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2 Matemática comercial & fiaceira Juros Compostos Iiciamos o capítulo discorredo sobre como obter o motate composto, o valor pricipal e a taxa de juros de aplicações compostas, explicado a origem das fórmulas e como proceder em qualquer uma das calculadoras, comum ou HP-12C. Em seguida, apresetamos o cálculo do prazo e os coceitos de taxa omial e efetiva. Na sequêcia, estudamos o regime dos juros cotíuos, que pode ser etedido como o pricípio de capitalização composta a um ível ifiitesimal de correção. Estudamos também a coversão de taxas compostas, a fórmula dos juros compostos e os efeitos da iflação sobre os redimetos das aplicações. Fializamos o capítulo apresetado os registradores fiaceiros da calculadora HP-12C e como poderão ser utilizados para agilizar a obteção de resultados relacioados à capitalização composta.

3 Matemática comercial & fiaceira - 3 MONTANTE COMPOSTO Mais rápidas do que as fórmulas, somete os recursos fiaceiros da calculadora HP-12C que serão apresetados o fial deste capítulo. Ao cotrário do capítulo aterior, ode icetivamos a resolução dos exercícios diretos evolvedo juros e descotos simples através de raciocíio lógico e porcetagem, o regime dos juros compostos, geralmete, as fórmulas são o camiho mais apropriado. O exemplo a seguir os mostra como a fórmula do motate composto poderá ser obtida utilizado-se o coceito deste regime discutido o capítulo 2 combiado ao do ídice que aumeta apresetado o capítulo 1. Exemplo 4A Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita coforme taxa de juros de 10% a.m. durate 3 meses. Ecotre os motates ao logo dos meses. Como vimos o capítulo 2, o regime dos juros compostos toma o motate do período aterior como base de cálculo para a icidêcia da taxa de juros. Assim, você pode reproduzir os motates ao lado em sua calculadora comum digitado '0 + 10% + 10% + 10%'. Na HP-12C, faça '0 ENTER 10% + 10% + 10% +'. 10% 10% 10% 1.000, 1., 1.210, 1.331, Existe um atalho que os leva diretamete ao motate após 3 meses, sem passar pelos motates itermediários. Para obtê-lo, observe que, em vez de somar 10%, podemos utilizar o ídice que aumeta 10%. A partir de agora, o ídice que aumeta uma taxa i (letra i miúscula) será desigado por I (letra i maiúscula): i I 1 Usado a sua calculadora, cofira os efeitos produzidos pelo ídice 1,10 as multiplicações do quadro ao lado. O resultado mostrado a calculadora comum será '1.1' que é o mesmo de '1,10', o exibido a HP- 12C cofigurada para vírgula decimal e 2 casas. Coforme vimos o capítulo 1, aumetar um valor em 10% é equivalete a multiplicá-lo pelo ídice que aumeta 10%, isto é, 1,10. Desta forma: 10 I 1 0,10 1 1, , 1., 1.210, 1.331, 1,10 1,10 1,10 Resumido, partido do valor pricipal de R$ 1.000,00, fizemos 3 multiplicações por 1,10 para chegar ao motate o fial dos 3 meses: Podemos represetar uma multiplicação de fatores iguais por uma poteciação, como idicada. Na calculadora comum, digite '1.10 x = =' para obter 1,10 3. Em seguida, digite 'x 0 =' para obter o motate. Na HP-12C, faça '1.10 ENTER 3 y x ' para 1,10 3 e, seguida, multiplique por '0 x'. ode: FV é o motate composto; PV é o valor pricipal; e I é o ídice que aumeta a taxa de juros i, ou i seja, I 1. FV ,10 1,10 1,10 3 FV ,10 Cocluímos, etão, que esta é a estrutura de cálculo do motate composto. Veja que, se alterássemos o valor pricipal PV para 2.000,00, o motate FV seria obtido multiplicado-se por 1,10 3. Se alterássemos o prazo para 4 meses, o motate FV seria obtido com mais uma multiplicação por 1,10, o que resultaria 4 o expoete de 1,10. Fialmete, se a taxa i fosse outra, o ídice que aumeta i (I) seria outro. Desta forma, chegamos à coclusão de que a fórmula do motate composto será: FV PV I Esta é cosiderada o poto de partida para todas as demais fórmulas deste regime, isto é, a fórmula básica do regime composto.

