EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS rof Me Arto Barboi SUMÁRIO INTRODUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) Ordem de uma Equação Diferecial Ordiária Grau de uma Equação Diferecial Ordiária Solução geral e particular de uma EDO ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 4 Equações Difereciais Imediatas 4 Equações Difereciais Autôomas 4 Equações Difereciais de Variáveis Separáveis 5 4 Equações Difereciais Eatas 6 5 Equações Difereciais Lieares de ª Ordem 7 5 Solução de uma EDO Liear de ª Ordem 7 6 Equações Difereciais de Beroulli 9 7 Equações Difereciais Lieares de ª Ordem 9 7 Equações Difereciais Lieares de ª Ordem com coeficietes costates 0 7 Solução de EDOL Homogêeas de ª Ordem com coeficietes costates 0 7 Solução de EDOL ão-homogêea de ª Ordem com coeficietes costates BIBLIOGRAFIA 4

2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO Estamos apresetado apeas um resumo sobre algumas Equações Difereciais Devese cosultar, para maiores iformações, o livro idicado a bibliografia desta apostila Vamos itroduzir o estudo das equações difereciais apresetado o seguite problema: Supohamos que f seja uma fução real de variável real, ode = f () Se cosiderarmos a equação, queremos obter que a satisfaça Solução: d Esta equação pode ser escrita a forma: d ou d d Itegrado, membro a membro, obtemos c, c Observação: odemos verificar que c é, de fato, solução da equação dada, pois substituido 0, tem-se a idetidade:, EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO) Chamamos de Equação Diferecial Ordiária a toda equação que evolve uma fução de uma variável, assim como também algumas de suas derivadas,,, ( ) ( ) Notação: F(,,,,, ( ) ( ) ) ou F(,,,,,, ) 0 f Solução da equação diferecial é uma fução icógita, ode f substituída, jutamete com as suas derivadas, a equação diferecial, resulta em idetidade Eemplos de equações difereciais: d a) d b) c) " 7 0 d d f) 5 d) 5 e) 4( ') '' Nota: Uma equação diferecial que apreseta derivadas parciais de uma fução icógita é chamada de Equação Diferecial arcial Eemplo: t t, sedo f, t Ordem de uma Equação Diferecial Ordiária, que Ordem de uma equação diferecial é a maior ordem das derivadas de f que comparecem a equação Vemos, os eemplos, que (a), (b) e (e) são equações difereciais de primeira ordem e (c), (d) e (f) são de seguda ordem

3 Grau de uma Equação Diferecial Ordiária O grau de uma equação diferecial é o maior epoete da derivada de maior ordem que aparece a equação Vemos, os eemplos, que (a), (b), (c), (d) e (e) são de primeiro grau e (f) é de terceiro grau Nota: Os coceitos de Ordem ou Grau de uma equação diferecial devem ser etedidos diate de um cohecido itervalo de variáveis, pois, caso cotrário, algumas situações descofortáveis podem ocorrer Eemplificado: ede-se o Grau e a Ordem da equação diferecial ( ) '' ( ') 5 Veja que:, etão ( ) e a equação a) Se ]0, [ ordem e primeiro grau, etão ( ) 0 e a equação b) Se ],0[ ordem e terceiro grau '' ( ') 5 0 '' ( ') 5 é de seguda é de primeira c) Se 0, etão ão teremos equação diferecial Solução geral e particular de uma EDO A seteça c e, c, é chamada de solução geral da equação 0 (visto que [ ce ] + [ce ] = 0, é uma idetidade, 0e 0, ), pois represeta o cojuto de todas as suas soluções Ao estabelecermos, por eemplo, os valores c, c ou c, a solução geral, teremos as soluções e, e ou e, chamadas de soluções particulares da EDO - = e - = ce, c > 0 - = e = 0 - = ce, c < 0 - = -e = - e Se quisermos a solução particular que coteha, por eemplo, o poto (0, ½), basta substituirmos 0 e = / a solução geral, / = ce 0, e obtermos a costate c = / correspodete Neste caso, a solução particular que tem o poto (0, ½) é = e /

