JUROS COMPOSTOS. Questão 01 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um montante de: letra b

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1 JUROS COMPOSTOS Chamamos de regime de juros compostos àquele ode os juros de cada período são calculados sobre o motate do período aterior, ou seja, os juros produzidos ao fim de cada período passam a itegrar o valor do capital ou motate que serviu de base para o seu cálculo de modo que o total assim coseguido será a base do cálculo dos juros do próximo período. A fórmula usada é M = C ( + i Questão 0 A aplicação de R$ 5.000, 00 à taxa de juros compostos de 20% a.m irá gerar após 4 meses, um motate de: a R$ 0.358, 00 b R$ 0.38, 00 Resolução 4 c R$ 0.378, 00 M = C ( + i M = ( + 0,2 d R$ 0.388, 00 4 M = (,2 M = ,073 e R$ 0.398, 00 M = 0.38,00 letra b Questão 02 (PETROBRÁS / 2008 Qual é o ivestimeto ecessário, em reais, para gerar um motate de R$ 8.34,00 após 3 aos, a uma taxa composta de 0% ao ao? Resolução 3 3 M = C ( + i 8.34 = C ( + 0, 8.34 = C (, = C,33 = C,33 C = 4.000, 00 Questão 03 Um capital de R$ ,00, gerou um motate de R$ 2.20,00 aplicados a juros compostos de 0% ao ao. Qual foi o tempo de aplicação? Resolução 2.20 M = C ( + i 2.20 = ( + 0, =,,33 =, Daqui em diate, sabemos que, elevado a alguma potêcia dará,33 Logo, o que temos a fazer é multiplicar, por ele mesmo até obter, 33, =,, 2 =,, =,2, 3 =,,, =,33 Etão,33 =, 3 E fialmete,33 =,, 3 =, (quado as bases são iguais, os expoetes também são iguais, logo = 3, ou seja o tempo será de 3 aos. NOTA: quado as bases forem diferetes deveremos usar logaritmos, ou etão cosultar a tabela de valores que ormalmete é forecida a prova, ou a questão.

2 TAXAS EQUIVALENTES Dizemos que duas taxas são equivaletes, quado, aplicadas a capitais iguais, por prazos iguais, produzem juros também iguais. Vamos tomar como exemplo, a seguite situação: Calcular o motate de cada uma das aplicações:. capital de R$ 00,00, à taxa de 5% ao mês, por 2 meses 2. capital de R$ 00,00, à taxa de 0% ao ao, por ao Veja que temos o mesmo capital (R$ 00,00, o mesmo período ( ao = 2 meses e as taxas (5% a.m e 0% a.a são proporcioais, 5% x 2 = 0% Vamos fazer o cálculo de cada motate: 2 2. M = C ( + i M = 00 ( + 0,05 = 00,05 = 00,7958 = 79, M = C ( + i M = 00 ( + 0, = 00, = 00, = 0, 00 Notamos, etão, que em juros compostos, as taxas proporcioais ão são equivaletes, ou seja, ão produzem os mesmos juros quado aplicadas a um mesmo capital, durate um mesmo período de tempo. Etão, como ter taxas equivaletes em juros compostos? Ora, se os capitais são os mesmos, e os prazos também são, o que precisamos é ecotrar a taxa que produza o mesmo motate, assim: M = C 2 ( + i m e M = C ( + ia, ode i m e i a são, respectivamete, as taxas mesal e aual. Agora, igualamos os motates, pois elas devem produzir os mesmos motates C + 2 ( + im = C ( ia, como os capitais são iguais, podemos cacelar: C + 2 / ( + im = C/ ( ia de ode vai resultar: 2 ( + i m = ( + ia Assim, quado queremos saber qual é a taxa equivalete mesal, ou aual basta comparar o fator de capitalização. 2 ( + i m = ( + ia, estaremos covertedo taxa mesal em aual, ou vice-versa. Da mesma forma, com as outras taxas equivaletes, estabelecemos o mesmo raciocíio: ( + i d = ( + im = ( + is = ( + ia ode: i d é a taxa diária i m é a taxa mesal i s é a taxa semestral i a é a taxa aual 2

