DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA

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1 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO ESTATISTICA AVANÇADA Resumo [Atraia o leitor com um resumo evolvete, em geral, uma rápida visão geral do documeto. Quado estiver proto para adicioar coteúdo, basta clicar aqui e começar a digitar.] Ferado Mori

2 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Uidade Defiição Iicialmete vamos cosiderar algus coceitos básicos sobre estimação. População é o cojuto formado por idivíduos ou objetos que tem pelo meos uma variável comum e observável. Amostra: fiada uma população, qualquer subcojuto formado eclusivamete por seus elemetos é deomiado amostra dessa população. () é o úmero de elemetos da amostra. Amostragem: é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da população. Erro amostral: é o erro que ocorre justamete pelo uso da amostra. Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica umérica populacioal. Geericamete represetamos por. A média (), a variâcia ( ) e o coeficiete de correlação () são algus eemplos de parâmetro populacioais. Estimador: também deomiado estatística de um parâmetro populacioal; é uma característica umérica determiada a amostra, uma fução dos seus elemetos., a variâcia amostral ( s ) e o coeficiete de correlação amostral (~) são eemplos de estimadores. Geericamete represetamos por. A média amostral Estimativa: é o valor umérico determiado pelo estimador, que geericamete represetamos por 0. O erro amostral que desigamos por é : O valor de varia em cada uma das N amostras do tamaho, tiradas da população: amostra amostra amostra 3 p Logo é uma variável aleatória e como tal podemos determiar E ( ) e VAR ( ).

3 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori Uidade Tipos de Amostragem.. Amostragem Casual Simples Cosidere uma população amostra,,, com elemeto geérico j,, com elemeto geérico i, i., Defiição: uma amostra se diz casual simples quado P i,,, e j,,, N j, com j N e a i quaisquer que sejam N Isto sigifica que em uma amostra casual simples, todos os elemetos da população têm a mesma probabilidade de serem selecioados. a) Quado a amostragem é feita com reposição para =, temos: PX, X e N PX X N, N N b) Quado a amostragem é sem reposição para = temos: PX, X 0 e sedo PX N PX, X por ta to N PX, X N N ).. Eemplo: Cosidere a população formada por,,3,4,...,7,8 e / 9 A média da população é 5 Retiramos dessa população amostras de tamaho 3. a) com reposição. a) amostra com os meores valores:,, 5 4

4 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori a ) amostra com os maiores valores: 9,9,9 9 portato b) sem reposição b) amostra com os meores valores,, ,8,9 8 b) amostra com os maiores valores Portato: 3 Cocluímos que o erro amostral é meor quado se usa amostragem sem reposição..3. Amostragem por estratificação Cosidere o eemplo aterior. Vamos usar um variável critério para separar a população em estratos. No eemplo, o critério de estratificação será : E: grupo formado pelos 3 meores valores E: grupo formado pelos 3 valores cetrais E3: grupo formado pelos 3 maiores valores E =,, 3 E = 4, 5, 6 E3 = 7, 8, 9 Selecioamos um elemeto de cada estrato para formar amostras de tamaho amostras com meores elemetos,4,7 - amostras com maiores elemetos Portato: 6 3,6,9 3

5 .3. Eemplo: DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori Dada a população de operários, formar uma amostra de 5% de operários para estimar seu salário médio. Usado a variável critério cargo para estratificar essa população e cosiderado amostras de 5% de cada estrato obtido temos: Cargos População Amostra Chefe de seção Operários especializados Operários ão especializados A amostragem por estratificação tem as características: Detro de cada estrato há uma grade homogeeidade ou etão uma pequea variabilidade. Etre os estratos há uma grade heterogeeidade ou etão uma grade variabilidade. Assim o primeiro eemplo foi retirado o mesmo úmero de elemetos de cada estrato e o segudo fizemos uma partilha proporcioal. 4

