5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.1- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

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1 5- CÁLCULO APROXIMADO DE INTEGRAIS 5.- INTEGRAÇÃO NUMÉRICA Itegrar umericamete uma fução y f() um dado itervalo [a, b] é itegrar um poliômio P () que aproime f() o dado itervalo. Em particular, se y f() for dada por uma tabela ou, por um cojuto de pares ordeados (, f( )), (, f( )),..., (, f( ))(ode os i podem ser supostos em ordem crescete), a, b, podemos usar como poliômio de aproimação para a fução y f() o itervalo [a, b] o seu poliômio de iterpolação. Em particular, o poliômio de iterpolação para a fução y f() o itervalo [a, b], a, b é um poliômio de aproimação para f() em qualquer subitervalo[ i, j ], i, j do itervalo [a, b]. Podemos etão usar o poliômio P () para itegrar f() em qualquer desses subitervalos. As vatages de se itegrar um poliômio que aproima y f() ao ivés de f() são pricipalmete duas: a) f() pode ser uma fução de difícil itegração ou de itegração praticamete impossível, equato que um poliômio é sempre de itegração imediata; b) As vezes a fução é dada simplesmete através de uma tabela-cojuto de pares ordeados obtidos como resultados de eperiêcias. Aí ão se cohece a epressão aalítica da fução em termos do argumeto. As fórmulas de itegração são de maejo fácil e prático e os permite, quado a fução f() é cohecida, ter uma idéia do erro cometido a itegração umérica, como veremos mais adiate. Os argumetos i podem ser ou ão igualmete espaçados, mas estudaremos aqui somete fórmulas de itegração para o caso de argumetos i igualmete espaçados. 5. FÓRMULAS DE INTEGRAÇÃO NUMÉRICA PARA ARGUMENTOS X I IGUALMENTE ESPAÇADOS (FÓRMULAS DE NEWTON-COTES) Seja y f() uma fução cujo valores f( ), f( ),..., f( ) são cohecidos (por eemplo por meio de uma tabela). Seu poliômio de iterpolação sobre [, ] se escreve a forma de Lagrage: P() f L ( ) Sabemos que: f() P() + R(), ou que f() P(). Etão: b f ( ) d f ( ) d P ( ) d ( a f L ( )) d (4.) 9

2 Supodo os argumetos i igualmete espaçados de h e cosiderado-se u (4.) h temos que d hdu; e quado u u ( ) Relembrado que, L (), (4.) ( ) i i substituido-se a (4.) a (4.) tem-se: (u ) L () λ (u) ( ou aida, i) i (4.4) λ (u) i (u ) ( i) (u )(u )...(u ( ))(u ( + )...(u ) ( )( )...( ( ))( ( + )...( ) Etão, substituido a (4.4) a (4.) resulta: f ()d ( fl ())d f L ()d f λ (u)hdu f h λ (u)du Fazedo-se: λ ( u)du C ; temos: f ()d h f C (4.5) Trataremos de obter, agora, algumas fórmulas de itegração. Mais adiate aalisaremos o termo do resto.

3 5..- º Caso: Regra dos Trapézios Para ; isto é, queremos obter uma fórmula para itegrar f() etre dois potos cosecutivos e, usado poliômio do primeiro grau. Temos, em vista de (4.5) que, f ()d h f f()d h fc ; ode, de λ ( u)du C, u C λ(u)du du ( u)du u C λ(u)du du Portato h f()d [f( ) + f()] Esta fórmula é cohecida como Regra do Trapézio. Obs.: Se o itervalo [a, b] é pequeo, a aproimação é razoável; mas se [a, b] é grade, o erro também pode ser grade. Neste caso dividimos o itervalo [a, b] em b a subitervalos de amplitude h de tal forma que a e b e em cada subitervalo [ j, j+ ], j,,..., aplicamos a Regra do Trapézio. Assim obtemos: f h h h ()d [f( ) + f( )] + [f( ) + f( )] [f( ) + f( )] h [f() + (f() + f() f( )) + f()] C : Esta é a fórmula do Trapézio Geeralizada.

4 Eemplo 5..: 4 Calcular pela regra do Trapézio l( + )d usado 5 potos e sabedo-se que: 4 l ( + ) Temos: 4 l( + )d h [f( ) + (f( ) + f( ) + f( )) + f( 4 )] [ + ( ) +.6] [(.) +.6] [7.97] º Caso: Regra / de Simpso Para ; isto é, queremos obter uma fórmula para itegrar f() etre três potos cosecutivos, e, usado poliômio de º grau. Temos de (4.5) que: f()d f hc ode (u )(u ) C λ (u)du du (u u + )du ( )( ) (u )(u ) 4 C λ(u)du du (u u)du ( )( ) e pelo eercício [4.] temos C C. Etão: 4 f()d h[ f ( ) + f () + f( )] Esta fórmula é cohecida como Regra de Simpso.

