Equação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas.

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1 Equação Difereial Uma equação difereial é uma epressão que relaioa uma fução desoheida (iógita) om suas derivadas É útil lassifiar os diferetes tipos de equações para um desevolvimeto sistemátio da Teoria das Equações Difereiais Quado a fução iógita depede de uma úia variável idepedete diz-se que a Equação Difereial é Ordiária Uma Equação Difereial Parial é uma equação difereial que ão é ordiária A ordem de uma EDO é a da derivada de maior ordem otida a equação Assim uma EDO de ordem é uma equação da forma ' '' ( ) F que eprime uma relação etre a variável idepedete uma fução de ão espeifiada e suas derivadas ' '' () Eemplos: (a) ( ') + ' + 4 ( EDO de ordem ) (b) '' 3 ' e ( EDO de ordem ) () L q' '( t) + Rq'( t) + q( t) ε() t ( EDO de ordem ) C (d) ''' e '' + ' 4 + ( EDO de ordem 3 ) 3 ( EDO de ordem 3 ) (e) ( ''') ' ''' + ( '' )

2 Dada uma EDO de ordem a forma ( ) ' '' ( ) F admitir-se-á que sempre seja possível obter de modo iequívoo sua forma ormal ( ) f ' '' ( ) Note que em geral dada uma EDO da forma ( ) em sempre é possível obter de modo iequívoo sua forma ormal Eemplo: de ode segue que ' ( ') + ' + 4 ( ') + ' ' ou ' 6 Observe aida que admitir que a forma ormal de uma equação difereial eista ão sigifia admitir que eista uma fução que a satisfaça

3 Por solução de uma EDO de ordem ( ) ' '' ( ) F em um itervalo (aberto) I ( α β) etede-se uma fução φ que jutamete om suas derivadas φ ' φ '' φ () satisfaz idetiamete ( ) i e ' '' ( ) F φ φ φ φ para todo I Questão da Eistêia: Dada um EDO qualquer omo sabemos se ela ao meos tem solução? Questão da Uiidade: Assumido que uma dada EDO tem uma solução eistirão outras soluções? Que odições devem ser espeifiadas para permitir uma úia solução? Questão Prátia: De que modo determia-se uma solução? Uma EDO de ordem da forma Equações Difereiais Lieares ( ) a ( ) ( ) + a ( ) ( ) + + a ( ) ' + a ( ) + g( ) é dita liear Uma EDO que ão teha a forma ( ) é hamada ãoliear Eemplo: (a) d θ + ωseθ ω ost ( EDO de ordem ão-liear ) dt (b) d θ + ωθ ω ost ( EDO de ordem liear ) dt 3

4 Equações de Primeira Ordem Em sua forma ormal uma EDO de ordem é dada por ' f ( ) De modo geral uma EDO (de ordem qualquer) por si só ão estabelee a uiidade da solução quado esta eiste Eemplo: Cosidere a equação difereial ' + e Por ispeção φ ( ) e + e ode ost é solução dessa equação Uma solução φ de uma EDO de primeira ordem represeta uma família de urvas deomiada urvas itegrais Para espeifiar uma solução partiular isto é esolher uma urva itegral partiular da família de urvas alguma iformação adiioal deve ser dada por eemplo prefiado um poto ( ) através do qual a urva itegral deve passar Problema de Cauh (PVI): ' f ( ) ( ) Eemplo: A fução φ ( ) 3e é a solução do Problema de Valor Iiial ' (l ) 4

5 Equações Difereiais Ordiárias de Ordem O tipo mais simples ' f ( ) () ' f ( ) Sedo f otíua em um itervalo I ( α β ) tem-se ( ) d f ( ) d ' ) f ( ) d + k ( ode k é uma ostate (de itegração) Uma geeralização a partir do tipo mais simples () + p( ) q( ) ' ode p e q são fuções otíuas em um itervalo I ( α β ) Note que () é a mais geral EDO liear de primeira ordem Um aso partiular de () é dado por (3) ' + p( ) Uma solução de (3) é ( ) para todo ( α β) Para uma solução ão-ula ' d p( ) (l ) p( ) se > d Daí l ( ) p( ) d + ode k é uma ostate p( ) d ( ) ke 5

6 Eemplos: (a) ' os ( ) ' os ( ) ( ) os ( ) d ode k ost ) + se() + k 4 8 ( (b) ' l ( ) ' l Usado a odição iiial d d (l ) l l l d l (l ) + Portato l (l ) + l l + l l + e 6

