para todas as variáveis Como 0 a última equação é combiação liear das outras duas, o sistema é possível e idetermiado Repare que r( A) r( A B) (verifique!) Por outro lado, trocado a última equação por + y z + 0, também A A A 0 e A 0 Cotudo, o sistema é impossível basta ateder às duas últimas equações (porquê?) Repare que r( A) < r( A B) (verifique!) No que se segue, dá-se uma sugestão de orietação a utilização de métodos de resolução de sistemas de equações lieares com variáveis, possíveis e determiados: a) É coveiete usar o método de Gauss para resolver sistemas de equações lieares com variáveis os seguites casos: Quado se tem para resolver um úico sistema; Quado se quer resolver um cojuto de sistemas estas codições, tais que as matrizes dos coeficietes das variáveis de cada sistema sejam diferetes umas das outras; Este método é idicado quado o úmero de equações for relativamete grade b) É coveiete usar o método da matriz iversa o caso em que se tem para resolver cojutos de sistemas de equações lieares e variáveis, tais que as matrizes dos coeficietes das variáveis de cada sistema sejam todas iguais, variado somete a matriz dos termos idepedetes c) A regra de Cramer, de uso restrito como já foi referido, é utilizada, em geral, apeas para resolver sistemas de equações lieares e duas variáveis ou, mesmo, de equações e variáveis Para sistemas com mais de equações lieares a regra é praticamete iaplicável em virtude do elevado úmero de determiates a calcular Por eemplo, para resolver sistemas de equações a icógitas pela regra de Cramer, é preciso avaliar + determiates de matrizes ( ) Equato pelo método de Gauss basta codesar uma matriz ( ( + ) ) Cotudo, a regra de Cramer dá uma fórmula para a solução deste, desde que o determiate da matriz do sistema seja diferete de zero E, idepedetemete de termos de calcular + determiates, é uma alterativa para a classificação de sistemas / 6

15 ) r m < Como m <, o úmero de equações é meor que o úmero de icógitas, ou seja, a matriz A ( m ) tem mais coluas do que lihas (a matriz ão é quadrada, ão é possível trasformar A em triagular) Como as lihas de A são liearmete idepedetes (porquê?) e r( A) codesação da matriz ampliada do sistema, [ A B ], obtemos uma matriz [ C D ] do tipo <, após c c c m c d 0 c cm c d [ C D] 0 0 cmm cm dm Observa-se que, r( A) r( A B) m (úmero de coluas liearmete idepedetes), e que a última liha da matriz C tem mais do que um elemeto diferete de zero (para um úico elemeto estas codições o sistema seria possível e determiado) A matriz [ C D ] correspode ao sistema c + c + + c m m + + c d 0 + c + + cm m + + c d, cmm m + + c dm como se pode verificar, a última equação é idetermiada pois cotém m r icógitas Ou seja, eistem r icógitas em ecesso (arbitrárias), obtedo-se as restates como combiação liear destas, logo o sistema é possível e idetermiado O grau de idetermiação (º de icógitas que ecedem o º de equações idepedetes) do sistema é d r m Relativamete à resolução deste tipo de sistemas: ) O método de Gauss simplifica bastate a fase de substituição regressiva, e é particularmete útil quado os cálculos estão a ser feito à mão um sistema com ifiitas soluções; ) O método de Gauss-Jorda, este caso, ão pode ser usado porque ão se pode calcular I; ) O método da matriz iversa ão pode ser aplicado uma vez que ão eiste A, r( A) < ; 4) A regra de Cramer pode ser utilizada, porém sedo o sistema possível e idetermiado, m <, é ecessário acrescetar aos termos idepedetes mais d m variáveis Qualquer que seja o método utilizado, as primeiras m icógitas;,, m (as pricipais, que correspodem ao úmero de coluas liearmete idepedetes escolhidas), vêm em fução das últimas r icógitas (arbitrárias/livres) Todas as equações são pricipais (porquê?) / 6

16 Eemplo6: Classifique e resolva o sistema 4y + z + y z Resolução: Como m < (eistem mais variáveis do que icógitas) e r( A) r( A B) (verifique!) o sistema é possível idetermiado, com grau de idetermiação d r (sigifica que eiste uma variável livre) Codesado a matriz ampliada do sistema obtemos O sistema origial é equivalete a 4 0 [ A B] [ C D] 0 (y ) 4y + z z + z y (variável livre) + y z y z z ( + y) z ( y + ) Neste caso, ão podemos classificar o sistema pela regra de Cramer, pois ão eiste A (porquê?) Para a sua resolução usado esta regra, como sabemos que SPI, com grau de idetermiação, cosiderarmos (por eemplo) y como variável livre, dode as variáveis e z são as variáveis pricipais Assim, temos que cosiderar a matriz do sistema com sedo A A Nestes termos, a matriz dos termos idepedetes é + 4 y A A y (y ) y A Portato, S {( (y ), y, ( y + )), y } é a solução do sistema + 4y B, y Obtemos y + 4 y A A y z ( y + ) y A e r < m Neste caso, a característica da matriz A é meor do que o úmero de equações, portato, após codesação da matriz ampliada [ A B ] obtém-se uma matriz [ C D ] do tipo c c c c 0 c c c [ C D] 0 0 crr cr r r d d d r dr+ m r d m equações A classificação do sistema depede dos valores dos últimos termos idepedetes dr +, dr+,, dm 4/ 6

17 Podemos cosiderar duas situações: a) r r, ou seja, as características da matriz A e da matriz [ A B ] coicidem Para que tal acoteça, é ecessário que todos os últimos m r termos idepedetes, correspodetes às últimas m r equações, sejam ulos, ou seja, que d d d 0 r+ r + m Assim sedo, para a resolução do sistema, podemos desprezar as últimas m r equações (redudates), uma vez que, são todas do tipo 0 0 (codições uiversais) Elimiado estas equações, porque ão são depedetes das restates, o sistema a forma matricial, após codesação será da forma c c c r c d 0 c cr c d [ C D], 0 0 crr cr dr portato, o sistema correspodete passa a ter variáveis e r equações (as pricipais) Após ova codesação o sistema poderá ser aalisado pelos casos ), se r ou ), se > r b) r < r, este caso a característica da matriz A é meor que a característica da matriz ampliada [ A B ] Para que tal acoteça, pelo meos um dos últimos termos idepedetes; d,, r + dm tem que ser diferete de zero, resultado uma equação do tipo: 0 k (com k 0 ), pelo que o sistema é impossível (o sistema tem mais termos idepedetes do que variáveis) Resumo: Tedo em cota os valores de m,, r r( A) e r r( A B) podemos ter: ) m r SPD r m ) m r < SPI ) r SPD a) r r ) r SPI r m < < b) r < r SI 5/ 6

