1 [( 3) Se x = 2y, a quantidade de livros vendidos seria. 0 = a $ (0-3) + 2, implicando em a = -. Portanto, a resposta é BLOCO B

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1 Resoluções de Eercícios MATEMÁTICA II Coecimetos Algébricos Capítulo Fução Poliomial do o Grau (Parte II) D ( s ) a ( ) (, ) s " s, " observação: Dica: Da forma Caôica, obtemos: ( v) a ; ode ( ( ) v, v ) são as coordeadas do vértice da parábola. v BLOCO BLOCO A) 4- a ^4 - Equaçãocaô ica:. ^- + Equaçãogeral:. ^ " 4 " D o ) + ou o ) As soluções iteiras são:, 4,,,,,,,, 4 um total de. ], [ e ] [ o ) 4 ou B) a - - ^ Equaçãocaô ica: -. ^+ + 4 Equaçãogeral: -. ^ " " o ) 4 < o ) Quadro de siais f g f. g ++++ Resposta: ], [e] + [ S ], [ ] + [ + o. + ( + ) o. Área ( + ) ( + 4 ) A() + Logo a área é máima quado b e 4. a Daí, o comprimeto será igual a: + 4. A) e 7 Logo, os potos de iterseções são: Q (,) e 7 4 P(7,4) Resposta: P(7,4) observação: o Modo: Se o perímetro do retâgulo é 4 + 4, etão o retâgulo de maior área é o quadrado, isto é, +. Portato,. ( + ) + 4 S + 4. B) < 4 4 a ) Raizes: + + e e MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volume 7

2 7 A Sejam C (, ), D (, ), V (, ) e M o poto médio de AB. Como os triâgulos VCD e VAB são semelates por AA, temos: BLOCO C B G A H k E k F I. Cálculo de AE (altura relativa à ipoteusa) $ AE $ AE 4 II. AFG ~ ABC AH GF 4 k k AE BC k $ ( ) C 4 $ ( ) k III. Área A k A A() 4 A área é máima quado v 4 e 4 k ( ) k 4 Amá 4 C P() ( ) ( ) P() 4 + P() + 4 D N(t),t 4t + N(), 4 + N(), 4 + N() B O lucro da idústria é epresso por uma fução do segudo grau. O lucro máimo é dado pela ordeada do vértice, isto é, Z D b 4ac v - -_ - i a - ], ode: [ b 4a 4a ] c Logo: \ -_ -4(- )() i Lma & Lma reais 4( - ) C Tem-se que L - -( - ) -( -) Portato, deverão ser produzidas peças para que o lucro seja máimo. E As abscissas dos potos de iterseção dos gráficos de f e g correspodem às raízes da equação f() g(). Logo, temos: ou. Portato, a resposta é f( - ) + f() VM AB + VM AB VO CD + VM AB. Agora, supoamos que o segmeto AB possa se deslocar livremete etre O e V, sempre paralelo a CD. Além disso, façamos AB VM. Portato, segue que ( OAB) $ AB$ OM $ $ ( - ) [( ) - $ - - ] ( ). - $ - A área máima é obtida quado, e seu valor é 4, u.a. B Reescrevedo a lei de f sob a forma caôica, obtemos f () - + -[( -) - ] -( -). Portato, para, o lucro atige valor máimo igual a R$,. Se, a quatidade de livros vedidos seria $ + 7 -( ) - - $ ( - ). Logo, o preço da versão capa de papelão que maimiza a quatidade + vedida de livros é R$,. Portato, o preço da versão capa dura deverá ser R$, Resposta: R$, D A forma caôica de f é f () a$ ( - k) + m, com (k, m) sedo as coordeadas do vértice do gráfico de f. Logo, temos a $ (- ) +, implicado em a -. Portato, a resposta é f () ( ) - $ - +. BLOCO B a ) L B() > L A() + > + + > < + 4 < a ) Raízes: + 4 ou Estudo do sial: + 4 < ], [ E D() L B L A D() + d + 4 D() + D() é máimo quado b a MATEMÁTICA Volume MATEMÁTICA II

