UNIDADE 2 - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE

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1 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae UNIDADE - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE. - Itroução A oção e vibração coeça co a iéia o uilíbrio. U sistea está e uilíbrio quao a resultate e toas as forças atuates sobre o eso é ula. Qualquer sistea que esteja sob esta coição soete sairá ela quao ocorrer algua perturbação etera. A oscilação irá ocorrer quao, após a perturbação atuar, o sistea apresetar a teêcia a retorar à sua posição e uilíbrio. Ao se coceer ao pêulo u âgulo iicial o eso etrará e ovieto teeo a retorar à sua posição e uilíbrio iicial. Ao passar por ela o ovieto ão se iterrope porque a assa o pêulo aquiriu eergia ciética. Equato esta eergia peraecer presete o sistea o ovieto oscilatório cotiuará. Se, etretato, a eergia iicial coceia for uito elevaa, o pêulo etrará e ovieto rotativo. Situação seelhate ocorre co ua bola rolao etro e ua superfície circular. Ua balaça, co ois pesos iguais, apresetará coportaeto uivalete (Fig..). Figura. Equilíbrio os sisteas físicos. O estuo e sisteas vibratórios eve coeçar por sisteas siples que apreseta características básicas capazes e peritir a aálise e ua série e feôeos presetes e sisteas ais copleos. Sisteas e u grau e liberae são sisteas ieais, capazes e represetar ua reuzia parte os sisteas reais presetes o uo físico, assi eso co grae siplificação. Por outro lao, estes esos sisteas apreseta características que fuaeta o eteieto a aioria os aspectos básicos que estão presetes e sisteas ais copleos. Probleas coo ressoâcia, trasissibiliae, balaceaeto e isolaeto poe ser eviaete estuaos e sisteas e u grau e liberae co posterior etesão os coceitos para probleas e ore aior. Por outro lao estiativas e coportaeto poe ser estabelecias co relativa faciliae e sipliciae ateática quao se cria u oelo siples para u sistea copleo. Razões coo estas justifica a itroução o estuo e sisteas e u grau e liberae e cursos e vibrações e egeharia. A vibração livre, coo já foi coceituaa o Capítulo, ocorre quao o ovieto resulta apeas e coições iiciais, ão haveo ehua causa etera atuao urate o eso. O ovieto e u pêulo é u eeplo e vibração livre. Ao ser abaoao, co ua eteriaa coição iicial (âgulo iicial, por eeplo), o eso oscilará livreete.. Moelos e Aálise e Vibrações U sistea vibratório é u sistea iâico para o qual as variáveis tais coo as ecitações (causas, etraas, iputs) e respostas (efeitos, saías, outputs) são epeetes o tepo. A resposta e u sistea vibratório epee, geralete, as coições iiciais e as ações eteras. Isto faz co que seja ecessário estabelecer u proceieto e aálise que perita o eteieto as ifluêcias e caa u os fatores. O proceieto geral é o que coeça co o estabelecieto e u oelo físico, eteriação as uações ifereciais que govera o ovieto (oelo ateático), solução estas uações e iterpretação os resultaos... - Moelo Físico O propósito a oelage física é represetar toos os aspectos iportates eistetes o sistea para a eteriação as uações ateáticas que govera o ovieto o sistea. O oelo eve etão trauzir as características físicas o sistea os eleetos vibratórios básicos, coo ilustra a Fig... O oelo poe ser ais ou eos copleo, e acoro co as ecessiaes e co a capaciae e solução as uações o ovieto: oelos

2 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae ais copleos (co ais eleetos) prouze u aior úero e uações, cuja solução ecessita o auílio coputacioal. Outro fator é que uitas vezes a aálise a se realizar ão eige u refiaeto uito elevao seo possível coseguir boas iterpretações e sisteas razoavelete siples. Pução Estrutura Eleeto Elástico Matriz Fuação Solo Força o Pução Massa a Matriz Aortecieto o Eleeto Elástico Rigiez o Eleeto Elástico Massa a Fuação Aortecieto o Solo Rigiez o Solo Solo Figura. - Moelo e ua presa. Os eleetos que copõe u sistea vibratório são e três tipos, relacioao forças co eslocaetos, velociaes e acelerações, respectivaete Eleeto Mola O eleeto resposável por relacioar forças co eslocaetos é represetao, os sisteas vibratórios, pela ola, coo ostra a Fig..a. Assue-se que a ola ão possui assa, e fora que ua força F atuao e ua etreiae eve ser uilibraa por outra força e igual agitue as e setio cotrário, atuao a outra etreiae. Pela atuação a força F, a ola se efora (alogaeto ou cotração). Esta eforação é igual à ifereça etre os eslocaetos e. A Fig..b ostra ua curva força/eforação típica e ua ola cou. Esta curva é ão liear, etretato, para pueas eforações, poe-se cosierar que eiste ua proporcioaliae etre a força e a eforação, seo a costate e proporcioaliae, cohecia coo costate e ola ou rigiez. As uiaes e o Sistea Iteracioal (SI), são N/. F é ua força elástica, cohecia coo força e restauração, porque ua ola alogaa ou copriia tee sepre retorar à sua posição ão eforaa. F F F - 4 Faia liear Figura. - Eleeto ola. A relação etre força e eslocaeto é epressa por F (.) O eleeto ola represeta a capaciae que o sistea físico te e arazear eergia potecial. Esta capaciae é, uitas vezes, epressa pela elasticiae presete. E aalogia co u sistea elétrico, a ola poe ser

3 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae coparaa a u capacitor seo o eleeto que arazea eergia a fora e eergia potecial e u eteriao istate o ovieto e epois a evolve para que o sistea vibratório a trasfore e eergia ciética ou a issipe. A eergia potecial arazeaa pela ola é aa por U (.) Associação e olas e paralelo As olas poe ser associaas e várias foras. As associações e paralelo e e série, ostraas a Fig..4a e.4b, respectivaete, são as ais cous. F F F F Figura.4 - Associação e olas Para as olas e paralelo (Fig..4a) a força atuate a ola se ivie e uas, e fora que F F F Caa ua as olas está subetia à relação F F (.) (.4) Ua ola uivalete ao cojuto eve possuir ua costate e fora que F (.5) Itrouzio (.4) e (.) e cosierao (.5) chega-se a (.6) Geeralizao, para u cojuto e olas associaas e paralelo i i (.7) Associação e olas e série Observao a Fig..4b, as seguites relações poe ser escritas para olas e série: F que poe ser escritas a fora (.8) F F e (.9) Coo para ua ola úica vale a epressão (.5), te-se que F F F o que couz a 5