18 Eemplo7: Classifique e resolva o sistema + z t y + t 0 + y z + t y z t y 4z + t 8 Resolução: Como o sistema tem 4 icógitas e m 5 equações, a matriz do sistema 0 0 A, 4 4 tem o máimo característica r( A ) 4 (valor iferior ao úmero de equações, r( A) < m ) Assim, o sistema tem as três possibilidades de classificação (justifique!) Prova-se que a característica da matriz ampliada é igual à característica de A, r( A) r( A B) 4, ou seja, o sistema é possível, como a característica de A é igual ao úmero de variáveis, r( A) Codesado, por lihas, a matriz ampliada, vem, o sistema é determiado [ A B] [ C D], (o que acotece se trocarmos a ordem das lihas da matriz [ A B ], e das coluas?) Dode a solução do sistema é + z t + z t y t 0 y + 4z + 4t 4 + y y z + t z + t, z y z t t t 4 y 4z t portato, o sistema é possível e determiado com solução S {(, 0,, )} A última equação do sistema, que correspode à liha de zeros de [ C D ] é redudate (porquê?) pode ser elimiada para a resolução do sistema (verifique!) O sistema tem r( A ) 4 equações pricipais, as ecessárias para a sua resolução A equação redudate é compatível com o sistema que evolve as outras 4 equações (verifique!) 6/ 6

19 O processo de classificação de sistemas de equações lieares pode ser baseado o cálculo de determiate Este é chamado método dos determiates Defiição: Dado um sistema de m equações e icógitas, ao maior determiate em ordem diferete de zero que se pode etrair da matriz do sistema, dá-se o ome de determiate (meor) pricipal do sistema, e represeta-se por, p,, Relativamete ao determiate pricipal podemos dizer que: p As equações cujos coeficietes estão represetados o determiate pricipal (que correspodem às p lihas de houver) são equações ão pricipais; p ), chamam-se equações pricipais As restates equações (se As icógitas cujos coeficietes estão represetados o determiate pricipal (que correspodem às i coluas de (se houver) são icógitas ão pricipais (ou livres) p ), chamam-se icógitas pricipais As restates icógitas Eemplo8: Calcule o determiate pricipal do sistema do eemplo7 Resolução: A matriz dos coeficietes é A (5 4), o maior determiate que se pode etrair é de 4ª ordem O determiate que evolve as quatro primeiras equações é (verifique!), ou seja, o determiate pricipal é de ordem 4 Assim, as quatro equações do sistema são as pricipais e última é ão pricipal Todas as icógitas são pricipais (porquê?) Como vimos, o sistema pode ser resolvido com as 4 primeiras equações, a última equação é redudate Prova-se que apeas o determiate 4 que ão evolve a º equação é igual zero (verifique!) Eercício: Resolva os sistemas resultates do sistema do eemplo7 depois de elimiar uma equação Compare os resultados com o respectivo determiate pricipal, que coclusão pode tirar? + y + z + t 4 y z + t Eemplo9: Calcule o determiate pricipal do sistema + t 5 4 y z + t Resolução: Como A (4 4), o maior determiate que se pode etrair é de 4ª ordem, 4 A Provase que 4 0 (porquê?), e que os determiate de ª ordem, são todos ulos, 0 Relativamete aos determiates de ª ordem, eiste, por eemplo, um 0, logo o determiate pricipal é de ª ordem 7/ 6

20 Nestes termos, cosideram-se a ª e ª equações e as icógitas e como pricipais e as restates como ão pricipais (porquê?) Repare-se que há outros determiates de ª ordem diferetes de zero, e cosequetemete, outras equações e icógitas pricipais Teorema: Uma matriz tem característica igual a r se, e só se, cotém pelo meos um determiate pricipal de ordem r Eemplo0: A matriz A do eemplo7 tem r( A ) 4 (porquê?), equato, para o eemplo9 r( A ), porque 4 0, 0 e 0 Defiição4: Chama-se determiate característico, e represeta-se por c, ao determiate que se obtém do determiate pricipal acrescetado-lhe uma liha (costituída pelos coeficietes correspodetes de uma equação ão pricipal) e uma colua (costituída pelos termos idepedetes correspodetes) Obs: Há tatos determiates característicos quatas as equações ão pricipais Eercício: Calcule os determiates característicos do sistema do eemplo7 Eemplo: Determie os determiates característicos do sistema do eemplo9 Resolução: Como vimos, o determiate pricipal é de ª ordem, uma vez que, por eemplo, 0 Nestes termos, cosideramos a º e º equações como pricipais e as restates duas como ão pricipais, logo eistem dois determiates característicos, 4 4 c e c Eistido outros determiates pricipais de ª ordem, eistem outros determiates característicos (quais?) Qual a característica da matriz ampliada do sistema? Teorema (teorema de Rouché): Um sistema de equações lieares é possível se e só se ão houver determiates característicos ou todos se aularem Nestas codições o sistema é: Possível e determiado se todas as icógitas são pricipais, r( A) r( A B) ; Possível e idetermiado se há icógitas ão pricipais, r( A) r( A B) < ; Impossível se algum dos determiates característicos é diferete de zero, r( A) r( A B) 8/ 6

21 Este euciado equivale ao seguite: É codição ecessária e suficiete para que um sistema de equações lieares seja possível que a matriz A dos coeficietes do sistema e a matriz ampliada [ A B ] teham a mesma característica Eercício4: Faça um estudo comparativo etre a regra de Cramer e o teorema de Rouché Eercício5: Classifique o sistema do eemplo7, utilizado o teorema de Rouché Eemplo: Classifique o sistema do eemplo9, utilizado o teorema de Rouché Resolução: Como c c 0 o sistema é possível, sedo 0 e A (4 4) eistem icógitas ão pricipais, logo o sistema é idetermiado Verifique que r( A) r( A B) Eemplo: Sem resolver o sistema, verifique, usado o teorema de Rouché, que a equação 4 + y 4z + t 8 é compatível com o sistema + z t y + t 0 + y z + t + y z t Resolução: Uma equação é compatível com um sistema se verifica a solução do sistema Como o sistema é possível (porquê?), pelo teorema de Rouché, ou ão eistem determiates característicos ou, se eistem, são ulos O determiate pricipal do sistema é de ordem 4 (porquê?), com a equação dada formamos um determiate característico c de ordem 5 Como 0 (verifique!) a equação é compatível com o sistema (o que sigifica?) De facto, a solução c do sistema é S {(, 0,, )}, que satisfaz a equação dada (verifique!) Verifique se + z t é compatível com o sistema que evolve as outras equações e 4 + y 4z + t 8 Eercício6: Resolva os sistemas dos eemplos 9 e Eemplo4: Classifique o sistema, em fução do parâmetro k, k Resolução: Pelo teorema de Rouché, a codição ecessária e suficiete para que um sistema de equações lieares seja possível é que todos os determiates característicos, se eistirem, sejam ulos Uma vez que, a matriz do sistema é de ordem ( 4 ), ou seja, eistem icógitas e 4 equações, o determiate pricipal o máimo tem ordem (porquê?) Por eemplo, 9/ 6