3 A L B L A " " " ou Pelo gráfico Lucro diário (R$) Uidades diárias vedidas Lucro diário Uidades diárias vedidas () Podemos cocluir que L B > L A se < <. 4 C Pelo gráfico Lucro diário (R$) Uidades diárias vedidas Lucro diário Uidades diárias vedidas () Podemos cocluir que L B L A se ou. E L () + ( + ) L () + ; 4 A Haverá lucro se: L () >, isto é: + > + > Estudo do sial. o ) Raízes: ,,,! 4 4,,, ,, o ) Fazedo a iterseção com o itervalo 4 ««os valores que satisfazem são: 4. B D a ) ADG ~ ABC 4 A k G C k k k 4 o ) S. k. ( ) 7 C EF v A Se o preço é p e a quatidade de pães vedida é q 4 lp, a arrecadação média, em reais, em fução do preço p, é dada por R (p) (4 lp). p Para que esta arrecadação seja de R$,, deve-se ter: (4 p). p 4p p p 4p + logo p ou p Sabemos que o preço atual é,, jã que RS,/ R$, Para mater a arrecadação, o ovo preço deverá ser RS,. Logo a letra a, pois, < <,. C Reescrevedo a iequação, obtemos ( )( - + ) $ + (4 - + )( - + ) # + 4c- m ( - )( - 4) # + ou # # 4. Portato, o cojuto solução da iequação, em R é S { Z; 4}. D O domíio da fução f é g(), observado o gráfico resolvemos a iequação. 4 S "! R/ - # #, Capítulo Coecimetos Algébricos Modelagem Matemática BLOCO S + ; ; a Parte Redução Aumeta real espectadores reais A " A ( $ ) espectadores A a Parte Iicialmete o preço do igresso era de reais e, em média, 4 pessoas assistiam ao espetáculo. Porém, após o descoto, o valor arrecadado será igual a: (4 + ) ( );. I. + + ;. II. Para ser máimo, o descoto deverá ser de: - V reais. - MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volume

4 III. f(), em milares de r e a. f () f () BLOCO 4 A) f(g()) g() ( + 4) + + B) g(f()) f() C) f(g(())) f(g( + )) f( + + 4) f( + ) ( + ) + P reais. Lucro (P) ( P) (P ) L (P) P + P - Etão, o lucro será máimo se P -. C f(g()) (g()) + 4 g() g() - cm cm cm J 4 N a Parte: Área() K - $ $ O L P 4 A() - + Corte : a Parte: Semelaça - " $ ( - ) 4 - A área é máima quado cm e $ () cm. Área máima 4 cm. Corte : cm B E A D cm F cm J a Parte: Á rea ( ) N $ K - O L P A () - + $ a Parte: Relações Métricas AD AD cm AEF ~ ABC AG - C " - " $ " - " " - A área é máima quado V cm e cm. Logo, a área máima será: A 4 4 cm. Coclusão: Os dois cortes tem a mesma área. 4 C a Parte: + + ( ) a Parte: Área A() ( ) + - A área é máima quado V m e m. - C Área máima m g() BLOCO - A) +. - A R e B R e a lei da iversa é dada por ou - f () B) Se + +. ( ) -. Domíio A + R. Logo A R * R {}. Cotradomíio B R.. Logo B R {} - Lei da iversa: - ou f () - C) ( ) Domíio A + R 4. Logo A R {4} -4 Cotradomíio B 4 + R. Daí: B R {} - Lei da iversa: 4 + ou f () 4 + ; - - D) ± Domíio da fução: e Cotradomíio B A R + B { R / } Lei da iversa: Se, etão ou f (), E) + 7; 7-7 Domíio A A { R / } Cotradomíio B - 7 R 7 7 B { R / 7}. Lei da iversa - 7 ou f () - 7 ; 7. Trocado por obtemos: MATEMÁTICA Volume MATEMÁTICA II

