Curso MIX. Matemática Financeira. Juros compostos com testes resolvidos. 1.1 Conceito. 1.2 Período de Capitalização

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1 Curso MI Matemática Fiaceira Professor: Pacífico Referêcia: 07//00 Juros compostos com testes resolvidos. Coceito Como vimos, o regime de capitalização composta o juro de cada período é calculado tomado por base o capital iicial acrescido dos juros dos períodos ateriores. Cosidere, por exemplo, o capital de $0.000 aplicado a juros compostos à taxa de 0%a.a. Vejamos qual será o motate após 3 aos de aplicação. o fial do º ao, tem-se: S = $ $ % S = $ $.000 S = $.000 Como sob o regime de capitalização composta os juros do período seguite icidem sobre o motate, ao fial do º ao tem-se: S = $ $ % S = $ $.00 S = $.00 Da mesma forma, ao fial do 3 o ao, tem-se: S 3 = $.00 + $.00. 0% S 3 = $.00 + $.0 S 3 = $3.30 Portato, o motate produzido em 3 aos de aplicação é $3.30. E os juros produzidos esse período serão: $ $0.000 = $3.30 Vejamos, agora, o mesmo problema, de maeira geérica, de forma a obtermos a fórmula geral para o cálculo do motate produzido a juros compostos. Cosideremos, etão, o capital C, aplicado a juros compostos à taxa i. O motate ao fial de cada período será: º período: S = C + C. i S = C. ( + i) º período: S = S + S. i S = S. ( + i) S = C.(+i). (+i) S = C. ( + i) 3 º período: S 3 = S + S. i S 3 = S. ( + i) S 3 = C.(+i). (+i) S 3 = C. ( + i) 3 No -ésimo período, é fácil cocluir que: S = C. ( + i) O fator ( + i) deomia-se fator futuro, ou fator de capitalização, e seus valores, em fução da taxa i e do úmero de período ecotram-se tabelados o pêdice. Observe que, pela fórmula acima, calculamos o motate. Para o cálculo dos juros, basta subtrair do motate o capital iicial. ssim: J =S C. Período de Capitalização À periodicidade com que os juros são capitalizados damos o ome de período de capitalização. ssim, por exemplo, podemos ter: Capitalização mesal: os juros são calculados e icorporados ao capital uma vez por mês. Capitalização bimestral: os juros são calculados e icorporados ao capital uma vez por bimestre. Desta forma, pode-se ter uma aplicação à taxa de juros compostos de 30% a.a, com capitalização mesal. Isto sigifica que os juros serão capitalizados uma vez por mês, embora a taxa dada seja aual. Neste caso, deveríamos ates calcular a taxa mesal equivalete. Este assuto, porém, será objeto de estudo o capítulo seguite. Como poderemos observar os problemas que seguem, em sempre o euciado iforma explicitamete o período de capitalização. Quado isso ocorrer, devemos assumir que o período de capitalização coicide com a uidade de tempo de referêcia da taxa. ssim, por exemplo, se o problema se refere a uma taxa de juros compostos de 5% a.m., sem fazer referêcia ao período de capitalização, devemos assumir que se trata de capitalização mesal. Exemplo : Um capital de $0.000 é aplicado à taxa de juros compostos de 8% a.m.. Determie o motate, ao fial do quito mês de aplicação. S = C. ( + i) S = ( + 0,08) 5

