Sistemas de Filas Simples

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1 Sistemas de Filas Simles Teoria de Filas Processo de chegada: se os usuários de uma fila chegam os istates t, t, t 3,..., t, as variáveis aleatórias τ t - t - são chamadas de itervalos etre chegadas. As variáveis aleatórias formam uma seqüêcia de valores aleatórios Ideedetes e Ideticamete Distribuídos (IID). O rocesso mais comum de chegada é o rocesso de Poisso. Neste caso os itervalos etre chegadas são distribuídos exoecialmete IID. Outras distribuições odem também ser utilizadas tais como: Determiística, Hier-exoecial e Geérica. Processo de serviço: O temo que cada usuário do sistema de fila assa em serviço defie o seu temo de serviço. É usual cosiderar que estes temos de serviços são variáveis aleatórias IID. A distribuição mais comum é a exoecial, orém outras distribuições também são utilizadas, tais como: determiística, Hyer-exoecial e geérica. Número de servidores: defie o úmero de servidores disoíveis o sistema de fila. Normalmete, estes servidores são idêticos. Caacidade do sistema: é o úmero máximo de usuários que o sistema de fila ode aresetar. Este úmero cosidera tato os usuários a fila como aqueles em serviço. Quado este arâmetro ão rereseta ehuma grade limitação é comum utilizar-se um valor ifiito ara a sua caacidade.

2 Tamaho da oulação: rereseta o úmero total de usuários em otecial, que odem chegar o sistema de fila. Na maioria dos sistemas reais a oulação é fiita, orém se esse úmero é suficietemete grade, ode-se utilizar o valor ifiito como tamaho da oulação. Discilia de Serviço: a ordem com que os usuários do sistema são atedidos defie a discilia de serviço ou atedimeto. As discilias mais comus são: FCFS (First Come First Served) O rimeiro a chegar é o rimeiro a ser atedido. RR (Roud Robi) Um usuário é atedido or um temo máximo rédefiido e se ão for ossível realizar todo o serviço, o usuário deve ir ara o fial da fila. LCFS (Last Come First Served) O último a chegar é o róximo a ser atedido. LCFS-reemtivo O usuário que chegou or último ode iterromer o usuário que está sedo atedido. PS (Processor Sharig) Corresode à discilia RR com um quatum suficietemete equeo comarado com o temo médio de serviço. Equivale a reartir o rocessador em artes iguais. Sistemas de filas que ão ossuem temo de esera são chamados de Cetros de Atraso (Delay Ceter). Em geral, sistemas com ifiitos servidores (IS) ossuem esta característica. Notação Para a defiição de um sistema de filas é ecessário se esecificar seis arâmetros: A/S/m//K/SD ode A: Distribuição dos itervalos etre chegadas; S: Distribuição dos temos de serviço; m: Número de servidores; : Número máximo de usuários o sistema; K: Tamaho máximo da oulação; SD: Discilia de atedimeto ou serviço. As distribuições dos itervalos etre chegadas e dos temos de serviço são reresetadas em geral or uma letra: M Exoecial; D Determiística G Geérica Uma distribuição determiística é aquela que defie temos costates, ortato ão existe ehuma variabilidade. Uma distribuição geérica sigifica uma distribuição ão esecificada. Os resultados assim obtidos são válidos ara qualquer distribuição.

3 A distribuição exoecial ossui a roriedade de ão aresetar memória ( memoryless ), isto é, o róximo estado só deede do estado atual e ão dos estados ateriores. Se os itervalos etre chegadas são distribuídos exoecialmete com média /, o temo eserado ara a róxima chegada é semre /, ideedete do temo que á trascorreu desde a última chegada. Variáveis associadas a um sistema de filas: Serviço Chegada Esera m Chegada aterior Chegada atual q s Iício de serviço Térmio de Serviço t w r s Temo τ Itervalo etre chegadas sucessivas Taxa média de chegada /E[τ], em algus sistemas este arâmetro ode ser fução do estado do sistema s Temo de serviço de um usuário Taxa média de serviço or servidor /E[s]. A taxa total de serviço ara m servidores é m úmero de usuários o sistema. É chamado também de tamaho da fila, icluido os usuários que estão em serviço q Número de usuários eserado ara receber serviço. É semre meor que, ois ão iclui os usuários em serviço s Número de usuários em serviço o sistema r Temo de resosta ou simlesmete temo o sistema. Iclui tato o temo de esera como o temo de serviço w Temo de esera, isto é, itervalo de temo etre o istate de chegada e o iício do serviço Todas as variáveis acima, com exceção de e, são variáveis aleatórias. 3