6 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 5 Uidade 3 Distribuição Amostral da média De uma população, tiramos uma amostra de tamaho costituído pelos elemetos,,,. O estimador da média populacioal a amostra é i i 3. Proposição : A média das médias amostrais ou E ( ) é igual a média populacioal ou E( ) = i i i i i i E E E E ) ( Temos que: E E E i i Quado E(ˆ ) = o estimador ˆ é ão viciado ou ão tedecioso. Logo é um estimador ão tedecioso de. 3. Proposição : A variâcia da média amostral é igual a variâcia populacioal dividida pelo tamaho da amostra VAR Portato, se, : N e se dessa população retiramos amostras de tamaho, etão: N, : isto é a distribuição da variável por amostragem casual simples será sempre ormal com a mesma média da população e a variâcia vezes meor. Isso sigifica que quato maior o tamaho da amostra, meor será a variâcia de, ou o estimador será mais preciso a medida que o tamaho da amostra aumeta.

7 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 6 ep f Como cocluímos que : ep f Se é ormal etão também é ormal. Se a população ão é ormal, a variável ão será eatamete ormal, mas sim aproimadamete ormal isto é, a variável z limite a distribuição N (0, ). Se é uma população ão ormal com parâmetros e se retirarmos dela uma amostra de tamaho suficietemete grade, etão N,. Se a população for fiita e de tamaho N cohecido, e se a amostra de tamaho dela retirada for sem reposição etão: N N 3. Resumo: A média das médias é igual à média populacioal, O desvio padrão das médias é o desvio padrão populacioal dividido por 3.3 Teorema: f f ()

8 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori Ao selecioar amostras aleatórias de tamaho de uma população com média µ e o desvio padrão, a distribuição das médias amostrais tede a uma distribuição ormal quado o tamaho da amostra é grade idepedete da distribuição da população. A distribuição ormal terá média e desvio padrão dadas por: Se a população for fiita e do tamaho N cohecido: 3.4. Eemplos de Aplicação: N N 3.4.) Temos uma população de aluos de uma faculdade. Sabemos que a altura média dos aluos é de,75cm e o desvio padrão 5cm. Retiramos uma amostra sem reposição de tamaho = : N75,5 5 Etão: E( ) 75 N N ,49880 Logo, a média das médias amostrais é 75cm e o desvio padrão da média amostral é 0,5cm. O úmero de amostras sem reposição é N, o caso presete Calculado sem o fator de correção, temos 0, 5 e, portato: 0 Quado tiramos uma amostra grade de uma população de tamaho muito maior que o da amostra (pelo meos o dobro) é idiferete usar o fator de correção para populações fiitas, para se calcular, porque o erro é muito pequeo. 7

9 3.4.) Seja : N80,6 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori. Dessa população retiramos uma amostra de =5. Calcular: P 83 a) a) b) b) P 8 c) c) P P z a) Como : 80 6 : N 80,6 : N 80, 6 5,0 5 5,0 80 e, 0 5 z 80,0 P 83, 94 0, 5 0, , 0064 z 83 80,0, b) P 8 Pz,96 0,5 0, ,

10 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori c) P P P 80,0 80,0 77, 96 8, 04 P P z 0, , ,96% 80 8,94 Temos 95,45% de cofiaça de que se retiramos dessa população ormal uma amostra de 5 elemetos, a média da amostra estará o itervalo (77,96; 8,04) ou etão se selecioamos 00 amostras de tamaho 5, em 95 delas o valor da média pertecerá ao itervalo e em 5 delas a média ão pertecerá ao itervalo. 9

11 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 3.4.3) Seja : N 00,85. Retiramos uma amostra de tamaho =0. Determiar: a) P b) P z. z. 0, : N 00, z,06 e 85 : N00, ,5,06 a) P P,43,43. 0,4945 0, A probabilidade de pertece ao itervalo (95, 05) é de 98,4% e a de ão pertecer a esse itervalo, que seria o risco de se retirar um valor de < 95 ou > 05 é de,6%. 0