2 O fator ( + 0,08) 5 pode ser calculado utilizado-se uma calculadora fiaceira ou pode aida ser ecotrado utilizado-se as tabelas fiaceiras do pêdice, ode podemos costatar que é aproximadamete igual a, ssim: S = ,46938 S = $9.386,56 Exemplo : Quato devo aplicar hoje, à taxa de juros compostos de 5%a.m., para ter, ao fial de 0 meses, o motate de $7.69,? S = C. ( + i) 7.69, = C. ( + 0,05) 0 Cosultado as tabelas fiaceiras do pêdice, vemos que o fator ( + 0,05) 0 é aproximadamete igual a, ssim: 7.69, = C.,68895 C = $7.000 Exemplo 3: Por que prazo deve ser aplicado um capital de $5.000, à taxa de juros compostos de 0% a.m., com vistas a se obter um redimeto de $33.948,70? S = C + J S = ,70 S = ,70 S = C. ( + i) ,70 = ( + 0,0) ( + 0,0) =, Cosultado as tabelas do pêdice, vemos que, à taxa de 0% e um fator de valor futuro igual a, correspode um prazo igual a 9. Logo: = 9 m Exemplo 4: que taxa de juros compostos devo aplicar um capital de $.000, de forma a ter um motate de $8.008,76, ao fial de 6 meses de aplicação? S = C. ( + i) 8.008,76 =.000. ( + i) 6 ( + i) 6 =,50073 Cosultado as tabelas do pêdice, verificamos que, para um úmero de períodos igual a 6 e um fator de valor futuro igual a,50073, a taxa correspodete é igual a 7%. Logo: i = 7% a.m. Observação: caso ão dispuséssemos das tabelas fiaceiras, poderíamos resolver a equação da seguite forma: ( + i) 6 =,50073 ( + i) = (,50073) /6 i = (,50073) /6 Com a ajuda de uma calculadora fiaceira tem-se: i =,07 i = 0,07 a.m. ou i = 7% a.m..3 Equivalêcia de Capitais a Juros Compostos Sejam os cojutos de capitais e Y, coforme abaixo: Cojuto de Capitais 3 Observação: caso ão pudéssemos utilizar as tabelas do pêdice, poderíamos resolver a equação utilizado logaritmos. ssim, teríamos: ( + 0,0) =,357948,0 =, log,0 = log, log,0 = log, = log, log,0 Utilizado-se uma calculadora fiaceira ou uma tabela de logaritmos, temos: = 9 m 0, , Cojuto Y de Capitais Y Y ulas & postilas

3 Dizemos que os cojutos e Y são equivaletes em uma determiada data de referêcia () se a soma de todos os capitais que costituem o cojuto, refereciados a essa, for igual à soma de todos os capitais que compõem o cojuto Y, refereciados à mesma. Equação de Equivalêcia Cosideremos, a título de exemplo, a 3. Neste caso, os dois cojutos de capitais e Y serão equivaletes a 3 se:. ( + i) ( + i) Y ( i) 5 3.(+i) +. ( + i) + ( i) Y.( i) 3 3 Y Y 4.( i) ( i) ( i) Essa equação represeta a equação de equivalêcia (ou equação de valor) a 3. Observação: a juros compostos, se dois cojutos de capitais são equivaletes em uma determiada, etão eles também serão equivaletes em qualquer outra. O mesmo ão ocorre a juros simples. Exemplo 5: João lberto tem uma dívida a pagar, a juros compostos de 8% a.m., as seguites codições: $.000 daqui a 3 meses e $5.000 daqui a 6 meses. Deseja, porém, substituir essas prestações por duas outras iguais, vecíveis daqui a meses e 4 meses, respectivamete, matedo a mesma taxa de juros e o mesmo regime de capitalização. Qual seria o valor dessas prestações? O diagrama acima mostra a forma de pagameto iicialmete cotratada e a forma de pagameto desejada. Para que ão haja qualquer prejuízo para o credor ou para o devedor, é preciso que ambas as formas de pagameto sejam equivaletes. Devemos, para isso, motar a equação de equivalêcia, para uma determiada. Vimos que a juros compostos, se dois cojutos de capitais são equivaletes para uma determiada, também o serão para qualquer outra. ssim, qualquer que seja a escolhida, chegaremos ao mesmo resultado. Como regra geral, é iteressate escolher uma data focal que facilite um pouco os cálculos a serem realizados. Neste exemplo, foi escolhida a 3. ssim, tem-se:. ( + 0,08) + ( 0,08) = ,08. + =.000 +,08, 597, ,9593. = ,6, = 4.969,6 =.477,3 ( ,08) Desta forma, a dívida poderia ser quitada em dois pagametos iguais, de $.477,3, vecíveis daqui a meses e 4 meses, respectivamete. Exemplo 6: Uma televisão custa à vista $.000. Se o comerciate deseja vedê-la em três prestações iguais, vecíveis em 30, 60 e 90 dias, respectivamete, a uma taxa de juros compostos de 0% a.m., calcule qual deve ser o valor de cada prestação, bem como o valor cobrado a título de juros. $.000 $.000 $ O diagrama acima mostra as duas formas de pagameto: à vista, e em três prestações iguais, vecíveis em, e 3 meses, com juros compostos de 0% a.m. 3 ulas & postilas

