VII Equações Diferenciais Ordinárias de Primeira Ordem

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1 VII Equações Difereciais Ordiárias de Primeira Ordem Itrodução As equações difereciais ordiárias são istrumetos esseciais para a modelação de muitos feómeos proveietes de várias áreas como a física, química, ecoomia, ecologia, etc A abudâcia de equações diferecias ordiárias em matemática deve-se sobretudo ao facto de muitas leis cietíficas são expressas em termos de taxa de variação (derivada). Por exemplo, du 0, 7 60 dt = ( u ) 54 é uma equação que descreve (aproximadamete) a variação da temperatura u com o decorrer do tempo t, um corpo que perde calor por covecção atural quado rodeado por uma temperatura costate. Esta equação é desigada de equação diferecial ordiária de primeira ordem porque cotem apeas derivadas de primeira ordem em relação a uma úica variável (t ). Uma Equação Diferecial Ordiária (EDO) que cotem derivadas de ordem é também desigada por EDO de ordem. As equações que cotem simultaeamete derivadas em relação a duas ou mais variáveis são desigadas por equações às derivadas parciais e ão serão estudadas este capítulo. Neste capítulo abordaremos apeas as EDOs de primeira ordem. A solução de uma equação diferecial é uma fução que satisfaz a equação diferecial assim como certas codições iiciais da fução. Quado se resolve uma equação diferecial aaliticamete, ecotra-se ormalmete uma solução geral cotedo um certo úmero de costates arbitrárias determiadas de maeira a que a fução esteja de acordo com as codições iiciais. Cotudo em todas as equações difereciais têm solução aalítica. Por seu lado, os métodos uméricos ão têm as limitações dos métodos aalíticos pelo que se aplicam a qualquer forma de equação diferecial. A solução é obtida a forma de uma sequêcia de valores tabelados (discretos) da fução correspodetes a certos potos da variável idepedete. Cotudo se as codições iiciais se alterarem, toda a sequecia terá de ser recalculada. O propósito deste capítulo é o de itroduzir algus dos métodos mais simples utilizados a resolução umérica de equações diferecias ordiárias de primeira ordem. Estas equações podem ser geericamete represetadas a forma: d = f ( x, ), dx x =. 0 0 A seguda codição represeta a codição iicial, pelo que este problema é também desigado por problema de valor iicial.

2 C. Balsa & A. Satos Métodos Baseados a Série de Talor. Muitos dos métodos uméricos utilizados para aproximar os valores da fução x para determiado valor de x baseiam-se o desevolvimeto em Série de Talor (ver Capítulo ). O desevolvimeto de x em série de Talor em toro do poto x = x0 é dado por ( + ) '( x0) ''( x0) ( x0) ( z) + ( x) = ( x0) + ( x x0) + ( x x0) + + ( x x0) + ( x x0),!!! ( + )! com x0 < z < x. Se defiir-mos x x0 =h, podemos escrever a série como ''( x ) ( x ) ( z) x = x ( 0) + '( x0) h+ h + + h + h! ( + )! ( + ) Os dois primeiros coeficietes da série podem ser determiados facilmete a partir da codição iicial e da própria equação diferecial ( ( x0) = 0 e ( x0) = f( x0, 0 )). Para obter as derivadas de ordem superior é ecessário derivar f. Por exemplo a seguda derivada em x 0 será ( x0) = f ( x0, 0 ). Como já sabemos do primeiro capítulo, só podemos trabalhar com um úmero fiito de termos pelo que a prática a série é trucada a partir de uma certa ordem, origiado o poliómio de Talor. O método de Euler cosiste em utilizar apeas os dois primeiros termos da série. Como apeas os termos de ordem zero e ordem um são utilizados, este método é descrito como um método de primeira ordem. O método de Euler modificado baseia-se implicitamete em cosiderar os três primeiros termos da série, pelo que é cosiderado um método de seguda ordem. O método de Ruge-Kutta de quarta ordem, que iremos também cosiderar, baseia-se uma aproximação em que os cico primeiros termos da série de Talor são cosiderados. O erro cometido a aproximação da fução por estes métodos é igual ao erro de trucatura da série de Talor. Assim se cosiderarmos uma aproximação de ordem o erro será ( + ) ( z) h + x 0 z x 0 Erro =, < ( + )! < + h. Cotudo, este erro ão pode ser calculado porque é impossível avaliar a derivada em x cohecer o valor de. = z, sem z. Também ão podemos optar por majorar o erro em [ x0, x ] porque a derivada é apeas cohecida em x = x0 e ão em x = x0 + h. Pelo que apeas podemos cocluir que o erro é proporcioal a h + (igual a um úmero próximo de vezes h + ). Diz-se que o erro é de ordem h + e represeta-se por ( + O h ). Como o método de Euler truca a série de Talor a partir do termo de ordem um ( = ) o erro cometido ao aproximar o valor de ( h) O h. x 0 + é Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 97