12 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori b) A probabilidade este caso já está dada. Precisamos determiar o valor de z tal que 0,95 seja a probabilidade de que a média esteja etre os dois limites probabilidade de que a média esteja fora deste itervalo. P z. z. 0, 95 z e 0,05 seja a 0,475 - z 0 z Pela tabela: z z 0,475,96 0, 95 Logo: P,96.,06 00,96.,06 Assim:,96, ,04 00,96,06 95,96 04,4 P 95,96 04, 04 0,95 A probabilidade de que ao itervalo acima é de 95% o que sigifica que temos cofiaça de 95% de que retirada uma amostra de =0, a média dela estará etre 95,96 e 04,04 ou etão um risco de 5% de que esta média seja < 95,96 ou > 04,04.

13 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 3.4.4) Seja : N 00,840. Qual deverá ser o tamaho de uma amostra de tal forma que P(96 < <04) =0, : N00, ,98 z z z0,45, ,64 ou,64 8,98 8,98,64 8,98,88 4, ,45 - z 0 z z Portato se retirarmos uma amostra de 4 elemetos da população, teremos 95% de cofiaça que estará o itervalo (96, 6) e P( >6)=0,05, o que sigifica que o risco que corremos de que o valor da média caia fora do itervalo aterior é de 5%.

14 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori Uidade 4 Distribuição Amostral das Proporções. Itrodução Veremos a distribuição amostral da proporção p de sucessos, características que se estuda a população. Seja p cohecida. A população pode ser defiida como uma variável tal que: se o elemeto da população tem a característica 0 se o elemeto ão tem a característica P p P 0 q p q Sabemos que: E p VAR pq p q Retiramos uma grade amostra,,,,, dessa população com reposição e defiimos como o úmero de sucessos a amostra, isto é, o úmero de elemetos da amostra com a característica que se quer estudar. O estimador de p é defiido por pˆ : proporção de sucessos a amostra. : B(, p) e E( ) p VAR( ) pq Calculado a esperaça e variâcia de pˆ temos: E( pˆ) E E( ). p p E( pˆ ) p, o que garate que para grades amostras a proporção amostral se distribui com média igual a proporção populacioal. VAR( pˆ) VAR VAR( ). pq VAR( pˆ) pq ou pˆ pq A variâcia da proporção amostral é a variâcia da população dividida pelo úmero de pq elemetos da amostra. Quado p ˆ N p,, pˆ é aproimadamete ormal. pˆ pˆ pˆ p será assitoticamete N (0, ) ou seja: z N(0,) pˆ pq 3

15 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori Quado p é descohecido e a amostra com reposição é grade determiamos pˆ 0 pˆ 0.ˆ q0 estimativa de p pˆ. Para algus autores uma amostra é suficietemete grade quado p 5 e q 5.. Resumo: Cosidere a distribuição amostral da proporção p de sucessos. pq etão: p. pq.. é a amostra e é o úmero de sucessos a amostra, etão: p. Quado p é descohecido e a amostra com reposição é grade, temos uma estimativa para p: p0 p p. q 0 0 Para população fiita usamos o fator de correção: p0. q0 N p N 4

16 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori. Eemplos de Aplicação:.) Em uma população, a proporção de pessoas favoráveis a uma determiada lei é de 40%. Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determiar: P( p z. pˆ pˆ p z.. pˆ) 0,95 95%,5%,5% Z α 0 Z α 300 p 0,4 q - p 0,6 pˆ z pˆ pq. z 0,475 0, 083,96 0,4 0,6 300 P (0,4 -,96(0,083) pˆ 0,4 +,9 (0,083)= 0,95 P (0,4 0,0555 pˆ 0,4 +0,0555) = 0,95 P (0,3445 pˆ 0,4555) = 0,95 P (34,45% pˆ 45,55%) =0,95 5