4 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae (.) Para u cojuto e olas associaas e série i i (.) Sisteas elásticos U eleeto elástico poe ser eforao e várias ireções. Caa relação etre ua força e ua ireção e ua eforação a esa ou e outra ireção prouz ua iferete costate e ola. A uação (.) poe, portato se apresetar a fora ais geral F (.) i ij j oe i e j poe iicar, por eeplo, traslações e rotações ao logo ou e toro e três eios e u sistea e cooreaas cartesiaas. Portato, i e j poe assuir seis valores iferetes. Globalete, eistirão 66 coeficietes iepeetes ij, relacioaos co ua possível aplicação o esforço (força ou oeto) e a ireção o eslocaeto prouzio. Figura.5 Defiição e costates e ola para a viga egastaa. Cosiere-se, por eeplo, a viga egastaa a Fig..5, co o sistea e cooreaas yz, coo iicao. Se a viga possui ua seção trasversal e área A e oetos e iércia I, I y, I z, coprieto L, óulo e elasticiae E, óulo e elasticiae trasversal G, e se u, v, w, são as efleões e,, as rotações a sua etreiae livre co relação ao sistea e cooreaas yz, a Resistêcia os Materiais, se te EAv Fv, L EI zu Fu, L EI w Fw, L M M M GI y, L EI z, L EI, L vv vv ww EA L EI z L EI L GI y L EI L EI L z oe I = I z = 4 /64 e I y = 4 /, para ua seção circular e iâetro. Sisteas co u grau e liberae possue i = j = e o sufio a costate é oitio. 6 (.a) (.b) Eeplo. - U tabor, co u cabo e aço, é otao a etreiae e ua viga e balaço coo ostra a Fig..6. Deteriar a costate e ola uivalete o sistea quao o coprieto suspeso o cabo é l. São cohecios o coprieto a viga b, sua largura a e sua espessura t. Assuir que o iâetro o cabo é e os óulos e elasticiae a viga e o cabo são iguais a E. Solução: A costate e ola a viga e balaço é aa por (.a)

5 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae b EI b E at b Eat 4b A rigiez o cabo subetio a carregaeto aial é r EA l E 4 l E 4l A viga e balaço e o cabo poe ser cosieraos coo olas cobiaas e série, cuja costate e ola uivalete é aa pela uação (.) b r E at 4b 4l 4 b lat Eat E (c) Eeplo. - A laça AB o guiaste ostrao a Fig..7 é ua barra e aço uifore e coprieto e área a seção trasversal,5 -. A assa e g, suspesa pelo guiaste está paraa. O cabo CDEBF é e aço e te área a seção trasversal e, -. Desprezao o efeito o segeto o cabo CDEB, eteriar a costate e ola uivalete o sistea a ireção vertical. O óulo e elasticiae o aço é,7 N/. Solução: A Fig..7b ostra a cobiação e olas, assuio que tato a laça quato o cabo estão subetios eclusivaete a carregaeto aial, o que é válio ua vez que a laça é articulaa a base o guiaste e o cabo trabalha sob tração. Coo ão está eviete a associação as olas e série ou e paralelo, eve-se usar a uivalêcia e eergia potecial para eteriar a costate e ola uivalete. U eslocaeto vertical o poto B causará ua eforação = cos 45 o a laça (costate ). O cabo se eforará = cos(9 o -). Pela Lei os Cosseos, o coprieto o cabo FB, l é obtio por agulo FAl cos5 5 FA l FAl cos l A esa Lei os Cosseos, aplicaa para eteriar o âgulo resultará e l l l cos FA l l FAcos l FA FA,6,6,89 t b l a W W b r W W l =,6 (c) Figura.6 - Sistea e elevação. 7

6 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae oe Aeergia potecial total U arazeaa as olas é obtia por U U 9 cos cos 9 cos 45 (c) E A l, 7,, , N () e E A l, 7, , N (e) Coo a ola uivalete a ireção vertical sofre ua eforação, a eergia potecial esta ola uivalete é aa por U (f) Fazeo U = U, as epressões (c) e (f), utilizao os resultaos e () e (e), obté-se a costate e ola uivalete coo cos 9 cos 9 5,6 6,4 6 N C B D E g 6 6,68 5,75 F,5,5 45 o A l, B g l =, g F A 45 o... - Eleeto aorteceor Figura.7 - Guiaste co carga. O eleeto que relacioa forças co velociaes é cohecio geericaete coo aorteceor. O aorteceor é costituío por u pistão otao co folga etro e u ciliro cheio e u líquio viscoso (óleo, água, etc.), e fora que o fluio possa passar através o pistão. A Fig..8a apreseta u esquea este eleeto. Assue-se tabé que o aorteceor ão possui assa, e fora que a força F, aplicaa e ua e suas etreiaes possa ser balaceaa por ua outra força e esa agitue e setio cotrário, aplicaa a outra etreiae. Se estas forças F, causa u cisalhaeto suave o fluio viscoso, a curva F versus será aproiaaete liear, coo ostra a Fig..8b. A costate e proporcioaliae c, que é a icliação a curva, é chaaa e coeficiete e aortecieto viscoso. As uiaes e c o SI são N.s/. (c) 8

7 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae F v v F F v - v Figura.8 - Eleeto aorteceor. A relação etre força e velociae é etão, epressa por F c v v (.4) O aorteceor te coo fução física e u sistea vibratório, represetar a capaciae que o sistea possui e issipar eergia Eleeto assa O eleeto que relacioa forças co acelerações é o que represeta a iércia o sistea, seo cohecio coo assa. De acoro co o que estabelece a Segua Lei o Movieto e Newto, a força F i é proporcioal à aceleração a quao eios o eso referecial e a costate e proporcioaliae é (Fig..9). A uiae e assa é básica o SI: g. F i a F i a Figura.9 - Eleeto assa. O eleeto assa é aquele que represeta a capaciae física o sistea e arazear eergia ciética. A vibração é o feôeo físico que ocorre co a troca sisteática e eergias ciética e potecial etre a assa e ola. Neste processo o aortecieto respoe pela eergia que é issipaa. Eeplo. - U ecaiso cae-seguior, ostrao a Fig.., é utilizao para coverter ovieto e rotação e u eio o ovieto alterativo e ua válvula. O sistea cosiste e ua haste e assa p, u balaci e assa r e oeto e iércia J r e relação ao seu cetro e graviae C.G., ua válvula e assa v, e ua ola e assa esprezível. Deteriar a assa uivalete este sistea cae-seguior assuio a localização e coo poto A, poto B. O eslocaeto liear a haste é p e a válvula é v. Solução: Devio ao eslocaeto vertical a haste, p, o balaci gira u âgulo r pivotaeto, a válvula se ove para baio l r pl rl l v 9 l p l r p l e relação ao poto e e o C.G. o balaci se ove para baio. A eergia ciética o sistea é igual à soa as eergias ciéticas e caa eleeto T p p v v r r Jr r oe p, r e v são as velociaes lieares a haste, C.G. o balaci e a válvula, respectivaete, e r é a velociae agular o balaci.