4 Relações etre as variáveis As relações discutidas a seguir são válidas ara o sistema G/G/m (ou sea, ara qualquer sistema de filas): Codição de estabilidade: se o úmero de usuários cresce cotiuamete e se tora ifiito, o sistema é deomiado istável. Para que um sistema sea estável é ecessário que a seguite relação sea verdadeira: < m Relação etre o úmero de usuários o sistema e úmero a fila: q + s Observe que estas variáveis são aleatórias. Em articular esta igualdade leva a uma outra igualdade etre os seus valores médios: E[] E[q] + E[s] Se a taxa de serviço de cada servidor é ideedete do úmero de usuários a fila, ou sea, Cov(q,s) Etão Var[] Var[q] + Var[s] Número x Temo: Se usuários ão são erdidos, o úmero médio de usuários o sistema está relacioado ao seu temo de resosta da seguite maeira: E[] *E[r] ou de maeira semelhate: E[q] *E[w] Estas equações são cohecidas como Resultado de Little e são válidas desde que o sistema estea em situação de equilíbrio, isto é, em um itervalo grade de observação, o úmero de saídas é igual ao úmero de chegadas ao sistema. Este resultado é ideedete das distribuições dos itervalos de chegada e dos temos de atedimeto, Temo o sistema x Temo a fila: o temo o sistema é exresso como a soma do temo de esera com o temo de serviço: r w + s Note que r,w e s são variáveis aleatórias. Portato existe etre seus valores médios a seguite relação: E[r] E[w] + E[s] e quado o temo de serviço é ideedete do úmero de usuários a fila etão: e Cov(w,s) 4

5 Var[r] Var[w] + Var[s] Resultado de Little Suoha que o sistema sea moitorado or um itervalo de temo T e que sea matido um registro sobre cada istate de chegada ou de artida. Se T for suficietemete grade o úmero de chegadas se aroxima do úmero de artidas. Sea esse úmero igual a N. Etão Taxa de chegada Total de chegadas/temo total N/T Sea J a soma do temo gasto o sistema or todos os usuários que assaram elo sistema o itervalo T, etão se odem escrever as seguites relações: Portato: Ou sea, E[r] J/N Temo médio o sistema E[] J/T Número médio de usuários o sistema E[] (N/T)*(J/N) E[] * E[r] Resultado de Little 3 Processos Estocásticos Uma seqüêcia de variáveis aleatórias idêticas idexadas or um mesmo arâmetro, or exemlo, temos, formam um rocesso estocástico. Exemlo: O úmero de usuários a fila de um sistema em fução do temo, w(t) é um rocesso estocástico. Os rocessos mais comus utilizados os sistemas de fila são: Processos estocásticos com estado discreto Deededo dos valores que a variável aleatória ode tomar, odem-se ter rocessos com estados discretos ou cotíuos. Por exemlo: O úmero de usuários a fila é um rocesso discreto. Processo de Markov Se os estados futuros do rocesso deedem exclusivamete do estado atual, o rocesso é chamado de Markov, como o caso de variáveis aleatórias com distribuição exoecial que ossuem a roriedade memoryless. Neste caso, o temo em que o sistema se ecotra o estado atual ão afeta o róximo itervalo de temo. 5