17 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori.) Desejamos saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determiada doeça. Retira-se uma amostra de 400 pessoas, obtedo-se 8 portadores da doeça. Defiir limites de cofiabilidade de 99% para a proporção populacioal. p p q ,0 0,98 0,0 99% 0,5% 0,5% - Z α 0 Z α p p 0,0 0,98 0. q0 0, p Como Z 0 Z 0,495, 57 temos: p 0 p P p z p p z 0,99 P P P P p 0,0,57 0,007 0,0,57 0,007 0,99 0,0 0,08 p 0,0 0,08 0,99 0,00 p 0,038 0,99 0,% p 0,38% 0,99 Podemos garatir com cofiaça de 99% que a proporção de pessoas portadoras da doeça a população varia de 0,% a 3,8%. 6

18 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori EXERCICIOS ) A população das importâcias das compras em um certo supermercado 4 horas tem média $5,0 e desvio padrão $4,0. a) Qual a probabilidade de o total de 00 compras (uma amostra aleatória) eceder $53,00? b) Qual o tamaho da amostra para que tehamos P 3,9 6,5 0,90? ) Um fabricate afirma que sua vacia cotra gripe imuiza 80% dos casos. A vacia foi aplicada em 400 pessoas e uma amostra de 5 idivíduos que tomaram a vacia foi sorteada. Testes foram feitos para verificar a imuização ou ão desses idivíduos. Se o fabricate estiver correto, qual é a probabilidade de proporção de imuizados a amostra ser iferior a 0,75%? E iferior a 0,85%? 3) O tempo de acesso a um site de um baco é distribuído ormalmete com média de 0 miutos e desvio padrão de 5 miutos. Supoha que o úmero de clietes que desejam cosultar a iteret desse baco seja 000. Supodo que 0 clietes desse baco estejam usado o serviço desse site, perguta-se: a) Qual é a probabilidade da média dos tempos do acesso desses clietes ser meor que 8 miutos? E se o úmero de clietes fosse 0, qual seria essa probabilidade? b) Qual a probabilidade de um cliete desse baco ficar mais de 7 miutos o site? 4) Observou-se que dos 000 clietes de uma loja que pagaram com cartão de crédito, 30% são realizadas para quatias acima de $00,00. Se forem tomadas amostras aleatórias de 00 compras de cartão de crédito; a) Qual a probabilidade da proporção amostral estar etre 0% e 30% das compras acima de $00,00? b) E se a amostra tivesse tamaho 400? 5) Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determiada lei é 40%. Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determiar: a) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei essa amostra ser superior a 35%? b) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei a amostra estar etre 36% e 44%? 7

19 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori EXERCÍCIOS PROPOSTOS DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS Distribuição amostral de médias (i) Erro padrão População ifiita População fiita N N N : população ; : amostra ; p : proporção média. N Usa-se o Fator de Correção Fiita: se 5% N N. ) A distribuição dos salários dos fucioários de uma grade empresa tem média de 6 salários míimos e desvio padrão de salário míimo. Qual a probabilidade da média dos salários de 36fucioários dessa empresa ser iferior a 6,5 salários míimos? ) Numa escola, a ota média dos aluos é 5,5, com desvio padrão,0. Qual a probabilidade de uma amostra de 50 aluos da escola apresetar ota média etre 5,0 e 6,0? 3) Deve-se etrair uma amostra de 36 observações de uma máquia que cuha moedas comemorativas. A espessura média das moedas é de mm, com desvio padrão de 0, mm. Qual a probabilidade de se obter uma média amostral que se afaste por mais de 0,05 mm da média do processo? 4) Se a vida média de operação de um flash é 4 horas, com distribuição ormal e desvio padrão de 3 horas, qual é a probabilidade de uma amostra aleatória de 00 flashes apresetar vida média que difira por mais de 30 miutos da média? 5) Uma empresa fabrica sofás de lugares com comprimeto médio de,68 m e desvio padrão de 5 cm segudo uma distribuição ormal. Se retirarmos uma amostra de 35 sofás da produção de um mês da fábrica, qual a probabilidade do comprimeto médio dessa amostra ser iferior a,65 m? 6) Uma máquia de recobrir cerejas com chocolate é regulada para produzir um revestimeto de 3 mm de espessura. O processo tem distribuição ormal, com desvio padrão de mm. Se o processo fucioa como o esperado, qual seria a probabilidade de etrair uma amostra de 5 de um lote de 69 e ecotrar uma média amostral superior a 3,4 mm? 7) Um auditor toma uma amostra de tamaho 36 de uma população de.000 cotas a receber. Sabedo que as cotas a receber seguem uma distribuição ormal de média $ 60,00 e desvio padrão $ 43,00, qual é a probabilidade de que a média amostral seja meor ou igual a $ 50,00? 8