3 TAXAS EFETIVAS E TAXAS NOMINAIS Quado a uidade de tempo idicada pela taxa de juros coicide com a uidade de tempo do período de capitalização, dizemos que a taxa é efetiva. Ex: 2% a. m com capitalização mesal % a. t com capitalizados trimestralmete Nos euciados de problemas de juros compostos ode se dá a taxa efetiva, frequetemete se omite o período de capitalização, ficado subetedido que este é o mesmo idicado pela taxa. Ex.: 2% a.m, sigifica 2% a.m com capitalização mesal. % a.t, sigifica % a.t com capitalização trimestral. Etretato, é comum ecotrarmos também em problemas de juros compostos expressões como: juros de 72% a. a, capitalizados mesalmete taxa de 24% a.a, com capitalização bimestral Em tais expressões, observamos o que se covecioou chamar de taxa omial que é aquela cuja uidade de tempo ão coicide com a uidade de tempo do período de capitalização. Podemos eteder a taxa omial como sedo uma taxa falsa, geralmete dada com período em aos, que ão devemos utilizar diretamete os cálculos de juros compostos, pois ão produzem resultados corretos. Em seu lugar, devemos usar uma taxa efetiva. Exemplo: Questão 0 (CEF / 2008 A taxa efetiva aual de 50%, o sistema de juros compostos, equivale a uma taxa omial de i % ao semestre, capitalizada bimestralmete. O úmero de divisores iteiros positivos de i é: a 4 b 5 c d 7 e8 Resolução Como a capitalização é bimestral, temos que ao tem bimestres. + i = ( + i ( + i = ( + i + i = ( + i ( Ao Bimestre A B A B + i A = ( + ib + 0,50 = ( + ib,50 = ( + ib ( + ib =,50 Agora, é só cosultar a tabela dada a prova, a liha, procure pelo fator, 50, você ecotrará que, 50 é equivalete a, e olhado acima a colua, dá 7%. Ou seja, se ( i =, 50, etão i B = 7% a. b + B Mas queremos o equivalete a uma taxa omial de i% ao semestre, etão 7% a.s, será: semestre correspode a 3 bimestres: isemestre = 3 ibimestre is = 3 ib is = 3 7 = 2 is = 2% a. s Assim, i = 2 Agora, é só ecotrar o úmero de divisores de 2 que é D(2 = {, 3, 7, 2} Portato, o úmero 2 possui 4 divisores. Letra A 3

4 CONVENÇÃO LINEAR O cálculo do motate a juros compostos de acordo com a coveção expoecial é da- q do pela fórmula já cohecida M = C ( + i ode os juros são calculados a forma expoecial tato a parte iteira quato a parte fracioária. O cálculo do motate a juros compostos de acordo com a coveção liear é dado por p M = C ( + i + i ode os juros são calculados de forma expoecial a parte q iteira e de forma liear a parte fracioária. p + Exemplo: Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 40% ao ao durate um ao e meio. Calcule o valor mais próximo da perda percetual do motate cosiderado o seu cálculo pela coveção expoecial em relação ao seu cálculo pela coveção liear, dado que,40,5 =, 5502 Resolução,5 ao = + 0,5 = + 2 Pela coveção expoecial temos: p + q + 2 M = C ( + i M = C ( + 0,40 M = C (,40,5 = C, 5502 Pela coveção liear temos: p M = C ( + i + i M = C ( + 0,40 + 0,40 q 2 M ( + 0,40 0,5 = C,40 ( + 0,20 = C,40,20 =, 8 = C (,40 C A perda é dada por,8c,5502 C = 0, C 0,023498C A perda percetual será = 0, 04, multiplicado por 00, temos:,8 C 0,04 00 =,4% (isto é, uma perda de, 4% 4

5 EXERCÍCIOS Questão 0 (TTN / 200 Qual será o saldo de uma aplicação o valor de R$ 350, 00, à taxa de juros compostos de 5% ao ao, após 8 aos? a R$ 40, 00 b R$ 7, 3 c R$ 23, 89 d R$ 490, 00 e R$ 57, 3 Questão 02 (TTN / 200 Calcule os redimetos de uma aplicação fiaceira o valor de R$.200, 00, durate 9 meses a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês. a R$ 2, 00 b R$ 234, 2 c R$.200, 00 d R$.4, 00 e R$.434, 2 Questão 03 (Cocurso Baco do Brasil Um capital de R$ 2.500, 00 esteve aplicado à taxa mesal de 2%, um regime de capitalização composta. Após um período de 2 meses, os juros resultates dessa aplicação serão: a R$ 98, 00 b R$ 0, 00 c R$ 0, 00 d R$ 4, 00 e R$ 2, 00 Questão 04 (FDRH BRDE / 200 Um cliete vai a um baco e aplica a quatia de R$ 2.000, 00, à taxa de juros compostos de 0% ao mês. No fial de ao, ele receberá de juros: (Dado:,0 2 = 3, 38 a R$ 2.200, 00 b R$ 4.27, 00 c R$ 5.72, 00 d R$.27, 00 e R$ 7.825, 00 Questão 05 (CEF A taxa de juros para aplicações de curto e médio prazos, em um baco, é de 40% ao a- o. Que remueração real recebe o cliete, se a iflação for 30% ao ao? a 7,% b 7, 2% c 7, 3% d 7, 4% e 7, % 5

6 Questão 0 (TTN / 200 A taxa aual de juros equivalete a 5% ao mês, o regime de juros compostos é: a 0, 25% b 25, 00% c 57, 50% d 0, 00% e 79, 59% Questão 07 A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mesal, correspode a uma taxa efetiva bimestral de: a 20% b 2% c 22% d 23% e 24% Questão 08 (CEF / 2008 Qual a taxa efetiva semestral, o sistema de juros compostos, equivalete a uma taxa omial de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmete? a 0,0% b 4,4% c 7,5% d 72,8% e 75,0% Questão 09 (TTN / 200 Sabedo-se que uma aplicação fiaceira utiliza uma taxa omial de juros de % ao ao, capitalizados mesalmete, assiale qual das alterativas abaixo é uma taxa efetiva da aplicação: a 0, 50% ao mês b, 00% ao mês c, 7% ao mês d 0, 50% ao ao e, 00% ao ao Questão 0 No Brasil, as caderetas de poupaça pagam, além da correção moetária, juros compostos à taxa omial de % a.a com capitalização mesal. A taxa efetiva bimestral, é: a, 00025% a.b b, 0025% a.b c, 025% a.b d, 25% a.b e, 00% a.b

