Capitulo 9 Resolução de Exercícios

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1 FORMULÁRIO Empréstimos a Curto Prazo (Juros Simples) Taxa efetiva liear i l i ; Taxa efetiva expoecial i Empréstimos a Logo Prazo Relações Básicas C k R k i k ; Sk i Sk i e i ; Sk Sk Rk ; Sk i Sk R k ; S S A Ak Rk i S k ; k k k c d k mi k; k ; k k J R i S J i S ; k k k R A J (caso se teha i Sk R k ); i C R R a i i i ; Método Fracês ou Tabela Price i i C R C i a k Ak A i ; k,,, ; i ; C i A C s i i Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 C S C A A S S A 3 S3 S A3 C s i J i C R A R A i A J i S R A R A i A J3 i S R A3 R 3 : : : : : S S A 0 A i A J is R A R Método Retrospectivo Sk C A A Ak C Ak ; A Método Prospectivo k k i i S R R R a ii i k k k i Método de Recorrêcia k k i k Sk C i R C i R s i k k i C s ki C i ; S si i i ki ; Sk Sk R ; k C k i i Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 5

2 FORMULÁRIO Juros Acumulados etre os períodos h e m J m h R C m i i i h Método Americao ou do Sikig Fud Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Período 0 C C - ic ic C - ic ic - C - ic ic 0 C ic i C C Sikig Fud i qc i ; i R C i q C i C i Método Alemão ou de Juros Atecipados Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 C J0 C A S S A S 3 S A3 S3 A R i J R A A A A i A 3 i C i Ci Ci R i J R A R J3 R A3 R : : : : : A S A S A J R A R i - S A S 0 i A A J R A 0 R A A i Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 6

3 FORMULÁRIO Sistema de Amortizações Costates A A A A ; C k A ; S k C ; k Jk i Sk i C ic Rk C i k ; Período Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 C C C ic R C i C C i C R R i C 3 C 3 C i C R R i C 3 : : : : : 0 C i C R C i Sistema de Amortização Mista C C R f ; R f i k ; R R R a TP SAC TP SAC k k k k k i ; A k k i C f f ; s i f ak i k Sk C f a i k INT a i i Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 7

4 9.9 Exercícios Propostos ) Certo idivíduo, cotraiu uma dívida o valor de R$ ,00, a ser resgatada em aos, em parcelas mesais, cosiderada a taxa de % a.a.c.m.. Costrua o Quadro de Amortização para cada um dos seguites sistemas de amortização. a) Método Fracês b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Costate e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução a) Método Fracês Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 8

5 b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 9

6 d) SAC e) SAM (40% TP/ 60% SAC) Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 0

7 ) Certo idivíduo, cotraiu uma dívida o valor de R$ ,00, a ser resgatada em aos, em parcelas mesais, com carêcia de um ao, de amortização e juros, à taxa de % a.a.c.m.. Costrua o Quadro de Amortização para cada um dos seguites sistemas de amortização. a) Método Fracês b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Costate e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução a) Método Fracês Nota Nas plailhas, estamos mostrado, ao logo do prazo de diferimeto (isto é, ao logo do prazo de carêcia de amortização e de juros), os juros devidos; que, por ão terem sido pagos, implicam em acréscimo do saldo devedor. Ao logo do prazo de diferimeto, os juros cotábeis são ulos; passado a coicidir com os juros devidos após o prazo de diferimeto. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia

8 b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia

9 c) Método Alemão Nota Optamos por dividir este exercício em duas partes. Na primeira parte, relativa ao prazo de carêcia, calculamos o saldo devedor (R$ 5.365,0) ao fial do prazo de carêcia, como se ehum juros fossem pagos. Na seguda parte, referete ao prazo de amortização, como o sistema alemão os juros são atecipados, o saldo ao fial do prazo de carêcia deve ser utilizado para calcular os juros que devem ser pagos o iicio do 3º período (fial do º período). Isto é, existem duas parcelas de juros: uma relativa ao º período de carêcia (R$.3,34), que ão é paga e icorporada ao saldo devedor, e outra relativa ao 3º período (R$.53,65) que é paga ao fial do º período (iício do 3º período). Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 3

10 d) SAC e) SAM (40% TP/ 60% SAC) Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 4

11 3) Certo idivíduo, cotraiu uma dívida o valor de R$ ,00, a ser resgatada em aos, em parcelas mesais, com carêcia de um ao de amortização, à taxa de % a.a.c.m. Costrua o Quadro de Amortização para cada um dos seguites sistemas de amortização. a) Método Fracês b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Costate e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução Observado que, ao logo de todo o prazo de 4 meses, os juros cotábeis coicidem com os juros devidos, temos: a) Método Fracês Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 5