4 Se pedirmos uma solução que ateda a codição (0) = /, etão estaremos solicitado a mesma solução particular = e / ALGUMAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Uma equação diferecial de ª ordem e º grau F, pode ser escrita a forma diferecial, d Q, d 0, ode as fuções de duas variáveis e Q são cotíuas uma mesma região do plao F, d d (, ) d Q(, ), Q, d 0 Apresetaremos, agora, apeas as seguites equações difereciais: Equações Difereciais Imediatas As equações difereciais ordiárias que podem ser reduzidas à forma chamadas de equações difereciais imediatas g são Eemplo: A equação 6 0 pode ser colocada a forma 6, logo, é imediata Solução: Itegrado 6, sucessivamete, em relação a, obtemos : 6d 6 c, c 6 c d c c, c A fução c c, c, c é a solução geral da equação diferecial Eercícios ropostos Ecotre a solução geral das EDO c, c 4 ) R c c, ) se( ) R cos( ) c, c Ecotre a solução particular das EDO, sedo ) e 0 4 e 0 R e 4) ' 6, sedo 0, 0 5 e " 0 R 5 Equações difereciais Autôomas d As equações difereciais autôomas podem ser colocadas a forma f ( ) d Eemplo: edro depositou R$0 000,00 a poupaça que paga 6% de juros ao ao ede: a) saldo ao fial de aos b) tempo para duplicar a aplicação 4

5 Solução: Temos que a rapidez de crescimeto do saldo é proporcioal ao saldo presete: ds() t k S() t (o caso, k = 0,06) dt 0,06 t * Resolvedo a equação, tem-se que S() t c e, c 0,06 t No istate t = 0 o saldo da cota é S (0) = 0 000,00, daí, S() t 0000 e 0,06 () a) Ao fial do terceiro ao, temos S() 0000 e 944,5 reais 0,06 () t b) O valor aplicado é dobrado: e t =,55 aos Eercícios propostos: ) A taa de crescimeto da cultura de bactérias é proporcioal ao úmero N(t) presete a cada istate Se N(0) = 00 uidade e sua quatidade dobra a cada horas, pede a estimativa da quatidade ao fial de 9 horas ( l 0,69 ) R 800 ) A taa de variação da quatidade Q(t) de uma substâcia radioativa é proporcioal a quatidade presete da substâcia em cada istate ede determiar a costate de proporcioalidade, ao fial de 000 aos resta a metade da iicial R 0,00069 Qual é a porcetagem restate da substâcia iicial ao fial de 000 aos? R 5% Equações Difereciais Variáveis Separáveis (ª ordem e º grau: f (, ) ) Uma EDO separável pode ser escrita a forma: d tem, ( ) ( ) e Q, Q( ) Q( ) codição Solução: Vamos mostrar uma solução particular utilizado o eemplo: Resolva a equação 0 Fatorado, e,, Q, d 0, ode se ( ) d ( ) d 0, e, que satisfaça a Q e separado as variáveis em cada membro da equação, temos: d d Itegrado os termos: l l c, c Aplicado a codição iicial a equação obtida, isto é, 0 e, obtemos l 0 l 0 c e, daí, c l l e l l( e/ ) ortato, l l l( e/ ) é a solução particular Eercícios ropostos Ecotre a solução geral das EDO 5

6 ) cos( ) d e se( ) d 0, cos 0 R l cos e e c, c ), R c, c ) ( ) d + e - ( ) d = 0, ± R l ǀ + ǀ + e ( ) = c, c Ecotre a solução particular das EDO 4) d d, >0, >0, ode 4 9 R,, 0, ode 0 e R l l e 5) d ( ) d 0 6) Um recipiete cotém 0kg de sal em 00 litros de água Despeja-se o recipiete água pura a razão de 0 l/mi e libera a mistura a mesma quatidade que etra o recipiete Qual a quatidade de sal que escoa ao fial de 0 mi? Observação: S(t) é a quatidade de sal que sai ao fial de t miutos 0 S(t) é quatidade de sal que permaece o recipiete com 00 litros de mistura 0 S( t) é a cocetração de sal o reservatório após t miutos 00 [0 S( t)]0 ds( t) = é a velocidade de variação de sal que sai por miuto = Isto é: 00 dt d S( t) [0 S( t)]0 4 Equações Difereciais Eatas dt 00 R S(0) = 0 ( e ) kg 9,509 kg É coveiete lembrar que a diferecial total df(, ) de uma fução de duas F(, ) variáveis, com derivadas e F(, ) cotíuas uma região do plao, é F(, ) F(, ) df(, ) d d Se F(, ) k, k, etão df(, ) 0 Daí, temos a equação diferecial: F(, ) F (, ) d d 0 ou, de outro modo, (, ) d Q(, ) d 0 Clairaut: F(,) tem derivadas parciais cotíuas até ª ordem, etão F (,) = F (,) roposição: Se e Q são fuções cotíuas com derivadas parciais cotíuas uma região R, etão (, ) d Q(, ) d 0 é eata (, ) Q(, ) Eemplo: Resolver a equação ( ) d ( ) d 0 Solução: 6