22 0, dode cosideramos as três primeiras equações como pricipais (todas as icógitas são pricipais, porquê?) Como apeas a 4ª equação é ão pricipal, eiste um úico determiate característico 0 c4 ( k ), verifique para que valores de k, r( A) r( A B) k Tedo em cota o valor de k a classificação do sistema é: c4 k 0, o sistema é impossível, o determiate característico é diferete de zero; c4 k 0, o sistema é possível e determiado (porquê?) Apesar dos sistemas de equações lieares vistos até aqui serem sempre, possíveis ou impossíveis, eiste um tipo de sistemas lieares que uca é impossível Defiição5: Um sistema de equações lieares diz-se homogéeo se o seu termo idepedete em cada equação é igual a zero Matricialmete é represetado por AX O Por outras palavras, um sistema homogéeo tem uma matriz ampliada da forma [ A 0] Pelo teorema de Rouché, podemos cocluir que, este sistema admite sempre a solução trivial (porquê?), isto é, 0 (se eistirem outras soluções chamam-se ão triviais) Uma vez que os sistemas lieares homogéeos têm sempre a solução trivial, há apeas duas possibilidades para as suas soluções: O sistema tem apeas a solução trivial (ula), sistema possível e determiado; O sistema tem ifiitas soluções a jutar à solução trivial, sistema possível e idetermiado Eemplo5: Resolva o sistema homogéeo Resolução: O sistema tem 4 equações e 5 variáveis ( m < ) Tratado-se de um sistema homogéeo, tem sempre solução (classifique o sistema utilizado o teorema de Rouché!) Após codesação, a matriz ampliada do sistema é equivalete a 0/ 6

23 [ A O] [ C O] Dode, r( A) < m <, a última equação é redudate (pode ser elimiada) e o sistema origial equivale a um sistema com equações (pricipais) e 5 variáveis, portato, possível e idetermiado de grau (eistem ifiitas soluções a jutar à trivial) O sistema associado a [ C O ] é , as variáveis e são uma combiação liear das variáveis e 5 (as variáveis livres) Cosiderado s e 5 t, a solução geral é s t, s, t, 4 0 e 5 Note-se que a solução trivial é obtida quado s t 0 Determie uma solução particular t Este eemplo ilustra dois potos importates a resolução de sistema de equações lieares homogéeos: ) As operações elemetares sobre as lihas da matriz ampliada [ A O ] de um sistema homogéeo, ão alteram a matriz dos termos idepedetes O, ou seja, depois da codesação a matriz equivalete resultate é do tipo[ C O ], e, assim, o sistema associado cotiua a ser homogéeo; ) Depededo do facto da matriz codesada ter alguma liha de zeros ou ão, o úmero de equações o sistema resultate terá o mesmo ou um meor úmero de equações relativamete ao sistema origial Nestes termos, se o sistema homogéeo origial tem m equações e variáveis com m <, e se eistirem r lihas ão ulas a matriz codesada, etão r( A) r < (porquê?) Teorema4: Seja AX 0 um sistema homogéeo com m equações e variáveis, ode m <, etão o sistema tem ifiitas soluções Teorema5: O sistema homogéeo AX 0 tem soluções ão ulas se e só se r( A) r < (isto é, se a característica da matriz do sistema for iferior ao úmero de icógitas) Obs: Caso r( A) r <, uma vez que o sistema AX 0 é possível, eistem m r equações redudates e r icógitas livres / 6

24 Obs4: Do teorema5 coclui-se que, o sistema homogéeo AX 0, com equações e icógitas, tem soluções ão ulas se e só se A 0, ou seja, se A for uma matriz sigular Eemplo6: Cosidere a matriz satisfazem a equação AX λ X A Determie os valores λ tais que X O que Resolução: Sedo A ( ), como a matriz idetidade I é o elemeto eutro do produto, temos AX λ X AX λi X AX λi X λi X λi X ( A λi ) X 0, um sistema homogéeo ( A ( ) ), que tem solução ão trivial ( X O ) se, e só se, A λi 0 Dode 0 0 λ λ A λi λ λ 0 0 ( λ ) ( λ ) 0 ou seja, apeas para os valores λ λ eiste X 0 y 0 z 0 tal que AX λ X Eemplo7 Resolva o sistema homogéeo Resolução: Sistema com m equações e icógitas, codesado a matriz do sistema A 0, vem O sistema é possível e determiado, apeas admite a solução trivial Repare-se que matriz do sistema tem r( A) m p, ou seja, A 0 (a matriz A é regular) Eistido AX O X O, a úica solução do sistema homogéeo A, tem-se Defiição6: Um cojuto { S, S,, S } de soluções liearmete idepedetes do sistema k AX 0 é um cojuto fudametal de soluções se qualquer solução do sistema é uma combiação liear das soluções S, S,, S k / 6

25 Teorema6: Seja AX 0, se r( A) r < o sistema possui cojutos fudametais de soluções Obs5: Para obter um cojuto fudametal de soluções podem atribuir-se quaisquer valores às icógitas livres, desde que o determiate da matriz quadrada de ordem d, cujas coluas são formadas pelos valores atribuídos em cada solução às icógitas livres, seja diferete de zero Coclui-se que, o úmero de soluções em qualquer cojuto fudametal é igual ao grau de idetermiação do sistema homogéeo Eemplo8 Resolva o sistema homogéeo Resolução: Um sistema de equações homogéeo com mais icógitas, 4, do que equações, m, é idetermiado Como referido (ode?), para a resolução do sistema, ão é ecessário usar a matriz ampliada, basta codesar por lihas a matriz do sistema [ A B] Coclui-se que r( A) < m < 4, o sistema é possível e idetermiado de grau (porquê?) Da maeira como a matriz foi codesada, a terceira equação é redudate e as duas primeiras são pricipais Por outro lado, o maior determiate diferete de zero (determiate pricipal) que se pode etrair de A é de ordem (porquê?), por eemplo, 0, e assim, cosidera-se as icógitas e como pricipais, e e 4 como livres (a solução do sistema as variáveis e vêm em fução de e 4 ) Obs6: Como r( A) < m < eistem determiates característicos, estes são ulos (porquê?) Assim, ( 4 ) ( + 4 ) A solução geral do sistema toma a forma / 6

26 ( 4 ) 4 ( + 4 ) 4 X Fazedo, 4 0 e 0, 4 obtém-se um cojuto fudametal com soluções (porquê?),,,, 0 e,, 0,, e qualquer solução do 4 4 sistema proposto é combiação liear destas duas soluções, ou seja, X + λ λ (correspode à epressão geral das soluções do sistema) Se fizermos, 4 e, 4 obtém-se outro cojuto fudametal de soluções, 0,,, 4 e,,, 4, e qualquer solução do sistema proposto é também combiação liear destas duas soluções X 0 + µ µ 4 Se fizermos 4 e 4 cotiuamos a obter duas soluções do sistema AX 0 (verifique!), cotudo, ão costituem um cojuto fudametal de soluções pois 0 Pelo que foi referido, todo o sistema de equações lieares AX B com B 0, tem um sistema homogéeo associado No que se segue, estabelecemos algumas relações etre as soluções de um sistema e as soluções do sistema homogéeo associado Defiição7: Chama-se úcleo, N( A ), de um sistema AX homogéeo associado a esse sistema B ao cojuto solução do sistema 4/ 6