12 b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 6

13 c) Método Alemão Mais uma vez, optamos por dividir o problema em duas partes. A primeira, com meses de carêcia, ode os juros são pagos ao fial de cada mês; a seguda, relativa à fase de amortização, que se iicia o iicio do 3º período (fial do º período). Logo, a época existem dois pagametos de juros: o relativo ao º período de carêcia e o juros relativos à atecipação do 3º mês (referete ao método alemão). Ou seja são pagos R$ 4.000,00 de juros ao fial do º período. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 7

14 d) SAC e) SAM (40% TP/ 60% SAC) Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 8

15 4) Certo idivíduo, cotraiu uma dívida o valor de R$ ,00, a ser resgatada em aos, em 4 parcelas mesais e 4 parcelas semestrais de R$ 0.000,00, à taxa de % a.a.c.m. Costrua o Quadro de Amortização para cada um dos seguites sistemas de amortização. a) Método Fracês b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. c) Método Alemão d) Sistema de Amortização Costate e) Sistema de Amortização Mista (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução A taxa semestral equivalete à taxa mesal de %, é: 6 6 i i 0,0 0,065 ou 6,5% a. s. s m a) Método Fracês O valor da prestação mesal deve ser obtido pela seguite equação de valor: 4 4 0, 0 0, Rm , 0 0, 0 0, 065 0, , 44 Rm R$ 6.63,77, Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 9

16 b) Método Americao com formação de sikig fud à taxa de 6% a.a.c.m. Neste caso, estamos cosiderado o pagameto das 4 semestrais, que podem ser etedidas como amortizações extraordiárias e o sikig fud para formar o saldo de R$ 0.000,00=00000-(4 0000). c) Método Alemão Primeiramete, devemos ecotrar o valor que será pago pelas prestações mesais. Este valor será o valor fiaciado subtraído do valor presete das semestrais de R$ 0.000,00. Para tato, iremos trabalhar com a correspodete taxa efetiva semestral. Como 6 6 i i 0,0 0,065 ou 6,5% a. s. s m tem-se i i ou a s s s 0, ,555%. is i s 0, 065 Podemos dividir o fiaciameto em duas partes. A primeira, C s, a ser paga pelas parcelas semestrais e a seguda, C m, pelas parcelas mesais. O valor de C s pode ser obtido por: iscs 3 4 i i i i s s s s s Cs 3 4 0, 065 0, , , , C, ,95 R$ 7.95, 7 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 30

17 A plailha a seguir mostra o Quadro de Amortização da parte fiaciada pelas parcelas semestrais. Note que este quadro as fórmulas utilizadas são as apresetadas o quadro esquemático da seção 9.4, apeas cosiderado o período como o semestre, e a taxa equivalete semestral. A seguda parte do fiaciameto será dada por: ,7 R$7.084, 8 Cm Logo, a prestação mesal deve ser de: 7084, 80, 0 R R$ 5.99,60 0, 0 4 A plailha a seguir é relativa ao fiaciameto da parte mesal. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 3

18 d) Sistema de Amortização Costate Serão pagas 4 parcelas semestrais de R$ 0.000,00, que correspodem ao valor presete C s, e dado por: Cs 4 0, $ 69.06,58 4 R 0, 065 0, 065 Portato, o valor C m que será resgatado pelas prestações mesais é: C ,58 R $30.938, 4 m Deste modo, teremos amortizações semestrais A s e amortizações mesais A m, respectivamete iguais a: 6906,58 As R$7.65, , 4 Am R$ 5.455,77 4 O que os leva ao seguite Quadro de Amortização (já cosolidado) Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 3

19 e) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Neste caso, estamos supodo que as parcelas semestrais serão rateadas a mesma proporção etre TP e SAC; ou seja, R$ 8.000,00 e R$.000,00, respectivamete. No caso do SAC, temos que os fiaciametos relativos às parcelas semestrais e trimestrais são, respectivamete: C C SAC s SAC m 4 0, $ 4.436,95 4 R 0, 065 0, ,95 R$ , 05 Que correspodem a amortizações semestrais SAC AS e amortizações mesais SAC A m SAC 4436,95 As R$0.359,4 4 SAC 78563, 05 Am R$ 3.73,46 4 Para a parcela do fiaciameto segudo a Tabela Price, teremos que o valor da prestação mesal deve ser obtido pela seguite equação de valor: 4 4 0, 0 0, Rm , 0 0, 0 0, 065 0, , 637 Rm R$.465,49, O cálculo feito para as duas partes do método é mostrado a plailha a seguir, de: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 33