4 s duas formas de pagameto devem ser equivaletes, para qualquer. Escolhedo-se, por exemplo, a 3, tem-se:. ( + 0,) +. ( + 0,) + =.000. ( + 0,) 3,. +,. + =.000.,33 3,3. =,33 = 40, Portato, cada prestação deve ser igual a $40,. Total pago a prazo = 3. $40, = $.06,33 Juros = $.06,33 - $.000 = $06,33 EERCÍCIOS RESOLVIDOS 0 - (ISS/SP-98) Que quatia míima devo aplicar hoje a juros compostos, à taxa aual de 0% para que ao completar-se um período de 3 aos, eu cosiga, com o motate, comprar um carro o valor de R$ 0.800,00? () R$6.000,00 (B) R$6.50,00 (C) R$6.500,00 (D) R$6.750,00 (E) R$ 6.800,00 S = C. ( + i) = C. ( + 0,0) = C.,78 C = (ISS/SP-98) Um título de valor omial R$ ,00 foi pago 3 meses ates do vecimeto. Se a taxa mesal de descoto composto era 0%, o valor líquido desse título era: () R$48.000,00 (B) R$46.500,00 (C) R$45.000,00 (D) R$44.500,00 (E) R$4.000,00 N i ,0 = lterativa (C) , (ISS/SP-98) No regime de capitalização composta, qual a taxa aual de juros para a qual um título de valor omial R$5.000,00, vecível daqui a ao, eqüivale a um título de valor omial R$5.750,00, vecível daqui a a- os? () 5% (B) 0% (C) 8% (D) 5% (E) % $5.000 lterativa (B) 0 - (ISS/SP-98) No regime de capitalização composta, à taxa mesal de 0%, a uma letra de câmbio de valor omial R$.54,00, resgatada meses ates do vecimeto, será cocedido o descoto racioal de: () R$450,00 (B) R$44,00 (C) R$437,00 (D) R$435,00 (E) R$4,00 N i.54 0,0 d = N d = d = 44 lterativa (B).54,.00 0 $ Para que os dois títulos sejam equivaletes, a juros compostos, seus valores refereciados a uma data qualquer devem ser iguais. Devemos, etão, escolher a data que seja mais coveiete para fis de cálculo. No caso, vamos escolher a data como referêcia. ssim: ( + i) = i = + i =, i = 0,5 a.a. ou i = 5% a.a. lterativa (D) 4 ulas & postilas