8 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae l l l p r v Balaci r B A O G Mola a Válvula Haste Válvula Seguior e rolaeto Cae Eio Figura. - Sistea cae-seguior Se é a assa uivalete o sistea, localizaa o poto A, co uivalete T é aa por T Coo p, a eergia ciética total o sistea p l l,,, p v r e r (c) l l l igualao as epressões e resulta J l l r p v r l l l () Da esa fora, se a assa uivalete está localizaa o poto B, T v, e a epressão se trasfora e v (e) e igualao co (e) resulta J l l r v p r l l l (f) Eeplo.4 - Deteriar a assa efetiva e ua ola e assa total s. Solução: Seo a velociae a assa cocetraa, a velociae e u eleeto a ola, localizao a ua istâcia y e sua etreiae fia, varia co y. Supoo que esta variação é liear, a esa poe ser epressa a fora y y l Se a assa e u eleeto e coprieto y é l y, a eergia ciética total a ola poe ser obtia por itegração

9 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae T ola y l s s y l l y y l Figura. - Massa efetiva a ola. Se a eergia ciética uivalete é aa pela epressão o eeplo., e, coparao co a epressão este eeplo, a assa efetiva (ou uivalete) a ola é eff s Muitas vezes, quao eiste olas e assa cosierável o sistea ecâico estuao, utiliza-se a epressão (c) para icluir o efeito a assa a ola... - Moelo Mateático A partir o estabelecieto o oelo físico, são utilizaos os pricípios a iâica para eteriar as uações ifereciais o ovieto. Estas são geralete a fora e u cojuto e uações ifereciais oriárias para sisteas iscretos e uações ifereciais parciais para sisteas cotíuos. As uações poe ser lieares ou ão lieares, epeeo o coportaeto os copoetes o sistea. Etre os étoos utilizaos para eteriar as uações o ovieto, os ais früeteete ecotraos são a a Lei e Newto, o Pricípio e Alebert e as Equações e Lagrage (Pricípio a Coservação a Eergia). Depeeo a atureza o problea, ua eteriaa técica everá ser usaa para resolver as uações o ovieto. As técicas ais früeteete utilizaas são as seguites: étoos e solução e uações ifereciais, étoo a Trasforaa e Laplace, étoos atriciais e étoos uéricos. A solução as uações o ovieto apreseta os eslocaetos, velociaes e acelerações as várias assas o sistea. Estes resultaos eve ser iterpretaos seguo o propósito a aálise que está seo realizaa e as possíveis iplicações os resultaos. É esta etapa que se iclui, por eeplo, o iagóstico e vibrações e áquias ou uipaetos iustriais. A coparação etre as características as vibrações eias co as soluções as uações ifereciais perite iportates coclusões sobre as causas as vibrações. Nesta etapa a utilização as Trasforaas e Fourier é fuaetal para a ietificação e características as vibrações eias.. - Vibrações livres e sisteas ão aortecios.. Equações e ovieto A Fig..a ostra u oelo siples e u sistea e u grau e liberae se aortecieto, o cohecio sistea assa-ola. Aplicao a Segua Lei e Newto, poe-se costruir o iagraa e corpo livre a assa, ostrao a Fig..b. A uação o ovieto é etão g est pela coição e uilíbrio estático quao o ovieto ão eiste, sabe-se que g est uação iferecial o ovieto e sua fora cohecia (c), poeo-se escrever a (.5) A esa uação poe ser obtia utilizao o Pricípio a Coservação a Eergia. Coo o sistea ão possui aortecieto, toa a eergia coceia iicialete peraece ivariável urate o tepo e que acotece o ovieto. Isto é epresso por T + U = E = costate oe T é a eergia ciética e U é a eergia potecial associaas ao ovieto. A cosüêcia ateática a coservação a eergia é

10 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae E t T U (.6) t A eergia ciética é arazeaa pela assa, epeeo a velociae, seo aa por T, uato que a eergia potecial é arazeaa pela ola, a fora e eforação, seo U. Itrouzio estes teros a uação.6 te-se t T U t resultao a esa uação.5. L + st st posição e uilíbrio estático posição fial ( st + ) g Força e ola g + Eergia Potecial (c) g st O Posição e uilíbrio estático () Figura. - Sistea assa-ola e posição vertical A uação.5 é ua uação iferecial oriária, e segua ore (erivaa e aior ore), liear (toos os teros estão liearete relacioaos co e suas erivaas), e coeficietes costates ( e ão varia co o tepo) e hoogêea (o tero iepeete é igual a ). A solução esta uação é t A se t A cos t (.7) oe A e A são costates e itegração. Derivao uas vezes (.7) e substituio e (.5) ecotra-se Ase t A cos t) (.8) ( Para que a uação (.8) seja satisfeita, é ecessário que ou (.9) A solução (.7) te as esas características aquela obtia e Resistêcia os Materiais, para a uação a liha elástica. Lá o problea é espacial (variável iepeete é a posição) cohecio coo problea o cotoro, e as costates A e A são obtias através e uações auiliares geraas pelas coições e cotoro associaas ao problea e estuo. No caso presete o problea se apreseta o oíio o tepo e é cohecio coo problea o valor iicial e as costates A e A epee as coições iiciais o ovieto. Se os valores iiciais o eslocaeto e a velociae (que represeta a eergia total itrouzia para gerar o ovieto livre), são cohecios e aos por e v te-se

11 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae t A t v A e fora que a solução a uação iferecial o ovieto se tora v t cost se t (.) O ovieto represetao e (.) é u ovieto harôico e früêcia igual a. Esta é a früêcia co que o sistea oscila quao está livre, se aortecieto. Por este otivo é chaaa e früêcia atural e oscilação. Esta früêcia atural terá uita iportâcia quao se estuar a vibração forçaa seo ua as pricipais características e u sistea iâico. Tratao-se e ua oscilação harôica, é iportate represetar a epressão (.) e ua fora ais siples. Co o auílio e relações trigooétricas (.) poe ser escrita coo oe t X cos t (.) X v v =ta - e X O t Figura. - Vibração livre se aortecieto (ovieto harôico) Eeplo.5 - Ecotrar a früêcia atural e vibração a ireção vertical o sistea e elevação ostrao a Fig..6a Solução: O sistea e elevação poe ser iealizao coo u sistea e u grau e liberae co uas olas associaas e série (viga e balaço e cora, são os eleetos elásticos), cuja rigiez uivalete é aa por b r b r oe b é a rigiez a viga e balaço sob fleão e r é a rigiez o cabo e aço sob tração. T b r EI E at Eat b b 4b EA l E l E 4 4l e resultao e ua rigiez uivalete E at 4 b lat e a früêcia atural é aa por

12 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae g P Eg at 4P b lat Eeplo.6 - Deteriar a früêcia atural o sistea e polias ostrao a Fig..4. Assuir que ão há atrito etre cabo e polias e as assas as polias e o cabo são esprezíveis. Polia Polia Figura.4 - Sistea e elevação co polias. Solução: Iealizao ovaete o sistea coo u sistea e u grau e liberae, a früêcia atural tabé poe ser obtia usao o coceito e rigiez uivalete. Coo ão há atrito etre polias e cabo e as polias ão possue assa, a tesão a cora é costate e igual ao peso P a assa. Etão a força que atua a polia, puaoa para cia é P, e a força que atua a polia, puao-a para baio tabé é P. O cetro a polia se esloca P/ para cia, e o cetro a polia se esloca P/, para baio. O eslocaeto total a assa é P P A costate e ola uivalete o sistea é obtia cosierao eslocaeto a assa, portato P 4P 4P 4 Se a uação o ovieto a assa é escrita coo e peso a assa costate e ola uivalete = etão a früêcia atural é aa por ra / seg ou f Hz (ciclos / seg) 4 4 Eeplo.7 U rolo copactaor e solo cosiste e u ciliro e assa e raio r, que está coectao a u trator por ua ola e costate coo ostra a Fig..5. Ecotrar a uação iferecial o ovieto. Assuir que o rolo está livre para rolar sobre a superfície horizotal, se eslizaeto. 4