6 Cadeia de Markov Um rocesso de Markov com estados discretos é chamado de cadeia de Markov. Os sistemas de fila do tio M/M/m odem ser modelados como uma cadeia de Markov cosiderado-se como estado o úmero de usuários a fila. Processo Nascimeto e Morte Os rocessos de Markov que ossuem um esaço de estado discreto e o qual as trasições de estado só odem ocorrer etre estados vizihos, são deomiados de rocessos de Nascimeto e Morte. Neste caso, ode-se reresetar os estados or um úmero iteiro N e as ossíveis mudaças de estado são ara (N+) ou (N-). Por exemlo, o úmero de usuários N em um sistema de filas que areseta somete chegadas idividuais ode ser modelado or um rocesso de Nascimeto e Morte. Processo de Poisso Se os itervalos etre chagadas são IID e exoecialmete distribuídos, o úmero de chegadas um itervalo de temo (t,t+x) ossui uma distribuição de Poisso. Os rocessos de Poisso são muito utilizados os sistemas de filas e aresetam algumas roriedades iteressates. a) Jução de rocessos de Poisso: Σ ι Poisso κ Poisso 6

7 b) Distribuição de rocessos de Poisso * Poisso k * κ k * Poisso c) Partida de um sistema M/M/ < Poisso Poisso Relação etre os diversos rocessos estocásticos Processos Estocásticos Processos de Markov Processos de Nascimeto e Morte 7

8 4 Aálise de Fila Úica Sea um sistema de fila úica: i i Este sistema ode ser descrito como um Processo de Nascimeto e Morte em que o estado é reresetado elo úmero de usuários o sistema (ver caítulo de Noções de Processos Estocásticos e de cadeia de Markov) Diagrama de Trasição de Estados Probabilidades em Equilíbrio Cosideremos que em um istate t o sistema está o estado, isto é, existem usuários o sistema. (t) é a robabilidade do sistema estar o estado o istate t, isto é, de ossuir usuários. O cálculo de (t) a situação de equilíbrio ode ser feito através de uma equação de balaceameto de fluxo de robabilidades em cada estado da Cadeia de Markov. A última equação ecessária é a soma das robabilidades de todos os estados que é igual a um. Em uma itervalo de temo t, o sistema oderá cotiuar o estado ou mudar ara o estado - ou + de acordo com as robabilidades: Pr[ir ara o estado + está o estado ] t Pr[ir ara o estado - está o estado ] t Pr[cotiuar o estado ] ( - t - t) 8

9 O itervalo de temo t deve ser equeo o suficiete ara ão haver dois evetos simultâeos este itervalo. Podemos motar um couto de equações ara as trasições de estado: (t + t) ( - t) (t) - t (t) (t + t) t (t) + ( - t - t ) (t) + t (t) (t + t) t (t) + ( - t - t ) (t) + 3 t 3 (t)... (t + t) - t - (t) + ( - t - t ) (t) + + t + (t) A última equação ode ser escrita como: (t + t) - t - (t) + (t) - ( + ) t (t) + + t + (t) (t + t) - (t) - t - (t) - ( + ) t (t) + + t + (t) ( (t + t) - (t))/ t - - (t) - ( + ) (t) (t) No limite quado t tem-se: lim (t + t) (t) (t) ( + ) (t) + + t + t (t) Etão d dt (t) (t) ( + ) (t) (t) Quado o sistema está a, situação de equilíbrio, isto é, estável, a robabilidade de estar em um estado ão varia com o temo o que sigifica que a derivada de (t) é ula. (t) ( + ) (t) (t) Neste caso, (t) será idicado como. ( + ) ara,,..., ( + ) + + Calculado em fução de temos: 9

10 ) ( ) ( + + Para,,..., A robabilidade de equilíbrio de um rocesso ascimeto e morte se ecotrar um determiado estado é: + Para,,..., Podemos determiar, que é a robabilidade do sistema ossuir zero usuários, cosiderado que Cálculo de : ) ( + + Desta forma, a solução geral de um Processo Nascimeto e Morte é dada or: * 5 Filas Markoviaas São as filas úicas com chegada e atedimeto elo rocesso de Poisso, idicadas de forma geérica como M/M/m/ sedo M o úmero de servidores, e o úmero máximo de usuários o sistema. Neste caso cosidera-se que o sistema se ecotra a situação de equilíbrio em que a taxa de chegada ão se altera, sedo igual a, e as taxas de serviço de dos servidores ão se alteram, sedo que todos servidores tem a mesma taxa de atedimeto.