7 Temos que (, ) Q(, ) Logo, a equação é eata Devemos obter F(, ) : Temos que F (, ) (, ) e, daí, ( I ) F(, ) (, ) d ( ) d ( ) or outro lado, F (, ) Q(, ) cte Logo, '( ) '( ) 0 ( ) 0d c ( II ) cte Substituido ( II ) em ( I ), tem-se F(, ) c k ortato, C, C, é a solução geral 4 Eercícios ropostos Ecotre a solução geral das EDO ) d ( ) d 0 R C 0, C ) ' R + C 0, C ) e d e d 0 R e k, k 4) [ se( ) e cos( )] d [ cos( ) e se( )] d 0 R se e cos k, k 5) 4 d ( 4 ) d 0, (0) = R 6 5 Equações Difereciais Lieares de ª ordem Uma equação diferecial que pode ser colocada a forma g g h, com as fuções g 0 0, g e h cotíuas um mesmo itervalo I, o qual g ( ) 0, é chamada de equação diferecial liear de primeira ordem Se h 0, I, etão g g 0 0 é deomiada equação diferecial liear de primeira ordem homogêea Eemplo: a) 0, > 0 (homogêea) b) (ão homogêea) 5 Solução de uma EDO liear de ª ordem Temos que g ' g0 h( ), g 0 e I Dividido os termos da equação por g 0, obtemos Q Multiplicado ( I ) por e ( ) d, segue que: e e e ( ) d ( ) d ( ) d Q (I) 7

8 logo, d ( ) d ( ) d e e d Q ( ) d ( ) d ( ) e, daí, Q ( ) d d d e e ( ) d ( ) Itegrado, temos e e k Fazedo Resumido: I( ) e ( ) d f d Q ( ) d, k, segue que I ( ) Q( ) d k, k I( ), da equação diferecial Q é A solução icógita obtida pelas seteças: d a) I e b) I Q d k, k, é a solução geral da equação diferecial I Eemplo: Resolva a equação diferecial Solução: A equação é liear de ª ordem, sedo e Q Logo, d d a) I e e e e, substituido em (b), temos: b) Daí, a solução geral 5 Eercícios ropostos, k I Q d k e d k e d k I e e e c ou, etão, c e, c e Ecotre a solução geral das EDO ) ' 4 R 4 ) ' ( / ), 0 ) 4) 5) ce, c R / ', 0 R ' ( ), 0 c, c ce, c R e e c Ecotre a solução particular das EDO ', 0, () / 4 R, c 4 6 6) ' se, (0) R (se cos ) e 7) ' e, (0) R 5 5 e ( ) 8

9 8) Um circuito elétrico possui uma resistêcia R = 8 ohm e está sujeito a uma força eletro motriz E = 4 volts Sedo o coeficiete de autoidução L = 0, her, pede a itesidade da correte i (em amperes) decorrido 0,0 segudos E R Lembrar das leis: d it ( ) Farada UL L dt L Ohm R i 6 Equações Difereciais de Beroulli U R it ( ) E = U U Kirchoff L R R i = 0,67 amper São equações do tipo Q, ode 0 e Observação: É imediato ver que = 0 é solução da equação de Beroulli rocedimeto para solução: a) Dividir a equação dada por : ' ( ) Q( ) (I) ' b) Cosiderar z (II) e, daí, z' ( ) (III) c) Substituir (III) em (I) : z ' ( ) z Q z ' ( ) ( ) z ( ) Q( ) (IV) d) Resolvedo (IV), obtemos z e) Substituido z em (II), teremos Eemplo: ) ) ) 5 R = 0 e z que é a solução geral da equação e 4, k, e (4 ) 4k 4 R = 0 e, k, k 4 R = 0 e ke 7 Equações Difereciais Lieares de ª ordem 4 e (4 ) 4k, k, k ke Chamamos de equação diferecial ordiária de ª ordem a toda EDO que possa ser escrita a forma Q f, ode, Q e f são fuções defiidas 9

10 um mesmo itervalo (vamos os restrigir a itervalos ode sejam cotíuas) As fuções e Q são chamadas de coeficietes da equação diferecial Eemplo: 0 Se f, I, etão a equação diferecial será chamada de homogêea Se f( ) 0, I, a equação diferecial é chamada de ão homogêea a) 0, (homogêea) * b) se, (ão homogêea) 7 Equações Difereciais Lieares de ª ordem com coeficietes costates Supohamos que os coeficietes ( ) e Q ( ) sejam costates e, respectivamete, iguais a p e q Assim, '' p ' + q = f ( ) Apresetaremos a seguir modo prático de resolução destas equações os casos que sejam homogêeas ou ão-homogêeas 7 Solução de EDOL Homogêeas de ª ordem com coeficietes costates Cosideremos a equação diferecial homogêea '' p ' + q = 0 e sua equação característica r p q r + = 0 º ) A equação característica possui duas raízes reais distitas: r e r Neste caso, a solução da homogêea é h r r c e c e, c, c º ) A equação característica possui duas raízes reais iguais: r = r = r r r Neste caso, a solução da homogêea é h ce c e, c, c r Isto é, h [ c c ] e, c, c O reforço apresetado em h é devido a igualdade das raízes º ) A equação característica possui raízes compleas: r i e r i Neste caso, a solução da homogêea é h e [ ccos( ) cse( )], c, c e, * 7 Eercícios ropostos Ecotre a solução geral das EDO ) 4 0 R h c e c e, c, c 0