27 Eemplo9 Calcule o úcleo do sistema + y + z + y + z 6y 4z Resolução: Pretede-se calcular a solução do sistema homogéeo associado a AX Codesado a matriz associada ao sistema, AX 0, obtemos A B O sistema homogéeo é equivalete a + y + z 0 + y + z 0 + y + z 0 y + z 0 y 6y 4z 0 z z Dode, a solução geral do sistema AX 0, isto é, o úcleo de AX B é { [ ] } T N( A) z, z z z Relação: Cosidere-se um sistema de equações AX S são soluções de AX B, etão AS B e AS B e o sistema associado AX 0 Se S e B, dode, AS AS A( S S ) 0 A difereça de duas soluções do sistema ão homogéeo é uma solução do sistema homogéeo Eemplo0 Resolva o sistema + y + z + y + z 6y 4z Resolução: O sistema é possível e idetermiado (porquê?), { y +, y, z y } é a sua solução Duas soluções particulares deste sistema são, para S, dode S S [ ] y 0, [ 0 ] T AX 0 (verifique!) S 4 4 T e, para y, [ ] T é uma solução particular do sistema Relação: Cosidere-se um sistema de equações AX solução de AX 0 e S uma solução particular de AX soluções do sistema AX B e o sistema associado AX 0 Seja S a B, etão A( S + S ) 0 + B B As B (se eistirem) podem ser obtidas somado uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéeo associado 5/ 6

28 Eemplo: Sabedo que [ 4 4] T verifica o sistema do eemplo aterior, ache a epressão geral das suas soluções Resolução: Vamos resolver o sistema AX T { } solução [ ] B utilizado o sistema homogéeo AX 0, que tem N( A) z, z (porquê?) Cosiderado a solução particular S [ 4 4] T de AX B e somado-a com algumas soluções de AX 0, por eemplo, T T T [ ],[ 4 ],[ 6] e [ ] T, obtemos a epressão geral das soluções de AX B, ou seja, { y +, y, z y } (verifique!) y Eemplo Cosidere o sistema de equações lieares 5 + t + z y + t + z 0 a) Sejam S [ 7 0] T e [ ] destas uma solução do sistema homogéeo associado b) Calcule a solução geral do sistema Resolução: S 8 T soluções do sistema Determie através a) Coforme a relação, a difereça de duas soluções do sistema ão homogéeo é uma solução do sistema homogéeo Logo, S S [ ] 0 0 T é uma solução do sistema homogéeo b) Coforme a relação, todas as soluções do sistema AX B podem ser obtidas somado uma solução particular deste sistema com cada solução do sistema homogéeo associado Comecemos por resolver o sistema homogéeo associado utilizado o processo de codesação às lihas da matriz do sistema A Como r( A ), o sistema é idetermiado com grau de idetermiação d r Um cojuto fudametal de soluções é portato costituído por uma solução idepedete, por eemplo, [ 0 0 ] T A solução geral do sistema homogéeo é portato [ ] X λ 0 0 T, λ e a solução do sistema AX B é, cosequetemete, [ 7 0] T λ [ 0 0 ] X +, λ T 6/ 6

Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares

Introdução ao Estudo de Sistemas Lineares Itrodução ao Estudo de Sistemas Lieares 1. efiições. 1.1 Equação liear é toda seteça aberta, as icógitas x 1, x 2, x 3,..., x, do tipo a1 x1 a2 x2 a3 x3... a x b, em que a 1, a 2, a 3,..., a são os coeficietes

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE ORDEM N Estudaremos este capítulo as equações diereciais lieares de ordem, que são de suma importâcia como suporte matemático para vários ramos da egeharia e das ciêcias.

Leia mais

VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem VII Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Itrodução As equações difereciais ordiárias são istrumetos esseciais para a modelação de muitos feómeos proveietes de várias áreas como a física, química,

Leia mais

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS

INTRODUÇÃO A TEORIA DE CONJUNTOS INTRODUÇÃO TEORI DE CONJUNTOS Professora Laura guiar Cojuto dmitiremos que um cojuto seja uma coleção de ojetos chamados elemetos e que cada elemeto é um dos compoetes do cojuto. Geralmete, para dar ome

Leia mais

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE

FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO ASSUNTO: INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM SEPARÁVEIS, HOMOGÊNEAS, EXATAS, FATORES

Leia mais

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x.

Definição 1.1: Uma equação diferencial ordinária é uma. y ) = 0, envolvendo uma função incógnita y = y( x) e algumas das suas derivadas em ordem a x. 4. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 4.: Defiição e coceitos básicos Defiição.: Uma equação diferecial ordiária é uma dy d y equação da forma f,,,, y = 0 ou d d ( ) f (, y, y,, y ) = 0, evolvedo uma fução icógita

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0 Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas A obteção de uma solução

Leia mais

Equações Diferenciais (ED) Resumo

Equações Diferenciais (ED) Resumo Equações Difereciais (ED) Resumo Equações Difereciais é uma equação que evolve derivadas(diferecial) Por eemplo: dy ) 5 ( y: variável depedete, : variável idepedete) d y dy ) 3 0 y ( y: variável depedete,

Leia mais

ActivALEA. ative e atualize a sua literacia

ActivALEA. ative e atualize a sua literacia ActivALEA ative e atualize a sua literacia N.º 29 O QUE É UMA SONDAGEM? COMO É TRANSMIITIIDO O RESULTADO DE UMA SONDAGEM? O QUE É UM IINTERVALO DE CONFIIANÇA? Por: Maria Eugéia Graça Martis Departameto

Leia mais

ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013

ANDRÉ REIS MATEMÁTICA. 1ª Edição NOV 2013 ANDRÉ REIS MATEMÁTICA TEORIA 6 QUESTÕES DE PROVAS DE CONCURSOS GABARITADAS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Teoria e Seleção das Questões: Prof. Adré Reis Orgaização e Diagramação: Mariae dos Reis ª Edição NOV 0

Leia mais

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas.

onde d, u, v são inteiros não nulos, com u v, mdc(u, v) = 1 e u e v de paridades distintas. !"$# &%$" ')( * +-,$. /-0 3$4 5 6$7 8:9)$;$< =8:< > Deomiaremos equação diofatia (em homeagem ao matemático grego Diofato de Aleadria) uma equação em úmeros iteiros. Nosso objetivo será estudar dois tipos

Leia mais

CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA

CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA CAPÍTULO 5 - INTRODUÇÃO À INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 5. INTRODUÇÃO É freqüete ecotrarmos problemas estatísticos do seguite tipo : temos um grade úmero de objetos (população) tais que se fossem tomadas as medidas

Leia mais

MOMENTOS DE INÉRCIA. Física Aplicada à Engenharia Civil II

MOMENTOS DE INÉRCIA. Física Aplicada à Engenharia Civil II Física Aplicada à Egeharia Civil MOMENTOS DE NÉRCA Neste capítulo pretede-se itroduzir o coceito de mometo de iércia, em especial quado aplicado para o caso de superfícies plaas. Este documeto, costitui

Leia mais

O oscilador harmônico

O oscilador harmônico O oscilador harmôico A U L A 5 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial de um oscilador harmôico simples, V( x) kx. objetivos obter a solução da equação de Schrödiger para um oscilador

Leia mais

Séries de Potências AULA LIVRO

Séries de Potências AULA LIVRO LIVRO Séries de Potêcias META Apresetar os coceitos e as pricipais propriedades de Séries de Potêcias. Além disso, itroduziremos as primeiras maeiras de escrever uma fução dada como uma série de potêcias.