11 5. Fila Úica M/M/ O sistema M/M/ se ecotra a situação de equilíbrio em que os e ão se alteram coforme o úmero de usuários o sistema. < - + Para este sistema tem-se: Diagrama de trasição de estados Alicado a forma geral de solução do rocesso ascimeto e morte, chega-se: ( ) * ode / é chamada de itesidade de tráfego e é usualmete reresetada or ρ, ortato * ρ, ode - ρ aseado esta solução ode-se derivar os riciais arâmetros do sistema M/M/: a. Fator de utilização do servidor: U U - P ρ b. Número médio de usuários o sistema: E ().P.( ρ). ρ ρ ρ ( ) c. Variâcia do úmero de usuários o sistema:

12 Var() E( ) E().( ρ). ρ E() d. Probabilidade de se ter ou mais usuários o sistema: ρ.( ρ) e. Temo médio de resosta: E[r] ρ ρ ( ρ) Cosiderado que E[] * E[r] elo Resultado de Little tem-se que: E() ρ E(r). ρ ( ) ρ f. A distribuição de robabilidades do temo de resosta o sistema F(r) é uma distribuição exoecial: F(r) e r ( ρ) Número médio de clietes a fila Gráfico de E[ q ] x ρ E[ ] ρ q /( ρ) ρ Observar: quado ρ se aroxima de o temo a fila e o úmero de clietes a fila tedem a ifiito.

13 5. Fila Úica M/M/m Este sistema ossui uma fila e m servidores cada um com taxa de atedimeto. Coforme os usuários etram o sistema, elo fato de servidores etrarem em oeração, a taxa de serviço vai aumetado em múltilos de, até que todos os servidores esteam ocuados. A artir deste oto a taxa de atedimeto se matém igual a m. m- m m+ 3 (m-) m m m 5.3 Fila Úica M/M// Diagrama de trasição de estados Este sistema ossui uma fila e um servidor com taxa de atedimeto, sedo que a fila ossui tamaho -, isto é, o limite o úmero de usuários o sistema é. - - Diagrama de trasição de estados 3

14 5.4 Fila Úica M/M/m/ Este sistema ossui uma fila e m servidores cada um com taxa de atedimeto sedo que a fila ossui tamaho -m, isto é, o limite o úmero de usuários o sistema é. -m Coforme os usuários etram o sistema, elo fato de servidores etrarem em oeração, a taxa de serviço vai aumetado em múltilos de. Tem-se duas situações ossíveis: m e >m. a) Se m - 3 (-) b) Se >m Diagrama de trasição de estados m- m 3 (m-) m m - m m Diagrama de trasição de estados 4

15 6 ibliografia [] Jai, R., The Art of Comuter Systems Performace Aalysis, Joh Wiley & Sos Ic, ISN: , 99, 685. [] Cassadras, C. G., Discrete Evet Systems: Modelig ad Performace Aalysis, Akse Associates Icororated Publishers, 993, ISN: , 79. [3] Meascé, D. A., Almeida, V. A. F., Scalig E-usiess: Techologies, Models, Performace ad Caacity Plaig, Pretice-Hall, ISN: ,, 449. [4] Marsa, M. A., albo, G., Cote, G., Doatelli, S., Fraceschiis, G., Modelig with Geeralized Stochastic Petri Nets, Joh Wiley & Sos, ISN: , 995, 3. 7 Exercícios ) Durate uma hora de observação, um servidor de omes de um sistema recebeu.8 requisições. O temo médio de resosta observado a essas requisições foi de /3 de segudo. Qual o úmero médio de cosultas o servidor? O que deve ser assumido a reseito do sistema? O úmero médio de cosultas seria diferete se o temo de serviço ão fosse distribuído exoecialmete? Res.:, fluxo balaceado, ão ois foi utilizada a fórmula de Little que ão exige distribuição exoecial. ) O temo médio de resosta em um sistema de bases de dados do camus de uma uiversidade é 3 segudos. Durate um eríodo de observação de miuto, o temo ocioso o sistema foi medido como segudos. Usado o modelo M/M/ ara o sistema determie o seguite: a) Utilização do sistema b) Temo médio de serviço or cosulta c) Número de cosultas comletadas durate o itervalo de observação d) Número médio de cosultas o sistema e) Probabilidade do úmero de cosultas o sistema ser maior que f) Temo de resosta em 9% g) Temo de esera em 9%. Res.: a) 5/6; b),5 s; c); d) 5; e),35; f) 6,9 s; g) 6,36 s. 3) Cosiderado que o temo médio de resosta o exercício aterior ão está aceitável, a uiversidade está aalisado uma das seguites alterativas. Qual dessas alterativas garate um temo de resosta meor? a) Substituir o comutador or um que sea duas vezes mais ráido. b) Colocar outro comutador idêtico ao rimeiro em outro lugar do camus. 4) Um servidor de rede ossui uma uidade de disco com temo médio ara rocessameto de uma requisição de Etrada/Saída de 5 ms. A taxa de chegada de requisições é de 6 requisições or segudo. Determie: a) Fator de utilização do disco. 5