20 Que cosolidada é dada por: Nota Observe-se que o Quadro de Amortização acima apreseta cada elemeto como dado por 40% do correspodete elemeto do caso da Tabela Price, somado com 60% do correspodete elemeto do caso do SAC. 5) Seja o caso de um empréstimo de R$ ,00, à taxa de juros compostos de 6% a.a., a ser amortizado segudo o método fracês por meio de 0 prestações auais, a primeira vecedo-se um ao após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo ates do pagameto da 6ª prestação, quato terá de pagar? Resolva utilizado o método: a) Retrospectivo b) Prospectivo c) Recorrêcia Solução a) Método Retrospectivo O saldo devedor logo após o pagameto da 6ª prestação é dado por: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 34

21 6 0, 06 S R$ 94.59,36 0 0, 06 Já o saldo devedor logo ates do pagameto da 6ª prestação é dado por: 5 0, 06 S , 06 R$.33,96 0, 06 b) Método Prospectivo Precisamos primeiramete ecotrar a prestação a ser paga o fiaciameto, que é dada por: 0 0,06 0,06 R , , 06 Portato, o saldo logo após o pagameto da 6ª prestação é: 6 0 0, 06 S6 773,59 R$ 94.59,36 0,06 E logo ates do pagameto da 6ª prestação é: S 6 S6 R 9459,36 773,59 R$.33,95 c) Método de Recorrêcia Utilizado o valor da prestação calculada o item aterior, temos o saldo logo após o pagameto da 6ª prestação dado por: S , , ,59 R$ 94.59,36 0,06 E logo ates do pagameto da 6ª prestação é: S 6 S6 R 9459,36 773,59 R$.33,95 6) Seja o caso de um empréstimo de R$ ,00, à taxa de juros compostos de % a.a., a ser amortizado por meio de 0 prestações auais, a primeira vecedo-se ao após a data em que foi assumido o compromisso. Se o devedor resolver saldar sua dívida, de uma só vez, logo após e logo ates do pagameto da 6ª prestação, quato terá de pagar? Resolva, sem costruir o Quadro de Amortização, utilizado o método de amortização: a) SAC b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) Solução a) SAC No caso do SAC a amortização do saldo é costate, e o saldo logo após o pagameto da 6ª prestação é: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 35

22 C A R$0.000,00 S R$ ,00 0 ou alterativamete S R$ , 00 0 E o saldo logo ates 5 S 6 S5 i , R$ , 00 0 b) SAM (proporção de 40 % de TP e 60% SAC) S 6 0,4 a0 6 % , 4 a 0 0 % 0, 43, , 4 0, 6 R$ 45.50,5 5, ,4 a 5 S 6 S5 i a 0 0 % 05 % , 4 0, 0, 43, ,5 0, 6 0, R$ 6.8,87 5, ) O baco Epsilo, para operações de empréstimo com prazo de 4 meses, está efetuado cobraça atecipada de juros, à taxa de 4% a.m. Se desejar gahar, em termos reais, a taxa de 4% a.m., que proporção do empréstimo deverá reter a título de saldo médio, se estima que a taxa mesal de iflação seja: a) de % a.m.? b) de 3% a.m.? Solução Sedo i a taxa mesal cobrada pelo baco, para um empréstimo de curto prazo com meses, o fluxo de caixa, a preços corretes, que descreve a operação, pode ser esquematicamete represetado como: Assim, sedo I a taxa mesal de iflação, temos que, a preços da data do empréstimo, o fluxo de caixa é: Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 36

23 Portato, em termos reais, a taxa efetiva mesal, deotada por Por coseguite, fixados os valores de ser tal que: E E i i I i, é tal que: i,, i e I, a proporção de reteção deve i i i i i I I i i I i I i i I i I i i I i I a) Sedo i = 4% a.m., = 4 meses, 4 0, 0 0, 04 i = 4% a.m. e I = % a.m., tem-se: 0,04 4 0,04 0,0 0,39 ou 3,9% Ou seja, o baco Epsilo deve reter 3,9% do valor do empréstimo, a título de formar saldo médio. b) Matidos os demais parâmetros, e sedo I = 3% a.m., tem-se 4 0, 04 0, 03 0,04 4 0,04 0,03 0,3348 ou 33,48% Ou seja, o baco Epsilo deve reter 33,48% do valor do empréstimo. 4 4 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 37