20 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 8) Um aalista fiaceiro tem 300 clietes, cujos saldos de aplicação seguem uma distribuição ormal de média $ 38,00 e desvio padrão $ 35,75. Numa amostra de 30 clietes, qual é a probabilidade de a aplicação média ser igual ou superior a $ 48,50? 9) Uma população muito grade tem média 0 aos e desvio padrão,4 ao. Etrai-se uma amostra de 49 observações. a) Qual a média da distribuição amostral? b) Qual o desvio padrão da distribuição amostral? c) Qual a percetagem das médias amostrais que diferirão por mais de 0, ao da média da população? 0) Um fabricate de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida esperada de 50 meses. Sabe-se que o desvio padrão correspodete é de 4 meses. a) Que percetagem de amostras de 36 observações acusará vida média o itervalo de mês em toro de 50 meses admitido-se ser de 50 meses a verdadeira vida média das baterias? b) Qual será a resposta para uma amostra de 64 observações? ) Se se etrai uma amostra de uma distribuição ormal, qual a probabilidade de a média amostral estar compreedida em cada um dos itervalos: a),96, ou seja, P ( -,96 +,96 ) b),00 ) Costatou-se que as faturas de certa firma têm desvio padrão de $ 45. Tomada uma amostra de 5 faturas, qual a probabilidade de a média amostral se afastar por $ 7,50 ou mais da média de todas as.000 faturas? 3) Um fabricate de lâmpadas atesta que essas duram em média aos com desvio padrão de 6 meses. a) Calcule o tempo máimo de limite de durabilidade para que a lâmpada esteja os 9% cobertos pela garatia. b) Tomado uma amostra de 50 lâmpadas detre uma produção de 750, qual é a probabilidade de a média amostral ser meor que, aos? c) Cosiderado os dados de b), qual a probabilidade de que a média amostral se afaste por mais de um mês da média? 4) A população das importâcias das compras em um certo supermercado 4 horas tem média $ 5,0 e desvio padrão $ 4,0. a) Qual a probabilidade de o total de 00 compras (uma amostra aleatória) eceder $53,00? b) Qual o tamaho da amostra para que tehamos P ( 3,9 6,5 ) = 0,90? 5) O tempo de acesso a um site de um baco é distribuído ormalmete com média de 0 miutos e desvio padrão de 5 miutos. Supoha que o úmero de clietes que desejam cosultar a iteret desse baco seja.000. Supodo que 0 clietes desse baco estejam usado o serviço desse site, perguta-se: 9