16 b) Probabilidade de o servidor estar ocioso. c) Probabilidade de ter que eserar a fila. d) Número médio de requisições o servidor. e) Número médio de requisições eserado a fila. f) Temo médio de resosta a uma requisição. g) Variâcia do temo de resosta. h) Temo de esera em 9%. 5) Para melhorar o temo de resosta do servidor da questão aterior devem ser aalisadas as seguites alterativas: I. Colocar mais um disco com mesmo temo de atedimeto (5 ms or requisição) e com uma fila atededo aos dois discos. II. Colocar mais um disco com mesmo temo de atedimeto (5 ms or requisição) e com uma fila ara cada disco. III. Trocar o disco or outro com o dobro da velocidade. Em relação às três alterativas resoda: a) Qual o temo de resosta e o temo de esera a fila ara cada uma das alterativas, b) Qual a melhor solução e qual critério utilizou esta decisão. 6) Um sistema de armazeameto de um comutador cosiste de 3 uidades de disco comartilhado uma fila comum. O temo médio de atedimeto de uma requisição de E/S é de 5 ms. As requisições de E/S chegam ao sistema a uma taxa de 3 requisições or segudo. Utilizado o modelo M/M/3 ara este sistema, determie: a) Taxa de utilização média dos discos. b) Probabilidade de o sistema estar ocioso,. c) Probabilidade de ter que eserar a fila. d) Número médio de requisições o sistema, E[]. e) Número médio de requisições eserado a fila, E[ q ]. f) Temo médio de resosta, E[r]. g) Variâcia do temo de resosta. h) Temo de esera em 9%. Res.: a),5; b),; c),4; d),7; e),5; f),579s; g),96s ; h),87s. 7) Reita o exercício aterior assumido que uma fila searada é matida ara cada uidade de disco do sistema. Assuma também a mesma taxa de chegada de requisições. Res.: a),5; b),5; c),5; d) ; e),5; f),s; g),s; h),6s. 8) Assumido que existem aeas 4 buffers o exercício 6, determie: a) Probabilidade de requisições o sistema,,,, 3 e 4. b) Número médio de requisições o sistema, E[]. c) Número médio de requisições a fila, E[ q ]. d) Variâcia do úmero de requisições o sistema Var[]. e) Taxa de chegada efetiva. f) Taxa de erda de requisições. g) Utilização das uidades de disco. h) Temo médio de resosta. 6

17 Res.: a),;,34;,5;,3;,69 b),5 req; c),69; d),3; e) 8; f),9; g),47; h),5. 9) 5% dos aluos que vão à sala de um rofessor ara esclarecer dúvidas desistem se o rofessor á está ocuado e % desistem se o rofessor está ocuado e á existe um colega à esera. Desehe a cadeia de Nascimeto e Morte deste sistema cosiderado que a taxa iicial de chegada de aluos é e o temo médio de atedimeto de cada aluo é /. Determie as robabilidades de equilíbrio deste sistema. Qual o úmero médio de aluos sedo atedidos se aluos/hora e /5 miutos. ) Um baco quer determiar quatas ATMs (máquias de auto-atedimeto) devem ser istaladas em uma localidade ode chegam 4 clietes or hora, sedo que uma trasação leva em média miuto ara ser rocessada. O baco cobra R$, or trasação e assume que quado existem mais de essoas a fila or uma ATM o cliete desiste. Suodo que a chegada é Poisso e o temo de rocessameto da trasação é exoecial determie quatas ATM devem ser colocadas de forma que a erda eserada or hora sea iferior a R$5,? ) Um suermercado oferece R$, aos seus róximos clietes que ecotrarem todas as caixas ocuadas. Cosidere que existe uma fila úica ara todos os caixas. Os clietes chegam à fila a uma taxa de 3 clietes or miuto e a taxa de serviço de cada caixa é clietes or miuto. O gerete do suermercado quer saber quatos caixas deve mater em fucioameto ara que seu orçameto de R$.5, ão sea excedido, isto é, a romoção ão deve gastar mais que R$.5, ara esses rimeiros clietes. 7