Leia mais

Tópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger

Tópicos de Mecânica Quântica I. Equações de Newton e de Hamilton versus Equações de Schrödinger Tópicos de Mecâica Quâtica I Equações de Newto e de Hamilto versus Equações de Schrödiger Ferado Ferades Cetro de Ciêcias Moleculares e Materiais, DQBFCUL Notas para as aulas de Química-Física II, 010/11

Leia mais

A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shine - Colégio Etapa

A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shine - Colégio Etapa A TORRE DE HANÓI Carlos Yuzo Shie - Colégio Etapa Artigo baseado em aula miistrada a IV Semaa Olímpica, Salvador - BA Nível Iiciate. A Torre de Haói é um dos quebra-cabeças matemáticos mais populares.

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demostração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagia10.com.br Matemática comercial & fiaceira - 2 4 Juros Compostos Iiciamos o capítulo discorredo sobre como

Leia mais

PG Progressão Geométrica

PG Progressão Geométrica PG Progressão Geométrica 1. (Uel 014) Amalio Shchams é o ome cietífico de uma espécie rara de plata, típica do oroeste do cotiete africao. O caule dessa plata é composto por colmos, cujas características

Leia mais

somente um valor da variável y para cada valor de variável x.

somente um valor da variável y para cada valor de variável x. Notas de Aula: Revisão de fuções e geometria aalítica REVISÃO DE FUNÇÕES Fução como regra ou correspodêcia Defiição : Uma fução f é uma regra ou uma correspodêcia que faz associar um e somete um valor

Leia mais

Testes de Hipóteses para a Diferença Entre Duas Médias Populacionais

Testes de Hipóteses para a Diferença Entre Duas Médias Populacionais Estatística II Atoio Roque Aula Testes de Hipóteses para a Difereça Etre Duas Médias Populacioais Vamos cosiderar o seguite problema: Um pesquisador está estudado o efeito da deficiêcia de vitamia E sobre

Leia mais

Matemática Ficha de Trabalho

Matemática Ficha de Trabalho Matemática Ficha de Trabalho Probabilidades 12º ao FT4 Arrajos completos (arrajos com repetição) Na liguagem dos computadores usa-se o código biário que é caracterizado pela utilização de apeas dois algarismos,

Leia mais

Problema de Fluxo de Custo Mínimo

Problema de Fluxo de Custo Mínimo Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Ferado Nogueira Fluo de Custo Míimo O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre

Leia mais

INTRODUÇÃO. Exemplos. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas. ...

INTRODUÇÃO. Exemplos. Comparar três lojas quanto ao volume médio de vendas. ... INTRODUÇÃO Exemplos Para curar uma certa doeça existem quatro tratametos possíveis: A, B, C e D. Pretede-se saber se existem difereças sigificativas os tratametos o que diz respeito ao tempo ecessário

Leia mais

Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço

Matemática Alexander dos Santos Dutra Ingrid Regina Pellini Valenço 4 Matemática Alexader dos Satos Dutra Igrid Regia Pellii Valeço Professor SUMÁRIO Reprodução proibida. Art. 84 do Código Peal e Lei 9.60 de 9 de fevereiro de 998. Módulo 0 Progressão aritmérica.................................

Leia mais

Capitulo 6 Resolução de Exercícios

Capitulo 6 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Cojutos Equivaletes o Regime de Juros Simples./Vecimeto Comum. Descoto Racioal ou Por Detro C1 C2 Cm C1 C2 C...... 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 2 m 1 2 m C Ck 1 i 1 i k1 Descoto Por Fora ou Comercial

Leia mais

INTERPOLAÇÃO. Interpolação

INTERPOLAÇÃO. Interpolação INTERPOLAÇÃO Profa. Luciaa Motera motera@facom.ufms.br Faculdade de Computação Facom/UFMS Métodos Numéricos Iterpolação Defiição Aplicações Iterpolação Liear Equação da reta Estudo do erro Iterpolação

Leia mais

5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Itegrar umericamete uma fução y f() um dado itervalo [a, b] é itegrar um poliômio P () que aproime f() o dado itervalo. Em particular, se y f()

Leia mais

Equações Diferenciais Lineares de Ordem n

Equações Diferenciais Lineares de Ordem n PUCRS Faculdade de Matemática Equações Difereciais - Prof. Eliete Equações Difereciais Lieares de Ordem Cosideremos a equação diferecial ordiária liear de ordem escrita a forma 1 d y d y dy L( y( x ))

Leia mais

Prof. Eugênio Carlos Stieler

Prof. Eugênio Carlos Stieler http://wwwuematbr/eugeio SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A ecessidade de recursos obriga aqueles que querem fazer ivestimetos a tomar empréstimos e assumir dívidas que são pagas com juros que variam de acordo

Leia mais

1.5 Aritmética de Ponto Flutuante

1.5 Aritmética de Ponto Flutuante .5 Aritmética de Poto Flutuate A represetação em aritmética de poto flutuate é muito utilizada a computação digital. Um exemplo é a caso das calculadoras cietíficas. Exemplo:,597 03. 3 Este úmero represeta:,597.

Leia mais

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros.

Os juros compostos são conhecidos, popularmente, como juros sobre juros. Módulo 4 JUROS COMPOSTOS Os juros compostos são cohecidos, popularmete, como juros sobre juros. 1. Itrodução Etedemos por juros compostos quado o fial de cada período de capitalização, os redimetos são

Leia mais

Módulo 4 Matemática Financeira

Módulo 4 Matemática Financeira Módulo 4 Matemática Fiaceira I Coceitos Iiciais 1 Juros Juro é a remueração ou aluguel por um capital aplicado ou emprestado, o valor é obtido pela difereça etre dois pagametos, um em cada tempo, de modo

Leia mais

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares.

Capítulo 5 Cálculo Diferencial em IR n 5.1 Definição de função de várias variáveis: campos vetoriais e campos escalares. 5. Defiição de fução de várias variáveis: campos vetoriais e. Uma fução f : D f IR IR m é uma fução de variáveis reais. Se m = f é desigada campo escalar, ode f(,, ) IR. Temos assim f : D f IR IR (,, )

Leia mais

O erro da pesquisa é de 3% - o que significa isto? A Matemática das pesquisas eleitorais

O erro da pesquisa é de 3% - o que significa isto? A Matemática das pesquisas eleitorais José Paulo Careiro & Moacyr Alvim O erro da pesquisa é de 3% - o que sigifica isto? A Matemática das pesquisas eleitorais José Paulo Careiro & Moacyr Alvim Itrodução Sempre que se aproxima uma eleição,

Leia mais

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida.

Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida. . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.. Coceito e Classificação Equação iferecial é uma equação que apreseta erivaas ou ifereciais e uma fução escohecia. Seja uma fução e e um iteiro positivo, etão uma relação e igualae

Leia mais

Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização

Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização Curso MI Matemática Fiaceira Professor: Pacífico Referêcia: 07//00 Juros compostos com testes resolvidos. Coceito Como vimos, o regime de capitalização composta o juro de cada período é calculado tomado

Leia mais

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma:

Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: Sistemas Lineares Um sistema de equações lineares (sistema linear) é um conjunto finito de equações lineares da forma: s: 2 3 6 a) 5 2 3 7 b) 9 2 3 Resolução de sistemas lineares Metodo da adição 4 100

Leia mais

Equação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas.