5 F) f() + 4 ; ( + ) ( + ) ± + 4 ± + 4 Como ; Domíio A A { R / } Cotradomíio B ( R B { R / 4} Lei da iversa ou f () ; 4 G) + + ; ( + 4) + 4 ± ± + 4. Como 4, Domíio: A { R / 4} e B { R / 4} Lei da iversa ou f () ; 4 BLOCO A) Regra de três descoto.., ( - ) A o aumetoo de pessoas ", $ A a - k A $ a - k Etã o: + $ ( - ) - Se R $ e - etã o: B) R $ f - p R - + BLOCO f(f(f(o))) f(f()) f(4) I. f() II. Cálculo do f() D a é costate o D itervalo de a, isto é, C - f() f() - f() 4 (,) f() (,f()) f(4) (,) III. Cálculo de f(4) D é costate o itervalo de a, isto é: D - f(4) f(4) - P(,) f(4) r a Parte: Itersecção de r com o eio dos. r: + Fazedo, temos que: + (,) (4,f(4)) (,) 4 a Parte: Seja r a reta de coeficiete agular. A equação de r será dada por: + b. Se P(, ) r etão + b, isto é: b D Como,,,7, 4,7,, podemos cocluir que a sequêcia,;,;,7; 4,;... é uma progressão aritmética de primeiro termo a, e razão r,. Portato, queremos calcular a soma dos primeiros termos dessa progressão aritmética, ou seja, J a + r N J $, + $, N S K $ $, 7. O K O L P L P BLOCO " " " " + 4 Se f() - $ $ $ ( - ) Determiação do cojuto A + 4 f()! Reais) -!,istoé!. - A R - {} Determiação do cojuto B Para determiar B, devemosecotrartodos os valores de -! B queposssuem! Atal que f (). + 4 Daí,! Reais) -!,isto é,! - B R - {} Aleida fuçãoiversa Na lei f () trocado por epor, - obtemos: f () - BLOCO f().7,7.,.4, 4.7, MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volume

6 D Valor base 47,4 7,7 4 4,7 4, Imposto: 7, 4, 7,,44 BLOCO D Como f( - ) (- ) + $ (- ) + 4, segue que B ff ((- )) f(4) 4 + $ 4+. Lembrado que uma fução só está bem defiida quado coecemos o seu domíio, cotradomíio e a lei de associação, vamos supor que f: r r e r r. Além disso, por eemplo, a fução g f está defiida apeas quado o cotradomíio de f é igual ao domíio de g. Desse modo, o valor de para o qual se tem fg ( ( )) g(()) f é ( -) -( - ) ƒ( ) + o ƒ () ƒ(ƒ()) ƒ( ) - ƒ () ƒ () + o ƒ () ƒ ()ƒ() ƒ() - o ƒ 4 () ƒ (ƒ()) ƒ(ƒ()) se ; é par Logo ƒ () * ƒ( ); seé ímpar Daí + ƒ () ƒ() B () g(ƒ()) ( + % ) + 4% D reais A z 4 z + 4 e Quado e. Como N, Daí: z + 4 z z 4 (z ) 7 C z e z + 4 ( ) Z Z + ( + ) Z + C. Falso, pois se, teríamos + + ' Etão, ão eistiria > satisfazedo a curva de trasformação.. Verdadeiro. Os valores de e são tais que: Z ] $ ] $ e [ ] \ Resolvedo o sistema, temos: Z ]- - + $ " $ " + -# [ e ] $ \ Z I ] + -# " -# # [ e e II] $ $ \ Cálculos auiliares Estudo do sial e Fazedo a itersecção de I e II, cocluímos que:. (Verdadeiro). kg toelada de Ypsilo. Substituido a curva de trasformação, temos: +. f p +. f p toeladas,7 toeladas D Do gráfico, sabemos que g() e f(). Logo, como f() e g( ) obtemos fg ( ())- gf ( ()) f() -g(-) -. C Desde que + f ( + ) + f ( + ) +, + - temos: g () ff (( + )) BLOCO 4 - A) + Domíio: A R e B R - Lei de f : f () ; R B) ( ) - Domíio A R +. Logo A R { } + MATEMÁTICA Volume MATEMÁTICA II