24 8) João, tedo obtido um fiaciameto de R$ ,00, à taxa de,8% a.m, pelo prazo de 0 aos, com prestações mesais costates, recebeu uma heraça o valor de R$ ,00, 0 dias após o pagameto da 70ª prestação. Se, esta mesma data, realizar uma amortização extraordiária com o valor total da heraça, qual será a proporção de redução o valor de sua prestação, se forem matidos o prazo origial e a taxa de juros de,8% a.m.? Solução O valor das prestações origiais, R, era tal que: , 08 0, Ra R R $ 8.4,3 40,8% 40 0, 08 Logo após o pagameto da prestação de ordem 70, seu saldo devedor era: 70 84,3 0, 08 S70 8.4,3 a R$ 56.98, ,8% , 08 Portato, 0 dias após, o saldo devedor era: 0/30 S 5698, 65 0, 08 R $ 6.70, 54 Assim, face à amortização extraordiária, seu saldo devedor ficou reduzido a: S 670, R $86.70,54 Matedo-se a taxa de juros de,8% a.m. e o úmero 70 de prestações remaescetes, o ovo valor da prestação mesal, R, deve ser tal que: ou 86.70,54 0, 08 Ra 0/30 70,8% 40 R ,54 0, 08 0, 08 0, 08 0, 08 0/30 30 R$ 6.000,63 Por coseguite, as prestações origiais seriam reduzidas de 6000, 63 0,986 ou 9,86% 84,3 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 38

25 9) O baco Teta, para empréstimos com prazo de meses, adota a seguite sistemática: Sedo E o valor do empréstimo solicitado, cobra juros atecipados, à taxa mesal i, pelos meses (ou seja, retém a quatia J i E ); retém a proporção E do empréstimo, a título de composição de saldo médio; o fim do primeiro mês, o tomador do fiaciameto deve pagar metade do valor solicitado, sedo simultaeamete liberada metade da exigêcia de saldo médio; o fim do prazo de meses, o tomador do empréstimo deve pagar a outra metade do valor emprestado, sedo simultaeamete liberada a seguda metade da exigêcia de saldo médio. Pede-se: a) especificar o fluxo de caixa que, do poto de vista do baco Teta, caracteriza a operação; b) O valor da taxa efetiva mesal, se i = 3,5% a.m, 5% e E = R$ 0.000,00; Solução a) Do poto de vista do baco TETA, o fluxo de caixa que caracteriza a operação é: a E J E E i 0 a E a E b) A taxa efetiva mesal i, será tal que: ou E E E i i i i i i 4 0 Sedo i 3,5% a. m. e 5% e fazedo=se x x,56 x 0,85x 0,85 0 x i tem-se: 40, 035 0,5 0,5 0,5 0 ou Resolvedo-se a equação do º grau temos: 0,85 0,85 4,56 0,85 0,85 6, 065 x, 0596 x,56 3, x 0,544 Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 39

26 Como x i, só a primeira raiz é válida; ou seja, i=5,96%a.m. Cosiderado o valor do empréstimo, de R$ 0.000,00, o fluxo de caixa será: a , 035 0,5 R$7.800, 00 a a ,5 R$ 4.50, 00 b) Logo, fazedo uso da HP C, tem-se: [f][reg]7800[g][cf 0]450[g][CF j][g][cf j][f][irr]5,96 Ou seja, o baco Teta estará cobrado a taxa efetiva de 5,96% a.m. 0) Admita que o baco Teta, cosiderado o Exercício 9, esteja examiado mudar a sistemática de pagametos, para a de um úico pagameto o fial do prazo de meses. Cosiderado i = 3,5% a.m, 5% (a título de composição de saldo médio) e E = R$ 0.000,00, o caso de pagametos, e deotado por a proporção de reteção o caso de pagameto fial, determiar o valor de de modo que se mateha a taxa efetiva mesal de 5,96% a.m. Solução Do poto de vista do baco Teta, o fluxo de caixa que caracteriza a operação, com um úico pagameto, é: a E J E E i 0 a 0 a E A taxa efetiva mesal i, será tal que: E E i i i i, para E 0 e i 0 i Logo i 0, 0596, , 035 0,93, 04349,034 0,034 0, , ,35639 ou 35, 639% 0,034 Ou seja, o baco Teta terá que subir a reteção para 35,639%. Itrodução à Matemática Fiaceira Faro & Lachtermacher Versão Fial Págia 40

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