Equação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas. Equação Difereial Uma equação difereial é uma epressão que relaioa uma fução desoheida (iógita) om suas derivadas É útil lassifiar os diferetes tipos de equações para um desevolvimeto sistemátio da Teoria

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I

MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I 00 MATEMÁTICA APLICADA À GESTÃO I TEXTO DE APOIO MARIA ALICE FILIPE ÍNDICE NOTAS PRÉVIAS ALGUNS CONCEITOS SOBRE SÉRIES6 NOTAS PRÉVIAS As otas seguites referem-se ao maual adoptado: Cálculo, Vol I James

Leia mais

Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde?

Até que tamanho podemos brincar de esconde-esconde? Até que tamaho podemos bricar de escode-escode? Carlos Shie Sejam K e L dois subcojutos covexos e compactos de R. Supoha que K sempre cosiga se escoder atrás de L. Em termos mais precisos, para todo vetor

Leia mais

Exercício 1. Quantos bytes (8 bits) existem de modo que ele contenha exatamente quatro 1 s? Exercício 2. Verifique que

Exercício 1. Quantos bytes (8 bits) existem de modo que ele contenha exatamente quatro 1 s? Exercício 2. Verifique que LISTA INCRÍVEL DE MATEMÁTICA DISCRETA II DANIEL SMANIA 1 Amostras, seleções, permutações e combiações Exercício 1 Quatos bytes (8 bits) existem de modo que ele coteha exatamete quatro 1 s? Exercício 2

Leia mais

JUROS COMPOSTOS. Questão 01 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um montante de: letra b

JUROS COMPOSTOS. Questão 01 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um montante de: letra b JUROS COMPOSTOS Chamamos de regime de juros compostos àquele ode os juros de cada período são calculados sobre o motate do período aterior, ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a

Leia mais

Aula 2 - POT - Teoria dos Números - Fabio E. Brochero Martinez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldanha Eduardo Tengan

Aula 2 - POT - Teoria dos Números - Fabio E. Brochero Martinez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldanha Eduardo Tengan Aula - POT - Teoria dos Números - Nível III - Pricípios Fabio E. Brochero Martiez Carlos Gustavo T. de A. Moreira Nicolau C. Saldaha Eduardo Tega de Julho de 01 Pricípios Nesta aula apresetaremos algus

Leia mais

UFRGS 2007 - MATEMÁTICA

UFRGS 2007 - MATEMÁTICA - MATEMÁTICA 01) Em 2006, segudo otícias veiculadas a impresa, a dívida itera brasileira superou um trilhão de reais. Em otas de R$ 50, um trilhão de reais tem massa de 20.000 toeladas. Com base essas

Leia mais

Secção 9. Equações de derivadas parciais

Secção 9. Equações de derivadas parciais Secção 9 Equações de derivadas parciais (Farlow: Sec 9 a 96) Equação de Derivadas Parciais Eis chegado o mometo de abordar as equações difereciais que evolvem mais do que uma variável idepedete e, cosequetemete,

Leia mais

Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina

Tabela Price - verdades que incomodam Por Edson Rovina Tabela Price - verdades que icomodam Por Edso Rovia matemático Mestrado em programação matemática pela UFPR (métodos uméricos de egeharia) Este texto aborda os seguites aspectos: A capitalização dos juros

Leia mais

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Critérios de Valorização e Selecção de Investimentos. Métodos Estáticos

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Critérios de Valorização e Selecção de Investimentos. Métodos Estáticos Aálise de Projectos ESAPL / IPVC Critérios de Valorização e Selecção de Ivestimetos. Métodos Estáticos Como escolher ivestimetos? Desde sempre que o homem teve ecessidade de ecotrar métodos racioais para

Leia mais

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu Programação Diâmica Aula 3: Programação Diâmica Programação Diâmica Determiística; e Programação Diâmica Probabilística. Programação Diâmica O que é a Programação Diâmica? A Programação Diâmica é uma técica

Leia mais

Testes χ 2 (cont.) Testes χ 2 para k categorias (cont.)

Testes χ 2 (cont.) Testes χ 2 para k categorias (cont.) Testes χ 2 de ajustameto, homogeeidade e idepedêcia Testes χ 2 (cot.) Os testes χ 2 cosiderados este último poto do programa surgem associados a dados de cotagem. Mais cocretamete, dados que cotam o úmero

Leia mais

O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li

O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li O QUE SÃO E QUAIS SÃO AS PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL EM ESTATÍSTICA PARTE li Média Aritmética Simples e Poderada Média Geométrica Média Harmôica Mediaa e Moda Fracisco Cavalcate(f_c_a@uol.com.br)

Leia mais

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA Resumo [Atraia o leitor com um resumo evolvete, em geral, uma rápida visão geral do

Leia mais

CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013

CONCURSO PÚBLICO 2013 MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE D TEORIA E 146 QUESTÕES POR TÓPICOS. 1ª Edição JUN 2013 CONCURSO PÚBLICO 01 FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL UFMS MATEMÁTICA PARA TODOS OS CARGOS DA CLASSE "D" TEORIA E 16 QUESTÕES POR TÓPICOS Coordeação e Orgaização: Mariae dos Reis 1ª Edição

Leia mais

O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA

O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA O TESTE DOS POSTOS ORDENADOS DE GALTON: UMA ABORDAGEM GEOMÉTRICA Paulo César de Resede ANDRADE Lucas Moteiro CHAVES 2 Devail Jaques de SOUZA 2 RESUMO: Este trabalho apreseta a teoria do teste de Galto

Leia mais

Universidade Presbiteriana Mackenzie. Processamento Digital de Sinais

Universidade Presbiteriana Mackenzie. Processamento Digital de Sinais Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia Elétrica Processameto Digital de Siais Notas de Aula Prof. Marcio Eisecraft Segudo semestre de 7 Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia

Leia mais

a taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo.

a taxa de juros i está expressa na forma unitária; o período de tempo n e a taxa de juros i devem estar na mesma unidade de tempo. UFSC CFM DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MTM 5151 MATEMÁTICA FINACEIRA I PROF. FERNANDO GUERRA. UNIDADE 3 JUROS COMPOSTOS Capitalização composta. É aquela em que a taxa de juros icide sempre sobre o capital

Leia mais

Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2

Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciência da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2 Faculdade Campo Limpo Paulista Mestrado em Ciêcia da Computação Complexidade de Algoritmos Avaliação 2. (2,0): Resolva a seguite relação de recorrêcia. T() = T( ) + 3 T() = 3 Pelo método iterativo progressivo.