13 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Solução: Aplicao a ª Lei e Newto ao ovieto o ciliro, usao coo cooreaa o ovieto o cetro e assa o eso, ou F F f oe F f é a força e atrito, aia escohecia. Figura.5 Rolo copactaor e solo. Usao a uação, M J O J F r (c) O f ou r r F r f () e, portao, F f. Substitui-se esta epressão para F f a uação as forças para obter ou (e) (f).. - Métoo a eergia e Rayleigh Cofore foi ito o capítulo itroutório, ua as ais iportates cotribuições e Lor Rayleigh o capo as vibrações foi o étoo apresetao para eteriação a früêcia atural o sistea e u grau e liberae. Mais tare Ritz esteeu o étoo para eteriação a prieira früêcia atural e u sistea e ais e u grau e liberae. O Métoo e Rayleigh se fuaeta o Pricípio a Coservação a Eergia, se aplicao, portato, apeas a sisteas coservativos (se aortecieto). Coo a eergia total E é costate, a soa as eergias ciética e potecial e ois istates e tepo quaisquer são iguais T + U = T + U = E oe T e U são as eergias ciética e potecial o tepo e T e U são as eergias ciética e potecial o tepo. Estabeleceo-se a posição e uilíbrio estático coo a posição referecial e eergia potecial (a eergia potecial epee o referecial, que poe ser escolhio arbitrariaete) e o tepo for o tepo e que o sistea passa por esta posição, etão U = e, coo a eergia total é costate e igual à soa as eergias ciética e potecial, a eergia ciética este tepo eve ser áia, ou T = T a. Por outro lao, ao se escolher o tepo coo o tepo e que o sistea atige seu áio eslocaeto, isto prouz ua eergia potecial áia U = U a e, coo o ovieto é oscilatório, a velociae este eso tepo é ula e T =. Utilizao a epressão (.), isto se trauz e 5 (.) T a = U a (.)

14 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae que é a epressão fuaetal o Métoo e Rayleigh. Eeplo.8 Resolver o problea o eeplo.7 utilizao o Métoo e Eergia. Solução: Eergia ciética o ovieto e traslação o cetro e assa o rolo Tt Eergia ciética o ovieto e rotação o rolo T r JO oe o oeto e iércia o rolo é JO r (c) Pela coição e rolaeto se eslizaeto r ou r () e fora que a eergia ciética total é T r r 4 A eergia potecial se cocetra a ola, seo U (f) Aplicao o Pricípio a Coservação a Eergia t T U Siplificao, chega-se à uação (g) (h) que é iêtica à. (f) o Eeplo.7. Eeplo.9 Estruturas copostas. Deteriar a früêcia atural a vibração vertical e ua assa ligaa a ua estrutura fleível coo ostrao a Fig..6. Solução: A estrutura a Fig..6 é cosieraa coo uas olas associaas e série. O oelo é ostrao a Fig..6a. Para ua viga bi-apoiaaa costate e ola para a efleão lateral o eio é 48EI L Passo : O sistea possui u grau e liberae. Selecioa-se a cooreaa. Passo : Assue-se que a assa é eslocaa. As forças aplicaas são ostraas a Fig..6. F é aia escohecia. A copatibiliae os eslocaetos eige que Etão F F,, F, F F F F F 4 4 (e) (c) 6

15 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Passo : A ª Lei e Newto estabelece F () Passo 4: A früêcia atural é Figura.6 Estrutura coposta. 4 4 (e) Eeplo. Ua viga egastaa, e aço, co coprieto igual a possui ua seção trasversal retagular e,,. Ua assa e g é aeaa à sua etreiae livre coo ostra a Fig..7. Deteriar a früêcia atural o sistea para vibração vertical. Figura.7 Viga egastaa. Solução: Assue-se que a assa a viga é puea. viga = 78,, = 9,6 g, as se sabe que a sua assa efetiva é cerca e / este valor,, g, o que represeta, % a assa colocaa a etreiae. A efleão a etreiae livre a viga egastaa, evia a ua força lateral P ali aplicaa é = PL /EI. Portato, para pueas oscilações, a costate e ola é = P/ = EI/L. O oeto e iércia a viga é I = bh / =,, / = -8 4, e o óulo e elasticiae o aço é E =, N/. Portato, =, -8 / = 6 N/. A uação o ovieto livre ão aortecio é Se a assa a viga ão for cosieraa a früêcia atural será 6 7,94 ra/s 7

16 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Se a assa efetiva a viga (/) for acrescia, a früêcia atural tora-se 6 7,8 ra/s (c), A ifereça e, ra/s uivale a,5 % a früêcia atural, correspoeo a ua ifereça e 9,6 % a assa total. Isto eostra a iportâcia e se cosierar a assa efetiva a ola. Eeplo. A cora ostraa a Figura.8 está sob ua tesão T, que peraece costate para pueos eslocaetos. Deteriar a früêcia atural a vibração vertical a assa cosierao pueas oscilações. Despreze os efeitos a graviae e a assa a ola. Figura.8 Massa suportaa por ua cora tesioaa. Solução: Assuir que a assa está eslocaa a ireção vertical. A tesão a cora é a força e restauração. Coo a tesão é costate, as copoetes verticais a tesão sobre a assa resulta e T a L a. Aplicao a ª Lei e Newto, a uação o ovieto é e T ou a L a TL a L a TL a L a Eeplo. U ciliro sólio e raio r está ierso parcialete e água estilaa coo ilustra a Fig..9. Deteriar a früêcia atural e oscilação o ciliro a ireção vertical, assuio que peraece a posição vertical. As esiaes o ciliro e a água são c e w. Figura.9 Vibração e corpos flutuates. Solução: O eslocaeto vertical o ciliro eio a partir e sua posição e uilíbrio é. O peso a água eslocaa (epuo) é Ag w. Esta é força restauraora, e acoro co o Pricípio e Arquiees. A assa o ciliro é Ah c. Da ª Lei e Newto, a uação o ovieto é ou Ah Ag c w 8

17 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae portato gw h c g w (c) ch Coo parte a água se ove juto co o ciliro, a früêcia atural real será u pouco eor. A assa e água acrescia é: esfera isco oveo - se perpeicu larete à superfície plaa w L placa co fora retagular wl 4 L ciliro oveo - se perpeicu larete ao seu eio logituial 4 Eeplo. U corpo e assa está suportao por ua ola e rigiez (Fig..). Ua assa cai e u altura h sobre o corpo ocorreo u ipacto perfeitaete plástico. Deteriar a epressão a vibração resultate e a früêcia atural o sistea após o ipacto. h u gh u uilíbrio Figura. Vibração evia ao ipacto. Solução: E prieiro lugar eteria-se a velociae a assa o oeto o ipacto. A seguir, utilizao o pricípio a coservação a quatiae e ovieto, calcula-se a velociae o cojuto após o ipacto, que é a velociae iicial o ovieto as uas assas se vibrao coo u corpo rígio. Quao a assa atige o corpo, possui velociae u gh. O pricípio a coservação a quatiae e ovieto estabelece que u u oe u é a velociae as uas assas após o ipacto. Neste istate o sistea ão estará a sua posição e uilíbrio estático. Se a assa for carregaa co ua carga aicioal g, a posição e uilíbrio estático estaria g abaio a posição o ipacto. Se o ovieto é eio a partir esta posição (ipacto), as coições iiciais são co g, u gh A uação o ovieto é siilar à Eq. (.5) (c) 9