18 8 Fórmulas. Taxa de chegada Taxa de serviço Número de Servidores. Fator de utilização 3. Probabilidade de zero usuários o sistema 4. Probabilidade sistema de usuários o 5. Probabilidade de ou mais usuários o sistema Uρ M/M/ M/M/m Uρ m ρ ( ρ) ρ,,,..., ρ 6. Probabilidade de eserar a fila ρ 7. Número médio de usuários o sistema 8. Variâcia do úmero de usuários o sistema E[] ρ /( ρ ) Var[] ρ/( ρ) m ( ρ ) ( m ρ ) m m + +!( ρ )! m m ( m ρ )! m m ρ m! <m m (m ρ ς P( m usuários) m!( E[] m ρ + ρς /( ρ ) m ) ρ + ρ ρς Var[] m ρ + ρς + m ( ρ ) ) P 8

19 M/M/ M/M/m 9. Temo médio de resosta E[r] (/ ) /( ρ ).Variâcia do temo de resosta Var[r] ( / )/( ρ ).Probabilidade de k usuários a fila ( q k) ρ k E[r] Var[r] + m( ρ ς ς ( ς ) + m ( ρ ) ) ( k + q k) ( ρ ) ρ k>.número médio de usuários a fila E[ q ] ρ /( ρ) E[ q ] ρς /( ρ ) 3.Variâcia do úmero de usuários a fila Var[ ρ q ] ρ ( + ρ ρ )/( ) 4.Temo médio de esera E[w] ρ /[ ( ρ )] 5.Variâcia do temo de esera Var[w] ( ρ ) ρ /[ ( ρ ) ] 6.Temo de resosta em q% 7.Temo de esera em q% r q% Var[ ρ q ] ρς ( + ρ ρς )/( ) E[w] ς /[m ( ρ )] Var[w] ς ( ς )/[m ( ρ ) ] E[r]l q E[w] ρ E[w] ς wq% max, l wq% max, l ρ q ς q 9

20 . Taxa de chegada Taxa de serviço Número de servidores Número de usuários ( ) M/M// M/M/m/ m ( m). Fator de utilização U ρ ( P ) sedo ρ / U ρ ( P ) sedo ρ /(m) O sistema é semre estável (ρ< ) O sistema é semre estável (ρ< ) 3. Probabilidade de zero usuários o ( ρ ) m + m m sistema + ρ ( ρ )(m ρ ) (m ρ ( ρ ) + + m!( ρ )! ( + ) ρ 4. Probabilidade de usuários o ( ) sistema ρ ρ ( ρ + ) ρ e (m ρ ) m! ( + ) ρ e m m ρ m m! > 5. Taxa de chegada efetiva ( P ) ( P ) 6. Taxa de erda P 7. Número médio de usuários o sistema E[] ρ ( + ) ρ ρ ρ + ' ' P 8. Número médio de usuários a fila ρ + ρ E[ q ] ρ + ρ ρ 9. Temo médio de resosta E[r] E[]/[ ( P )] E[r] E[]/[ ( P )].Temo médio de esera E[w] E[ q ]/[ ( P )] E[w] E[ q ]/[ ( P )] + )

21 Fórmulas de Progressões Geométricas Sedo a - rimeiro termo a - último termo q - razão. Soma dos rimeiros termos de uma PG fiita S a + a a i a q i S a ( q ( q) + ) S a + a a +... i a q i a ( q) S. Soma de uma PG ifiita (série) com razão q <