4 Matemática comercial & fiaceira - 4 Exemplo 4B Uma aplicação de R$ 3.000,00 será feita segudo a taxa de 2% a.m. durate 10 meses. Ecotre: a) os juros totais produzidos; b) a taxa de juros do período de 10 meses. Veja que a potêcia 1,02 10 pode ser obtida rapidamete em sua calculadora comum digitado '1.02 x' e, em seguida, 9 vezes a tecla '='. Em seguida, basta multiplicar por Na HP-12C, faça '1.02 ENTER 10 y x ' para obter a potêcia e, depois, multiplique, '3000 x'. Partido do ídice que aumeta, podemos chegar ao percetual aumetado seguido os passos cotrários. Em outras palavras, de i para I, dividimos por e somamos 1. Assim, de I para i, subtraímos 1 e multiplicamos por : 1 i I 1 a) 2 I 1 1,02 10 FV ,02 FV , FV 3.656,98 J FV PV 656,98 Iicialmete, calculamos o ídice I (que poderia também ter sido feito metalmete). Em seguida, substituímos os valores a fórmula básica. Aida que a multiplicação esteja sializada ates da poteciação, esta última, por ser mais complexa, é prioritária sobre a multiplicação, idicado que deverá ser feita primeiro. Logo, o motate o fial dos 10 meses será de R$ 3.656,98. Com isso, os juros em reais serão R$ 656,98, isto é, a difereça etre FV e PV. b) Para a obteção de FV, observe que o valor de PV aparece multiplicado a fórmula por I, que, este caso, pode ser aproximado por 1,2190. Assim, este úmero poderá ser cosiderado o ídice que aumeta PV em 21,90%. Desta maeira, esta será a taxa de juros gaha a aplicação em 10 meses: 10 I 1,02 1, i (1, ) i 21,90% em 10 meses Veja que tal percetual difere de 2% x 10 meses = 20%, o que seria verdadeiro caso o regime fosse o simples. Tal difereça já era esperada a partir do cohecimeto de que, o regime simples, a base de cálculo dos juros é sempre o capital iicial PV, o que produz juros periódicos sempre iguais (j) equato que, o composto, a base de cálculo dos juros é o motate do mês aterior, o que produz juros periódicos sempre diferetes. CÁLCULO DO VALOR PRINCIPAL E DA TAXA DE JUROS Em problemas diretos, quado a icógita for o valor pricipal PV ou a taxa de juros i, podemos substituir as iformações sobre a fórmula básica e resolver as equações resultates. Exemplo 4C Qual é o valor aplicado a 3% a.m. durate 5 meses que produziu um motate de R$ 4.637,10? Iicialmete, calculamos o ídice que aumeta 3%. 3 I 1 1,03

5 Matemática comercial & fiaceira - 5 Em seguida, substituímos as iformações a fórmula básica do regime composto e resolvemos a equação em PV. Para efetuar a divisão a calculadora comum, digite '1.03 =====x ='. Na HP-12C, faça ' ENTER 1.03 ENTER 5 y x '. FV PV I ,10 PV 1, ,10 PV 4.000,00 5 1,03 Desta forma, o valor aplicado é R$ 4.000,00. O próximo exemplo mostra como proceder quado o valor descohecido for a taxa de juros i. Exemplo 4D Um capital de R$ 2.000,00 rederá juros de R$ 544,56 em 7 meses se for aplicado a que taxa de juros mesal? Substituímos as iformações a fórmula básica do regime composto e observamos a equação com a icógita I elevada à 7ª potêcia. FV PV I , I ,56 I 1, ,00 Se a calculadora dispoível for a HP-12C, podemos facilmete cotiuar a equação extraido-se a raiz sétima os dois lados da mesma: Para fazer isso a HP-12C, digite ' ENTER 7 1/x y x '. Em seguida, '1 x' para obter a taxa de juros mesal. 7 I 1, I 71, ,0350 i (1,0350 1) 3,50% a.m. Começamos com o ídice de 1% (1,01) e verificamos que o resultado 1,01 7 está loge de 1, Em seguida, passamos aos de 2%, 3% e 4%. Veja 1, é itermediário ao de 3% e ao de 4%. Testamos, etão, o ídice de 3,5% (1,035), o que dá exato. Logo, a taxa mesal é de 3,5%. Já a calculadora comum, teremos que usar o método das tetativas e erros, e isso pode implicar em elevar diversos ídices I à 7ª potêcia, até, obter aquele cujo resultado é 1, (ou próximo a este úmero): I I 7 1,01 1,01 7 =1, ,02 1,02 7 =1, ,03 1,03 7 =1, ,04 1,04 7 =1, ,035 1,035 7 =1, Como explicado a colua auxiliar, cocluímos, também pela calculadora comum, que a taxa de juros mesal será de 3,5%. Exemplo 4E Um terço do capital que tiha apliquei a 2% a.m. durate 4 meses e o restate apliquei a 3% a.m. pelo mesmo período. A soma dos motates produzidos foi igual a R$ 2.000,07. Ecotre o capital iicial. Cosidere PV o capital iicial. Assim, sua terça parte, PV/3, será aplicada a 2% a.m., equato que seus 2 terços restates, 2PV/3, a 3% a.m.: Desigamos por FV1 e FV2 os motates da 1ª e da 2ª aplicações respectivamete. Os valores pricipais, PV1 e PV2 foram substituídos pelas frações de PV, o capital total iicial. PV 4 FV1 1,02 3 2PV 4 FV2 1,03 3