5 De maeira aáloga à regra do Trapézio, a geeralização da regra de Simpso para itegração ao logo de um itervalo [a, b], é feita dividido-se [a, b] um úmero par b a (por que?) de subitervalos de amplitude h de tal forma que a e b. temos: f()d Usado a regra de Simpso ao logo do itervalo [j, j+ ], j,,...,, h [f( ) + 4f() + f( ) + 4f() + f (4 ) f ( ) + 4f( ) + f ( )] Esta é a fórmula de Simpso Geeralizada. Eemplo 5..: Calcular e d pela regra de Simpso, dada a tabela: e Assim, temos h e d [f ( ) + 4f( ) + f( ) + 4f( ) + f ( 4 )].5 [ ( ) + (.75) +.44].5 [ ].5 [7.59] º Caso: Regra / de Simpso Para ; isto é, queremos obter uma fórmula para itegrar f() etre 4 potos cosecutivos,, e, usado poliômio do º grau. Temos f()d f hc ode

6 C λ(u)du (u 6u + u 6)du 6 9 C λ (u)du (u 5u + 6u)du Pelo eercício [4.], temos: C C e C C 9 Assim f ()d h[f( ) + (f() + f( )) + f()] Essa fórmula é cohecida como Regra de Simpso. Para geeralizar a regra de Simpso devemos dividir o itervalo [a, b] em um úmero coveiete de subitervalos, de amplitude h de tal forma que a e b. Usado a regra de Simpso ao logo do itervalo [j, j+ ], j,, 6,...,, obtemos: f ()d h[f( ) + (f () + f( )) + f ( ) + (f( 4) + f ( 5)) + f(6 ) f( ) + (f ( ) + f ( )) + f( )] Esta é a fórmula de Simpso Geeralizada. Eemplo 5..:.6 d Calcular + pela regra de Simpso e h.. Solução: Costruímos a tabela de f() f()

7 Assim, temos.6 d + h[f (.). () + (f() + f ( )) + f() + (f (4 ) + f(5)) + f (6)] [ + ( ) + (.769) +.65] [.5] d Obs.: Calcule diretamete + e compare os resultados. As fórmulas vistas são chamadas fórmulas de Newto-Cotes. 5. ERRO NA INTERPOLAÇÃO E NA INTEGRAÇÃO NUMÉRICA 5.. Erro a Iterpolação Quado aproimamos a fução f por P, ou seja, f() P(), eiste um erro cometido a iterpolação epresso por R(), assim, é válida a seguite relação; f() P() + R(), R() é defiido pelo fórmula do Resto de Lagrage, epresso por: Teorema fórmula do Resto de Lagrage ( )( )( ) R() f ( + ) (ξ) ( + )! ( )( )( ) ( + )! A fórmula dada é válida quado cohecemos a lei de f. ma t [,..., ] Se ão cohecemos esta lei, R() pode ser estimado por : Teorema 5... Lei de f descohecida () L R ( )( ) ( ) (ma Se os potos são igualmete espaçados, vale também que: j f (+ ) (t) ; f[,,...,j ] /((+)!) ). Teorema 5... Lei de f descohecida e potos igualmete espaçados. + h M j R(), ode M j 4 + ma j f[ ]. j ( ) 5

8 5.. Erro a Itegração Numérica Itegrado-se ambos os lados de f() P() + R(), obtemos: b b b f ()d P ()d + R ()d a a a b Seja T R () d, o termo complemetar. a Euciaremos dois teoremas, cujas demostrações aqui serão omitidas. Teorema 5... Se os potos j + jh, j,,..., dividem [a, b] em um úmero ímpar de itervalos iguais e f() tem derivada de ordem ( + ) cotíua em [a, b], etão a epressão do erro para as fórmulas de Newto-Cotes com ímpar é dada por: + ( + ) h f ( ξ) T u(u )...(u )du para algum poto ξ [a, b]. ( + )! Teorema 5... Se os potos j + jh, j,,..., dividem [a, b] em um úmero par de itervalos iguais e f() tem derivada de ordem ( + ) cotíua em [a, b], etão a epressão do erro para as fórmulas de Newto-Cotes com par é dada por: + (+ ) h f ( ξ) T u(u )u(u )...(u )du para algum poto ξ [a, b]. ( + )! Eemplo 5..: Determiar o meor úmero de itervalos em que podemos dividir [, ] para obter l ()d pela regra do Trapézio com erro 4. h Solução: T ma f (t ) t Temos que f(t) l t, f (t), f (t) t t ma f (t) t h T 4 b a Mas h h h 6

9 4 4 4 mi 9 4 Assim devemos dividir o itervalo [, ] em 9 subitervalos iguais para obter l ()d pela regra do trapézio com erro Eercícios: 5.4.) Provar que: C C (Sugestão: Faça a mudaça de variável: u v em C ) 5.4.) Determie h de modo que a regra do trapézio foreça o valor de I e d, com erro iferior a ) Achar o úmero míimo de itervalos que se pode usar para, utilizado a regra de π Simpso, obter e cos d com erro iferior a ) Nos eercícios [4.] e [4.], resolva as itegrais umericamete pelas regras citadas de modo a satisfazer os limites de erros impostos ) Calcular e d pela regra de Simpso, sobre 7 potos e dar um limitate para o erro cometido. 7

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