18 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae A solução, e fução as coições iiciais, é aa pela Eq. (.), resultao e t u gh g cos t si t si t cos t.4 - Vibração Livre e Sisteas co Aortecieto Viscoso O aortecieto represeta a capaciae o sistea e issipar eergia. Coo oelo ais siples e aortecieto se apreseta o aortecieto viscoso, assi chaao por represetar a força issipativa proporcioaa por u fluio viscoso. Esta força te coo característica pricipal ser proporcioal à velociae relativa etre as superfícies e ovieto quao eiste u fluio separao-as. Esta proporcioaliae garate que a uação iferecial o ovieto ão pererá ehua e suas características euciaas a seção... A força e aortecieto viscoso F a te coo epressão Fa c (.4) oe c é a chaaa costate e aortecieto Equação o ovieto c. c Sistea Diagraa e corpo livre Figura. - Sistea e u grau e liberae co aorteceor viscoso A Fig..a ostra o esquea e u sistea e u grau e liberae co aortecieto. Se a força e aortecieto for e atureza viscosa, é igual à epressão (.4), o iagraa e corpo livre a Fig..b, ao se aplicar a ª Lei e Newto, perite que se escreva a uação c que poe ser escrita a fora c (.5) A solução a uação (.5) te fora t s cs Ce st que te solução ão trivial quao a uação característica Ce st que, itrouzia a uação, resulta e s cs (.6) for satisfeita. Isto só é possível se as raízes fore s, c c 4 c c (.7) Coo as uas raízes satisfaze a uação iferecial (.5), a solução resultate será ua cobiação liear as esas a fora st s t t C e C e (.8)

19 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae.4. - Sisteas sub-aortecio, criticaete aortecio e super-aortecio. A fora fucioal e (.8) epee fuaetalete a atureza as raízes (.7): copleas ou reais. Para facilitar a otação, ates e estuar a ifluêcia a atureza as raízes a fora fucioal, eve-se efiir algus parâetros auiliares. Costate e Aortecieto Crítico A costate e aortecieto crítico c c é efiia coo o valor e c que faz co que o iscriiate a epressão (.7) se aule. Isto porque, é o sial este iscriiate que epee a atureza as raízes: iplica e raízes reais uato que para as raízes forarão u par copleo., se apreseta coo o liite etre estas uas situações istitas. Te-se etão e fora que cc c c (.9) Fator e Aortecieto A costate e aortecieto c á ua iicação a relação etre a força e aortecieto e a velociae relativa etre as partes e ovieto. Ela, poré ão proporcioa ua visão a quatiae e aortecieto que atua sobre o sistea real, ua vez que ua força e aortecieto poe ser grae para u sistea e puea para outro, epeeo, fuaetalete as assas evolvias e a rigiez. Defie-se, etão o fator e aortecieto que é ua quatiae aiesioal e ão epee a ore e graeza os parâetros o sistea, iicao epressaete o quato o sistea está seo aortecio. O fator e aortecieto é efiio coo a relação etre a costate e aortecieto o sistea e a costate e aortecieto crítica c c c (.) Co o valor e c c ao a epressão (.9) te-se que c (.) Cosierao que, co a epressão (.), as raízes (.7) poe ser escritas a fora s, (.) Itrouzio (.) e (.8), chega-se a t t t C e C e (.) A epressão (.) poe ser cosieraa coo a epressão geral para o ovieto vibratório e u sistea e u grau e liberae. Poe-se se ostrar facilete que, para = esta epressão se trasfora e (.7), que represeta o ovieto e u sistea e u grau e liberae se aortecieto. A fora o ovieto represetao por (.) epee epressaete os epoetes presetes (ou a atureza as raízes (.) coo já foi ito ates). A seguir serão apresetaas as possibiliaes e ovieto e fução a atureza estes epoetes (reais, copleos ou ulos). E, coo poe ser facilete averiguao e (.), a atureza os epoetes epee o fator e aortecieto. Caso : Sistea sub-aortecio - No prieiro caso aalisao o sistea possui u fator e aortecieto eor que a uiae, o que sigifica que sua costate e aortecieto é eor que a costate e aortecieto crítico, coo poe ser observao e (.). Coo cosüêcia te-se que Etão (.) poe ser escrita a fora i t i t t C e C e (.4)

20 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae que, cosierao as fórulas e Euler, e i t cos i se, poe ser oificaa para t e C C cos t i C C se t (.5) e, através as relações trigooétricas t cos t Xe t co cos a b cos a cosb se a seb, chega-se a i C C X C C C C CC e ta. C C (t) (.6) X Xe t O t t t Figura. - Solução sub-aortecia. As costates e itegração X e, são obtias aplicao-se as coições iiciais e iretaete à epressão (.6), resultao e t t v X v (.7a) e v ta (.7b) ( / ) O Figura. - Variação e co o aortecieto. A fora o ovieto represetao pela epressão (.6) é ostraa a Fig... Trata-se e u ovieto harôico co fora cos t, e aplitue ecrescete epoecialete seguo a relação Xe t Observa-se que o efeito o aortecieto está presete a aplitue ecrescete, represetao a issipação a eergia vibratória. Para graes valores e t o tero Xe t. O ovieto cotiua seo harôico pois apeas ua früêcia está presete. A früêcia e oscilação agora ão é ais a früêcia atural e si a chaaa früêcia a vibração livre aortecia, aa por se aproia e para pueos valores e. A variação e co está ostraa a Fig.... (.8)

21 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae Caso - Sistea Criticaete Aortecio - Quao a costate e aortecieto c é igual à costate e aortecieto crítico c c, iplicao que as raízes aas e (.) são reais e iguais, a saber s s (.9) Para o caso e raízes reais repetias, a solução a uação iferecial (.5) assue a fora st t C C t e C C t e t Aplicao-se as coições iiciais (.4) t e t v iretaete à epressão (.4), as costates e itegração são obtias coo C e C v, resultao e t v t e t (.4) A Fig..4 ostra o ovieto criticaete aortecio, jutaete co os outros tipos e ovietos aortecios. E fução o tero epoecial egativo o ovieto tee a zero co o crescieto o tepo. Coo o ovieto ão é ais harôico, este tipo e sistea ão ocorre oscilações copletas: a assa retora rapiaete à sua posição e uilíbrio. Caso - Sistea Super-Aortecio - Quao a costate e aortecieto c é aior que a costate e aortecieto crítico c c, iplicao que as raízes aas e (.) são reais e iferetes, a saber s, (.4) e a solução a uação iferecial retora à fora aa e (.). Itrouzio-se as coições iiciais costates e itegração, que se tora C C v v t e t v, e (.), eteria-se as (t) Criticaete aortecio = Não aortecio = Superaortecio > Subaortecio < O t Figura.4 - Coparação etre ovietos co iferetes tipos e aortecieto. O ovieto super-aortecio tabé está ostrao a Fig..4 e se poe ver que ão é oscilatório. Se poe coparar os três casos escritos acia e cocluir que ovieto oscilatório só acotece e sisteas subaortecios (< ). Sisteas criticaete aortecios e super-aortecios apreseta coo característica pricipal, o fato e que toa a eergia vibratória iicial se issipa ates que ocorra u ciclo vibratório. Cosüêcia: ão há vibração. Ua coclusão que se tira a observação a Fig..4 é que o sistea retora ais rapiaete à posição e uilíbrio quao está criticaete aortecio o que quao está super-aortecio. Portato, quao se esejar fazer co que u sistea retore rapiaete, se vibrar, à sua posição iicial epois e eslocao ela, se eve escolher ua quatiae e aortecieto que tore o sistea criticaete aortecio. Na prática, coo vai ser visto ais

