Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida.

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1 . EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.. Coceito e Classificação Equação iferecial é uma equação que apreseta erivaas ou ifereciais e uma fução escohecia. Seja uma fução e e um iteiro positivo, etão uma relação e igualae (que ão se reuz à ietiae) que evolva,,,,..., () é chamaa uma equação iferecial e orem. As equações ifereciais poem ser classificaas: I. quato ao úmero e variáveis que a fução escohecia é epeete; II. quato à orem; III. quato ao grau; IV. quato à lieariae; V. quato à homogeeiae. I. Quato ao úmero e variáveis iepeetes, as equações ifereciais são classificaas em: - Equação Diferecial Oriária (EDO) evolve erivaas e uma fução e apeas uma variável iepeete f(). As equações que estuaremos serão toas oriárias; - Equação Diferecial Parcial (EDP) evolve erivaas parciais e uma fução e mais e u u uma variável iepeete. A equação + f (,) é uma EDP, pois u é fução e uas variáveis iepeetes e. II. Quato à orem, a equação iferecial é classificaa e acoro com a erivaa mais alta que a compõe. Es.: i. ii. iii. + tem orem ; + e tem orem ; 3 + tem orem ; iv. + + se( ) v. + tem orem. tem orem 3; III. Quato ao grau, ela recebe o epoete mais alto a fução escohecia. As equações i, ii, iv e v possuem grau e a iii possui grau 3. IV. Quato à lieariae, as equações ifereciais poem ser: - lieares quao ão eistem termos que possuem proutos ou razões a variável epeete. E.: equações i, iv e v; - ão-lieares em caso cotrário. E.: equações ii e iii. V. Quato à homogeeiae, poem ser: - homogêeas quao ão eistem termos que possuem apeas a variável iepeete. E.: equações v; - ão- homogêeas em caso cotrário. E.: equações i a iv. -

2 .. Solução e uma Equação Diferecial Oriária (EDO) Uma EDO, a sua forma eplícita é escrita como: F ( (,( ), ( ), ( ),..., ) ( ) ) Poe-se também escrevê-la a forma abaio, colocao, o lao ireito, as parcelas a equação que ão cotêm a variável epeete. F ( (,( ), ( ), ( ),..., ) ( ) ) f ( ) (.) Resolver a equação (.) sigifica etermiar a mais geral fução ( ) em um itervalo ( a,b) (que poe ser ifiito) se ela é efiia e ifereciável em too o itervalo e ela é tal que trasforma (.) em uma ietiae. Obs.: poe-se fazer uma aalogia e uma equação iferecial e orem com uma equação algébrica e grau. Se resolver uma equação algébrica F ( ) sigifica etermiar toos os valores e que a satisfazem, resolver uma equação iferecial sigifica, como já foi ito, etermiar a fução () que seja a mais geral e satisfaça esta equação iferecial. A solução geral e uma equação iferecial oriária ivie-se em uas partes: - solução a equação homogêea; - solução a equação ão-homogêea. Como já foi ito ateriormete, a equação homogêea é aquela que ão possui termos que cotêm somete a variável iepeete, ou seja, f() a equação (.). A solução geral a equação ( (.) será, portato uma fução () que faz com que F(,( ), ( ), ( ),..., ) ( ) ) seja ieticamete ula (solução a homogêea) aicioaa a uma fução que faz com que F,,,,..., seja iêtica a f() (solução a ão-homogêea). ( ( ( ) ( ) ( ) ) ( )) A solução a equação homogêea possuirá tatas costates arbitrárias quato for a orem a equação iferecial. Isto é fácil e emostrar para a equação iferecial abaio:. ( ) f. A solução esta equação será obtia através e itegrações sucessivas. Caa uma origiará uma costate arbitrária e, portato, a solução possuirá costates arbitrárias. Quao valores são atribuíos às costates arbitrárias, a solução é ita particular. E.: - a fução ( ) Ce, oe C é uma costate arbitrária, é a solução geral a equação iferecial ; - a fução ( ) e é uma solução particular (C ) a equação iferecial ; - a fução ( ) Ce é a solução geral a equação iferecial, seo que é a solução a ão-homogêea; é uma solução particular a equação iferecial. Ce é a solução a homogêea e - a fução ( ) 5 -