11 4 4 ) 6 0 R h ce ce ) R h 4) 69 0 R h, c, c [ c c ] e, c, c [ c c ] e, c, c 5) 4 0 R h 6) 0 R h Ecotre a solução particular das EDO, 0 e 7) 7 6 0, e 8) e [ c cos( ) c se( )], c, c c cos( ) c se( ), c, c 0 R 0 R 6 [ e 9 e ] /5 h 9( ) [ e 9 e ] /0 7 Solução de EDOL ão-homogêeas de ª ordem com coeficietes costates Cosideremos a equação diferecial ão homogêea '' p ' + q = f ( ) A solução geral G desta equação é dada pela soma das soluções da homogêea h e uma solução particular p da equação ão homogêea, cosiderado as raízes da característica e as formas de f (): G h p Apresetamos, abaio, algumas sugestões para obter * Equação característica (EC): ** e ( ) *** e Q **** m bi r p r q 0 Q são poliômios de grau,, m, ***** h p : são poliômios completos de grau com coeficietes a determiar b e i é a uidade imagiaria, são úmeros compleos * c, k e k Obs: As sugestões para Modelo: f ce m, c e m p os modelos valem para EDOL ão homogêeas de ordem Raízes da Equação característica -Se m ão for raiz da EC -Se m for raiz da EC uma só vez -Se m for raiz da EC duas vezes Nota : Se m = 0 recai o Modelo Se c = 0 a equação é homogêea Sugestão para p Ae m Ae m m A e

12 Modelo: ( ) f, Raízes da Equação característica Sugestão para p -Se zero ão for raiz da EC -Se zero for raiz da EC uma só vez -Se zero for raiz da EC duas vezes Modelo: f e m, e m Raízes da Equação característica Sugestão para p -Se m ão for raiz da EC e -Se m for raiz da EC uma só vez -Se m for raiz da EC duas vezes Nota : Se = 0 recai o Modelo Se m = 0 recai o Modelo m e m e m 4Modelo: f se b, f cos b se cos f k b k b Raízes da Equação característica ou Sugestão para p - Se 0 bi ão forem raízes da EC se b Q cos b - Se 0 bi forem raízes da EC se b Q cos b 5Modelo: m m m se, f e cos b ou f e k se b k cos b f e b Raízes da Equação característica Sugestão para p m m - Se m bi ão forem raízes da EC Ae se b Be cos b m m - Se m bi e se e cos forem raízes da EC A b B b

13 6Modelo: m m se, f e cos b m f e k se b k cos b f e b ou Raízes da Equação característica Sugestão para p m m - Se m bi ão forem raízes da EC se cos e b Q e b m m -Se m bi se cos forem raízes da EC e b Q e b Nota: Se m = 0 recai o 4Modelo f é uma soma de parcelas, Nota: Se f f f f, ode fi, i,,,, correspode a um dos modelos apresetados acima, etão uma sugestão para é que seja dado por p, ode, para cada i,,,, i é uma solução particular da equação para fi 4 Eercícios ropostos Ecotre a solução geral das EDO (ver soluções Bibliografia - pág 7-46) ) 5 e 5 R ) e R ) e R 4) 4 R 5) 4 8 R 6) c, c G h p ce ce e, 6 c e c e e, c, c G h p G h p c e c e e, c, c G h p 4 c e c e, c, c G h p c e c, c, c 4 7 c e c e, c R G h p 7) 6 8 e R 8) 9) e 4 G h p c e c e e 4, R G h p e R c e c e e, c c, c c, c 4, c e c e e, c, c G h p ) 85se R c e c e G 7se 6cos ) se R c cos c se se cos ) 9 4se G 7 49 R cos se se cos ) 6 65e se G c c

14 G e c cos c se e 4 se( ) cos, c, c R 4) 6 8e se R c cos c se e 5) e se cos 6) G R c e se c e cos G Ecotre a solução particular das EDO 4, 7) 4 se 0 e 0 4 R e e, 0 e G 0 R cos( ) / [se( ) se( )] G BIBLIOGRAFIA Barboi, Arto e aulette, Walter Fudametos de Matemática Cálculo e Aálise Cálculo Diferecial e Itegral a Duas Variáveis Rio de jaeiro LTC 009 4