22 c c c Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae aiate, valores eores o que o aortecieto crítico ( =.7) perite o retoro à posição e uilíbrio ais rapiaete aia, peritio-se que ocorra apeas ua oscilação. Este valor é usao e aorteceores e veículos, pois os esos, quao subetios às irregulariaes e ruas e estraas, eve retorar o ais rapiaete à sua posição origial Decreeto Logarítico U problea que se apreseta oralete para que estua sisteas vibratórios é estiar o fator e aortecieto. Quao se possui u registro, resultao e ua eição, e u ovieto vibratório, é possível observar a quea epoecial a aplitue e vibração co o tepo. O étoo o ecreeto logarítico se fuaeta a coparação etre ois eslocaetos eios e u ovieto vibratório livre aortecio. A Fig.. ostra o registro e u ovieto vibratório livre e u sistea e u grau e liberae. E se tratao e ovieto oscilatório, etão o sistea é sub-aortecio, e a epressão que escreve o ovieto é a (.6). Se é o eslocaeto eio o tepo t e é o eslocaeto eio o tepo t, a relação etre e é Xe Xe t t cos t cos t Se os ois eslocaetos são eios e tepos separaos por u períoo iteiro, etão t =t +, e fora que o que tora (.4) t t t cos cos cos (.4) co t e e e e e t e e o ecreeto logarítico é efiio etão coo l (.44) Para sisteas co aortecieto uito baio (<<), a epressão (.44) poe ser aproiaa para (.45) A Fig..5 ostra graficaete a relação etre e e oe se poe ver que a curva (.44) se aproia a reta escrita por (.45) quao <.. 4 Eq. (.44) 8 l 6 4 Eq. (.45),,,4,6,8, Figura.5 - Variação o ecreeto logarítico co o aortecieto. Basicaete, etão, o étoo fucioa a partir e uas eias o ovieto, e seguio-se o cálculo o ecreeto logarítico por (.44), e a seguir, o fator e aortecieto é calculao por 4

23 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae (.46) Coo, e ua grae quatiae e casos, é ifícil istiguir etre ois eslocaetos separaos por u úico períoo, o ecreeto logarítico, seguio o eso raciocíio apresetao acia poe ser obtio a partir e uas eias e +. Te-se e 4 e oe se obté o ecreeto logarítico l (.47) Eergia Dissipaa o Aortecieto Viscoso Coo o aortecieto represeta a capaciae o sistea e issipar eergia, é útil se estabelecer ua relação etre a eergia issipaa e a costate e aortecieto (ou o fator e aortecieto) o sistea. E se tratao e vibração livre, toa a variação e eergia resulta a issipação: o ovieto possui iicialete ua quatiae e eergia que vai iiuio progressivaete. A taa e variação a eergia co o tepo é aa por W t Fv cvv c força velociae = t (.48) oe assuiu-se que a força resposável pela variação é a força e aortecieto viscoso. O sial egativo represeta a variação egativa a eergia, e virtue o sistea ser issipativo. Quao o fator e aortecieto é pueo, poe-se cosierar que a aplitue peraece costate e u ciclo a vibração seo (t) = X cos t. A eergia issipaa o ciclo e vibração é, portato W resultao e se se c t c X t t c X t t t W c X (.49) Da epressão (.49) se coclui que a eergia issipaa epee, alé a costate e aortecieto c, tabé a früêcia a vibração livre aortecia, e o quarao a aplitue o ovieto vibratório X. A capaciae específica e aortecieto o sistea é efiia coo a relação etre a eergia que é issipaa urate u ciclo e a eergia total que estava presete o iício o referio ciclo. Escolheo-se o iício o ciclo, o istate e tepo e que o sistea possui a áia eergia ciética (tabé poeria ser potecial), esta poe ser aa por W va X (.5) A capaciae específica e aortecieto é aa relacioao-se (.49) e (.5) W W c X c 4 c X 5 4 (.5) O coeficiete e pera tabé é utilizao para represetar a capaciae e aortecieto e ateriais. É obtio a partir e (.5) coo coeficiete e pera W W (.5) Eeplo.4 - U absorveor e choque é projetao para ua oto e assa igual a g (Fig..6a). Quao o absorveor é subetio a ua velociae iicial evio a ua irregulariae o caiho, a curva resultate eslocaeto tepo é coo a ostraa a Fig..6b. Deteriar as costates e rigiez e aortecieto ecessárias para o absorveor se o períoo e vibração aortecia é seg e a aplitue eve ser reuzia para ¼ e

24 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae eio ciclo (,5 = /4). Deteriar tabé a velociae iicial íia que prouz u eslocaeto áio e 5. Solução: Iicialete eve ser eteriao o fator e aortecieto, que poe ser obtio a partir o ecreeto logarítico. A costate e aortecieto poe etão ser obtia. A rigiez é eteriaa através a früêcia a vibração livre aortecia. A velociae iicial é obtia a partir a eteriação o tepo correspoete ao áio eslocaeto. (t) / c / O,5 t,5 Figura.6 - Absorveor e choque para ua oto. Se,5 = /4, etão o eslocaeto, correspoete a u períoo após será =,5 /4 = /6. O ecreeto logarítico é etão l l 6, 77 Através a epressão (.46) eteria-se o fator e aortecieto por, 44 A früêcia atural é obtia a partir o períoo a oscilação aortecia = seg., 44 ra / seg Seo = g costate e aortecieto crítico é obtia por c c, 74 N seg A costate e rigiez é aa por, 58 N O tepo e que ocorre o áio eslocaeto é o eso tepo e que a velociae se aula. A uação a velociae é obtia ifereciao-se a epressão (.6) e relação ao tepo, resultao t t Xe cos t se t que será ula se o tero etre colchetes se aular. Cosierao as epressões (.7), seo o eslocaeto iicial ulo, co, cosueteete, e X = v / e as relações trigooétricas chega-se a si cos t sit cos cos t si t cos t cos si t si 6