21 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori a) Qual é a probabilidade da média dos tempos do acesso desses clietes ser meor que 8 miutos? E se o úmero de clietes fosse 0, qual seria essa probabilidade? b) Qual a probabilidade de um cliete desse baco ficar mais de 7 miutos o site? 6) A duração do toer de uma máquia de fotocópias pode ser modelado como Normal com média 5 e desvio padrão de ( em milhares de cópias). A empresa vede 00 desses toers e uma amostra de desses toers será observada. Perguta-se a probabilidade da média dessa amostra ser: a) Meor que 6 mil cópias. b) Maior que 3 mil cópias. c) Etre 4 e 6 mil cópias. 7) A quatidade de tempo que uma caia de baco gasta com cada cliete tem uma média aritmética de população = 0,40 miutos e variâcia de 0,04. Se uma amostra aleatória de 6 clietes for selecioada, a) Qual é a probabilidade de que o tempo médio gasto por cliete seja de pelo meos 0,3 miutos? b) E se a amostra fosse de 5 clietes, qual seria a resposta do item a? 8) O tempo de acesso ao site de um baco pelos seus clietes é distribuído ormalmete com média de 0 miutos e desvio padrão de 5 miutos. Supoha que o úmero de clietes que cosultam a iteret desse baco seja de 000. Supodo que 0 clietes desse baco estejam utilizado os serviços do baco o site. Perguta-se: a) Qual é a probabilidade da média dos tempos de acesso desses clietes ser meor que 8 miutos? E se o úmero de clietes fosse 0, qual seria essa probabilidade? b) Qual é a probabilidade de um cliete desse baco ficar mais de 7 miutos acessado esse site? 9) Certos amortecedores fabricados por uma empresa têm uma vida média de 800 dias e um desvio-padrão de 60 dias. Determiar a probabilidade de uma amostra aleatória de 6 amortecedores, retirados do grupo, ter a vida média: a) etre 770 e 830 dias c) superior a 80 dias b) meor que 785 dias d) etre 770 e 80 dias 0) Um produtor de suco de laraja compra todas as suas larajas de uma grade platação. A quatidade de suco etraída de cada fruta se distribui de maeira aproimadamete ormal com uma média de 40 ml e um desvio padrão de ml. Qual é a probabilidade de que uma laraja escolhida ao acaso coteha: a) etre 40 e 50 ml? b) acima de 50 ml? c) Qual é a probabilidade da média de uma amostra de 0 larajas seja iferior a 35 ml? d) Qual é a probabilidade da média de uma amostra de 0 larajas seja superior a 35 ml? 0

22 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES Distribuição amostral de proporções Erro padrão População ifiita p p. p População fiita p p. p N N N : população ; : amostra ; p : proporção média. N Usa-se o Fator de Correção Fiita: se 5% N N. ) Uma máquia de echer latas de refrigerate costuma produzir 5% das latas com coteúdo fora do limite estabelecido. Se escolhermos uma amostra de 64 latas, qual a probabilidade de a proporção amostral de latas com coteúdo fora do limite estabelecido ser superior a 6%? ) Uma empresa de pesquisa cocluiu que 30% dos fucioários públicos de certo Estado estão isatisfeitos com seus salários. Qual a probabilidade de ecotrarmos o máimo 3% de fucioários públicos isatisfeitos com seus salários uma amostra de 00 fucioários públicos do Estado? 3) Os ovos da produção de uma graja são classificados em grades ou pequeos, coforme seu diâmetro. Verificou-se que 45% dos ovos são cosiderados grades. Numa caia com 60 ovos, qual a probabilidade de pelo meos 50% dos ovos serem classificados como grades? 4) Cerca de 0% dos armazés de propriedade de famílias de certa região oferecem descotos a seus clietes. Determie a probabilidade de, uma amostra aleatória de 00 armazés, a) 6% oferecerem descotos; b) de 6% a 6% oferecerem descotos; c) mais de 8% oferecerem descotos. 5) Certa marca de creme detal detém 45% do mercado cosumidor de uma cidade. Se escolhermos 40 cosumidores da cidade, qual a probabilidade de ecotrarmos mais de 50% comprado outra marca de creme detal? 6) Um istituto de pesquisa utilizou uma amostra de 300 idivíduos para realizar um estudo sobre a prática de esportes. Supodo que 5% da população da qual a amostra foi retirada pratica esportes, qual é a probabilidade de ecotrarmos etre 8% e 86% de idivíduos a amostra que ão praticam esportes? 7) Uma agêcia do govero etrai uma amostra aleatória de 400 operários de uma grade fábrica, para ter uma idicação dos que favorecem o sidicalismo. Determie a