5 05 - (ISS/SP-98) Um aparelho de som é vedido à vista por R$.75,00 ou a prazo, sem etrada e em duas parcelas bimestrais iguais. Se a taxa bimestral de juros compostos for de 4%, o valor de cada parcela será: () R$696,00 (B) R$69,00 (C) R$688,00 (D) R$684,00 (E) R$676,00 Expressado os prazos em mês, temos os esquemas abaixo: $ $0.000 $ Como o preço a prazo deve ser equivalete ao preço à vista, devemos escolher uma determiada, e escrever a equação de equivalêcia. Lembrado que a juros compostos a pode ser determiada segudo ossa própria coveiêcia, obtedo-se sempre o mesmo resultado, optamos por escolher a. ssim: +. ( + 0,04) =.75. ( + 0,04) +,04. =.75.,086,04. =.379,04 = 676 lterativa (E) 06 - (FTN/85) Uma empresa tem um compromisso de Cr$ para ser pago detro de 30 dias. Para ajustar o seu fluxo de caixa, propõe ao baco a seguite forma de pagameto: Cr$0.000 atecipado, à vista, e pagametos iguais para 60 e 90 dias. dmitido-se a taxa de juros compostos de 7% ao mês, o valor dessas parcelas deve ser de: () Cr$ (B) Cr$46.75 (C) Cr$ (D) Cr$ (E) Cr$ dotado a 3, temos a seguite equação de equivalêcia: +. ( + 0,07) ( + 0,07) 3 = ( + 0,07) +, ,5043 = ,449,07. = ,4 = ,0 lterativa () 07 - (alista de Orçameto/98) Uma pessoa quer descotar hoje um título de valor omial R$.45,54, com vecimeto para daqui a 60 dias e tem as seguites opções: I- descoto simples racioal, taxa de 3% ao mês. II- descoto simples comercial, taxa de,5% ao mês. III- descoto composto racioal, taxa de 3% ao mês. Se ela escolher a opção I, a difereça etre o valor líquido que receberá e o que receberia se escolhesse a opção. () II é R$3,50 (B) II é R$39,40 (C) III é R$9,00 (D) III é R$,00 (E) III é R$5,00 Dados: N = R$.45,54 = 60 d = m Vejamos cada uma das opções apresetadas: I- Descoto simples racioal, à taxa de 3% a.m. N i. = 0.609,00.45,54 0,03..45,54,06 II- Descoto simples comercial, à taxa de,5% a.m. = N. ( i. ) =.45,54. ( 0,05. ) =.45,54. 0,95 = 0.683,6 III- Descoto composto racioal, à taxa de 3% a.m. N.45,54.45,54 i 0,03,0609 = 0.600,00 Temos, etão: Difereça etre as opções I e II: 0.609, ,6 = -74,6 Difereça etre as opções I e III: 0.609, ,00 = 9,00 lterativa (C) 5 ulas & postilas

6 08 - (Tribual de Cotas DF/95) Uma duplicata, o valor de R$.000,00, é resgatada dois meses ates do vecimeto, obedecedo ao critério de descoto comercial composto. Sabedo-se que a taxa de descoto é de 0% ao mês, o valor descotado e o valor do descoto são, respectivamete, de () R$.600,00 e R$400,00 (B) R$.60,00 e R$380,00 (C) R$.640,00 e R$360,00 (D) R$.653,00 e R$360,00 (E) R$.666,67 e R$333,33 Trata-se de um problema de descoto composto comercial ou por fora. ssim: = N. ( i) =.000. ( 0,) = ,9 =.60 d = N d = d = 380 dotado-se a 5, a equação de equivalêcia de capitais será: =.000. ( + 0,04) ( + 0,04) =.000., ,086 =.,60 lterativa (B) lterativa (B) 09 - (FTE-RS/93) Uma aplicação de Cr$ ,00 redeu Cr$ 53.00,00 após 3 meses. Idique qual a taxa mesal de juros compostos que foi utilizada. () 0,00% ao mês (B) 3,4% ao mês (C) 30,00% ao mês (D) 35,00% ao mês (E) 40,00% ao mês S = C + J S = S = S = C. ( + i) = ( + i) 3 ( + i) 3 =,744 Cosultado as tabelas fiaceiras, tem-se: i = 40% a.m. lterativa (E) 0- (FTN/96) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mesalmete. Este empréstimo deve ser pago em parcelas mesais e iguais de $.000, daqui a 3 e 4 meses respectivamete. O valor que mais se aproxima do valor de um úico pagameto o décimo quito mês que substitui estes dois pagametos é: () $.0,00 (B) $.,00 (C) $.333,33 (D) $.484,84 (E) $.56,6 Notícias sobre cocursos: compahe o site 6 ulas & postilas

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