3 .3. Obteção e uma Equação Diferecial e Meor Orem Relativa a uma Solução Daa Como já foi visto, uma equação iferecial e orem, possuirá, a solução geral, costates arbitrárias. Portato, obter uma equação iferecial e meor orem relativa a uma solução aa, com costates arbitrárias, sigifica obter uma equação iferecial e orem. Eemplos: a) Seja a fução ( ) Ce. Como possui uma costate arbitrária, a equação iferecial será e orem, ou mais cohecia como equação iferecial e ª orem. Derivao (): ( ) Ce. É fácil perceber que a equação iferecial será obtia com. b) Seja a fução ( ) Ce. Como possui uma costate arbitrária, a equação iferecial será e ª orem. Derivao (): ( ) Ce. A equação iferecial será obtia com. c) Seja a fução ( ) C e + Ce. Como possui uas costates arbitrárias, a equação iferecial será e orem, ou mais cohecia como equação iferecial e ª orem. Derivao () uas vezes: ( ) C e + C e ( ) C e + C e 4 Neste caso, é melhor itrouzir a figura o operaor iferecial. As equações ifereciais obtias em a) e b) poem ser escritas, respectivamete, como L e L, oe L e L são operaores ifereciais e L e L. Como a fução ( ) C e C e + possui as fuções e a) e e b), a equação iferecial poe ser L à fução (), ou seja, fazeo facilmete obtia aplicao sucessivamete os operaores L e L L Voltao à forma traicioal:

4 .4. Problemas e Valor Iicial (PVI) e Problemas e Valor e Cotoro (PVC) Quao se quer ecotrar uma solução particular a partir e uma solução geral e uma aa equação iferecial, é ecessário cohecer os valores a fução () e/ou suas erivaas em a,b. etermiaos valores e o itervalo ( ) Quao os valores a fução () e/ou suas erivaas são cohecios em um úico poto ( a,b), oe é cohecio como poto iicial, estes valores são eomiaos coições iiciais. Ao cojuto formao pela equação iferecial e pelas coições iiciais á-se o ome e Problema e Valor Iicial (PVI). Normalmete. Quao os valores a fução () e/ou suas erivaas são cohecios em iferetes potos o itervalo ( a,b), estes valores são eomiaos coições e cotoro. Ao cojuto formao pela equação iferecial e pelas coições e cotoro á-se o ome e Problema e Valor e Cotoro (PVC). Normalmete, o PVC são cohecios apeas os valores a fução () em iferetes potos. Eemplos: a) PVI Equação iferecial: 3 + Solução geral: ( ) C e + C e Coições iiciais: ( ) e ( ) Derivao a solução geral e substituio as coições iiciais em ( ) e ( ) C -. A solução particular será, portato: b) PVC Equação iferecial: 3 + Solução geral: ( ) C e + Coições e cotoro: ( ) e ( l( ) ) C e ( ) e e., obtém-se C e Substituio as coições e cotoro em (), obtém-se C e C -. A solução particular será, portato: ( ) e e. -4

5 .5. Eistêcia e Uiciae a Solução e um PVI O Problema e Valor Iicial + o úico resultao que satisfaz a equação iferecial. e ( ), ão possui solução, pois é O Problema e Valor Iicial por +. e ( ), possui uma úica solução aa O Problema e Valor Iicial + C, oe C é uma costate arbitrária. e ( ), possui um úmero ifiito e soluções Nota-se, com estes eemplos, que o PVI poe ão possuir solução, possuir uma úica solução ou mais e uma. Este fato couz aos ois problemas fuametais: - Eistêcia: Dao um PVI, ele possui solução? - Uiciae: Em que coições o PVI possui uma úica solução? Os teoremas que respoem a estas pergutas são cohecios como Teorema e Eistêcia e Teorema a Uiciae. Estes teoremas garatem que o PVI e uma EDO liear e orem, escrita a forma geral: a ( ) ( ) ( ) + a ( )... a ( ) a ( ) f ( ) ( ( ), ( ),... ) ( ) ( ) possuirá uma úica solução se as fuções ( ) ( a,b) que cotém o poto cosierao e ( ) a k, oe k... forem cotíuas o itervalo a ão seja ieticamete ula aquele itervalo. Obs.: Eistem equações que apresetam solução sigular. Embora estas equações ão serão aboraas o curso, é mostrao abaio um eemplo esta situação. A equação iferecial ( ) + possui a solução geral C C e, portato,,, 4, 4, etc. são soluções particulares. A fução também é 4 solução a equação, porém sigular. A Figura. mostra algumas soluções particulares e a sigular. -5

6 () Figura. Soluções particulares e solução sigular a equação ( ) +.6. Verificação a Solução e uma EDO Verificar a solução e uma EDO sigifica substituir a fução e suas erivaas a EDO. Se resultar em uma ietiae, a fução é solução esta equação. Eemplos: a) Verificar se A erivaa e é Ce é solução a EDO. Ce. Substituio e a EDO: Ce Ce e, portato EDO. Ce é solução a b) Verificar se. C e + Ce é solução a EDO 3 + A primeira erivaa e é A segua erivaa e é Ce + Ce. Ce + 4Ce. Substituio, e a EDO: ( C e + C e ) + ( C e + C e ) C e + 4Ce 3 ( 3 + ) + C e ( ) C. e Portato. C e + Ce é solução a EDO