23 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori probabilidade de obter uma proporção amostral que difira por mais de 3% da verdadeira proporção de operários que apóiam o sidicalismo, se esta proporção é 80%. 8) Um processo de echer garrafas de cola dá em média 0% mal cheias. Etraída uma amostra de 5 garrafas de uma seqüêcia de 65, qual a probabilidade de que a proporção amostral de garrafas mal cheias esteja etre 9% e %? 9) Uma zoa eleitoral tem 500 eleitores, sedo 48% do seo femiio. Numa amostra de 50 eleitores dessa zoa, qual é a probabilidade de ecotrarmos o míimo 50% de eleitores do seo masculio? 0) Um varejista compra copos diretamete da fábrica em grades lotes. Os copos vêm embrulhados idividualmete. Periodicamete o varejista ispecioa os lotes para determiar a proporção dos quebrados ou lascados. Se um grade lote cotém 0% de quebrados ou lascados, qual a probabilidade de o varejista obter uma amostra de 00 copos com 7% ou mais defeituosos? ) Supoha que uma pesquisa recete teha revelado que 60% de uma população de adultos do seo masculio cosista de ão-fumates. Tomada uma amostra de 600, calcule a média e o desvio padrão da distribuição amostral de proporção e da distribuição amostral do úmero de adultos do seo masculio ão-fumates. ) Supodo uma amostra suficietemete grade, determie a percetagem de proporções amostrais que poderemos esperar esses itervalos : a) p P ( p < X < p + ) b) p,96 3) Determie z, se a percetagem de proporções amostrais que podemos esperar o itervalo p z é : a) 90% (ou seja, P( p z < P < p + z ) = 0,90) b) 95% 4) Duas em cada doze pessoas que votam em ura eletrôica, têm algum tipo de dificuldade. Num certo posto eleitoral com eleitores, selecioam-se 600 pessoas para saber se tiveram dificuldades para votar. Qual é a probabilidade de que o máimo 5 % apresetaram alguma dificuldade? 5) Numa população de.000 uiversitários, costatou-se que 0 % eram fumates. Aalisado-se 00 pessoas, qual é a probabilidade de que haja o míimo % de fumates? 6) Um fabricate afirma que sua vacia cotra gripe imuiza 80% dos casos. A vacia foi aplicada em 400 pessoas e uma amostra de 5 idivíduos que tomaram a vacia foi sorteada. Testes foram feitos para verificar a imuização ou ão desses idivíduos. Se o fabricate estiver correto, qual é a probabilidade de proporção de imuizados a amostra ser iferior a 0,75%? E iferior a 0,85%? 7) Observou-se que dos 000 clietes de uma loja que pagaram com cartão de crédito, 30% são realizadas para quatias acima de $00,00. Se forem tomadas amostras aleatórias de 00 compras de cartão de crédito; a) Qual a probabilidade da proporção amostral estar etre 0% e 30% das compras acima de $00,00? b) E se a amostra tivesse tamaho 400?