25 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae t ta,68 seg A epressão (.6), para o presete caso tora-se t v e t se t Coo este valor áio é,5 te-se a v e t se t e, substituio os respectivos valores, chega-se a v =,49 /s Eeplo.5 - O iagraa esqueático e u cahão é ostrao a Fig..7. Quao a ara é isparaa, gases a alta pressão acelera o projétil etro o cao até o eso atigir ua alta velociae. A força e reação epurra o corpo o cahão a ireção oposta à o projétil. Coo é esejável trazer o corpo o cahão para a posição origial o eor tepo possível, se oscilar, coloca-se u sistea ola-aorteceor criticaete aortecio o ecaiso e recuo. E u caso particular o ecaiso e recuo e o corpo o cahão possue ua assa e 5 g co ua ola e rigiez N/. O cahão recua,4 após o tiro. Deteriar: ) o coeficiete e aortecieto crítico o aorteceor; ) a velociae iicial e recuo o cahão; ) o tepo gasto pela ara para retorar à posição situaa a, e sua posição iicial. Solução: ) A costate e aortecieto crítico é obtia pela epressão (.9). Para tato é ecessário, iicialete, eteriar a früêcia atural N 5 4, 47 ra / seg Projétil Mecaiso e recuo A costate e aortecieto crítico será, etão c c 5 4, 47 4, 47 Figura.7 - Cahão. N seg ) Para eteriar a velociae iicial e recuo é ecessário recorrer à resposta o sistea criticaete aortecio, aa e (.4). Se o sistea parte a posição e uilíbrio, =, e (.4) trasfora-se e t v te t que eve ser erivaa para se teriar o tepo e que ocorre o áio eslocaeto t t t t ve vte tve t que se verifica quao 7

26 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae t a e v t 4 vte, e e oe se chega a v =,4 e = 4,86 /seg ) O tepo gasto para o cahão voltar à posição origial é eteriao usao a epressão o eslocaeto, vte t resultao e t =,86 seg.5 - Vibração Livre co Aortecieto e Coulob O aortecieto e Coulob aparece quao corpos esliza e superfícies secas. E uitos sisteas ecâicos, são utilizaos eleetos que provoca aortecieto por atrito seco. Tabé e estruturas, copoetes frueteete esliza u e relação ao outro e o atrito seco aparece iteraete. A Lei e Coulob para o atrito seco estabelece que quao ois corpos estão e cotato, a força rueria para prouzir eslizaeto é proporcioal à força oral atuate o plao o cotato. A força e atrito F F N (.5) oe N é a força oral e é o coeficiete e atrito. A força e atrito atua e setio oposto ao a velociae. O aortecieto e Coulob é, alguas vezes, chaao e aortecieto costate, ua vez que a força e aortecieto é iepeete o eslocaeto e a velociae, epeeo soete a força oral atuate etre as superfícies e eslizaeto. A Fig..8a, ostra u sistea e u grau e liberae co aortecieto e Coulob. A Fig..8b apreseta os iagraas e corpo livre para as uas possíveis orietações o ovieto. E caa ua estas orietações a uação o ovieto toará ua fora iferete. O ovieto se á oscilatoriaete, portato o sistea está ora e ua situação, ora e outra. g. N N g. Figura.8 - Sistea co aortecieto e Coulob. Prieira fase o ovieto: Quao a velociae tiver setio positivo (seguo o referecial aotao), a força e atrito será egativa e a Segua Lei e Newto aplicaa resultará ou etão N, N (.54) que é ua uação iferecial oriária, liear, e segua ore, coeficietes costates, ão hoogêea. A solução geral esta uação copõe-se e uas partes, ua chaaa hoogêea, que é a solução a uação (.5),aa e (.9a), e a outra chaaa particular, que iclui o tero o lao ireito a uação, resultao N N (c) 8

27 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae N t A cos t A se t (.55) A uação (.54) e, cosüeteete, sua solução (.55), vale soete uato a velociae peraecer co o sial positivo. Segua fase o ovieto: Quao a velociae troca e sial, a força e atrito tabé ua e sial resultao a uação N (.56) que te solução aáloga a (.4), apeas co o sial a solução particular ivertio, resultao N t A cost A4 set (.57) E (.55) e (.57), o tero N/ represeta o eslocaeto a ola evio à força e atrito estabeleceo ua ova posição e uilíbrio. Coo a força e atrito ua e setio a caa eio ciclo (períoo e que a velociae peraece co sial ialterao), esta posição e uilíbrio tabé ua a caa eio ciclo coo poe ilustrar a Fig..9. Solução: Para copleetar a solução as uações (.54) e (.56), eve-se aalisar o ovieto a partir e coições iiciais. O sistea iicia o seu ovieto a partir e u eslocaeto iicial, co velociae iicial ula, para caracterizar a iversão o setio o ovieto e caa eio ciclo. São, etão, as coições iiciais t t (.58) (t) N 4N N N t N Figura.9 - Movieto o sistea co aortecieto e Coulob. Se o ovieto coeça co u eslocaeto iicial positivo e velociae ula, o prieiro eio ciclo ocorrerá co velociae egativa. A uação que escreve esta fase o ovieto é (.56), cuja solução é aa e (.57). Itrouzio as coições iiciais (.58) e (.57), as costates poe ser eteriaas por resultao e N t A t A A N e A 4 = A uação (.4) se tora, portato t N 4 N cos t (.59) Esta solução é vália apeas para o prieiro eio ciclo, ou seja t. Quao t =, a assa está e sua posição etrea e a velociae troca e setio, e a uação que escreve o ovieto é agora (.54) cuja 9

28 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae solução é (.55). Para que ocorra a cotiuiae o ovieto as coições fiais (eslocaeto e velociae) e t =, calculaas co (.54), eve ser as coições iiciais para (.55) t t N N N cos N se (.6) Aplicao as coições iiciais (.6) e (.54), resulta A A N O eslocaeto, este seguo eio ciclo o ovieto, é regio etão por t N N cos t (.6) Ao fial o seguo eio ciclo t =, quao a velociae ovaete uará seu sial, o eslocaeto e a velociae atigirão os seguites valores t t 4 N (.6) Os valores e (.6) serão as coições iiciais o terceiro eio ciclo, quao, ovaete, passa a valer a uação (.56) e sua solução (.57). O ovieto prosseguirá esta fora, uao e uação a caa eio ciclo até que o fial e u eteriao eio ciclo, o eslocaeto seja tão pueo que a força e ola seja icapaz e vecer a força e atrito estático. Isto acotecerá o fial o eio ciclo e ore r que poe ser eteriao por N r N N r N ou A característica pricipal o aortecieto causao por atrito seco, coo já foi ito acia, é que a aplitue iiui sepre ua quatiae costate a caa ciclo (ou eio ciclo). Observao (.59) e (.6), abas represeta ovietos harôicos a früêcia, co a aplitue caio N a caa eio ciclo e co a posição e (.6) uilíbrio variao N tabé a caa eio ciclo. Coo o ovieto cessa quao a força e ola ão ais superar a força e atrito, esta posição oralete ão coicie co a posição e uilíbrio, resultao que, por causa a força e atrito, geralete a ola ficará co ua eforação resiual o fial o ovieto. Outra característica o sistea co aortecieto provocao por atrito seco é que o eso oscila a früêcia atural, ao cotrário o sistea co aortecieto viscoso, cuja oscilação ocorre e ua früêcia que poe ser uito iferete a früêcia atural, epeeo o fator e aortecieto. Outro aspecto que erece ser citao é que, uato o sistea co aortecieto viscoso, te ua quea epoecial a aplitue, o eso, teoricaete cotiuará oscilao iefiiaete, eso que co aplitues ifiitesialete pueas (a prática o ovieto cessa evio a resistêcias passivas), o sistea co aortecieto e Coulob ecerra seu ovieto e u tepo fiito, eso teoricaete, quao os eslocaetos fore pueos..6 - Vibração Livre e Sisteas co Aortecieto Estrutural O atrito itero que ocorre etre as fibras os ateriais quao as esas estão e ovieto relativo, o que acotece quao há vibração, é resposável por ua parte a issipação a eergia vibratória. Isto iplica etão, e 4