7 Questão (TTN / 200 A taxa de juros obtida por uma aplicação fiaceira durate um mês foi de 3,53%. Sabedo-se que, o mesmo mês, a taxa de iflação (ou de correção moetária foi de,50%, calcule a taxa real mesal de juros da referida aplicação fiaceira. a 0, 42% b 0, 98% c 2, 00% d 2, 03% e 2, 35% Questão 2 Uma empresa aplica R$ 300, 00 à taxa de juros compostos de 4% a.m por 0 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcioal mesal dessa operação é: a 4, % b 5, 0% c 4, 8% d 4, 4% e 5, 2% Questão 3 (TTN / 200 Uma pessoa deseja poupar uma quatia de R$ 2.90, 00 para a compra de um carro. Qual o valor ecessário a ser depositado, 0 meses ates da compra do carro, em uma istituição fiaceira que remuera à taxa de juros compostos de 2% ao mês, para que a pessoa cosiga acumular o valor desejado? a R$ 2.438, 00 b R$ 2.9, 54 c R$ 9.2, 05 d R$ 0.000, 00 e R$ 0.58, 33 Questão 4 A cadereta de poupaça remuera seus aplicadores à taxa omial de % a.a com capitalização mesal o regime de juros compostos.qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ , 00 durate 2 meses? a R$ 80, 00 b R$ 802, 00 c R$ 803, 00 d R$ 804, 00 e R$ 805, 00 Questão 5 (PETROBRÁS / 2008 A aplicação do capital C é realizada a juros compostos de 0% ao mês por 4 meses. Para se obter o mesmo motate, devemos aplicar o capital C, pelo mesmo prazo, a juros simples, a uma taxa mesal mais próxima de: a 0,0% b 0,5% c,0% d,5% e,% 7

8 Questão (CEF /2008 O gráfico a seguir represeta as evoluções o tempo do motate a juros simples e do motate a juros compostos, ambos à mesma taxa de juros. M é dado em uidades moetárias e t, a mesma uidade de tempo a que se refere a taxa de juros utilizada. Motate (M Composto Simples C 0 Tempo ( t Aalisado o gráfico, coclui-se que para o credor é mais vatajoso emprestar a juros: a compostos, sempre b compostos, se o período do empréstimo for meor do que a uidade de tempo c simples, sempre d simples, se o período do empréstimo for maior do que a uidade de tempo e simples, se o período do empréstimo for meor do que a uidade de tempo Questão 7 (CEF Um capital de R$ ,00, aplicado a juros compostos, à taxa de 2% ao mês, produzirá um motate de R$ 2.023,0 o prazo de: Obs.: se for preciso, use a tabela abaixo a 2 meses b 3 meses c meses d 2 meses e meio e 4 meses,2,2,2000 4,0050 2, , , , , , , ,0859 Questão 8 (Baco do Estado do Rio Grade do Sul / 200 O tempo em que deve ficar aplicado, a juros compostos, o capital de R$.000, 00, à taxa de 0,% ao mês, para que o motate produzido seja de R$.0, 5 é de: (usar log, 05 = 0, 02 e log, 00 = 0, 002 a 2 meses b ao c 0 meses d 2, meses e mês 8

9 Questão 9 Determiada quatia é ivestida à taxa de juros compostos de 20% a.a, capitalizados trimestralmete. Para que tal quatia seja duplicada, o prazo de aplicação, em trimestres, deve ser: log 5 a log, 05 log 2 b log, 05 log 5 c log, 2 log 2 d log, 2 log 20 e log, 2 Questão 20 (FDRH BRDE / 200 Um ivestidor aplicou R$ 0.000, 00 em uma istituição de crédito que paga 0% ao mês, o regime de capitalização composta. Se o juro recebido foi de R$ 3.30, 00, o período em que o capital esteve aplicado foi de: a 2 meses b 3 meses c 4 meses d 5 meses e meses Questão 2 (FDRH BRDE / 200 Uma pessoa deseja comprar um imóvel. Para isso ela deposita regularmete a quatia de R$.850, 00 uma istituição fiaceira, à taxa de juros compostos de 20% ao ao capitalizado semestralmete. Em aos, essa pessoa terá um motate, descosiderado-se os cetavos de: a R$ 29.84, 00 b R$ , 00 c R$ , 00 d R$ , 00 e R$ , 00 Questão 22 Uma pessoa aplicou R$ 0.000, 00 a juros compostos de 5% a. a pelo prazo de 3 aos e 8 meses. Admitido-se a coveção liear, o motate da aplicação ao fial do prazo será: a R$.590, 00 b R$.02, 00 c R$.98, 00 d R$.705, 00 e R$.730, 00 9

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