Leia mais

III Simpósio sobre Gestão Empresarial e Sustentabilidade (SimpGES) Produtos eco-inovadores: produção e consumo"

III Simpósio sobre Gestão Empresarial e Sustentabilidade (SimpGES) Produtos eco-inovadores: produção e consumo 4 e 5 de outubro de 03 Campo Grade-MS Uiversidade Federal do Mato Grosso do Sul RESUMO EXPANDIDO COMPARAÇÃO ENTRE REDES NEURAIS ARTIFICIAIS E REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA PARA PREVISÃO DE PREÇOS DE HORTALIÇAS

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA I ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volume Por : Gregório Luís I PREFÁCIO O presete teto destia-se a

Leia mais

Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados

Análise no domínio dos tempos de sistemas representados no Espaço dos Estados MEEC Mestrado em Egeharia Electrotécica e de Computadores MCSDI Guião do trabalho laboratorial º 3 Aálise o domíio dos tempos de sistemas represetados o Espaço dos Estados Aálise o domíio dos tempos de

Leia mais

J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode

J. A. M. Felippe de Souza 9 Diagramas de Bode 9 Diagramas de Bode 9. Itrodução aos diagramas de Bode 3 9. A Fução de rasferêcia 4 9.3 Pólos e zeros da Fução de rasferêcia 8 Equação característica 8 Pólos da Fução de rasferêcia 8 Zeros da Fução de

Leia mais

Capitulo 9 Resolução de Exercícios

Capitulo 9 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples) Taxa efetiva liear i l i ; Taxa efetiva expoecial i Empréstimos a Logo Prazo Relações Básicas C k R k i k ; Sk i Sk i e i ; Sk Sk Rk ; Sk i Sk R k ;

Leia mais

Computação Científica - Departamento de Informática Folha Prática 1

Computação Científica - Departamento de Informática Folha Prática 1 1. Costrua os algoritmos para resolver os problemas que se seguem e determie as respetivas ordes de complexidade. a) Elaborar um algoritmo para determiar o maior elemeto em cada liha de uma matriz A de

Leia mais

Parte I - Projecto de Sistemas Digitais

Parte I - Projecto de Sistemas Digitais Parte I - Projecto de Sistemas Digitais Na disciplia de sistemas digitais foram estudadas técicas de desevolvimeto de circuitos digitais ao ível da porta lógica, ou seja, os circuito digitais projectados,

Leia mais

Capítulo 5. Misturas Simples

Capítulo 5. Misturas Simples Capítulo 5. Misturas Simples aseado o livro: tkis Physical Chemistry Eighth Editio Peter tkis Julio de Paula 04-06-2007 Maria da Coceição Paiva 1 Misturas Simples Para iterpretar termodiamicamete o efeito

Leia mais

Álgebra Linear I. Sonia Elena Palomino Castro Bean Daniel Noberto Kozakevich

Álgebra Linear I. Sonia Elena Palomino Castro Bean Daniel Noberto Kozakevich Álgebra Liear I Soia Elea Palomio Castro Bea Daiel Noberto Kozakevich ª Edição Floriaópolis, 0 Govero Federal Presidete da República: Dilma Vaa Rousseff Miistro de Educação: Ferado Haddad Coordeador Nacioal

Leia mais

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTRICOS

APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGRAÇÃO TRAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTRICOS AT49-07 - CD 6-07 - PÁG.: APLICAÇÃO DO MÉTODO DE INTEGAÇÃO TAPEZOIDAL EM SISTEMAS ELÉTICOS J.. Cogo A.. C. de Oliveira IEE - EFEI Uiv. Taubaté Artigo apresetado o Semiário de Pesquisa EFEI 983 ESUMO Este

Leia mais

O poço de potencial infinito

O poço de potencial infinito O poço de potecial ifiito A U L A 14 Meta da aula Aplicar o formalismo quâtico ao caso de um potecial V(x) que tem a forma de um poço ifiito: o potecial é ifiito para x < a/ e para x > a/, e tem o valor

Leia mais

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades:

CURTOSE. Teremos, portanto, no tocante às situações de Curtose de um conjunto, as seguintes possibilidades: CURTOSE O que sigifica aalisar um cojuto quato à Curtose? Sigifica apeas verificar o grau de achatameto da curva. Ou seja, saber se a Curva de Freqüêcia que represeta o cojuto é mais afilada ou mais achatada

Leia mais

M = C (1 + i) n. Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples:

M = C (1 + i) n. Comparando o cálculo composto (exponencial) com o cálculo simples (linear), vemos no cálculo simples: PEDRO ORBERTO JUROS COMPOSTOS Da capitalização simples, sabemos que o redimeto se dá de forma liear ou proporcioal. A base de cálculo é sempre o capital iicial. o regime composto de capitalização, dizemos

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA

ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA ENGENHARIA ECONÔMICA AVANÇADA INTRODUÇÃO MATERIAL DE APOIO ÁLVARO GEHLEN DE LEÃO gehleao@pucrs.br 1 1 Itrodução à Egeharia Ecoômica A egeharia, iserida detro do cotexto de escassez de recursos, pode aplicar

Leia mais

(1) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (2) E. J. Robba Consultoria & Cia. Ltda.

(1) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (2) E. J. Robba Consultoria & Cia. Ltda. Otimização da Qualidade de Forecimeto pela Localização de Dispositivos de Proteção e Seccioameto em Redes de Distribuição Nelso Kaga () Herá Prieto Schmidt () Carlos C. Barioi de Oliveira () Eresto J.

Leia mais

Analise de Investimentos e Custos Prof. Adilson C. Bassan email: adilsonbassan@adilsonbassan.com

Analise de Investimentos e Custos Prof. Adilson C. Bassan email: adilsonbassan@adilsonbassan.com Aalise de Ivestimetos e Custos Prof. Adilso C. Bassa email: adilsobassa@adilsobassa.com JUROS SIMPLES 1 Juro e Cosumo Existe juro porque os recursos são escassos. As pessoas têm preferêcia temporal: preferem

Leia mais

Influência do ruído aéreo gerado pela percussão de pavimentos na determinação de L n,w

Influência do ruído aéreo gerado pela percussão de pavimentos na determinação de L n,w Ifluêcia do ruído aéreo gerado pela percussão de pavimetos a determiação de,w iogo M. R. Mateus CONTRAruído Acústica e Cotrolo de Ruído, Al. If.. Pedro, Nº 74-1º C, 3030 396 Coimbra Tel.: 239 403 666;

Leia mais

Capítulo 10 - Somatórios

Capítulo 10 - Somatórios Capítulo 10 - Somatórios Os somatórios, que se ecotram aturalmete associados às relações de recorrêcia, são bastate importates para a resolução de problemas de matemática do discreto (aálise de eficiêcia

Leia mais

Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais.

Neste capítulo, pretendemos ajustar retas ou polinômios a um conjunto de pontos experimentais. 03 Capítulo 3 Regressão liear e poliomial Neste capítulo, pretedemos ajustar retas ou poliômios a um cojuto de potos experimetais. Regressão liear A tabela a seguir relacioa a desidade (g/cm 3 ) do sódio

Leia mais

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) 21 Nome: ºANO / CURSO TURMA: DATA: 0 / 0 / 05 Professor: Paulo. (Pucrj 0) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescete de altura. A primeira caixa tem m de altura, cada caixa seguite tem o triplo da altura da

Leia mais

UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER

UM NOVO OLHAR PARA O TEOREMA DE EULER X Ecotro Nacioal de Educação Matemática UM NOVO OLHA PAA O TEOEMA DE EULE Iácio Atôio Athayde Oliveira Secretária de Educação do Distrito Federal professoriacio@gmail.com Aa Maria edolfi Gadulfo Uiversidade