24 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 8) Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determiada lei é 40%. Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determiar: a) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei essa amostra ser superior a 35%? b) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei a amostra estar etre 36% e 44%? 9) Historicamete, 0% das peças fabricadas uma máquia são defeituosas. Se forem escolhidas amostras de 400 peças, qual a probabilidade da proporção amostral estar : a. Etre 9% e 0% de peças defeituosas? b. Meos de 8% de peças defeituosas? c. Se um tamaho de amostra de somete 00 fosse selecioado, quais teriam sido suas respostas em (a) e (b)? d. O que é mais provável ocorrer: um percetual de defeitos abaio de 8% em uma amostra de 00 ou uma amostra de 400? e. O que é mais provável ocorrer: um percetual de defeitos abaio de 0% em uma amostra de 00 ou uma amostra de 400? 0) Um istituto de pesquisa de opiião sobre políticos está coduzido uma aálise de resultados de amostras de modo a fazer previsões a oite das eleições. Pressupodo uma disputa etre dois cadidatos,se determiado cadidato receber pelo meos 55% dos votos a amostra, etão esse cadidato será tido como o vecedor da eleição.se for tomada uma amostra aleatória de 00 eleitores, qual a probabilidade de que um cadidato seja auciado como vecedor quado a) Seu verdadeiro percetual de votos for de 50,%? b) Seu verdadeiro percetual de votos for de 60%? c) Seu verdadeiro percetual de votos for de 49% (e ele irá, a verdade, perder a eleição)? ) Um fabricate afirma que sua vacia cotra gripe imuiza 80% dos casos. A vacia foi aplicada em 400 pessoas e uma amostra de 5 idivíduos que tomaram a vacia foi sorteada. Testes foram feitos para verificar a imuização ou ão desses idivíduos. Se o fabricate estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imuizados a amostra ser iferior a 0,75? E iferior a 0,85? ) Observou-se que dos 000 clietes de uma loja que pagaram com cartão crédito, 30% são realizadas para quatias acima de $00. Se forem tomadas amostras aleatórias de 00 compras de cartão de crédito. a) Qual a probabilidade da proporção amostral estar etre 0% e 30% das compras acima de $00? b) E se a amostra tivesse tamaho 400? 3

25 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 3) Historiacamete, 93% das etregas de um serviço de correio oturo chegam ates das 0:30 da mahã seguite. Se forem tomadas amostras aleatórias de 500 etregas, que proporção das amostras terá a) Etre 93% e 95% das etregas chegado ates da 0h30mi da mahã seguite? b) Mais de 95% das etregas chegado ates das 0h30mi da mahã seguite? c) Se a amostra fosse de tamaho 000 quais seriam suas repostas dos ites a e b? RESPOSTAS DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS ) 0,9987 ) 0,9996 3) 0,006 4) 0,0950 5) 0,000 6) 0,054 7) 0,0778 8) 0,0455 9) a) 0 b) 0, c) 0,374 0) a) 0,8664 b) 0,9544 ) a) 0,95 b) 0,9544 ) 0,0080 3) a),33 ao ~ ao b) 0,9983 c) 0,4 4) a) 0,405 b) 7 5) a) 0,003 b) 0 6) a) 0,9633 b) c) 0,965 7) a) 0,977 b) 0,9938 8) a) 0,0359 e 0,00 b) 0,08 9) a) 0,9544 b) 0,587 c) 0,098 d) 0,8854 0) a) 0,967 b) 0,033 c) 0,0934 d) 0,9686 4

26 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES ) 0,3557 ) 0,734 3) 0,77 4) a) 0 b) 0,8854 c) 0,0038 5) 0,7389 6) 0,658 7) 0,336 8) 0,4648 9) 0,7486 0) 0,0099 ) 0,6 e 0,0 ; 360 e ) a) 0,686 b) 0,95 3) a),65 b),96 4) 0,7 5) 0,40 a) 0,6 b) 0,7389 6) a) 0,4870 b) 0,5 7) a) 0,966 b) 0,844 8) a) 0,486 b) 0,098 c) 0,93 e 0,54 d) uma amostra de 00 e) probabilidades iguais 9) a) 0,635 b) 0,846 c) 0,5 0) a) 0,6 b) 0,7389 ) a) 0,4874 b) 0,5 ) a) 0,4599 b) 0,040 c) 0,493 e 0,0068 5

27 DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO Ferado Mori 6

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