7 3 Situação Geral para uma EDO liear de ordem () + p( ) q( ) ' p e q fuções otíuas em um itervalo I ( α β ) q ( ) Idéia (a partir do aso aterior): ahar uma fução µ tal que multipliado ( ) por µ ( ) o membro esquerdo de () seja a derivada de µ () Se isso for verdade d d ( µ ( ) ) µ ( ) q( ) µ ( ) µ ( ) q( ) d + k k ost { µ ( ) q ( d k } ) ) + µ ( ) ( e a EDO () está resolvida!! Portato a idéia é muito boa desde que uma fução µ possa ser obtida Ora o que se deseja é que Supodo µ ( ) > d d ( µ ( ) ) µ ( ) ' + µ ( ) p( ) µ '( ) + µ ( ) ' µ ( ) ' + µ ( ) p( ) d d µ '( ) µ ( ) p( ) ( l ( )) p( ) µ p( ) d µ ( ) e ( fator itegrate ) (e portato uma fução µ foi eotrada!!) Esta téia de resolução é hamada fator itegrate e aplia-se omo visto aima a uma EDO da forma () 7

8 Eemplos: (a) ' + se > Primeiramete deve-se oloar a EDO a forma ( ): se ' + (i ) Um fator itegrate: µ( ) e p( ) d Como Daí p( ) segue que p( ) d d l l µ l ( ) e (ii) Usado esse fator itegrate: ' + se d d ( ) se se d + k se os + k ode k ost se os k + 8

9 (b) ' + e ( ) Note que a EDO já está a forma () (i ) Um fator itegrate: µ( ) e p( ) d Como p ( ) segue que Daí p ( ) d d µ ( ) e (ii ) Usado esse fator itegrate: e ' + e d d ( e ) e d + k e + k A odição iiial ( ) implia que Portato e + k ( ) e k ( ) e 9

10 Equações Difereiais e Séries de Potêias Até agora só temos obtido desevolvimetos em séries de potêias de fuções oheidas; ou etão dada uma série de potêias temos prourado idetifiá-la om o desevolvimeto de alguma fução já oheida ateriormete Mas a importâia das séries de potêias ão reside apeas isso Elas são usadas para defiir fuções ovas De fato podemos imagiar uma série de potêias qualquer omo ( ) + f Pelo teste da razão é fáil verifiar que essa série overge quado < logo ela defie uma fução f om domíio esse itervalo (de overgêia) Uma fução dada dessa maeira só muito raramete poderá ser idetifiada om fuções já oheidas Em geral a série defie uma fução totalmete ova E essa possibilidade de riar ovas fuções através das séries de potêias é etremamete importate as apliações Para resolver equações difereiais por eemplo as séries de potêias são um reurso muito poderoso e freqüetemete oduzem à ostrução de ovas fuções que ão podem ser epressas em termos das fuções já oheidas mas que o etato devem ser estudadas pela sua grade importâia prátia Para foreer uma idéia de omo as séries de potêias são úteis a solução de equações difereiais osidere os eemplos a seguir

11 Eemplos: (a) (i ) Supoha uma solução (geral) ( ) potêias de : a forma de série de Etão 3 ( ) ( + ) (ii) Substituido as epressões de e resulta 3 a EDO + ( ) + ( ) + ( + ) + [( + ) ] + Daí ( ) 3 4 Dessas (três) equações obtém-se (todos) os oefiietes em termos de :

12 ! 4! 5! (iii ) Substituido esses valores a série de potêias obtém-se 3 ( ) ! 3! 4! 3 4 ( ) + ( + ) ! 3! 4! Mas o que está o parêteses é preisamete o desevolvimeto em séries de potêias da fução e de sorte que ( ) + e é a solução prourada (b) + A equação de Air é eotrada o estudo da difração da luz difração de odas de rádio em toro da superfíie da Terra aerodiâmia e defleão de uma olua vertial fia e uiforme que se ilia sobre seu próprio peso

13 (i ) Supoha uma solução (geral) ( ) potêias de : a forma de série de Etão 3 ( ) ( + ) 3 + ( + ) + ( + )( + ) 3 (ii) Substituido as epressões de e resulta Daí + a EDO + + ( )( + ) ( + )( + ) e ( )( ) Dessa relação de reorrêia segue que

14 (iii ) Substituido esses valores a série de potêias obtém-se 3 ( ) ( ) Agrupado os termos otedo e segue que a solução (geral) da equação de Air é dada por ( ) ( ) ( 3 )( 3) 3+ ( ) ( 3)( 3 + ) Note que pelo teste da razão as séries de potêias etre parêteses overgem para todo real Além disso elas ão são represetações em série de potêias de fuções oheidas São portato membros de uma lasse totalmete ova de fuções reais om variável real 4