3 C. Balsa & A. Satos 3 Método de Euler. Sabemos que o erro a série de Talor será pequeo se o passo h também for pequeo. Efectivamete se o passo for suficietemete pequeo, poderemos ecessitar apeas de um pequeo úmero de termos da série para obter uma boa precisão. O método de Euler segue esta ideia ao extremo utilizado apeas os dois primeiros termos da série de Talor. Supodo que escolhemos h suficietemete pequeo de maeira a poder trucar a série após o termo de primeira ordem. Etão ( z) h ( x0 + h) = ( x0) + h ( x0) +, x0 < z< x0 + h, em que o último termo represeta o erro de trucatura da série de Talor. Ao utilizar esta equação, o valor de 0 x é dado pela equação iicial e ( x0 ) é calculado a partir de f ( x 0, 0 ) que é dada pela equação diferecial dx d f ( x, ) iterativamete, calculado-se a solução em x 0 x 0 h =. Este método é aplicado = + depois de ( h) x + ter sido calculada, prosseguido-se depois para x = x0 + 3h, e assim sucessivamete. Adoptado uma otação em subscrito para os sucessivos valore de e desprezado o erro O( h ), podemos escrever a formula de recorrêcia 0 para o método de Euler sob a forma = + h. + Exemplo - Cosidere o seguite problema d = x, ( 0) = dx x cuja solução aalítica é dada por 3 x = e x+. Vamos aproximar a fução x solução desta equação para os valores de x compreedidos ete 0 e 0,5 utilizado o método de Euler com passo h = 0,. Para simplificar os cálculos é acoselhável orgaizar o trabalho tal como idicado a tabela seguite: x h, exact 0,0 -,0000,0000 0,000 -,0000 0, -0,9000 0,7000 0,0700-0,945 0, -0,8300 0,4300 0,0430-0,856 0,3-0,7870 0,870 0,087-0,85 0,4-0,7683-0,037-0,003-0,80 0,5-0,775-0,896 Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 98

4 C. Balsa & A. Satos Na última colua da tabela icluímos também os valores exactos da fução, exact os potos pretedidos de forma poder comparar com os valores obtidos com o método de Euler. Verificamos que o erro, exact aumeta à medida que os afastamos de x = 0. Isto acotece devido à acumulação de erros locais O( h ) em cada passo. Por esta razão, o método de Euler, o erro global resultate da acumulação do erro local ao fim de muitas iterações é de ordem h, i.e., O h. 4 Método de Euler Modificado No método de Euler simples, utiliza-se o declive o iicio do itervalo,, para determiar o icremeto da fução. Esta técica seria correcta apeas se a fução fosse liear. O ideal seria ter o declive médio exacto ao logo do itervalo. Este pode ser aproximado pelo declive médio obtido os extremos do itervalo. Supodo que utilizamos a média aritmética dos declives obtidos o pricipio e o fim do itervalo [, ] + : x x + para calcular + + h + = +. Esta formula permitiria obter uma melhor estimativa de em x +. Cotudo, ão podemos utilizar esta formula directamete, pois a derivada é simultaeamete fução de x e, ão sedo possível obter sem o verdadeiro valor de +. O método de Euler modificado cotora este problema fazedo + uma previsão do valor de + (que passaremos a desigar por +, p ) através da formula de recorrêcia do método de Euler simples. Este valor é depois utilizado para obter um valor corrigido de + (que passaremos a desigar por +, c ) através da fórmula aterior. O algoritmo do método de Euler modificado é executado em dois passos: ) Previsão: +, p = + h ) Correcção: + h +, p +, c = +. Por esta razão o método de Euler modificado é também classificado como sedo um método de previsãocorrecção. Como implicitamete faz uma aproximação através do poliómio de Talor de seguda ordem, 3 o erro local associado a este método é O h. Cosequetemete o erro global será O h. Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 99