6 Matemática comercial & fiaceira - 6 Efetuamos 1,02 4 e dividimos por 3 para obtermos 0, PV; aalogamete, obtemos 0, PV. Somado estas parcelas, ecotramos 1, PV que deverá ser igual a 2.000,07. Dividido tudo pelo coeficiete de PV, ecotramos 1.800,00 que é o valor iicial. Como a soma dos motates produzidos é igual a R$ 2.000,07, fazemos: PV 4 2PV 4 FV1 FV2 1,02 1, , , PV 0, PV 2.000,07 1, PV 2.000, ,07 PV 1.800,00 1, Assim, o pricipal PV1 será PV/3 = 1.800,/3 = 600, equato que PV2 será 2PV/3 = 1.200,00. De fato, podemos fazer a prova real deste exemplo efetuado os cálculos de suas duas aplicações: 4 FV ,02 649,46 4 FV , ,61 FV1 FV ,07 Este exemplo trata da obteção da fórmula do valor presete PV. Partido-se da fórmula básica, divida toda a equação por I. Em seguida, iverta a fórmula pela reflexividade da igualdade. Exemplo 4F Ecotre o valor aplicado PV que resultou em motate FV após meses sob taxa de juros de i% a.m. FV PV I FV PV I FV PV I Esta fórmula poderá ser útil em problemas mais elaborados de aálise fiaceira, como a determiação do valor presete líquido de um diagrama de fluxos de caixa. Valor presete líquido NPV (Net Preset Value) de um diagrama fluxo de caixa é a soma dos valores presetes dos fluxos futuros, cosiderado-se cada um deles como um motate o prazo em que ocorre Exemplo 4G Ecotre o valor presete líquido NPV dos seguites fluxos de caixa, cosiderado a taxa de atratividade de 1% a.m.. a uma taxa de juros do mercado, a chamada taxa de atratividade. Serve para qualificar um ivestimeto a data zero a partir das expectativas de retoro que o mesmo gera em períodos futuros. 500,00 300,00 400, Desta forma, se o ivestimeto a data zero for meor que NPV, sigifica que o diagrama será viável fiaceiramete. Caso cotrário, se for maior que NPV, o ivestimeto promete meos do que uma aplicação segura a 1% a.m., a taxa de atratividade do mercado, ão sedo, portato, viável fiaceiramete. Coforme explicação a colua auxiliar, o valor presete líquido será a soma dos valores presetes de cada fluxo futuro que é cosiderado como um valor futuro: FV2 FV3 FV NPV I I I 1,01 1,01 1,01 NPV 1.161,91

7 Matemática comercial & fiaceira - 7 EXERCÍCIOS 1) Uma aplicação de R$ 2.000,00 será feita sob taxa composta de 1,5% a.m. durate 12 meses. Ecotre: a) a taxa de juros do período (aual); b) o motate produzido; 2) Uma aplicação de R$ 3.000,00 será feita sob taxa composta de 5% a.t. durate 2 aos e 9 meses. Ecotre: a) a taxa de juros do período; b) o motate produzido; Dica 3: o regime composto, ão se coverte taxas de juros apeas multiplicado-se ou dividido-se, ao cotrário do regime simples. No etato, os prazos são covertidos da mesma maeira. Assim, 1 mês = 1/2 bimestre. Para calcular 1,06 1/2, extraia a raiz quadrada de 1,06. Isso porque 1/ ,06 1,06 p/q p. Em geral, I I. Dica 5: a calculadora comum, para se extrair uma raiz quarta, tiramos duas raízes quadradas cosecutivas. Na calculadora HP- 12C, para se tirar a raiz quarta de 1,08, digitamos '1.08 ENTER 4 1/x y x '. Dica 6: a calculadora comum, para se extrair uma raiz oitava, tiramos três raízes quadradas cosecutivas. Na HP-12C, digitamos o valor seguido de 'ENTER 8 1/x y x '. q 3) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 6% a.b. durate 1 mês. Ecotre: a) a taxa de juros do período (mesal); b) o motate produzido; 4) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 7% a.b. durate 3 mês. Ecotre: a) a taxa de juros do período (trimestral); b) o motate produzido; 5) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 8% a.q. durate 1 mês. Ecotre: a) a taxa de juros do período (mesal); b) o motate produzido; 6) Uma aplicação de R$ 1.000,00 será feita sob taxa composta de 20% a.a. durate 45 dias. Ecotre: a) a taxa de juros do período; b) o motate produzido; 7) Qual é o valor pricipal em reais que resulta em motate de R$ 2.980,37 após 1 ao sob taxa composta de 2% a.m.? 8) Qual é o valor pricipal em reais que resulta em motate de R$ 2.179,64 após 5 meses sob taxa composta de 1,5% a.b.? 9) Um quarto de um capital apliquei a 2% a.m. durate 5 meses e o restate apliquei a 3% a.m. durate o mesmo período. Se o motate fial produzido foi de R$ 6.872,85, ecotre o capital aplicado. 10) Qual é o valor presete de um crédito de R$ 3.000,00 daqui a 10 meses cosiderado-se a taxa de 0,8% a.m.? 11) Qual é o valor presete de um crédito de R$ 3.000,00 daqui a 105 dias cosiderado-se a taxa de 0,8% a.m.?

8 Matemática comercial & fiaceira - 8 Visite o site e coheça melhor estes e outros livros didáticos.

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