Leia mais

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO

PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO AMORTIZAÇÃO Amortizar sigifica pagar em parcelas. Como o pagameto do saldo devedor pricipal é feito de forma parcelada durate um prazo estabelecido, cada parcela, chamada PRESTAÇÃO, será formada por duas

Leia mais

Otimização e complexidade de algoritmos: problematizando o cálculo do mínimo múltiplo comum

Otimização e complexidade de algoritmos: problematizando o cálculo do mínimo múltiplo comum Otimização e complexidade de algoritmos: problematizado o cálculo do míimo múltiplo comum Custódio Gastão da Silva Júior 1 1 Faculdade de Iformática PUCRS 90619-900 Porto Alegre RS Brasil gastaojuior@gmail.com

Leia mais

Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos Numéricos

Solução de Equações Diferenciais Ordinárias Usando Métodos Numéricos DELC - Departameto de Eletrôica e Computação ELC 0 Estudo de Casos em Egeharia Elétrica Solução de Equações Difereciais Ordiárias Usado Métodos Numéricos Versão 0. Giovai Baratto Fevereiro de 007 Ídice

Leia mais

APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS

APOSTILA MATEMÁTICA FINANCEIRA PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS Miistério do Plaejameto, Orçameto e GestãoSecretaria de Plaejameto e Ivestimetos Estratégicos AJUSTE COMPLEMENTAR ENTRE O BRASIL E CEPAL/ILPES POLÍTICAS PARA GESTÃO DE INVESTIMENTOS PÚBLICOS CURSO DE AVALIAÇÃO

Leia mais

+... + a k. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.

+... + a k. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. MATEMÁTICA NOTAÇÕES : cojuto dos úmeros aturais; = {,,, } : cojuto dos úmeros iteiros : cojuto dos úmeros racioais : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i: uidade imagiária, i = z: módulo

Leia mais

M = 4320 CERTO. O montante será

M = 4320 CERTO. O montante será PROVA BANCO DO BRASIL / 008 CESPE Para a veda de otebooks, uma loja de iformática oferece vários plaos de fiaciameto e, em todos eles, a taxa básica de juros é de % compostos ao mês. Nessa situação, julgue

Leia mais

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br

Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Disciplia: Séries e Equações Difereciais Ordiárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Ambiete Virtual de Apredizagem: Moodle (www.ead.ufpb.br) Site do Curso: www.mat.ufpb.br/ead

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Resposta: L π 4 L π 8

Resposta: L π 4 L π 8 . A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados meores, com um círculo iscrito em cada um deles. Sabedo-se que o úmero de círculos em cada etapa cresce

Leia mais

CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS

CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS 60 Sumário CAPÍTULO 5 CIRCUITOS SEQUENCIAIS III: CONTADORES SÍNCRONOS 5.1. Itrodução... 62 5.2. Tabelas de trasição dos flip-flops... 63 5.2.1. Tabela de trasição do flip-flop JK... 63 5.2.2. Tabela de

Leia mais

Guia do Professor. Matemática e Saúde. Experimentos

Guia do Professor. Matemática e Saúde. Experimentos Guia do Professor Matemática e Saúde Experimetos Coordeação Geral Elizabete dos Satos Autores Bárbara N. Palharii Alvim Sousa Karia Pessoa da Silva Lourdes Maria Werle de Almeida Luciaa Gastaldi S. Souza

Leia mais

SUMÁRIO 1. AMOSTRAGEM 4. 1.1. Conceitos básicos 4

SUMÁRIO 1. AMOSTRAGEM 4. 1.1. Conceitos básicos 4 SUMÁRIO 1. AMOSTRAGEM 4 1.1. Coceitos básicos 4 1.. Distribuição amostral dos estimadores 8 1..1. Distribuição amostral da média 8 1... Distribuição amostral da variâcia 11 1..3. Distribuição amostral

Leia mais

As dificuldades na representação gráfica

As dificuldades na representação gráfica II2 A Regressão Liear Múltipla Por vezes, é ecessário mais do que uma variável preditora para modelar a variável resposta de iteresse Exemplo: Num estudo sobre uma população experimetal de cloes da casta

Leia mais

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio

Material Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto

Leia mais

Métodos Estatísticos de Previsão MÉTODOS ESTATÍSTICOS DE PREVISÃO. Regressão Linear. Bernardo Almada-Lobo

Métodos Estatísticos de Previsão MÉTODOS ESTATÍSTICOS DE PREVISÃO. Regressão Linear. Bernardo Almada-Lobo MÉTODO ETATÍTICO DE PREVIÃO 8 6 4 98 96 94 9 9 5 5 Regressão Liear Berardo Almada-Lobo Regressão A regressão é uma das técicas estatísticas mais potetes e de utilização mais frequete. É um método matemático

Leia mais

CPV seu Pé Direito no INSPER

CPV seu Pé Direito no INSPER CPV seu Pé Direito o INSPE INSPE esolvida /ovembro/0 Prova A (Marrom) MATEMÁTICA 7. Cosidere o quadrilátero coveo ABCD mostrado a figura, em que AB = cm, AD = cm e m(^a) = 90º. 8. No plao cartesiao da

Leia mais

Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO:

Prova 3 Matemática ... GABARITO 1 NOME DO CANDIDATO: Prova 3 QUESTÕES OBJETIIVAS N ọ DE ORDEM: NOME DO CANDIDATO: N ọ DE INSCRIÇÃO: IINSTRUÇÕES PARA A REALIIZAÇÃO DA PROVA. Cofira os campos N ọ DE ORDEM, N ọ DE INSCRIÇÃO e NOME, que costam da etiqueta fixada

Leia mais

Capitulo 10 Resolução de Exercícios

Capitulo 10 Resolução de Exercícios FORMULÁRIO Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com pricipal e juros simples corrigidos S C i I Ivestimetos com Cláusulas de Correção Moetária, com apeas o pricipal corrigido e juros simples.

Leia mais

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO 37ª OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 Esio Médio) GABARITO GABARITO NÍVEL 3 ) B ) A ) B ) D ) C ) B 7) C ) C 7) B ) C 3) D 8) E 3) A 8) E 3) A ) C 9) B ) B 9) B ) C ) E 0) D ) A

Leia mais

FLUXO DE CARGA CONTINUADO CONSIDERANDO O CONTROLE DE INTERCÂMBIO ENTRE ÁREAS

FLUXO DE CARGA CONTINUADO CONSIDERANDO O CONTROLE DE INTERCÂMBIO ENTRE ÁREAS Aais do XIX Cogresso Brasileiro de Automática, CBA 2012. FLUXO DE CARA CONTINUADO CONSIDERANDO O CONTROLE DE INTERCÂMBIO ENTRE ÁREAS HEBERT AILA CARHUALLANQUI, DILSON AMANCIO ALES LASEP, DEE, UNESP Av.

Leia mais

Lista 2.1 Breves Revisões de Lógica; Noção de Norma e Distância; Breves Noções Topológicas em R n

Lista 2.1 Breves Revisões de Lógica; Noção de Norma e Distância; Breves Noções Topológicas em R n Faculdade de Ecoomia da Uiversidade Nova de Lisboa Apotametos Cálculo II Lista 2.1 Breves Revisões de Lógica; Noção de Norma e Distâcia; Breves Noções Topológicas em R 1. Símbolos e operadores lógicos:

Leia mais