5 C. Balsa & A. Satos Exemplo - Vamos resolver pelo método de Euler modificado o problema proposto o Exemplo. Para simplificar os cálculos acoselhamos a orgaizar o trabalho tal como idicado a tabela seguite: x h +, p h +, p +, c 0,0 -,0000 0,000-0,9000 0,0700-0,950 0, -0,950 0,075-0,8435 0,0444-0,857 0, -0,857 0,0457-0,84 0,0-0,837 0,3-0,837 0,04-0,803 0,000-0,84 0,4-0,84 0,00-0,8-0,089-0,8 0,5-0,8 Comparado estes resultados com os valores obtidos com o método de Euler simples e os valores exactos, obtidos a partir da fução aalítica, verificamos que o erro é meor, havedo aida duas casas decimais correctas em (0,5), cujo valor exacto é -0,896. Na figura é possível verificar que os valores obtidos com o método de Euler modificado estão muito próximos dos valores exactos quado x está próximo de 0 (as duas curvas sobrepõem-se). Para valores de x mais afastados de 0 as duas curvas já ão estão sobrepostas devido à acumulação do erro em cada passo Euler Euler Modificado Valores exactos x Figura Comparação dos valores de aproximados com os valores exactos. Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 00

6 C. Balsa & A. Satos 5 Método de Ruge-Kutta de Quarta Ordem Os métodos de Ruge-Kutta, de várias ordes, caracterizam-se por utilizar valores para o declive calculados a partir de médias poderadas de vários valores previstos. Pelo que o método de Euler modificado pode ser visto como um método de Ruge-Kutta de seguda ordem. O método de Ruge-Kutta de quarta ordem, um dos mais utilizados para a resolução de equações difereciais ordiárias, faz uma média de quatro declives calculados os extremos e a meio do itervalo [ x, x + h]. A formulação mais usada deste método é a seguite: 0 0 = + k + k + + k + 3 k 4, ( ) 6 (, ), k = hf x k = hf x + h, + k, k3 = hf x + h, + k, k = hf x + h, + k. 4 3 O erro local deste método é 5 4 O( h ) e o erro global é O( h ). Este método é computacioalmete mais eficiete do que o método de Euler modificado porque, apesar de exigir quatro avaliações da fução em vez das duas exigidas por etapa, o passo h poder ser muito maior sem que por isso haja perda de precisão. Exemplo 3 - Vamos resolver pelo método de Ruge-Kutta de quarta ordem o problema proposto os exemplos ateriores. Para simplificar os cálculos acoselhamos ovamete a orgaizar o trabalho tal como idicado a tabela seguite: x k k k 3 k 4 Média 0,0 -,0000 0,000 0,0850 0,0858 0,074 0,0855 0, -0,945 0,075 0,0579 0,0586 0,0456 0,0583 0, -0,856 0,0456 0,0333 0,0340 0,0 0,0337 0,3-0,85 0,0 0,0 0,07 0,00 0,05 0,4-0,80 0,00-0,0090-0,0085-0,08-0,0086 0,5-0,896 Comparado estes resultados com os valores exactos, obtidos a partir da fução aalítica, verificamos que temos agora pelo meos quatro casas decimais correctas em todas as aproximações. Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 0

7 C. Balsa & A. Satos 6 Problemas propostos ) Resolva a equação diferecial d dx x = x, ( 0) =, cuja solução aalítica é ( x) = e x, o itervalo [ ] 0; 0,5 utilizado um passo h = 0,, pelos métodos de a) Euler simples b) Euler Modificado c) Ruge-Kutta de quarta ordem. Compara os resultados, obtidos com cada um dos métodos, com os valores reais da fução, calculados a partir da solução aalítica. ) Ecotre a solução de d = + t, () = 0, dt o poto t = pelo método de Euler modificado, utilizado um passo h = 0,. Repita os cálculos com h = 0,05. 3) Repita o exercício aterior utilizado o método de Ruge-Kutta de quarta ordem. 4) Resolva = si x+, 0 = pelo método de Euler modificado de maeira a obter em x = 0,: 0,: 0,5. Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 0

8 C. Balsa & A. Satos 5) Resolva d =, ( 0 ) = dx x + pelo método de Ruge-Kutta de quarta ordem de maeira a obter em x = 0, : 0, : 0,6. 6 Bibliografia A exposição efectuada este Capítulo baseia-se o Capítulo 6 do livro: Curtis F. Gerald ad Patrick O. Wheatle. Applied Numerical Aalsis. Addiso- Wesle, 999. Capítulo 7 Equações Difereciais ordiárias 03

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