29 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae ua iiuição a aplitue a vibração livre. Este tipo e aortecieto, tabé chaao e aortecieto histerético, poe ser eteriao verificao-se a eergia issipaa urate o ovieto. Observao o sistea a Fig..a, coclui-se que a força que causa o eslocaeto (t) é aa por Ft c (.64) Seo o ovieto harôico, ao por X se t F t X set cx cos t a trigooetria, poe-se retirar o seguite artifício se cos cos se X X t X t X t X X t resultao e F t c X (.65) F cx c X c -X X -cx (t) F(t) Figura. - Sistea co aortecieto estrutural. A Fig..b ostra o gráfico e F(t) versus que represeta u ciclo. A área itera a elipse represeta a eergia issipaa e u ciclo e oscilação (ifereça e trabalho realizao). Esta área é obtia pela itegração cujo resultao é W F X set cx cost X cost t t t X set t X costt t W cx (.66) Tesão (Força) co Ciclo e histerese Deforação (eslocaeto) h Área (t) F(t) Figura. - Curva tesão eforação para carregaeto cíclico. O aortecieto causao pelo atrito etre fibras iteras que esliza etre si quao o aterial efora é chaao estrutural ou histerético. Observa-se eperietalete que se fora u ciclo e histerese a curva tesãoeforação, coo ostra a Fig. (.a). A eergia peria e u ciclo é igual à área itera o ciclo e histerese. A siilariae etre as Figs..b e.a poe ser usaa para efiir ua costate e aortecieto estrutural. Observa-se, tabé eperietalete, que a eergia peria por ciclo evio ao atrito itero é iepeete a 4

30 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae früêcia as aproiaaete proporcioal ao quarao a aplitue. Para se atigir este coportaeto a Equação (.66), assue-se que o coeficiete e aortecieto c é iversaete proporcioal à früêcia, a fora h c (.67) oe h é chaaa e costate e aortecieto estrutural ou histerético. A cobiação e (.66) e (.67) resulta e W hx (.68).6. - Rigiez Coplea Se o sistea a Fig..a, estiver eecutao u ovieto a fora i t it Xe i t a força será aa por F t Xe cixe i c (.69) Cobiao (.67) co (.69), chega-se a F t ih i (.7) oe (+i) é chaaa e rigiez coplea o sistea e h c é ua eia aiesioal o aortecieto cohecia coo fator e pera Resposta o Sistea E teros e a eergia peria por ciclo poe ser epressa coo W (.7) X (.7) (t) P R X j X j+ t X j+,5 Q Figura. - Movieto o sistea co aortecieto histerético. Sob aortecieto histerético, o ovieto poe ser cosierao coo aproiaaete harôico (ua vez que W é pueo), e o ecréscio a aplitue por ciclo poe ser eteriao usao u balaço e eergia. Por eeplo, a ifereça e eergia os potos P e Q (separaos por eio ciclo), a Fig.. é X X 5 X X 4 4 X j X j j, j j, 5 j, 5 Da esa fora, a ifereça e eergia etre os potos Q e R prouz ou (.7) X X j 5 j, Multiplicao (.7) por (.74) X X j j costate (.74) (.75) O ecreeto logarítico para o aortecieto estrutural poe ser efiio coo 4

31 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae X l X j j l (.76) Coo assuiu-se que o ovieto é aproiaaete harôico, a früêcia correspoete é efiia por (.77) O fator e aortecieto viscoso uivalete poe ser ecotrao igualao-se as relações para o ecreeto logarítico h l Etão, a costate e aortecieto viscoso uivalete é h c cc (.78) (.79) A aoção e u coeficiete e aortecieto viscoso uivalete, é soete vália quao o ovieto for harôico. A aálise efetuaa acia assuiu que o sistea se oviete haroicaete co früêcia..7 - Vibrações Torcioais Os coceitos esevolvios até aqui poe ser esteios para sisteas subetios a vibrações torcioais. Vibração torcioal é eteia coo a oscilação e u corpo e relação a u eio e referêcia. O ovieto é escrito por ua cooreaa agular e os esforços atuates se apreseta a fora e oetos. Desta fora o eleeto elástico apreseta u oeto e restauração, resultate a torção este eso eleeto. A Fig.. apreseta o esquea e u isco sustetao por u eio e torção. A torção e eios circulares apreseta a relação etre o oeto torsor e a eforação prouzia a etreiae aa por M t GJ l (.8) Eio l t h J J Disco q, q, q D Figura. - Vibração torcioal e u isco. Seo M t o oeto torsor aplicao a etreiae o eio, l o coprieto o eio, G o óulo e elasticiae trasversal o eio, J 4 o oeto e iércia geoétrico polar a seção trasversal o eio e a eforação prouzia a etreiae o eio. A rigiez torcioal, t, poe etão ser efiia coo t M t GJ G l l 4 (.8) 4

32 Uiae - Vibrações Livres e Sisteas e U Grau e Liberae.7. - Vibração Livre e Sisteas Torcioais Vibração Livre se Aortecieto A vibração livre, geraa por ua coição iicial, é regia por ua uação resultate a aplicação a Segua Lei e Newto ao ovieto agular, e que os esforços atuates estão ostraos o iagraa e corpo livre a Fig..b, resultao e J (.8) t e que J é o oeto e iércia e assa o isco. A uação (.8) te a esa fora a uação (.5). A sua solução, portato segue o eso caiho percorrio a seção.. Trata-se, portato e ua uação que escreve u ovieto oscilatório e früêcia igual à früêcia atural o sistea aqui igual a J t f J J t t (.8) Para eios e seção ão circular a costate e rigiez everá ser calculaa apropriaaete através os étoos a Resistêcia os Materiais. O oeto e iércia e assa e u isco e puea espessura é J hd MD 8 4 oe é a esiae o aterial, h é a espessura, D é o iâetro e M é a assa o isco. Seguio o eso proceieto a seção., a solução a uação iferecial (.8) te a fora (.84) t A cos t A se t (.85) Aplicao as coições iiciais t e t eteriaas e (.85) se trasfora e, as costates e itegração A e A são t cost se t (.86) A uação (.86) represeta u ovieto oscilatório e früêcia igual a que epee, eclusivaete as coições iiciais. Eeplo.6 - Qualquer corpo rígio pivotao e u poto que ão seja o seu cetro e graviae oscilará e toro o poto e pivotaeto, quao eslocao e sua coição e uilíbrio estático, e virtue a força gravitacioal. Este tipo e sistea (Fig..4) é cohecio coo pêulo coposto. Deteriar a sua früêcia atural. Solução: A Segua Lei e Newto, aplicaa ao ovieto e relação ao poto e pivotaeto resulta e J P se que poe ser liearizaa co se, assuio-se pueas oscilações, resultao e J P que é ua oscilação co früêcia atural igual a P J g J Coo a früêcia atural o pêulo siples é aa por g l é possível se estabelecer u pêulo siples uivalete ao pêulo coposto (co a esa früêcia atural) que everá ter u coprieto igual a l J 44