7 Cotradomíio B -- R -. Etão B R * 4 -- Lei de f : f (), - C) ; + ± + Como, +. Domíio A Cotradomíio B A { R / } e B { R / } f () + ; D) 4 ; ( ) ( ) ± + 4 ± + 4 Como, etão Domíio: A { R / } e Cotradomíio B B { R / 4} f () + 4 ; 4 C V(),7 + (,4) + ( ) 4, V(),7 +, + 4,( ) V() 7,77 + 4, ( ) B Se V() 7,77 + 4, ( ), etão: V 7, 77 4, $ a- k V- 777, - + 4, V, 7 + 4, 4 C " " C. (F ) C F F C + ( ) F C + E ( 4- ) 4 ( + ) 4 + E V V V T V 7 T 7 (V V ) T 7 ( V- V ) V 7 C + f () " " 4 + " " $ (4- ) - " " " f () a + b Logo, a 4, b e a + b. A - - " - " + " f () + D f: R { } c D R { } ( ) + - R { } se, isto é, se. Etão e C D (f) R {} A f:] -,] $ [-, [ $ ( ) + ( )! +! +. Como, etão +. - f () - +. BLOCO C ƒ() ƒ() ( + ) ( + ) [ ] [] A o ) Taa de variação: a % - % a % Lei da fução: ƒ() a + b % + b Note que, se, etão, % Daí: b % e ƒ(), +, o ) Taa da variação: a % %, + b Como %, quado, temos:,, + b b,, +, D Seja os miutos utilizados. Plao K Plao z, + ( ), 4, + ( ),, +, 4, +,,, Iterseção:,,, +,, 4 D a parte: t 4 7 t + 7 t t mi a parte: t t t + t t + t t + 7. t ou t. t mi pois t. Etão a peça permaeceu o foro ( ) mi. A B) Falso: pois de a 7 aos a altura é costate e além disto ão é fução. C) Falso: ão é fução (criaças de aos por eemplo ão têm altura este gráfico. D) Falso: ão é fução (com aos temos diversas alturas). E) Falso. D A) Falso, pois quado t, o volume é m. B) Falso, após 4mi o volume decresce. C) Falso, o volume míimo é zero isto acotecerá quado t. D) Verdadeiro, o volume máimo é igual a o itervalo de a 4 mi. E) Falso. MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volume

8 7 B As operações feitas pelo ivestidor ocorrem os istates imediatametes posteriores a t (critério I), t (critério II), t (critério I) e t4 (critério III). Valor da ação (R$) Vm t t t t Tempo (ora) Assim, o total de operações realizadas pelo ivestidor é 4 (quatro). Em português, para os que ào curtem multo o gráfico: Um ivestidor iicia um dia com ações de uma empresa, a operação a bolsa começa às :. t Em seguida, o valor da açdo sobe acima de Vi (V ideal ) e ele vede metade das ações /, e fica com os / restates. t Depois o valor da ação cai abaio do Valor míimo Vm, mometo em que ele compra o mesmo úmero de ações que possui, ou seja, compra /. Passa assim a ter ações. t Quado o valor das ações atigir Vi, ele vede metade (/). t 4 Quodo o valor otige o valor ótimo ele vede tudo, ou seja, os / restates. E fica sem euma ação. O valor das ações volto a cair, mas ão atige o valor míimo (valor que ele compraria mais ações), por isso que ão ocorrem outros evetos. B A questão os iforma o seguite: úmero de ligações valor cobrado, em reais < < < + ( )*, < < Esta tabela a forma gráfica é eatamete a alterativa B. Veja, por eemplo, que para < temos o valor costate de reais. E para etre e, o valor é de reais. Vo Vi E a Parte: O cosumo por dia será de: kg. Em t dias será cosumido ( t) kg. Para dias, o estoque iicial deverá ser de + kg. Após t dias, t, o estoque será de: A t a Parte: Como o estoque é reposto a cada dias, o dia t; < t, teremos: A (t ) A 4 t a Parte: No dia t; < t, teremos: A (t ) A t BLOCO A Observe que: se, o imposto é zero e ƒ(,) [,] 7 ƒ(,) [,] 7 ƒ(,) 7 mas ƒ(7) [7] 7 ƒ(7,) [7,] 7 e ƒ() [] B Seja i a taa de redução aual procurada. Como o percetual de abadoo em foi de,% segue-se que i deve ser tal que,, $ ( - i), + ( - i), & ( - i),, & ( - i), (,) & - i,, & i, % a. a. Valor mesal pago por plao em reais C Resolvedo a equação, temos: $ ( - ) $ ( + ) $ ( + ) - úmero de ligações D Como o custo fio aual, para miutos diários de uso, é de 4 dólares e o custo da ora etra é de dólares, segue que o valor aual pago é dado por f() + 4 em que é o úmero de oras etras. 4 C O valor total da cota de eergia elétrica para o cosumo de kw é igual a,$ + 4, R$7,. Assim, reduzido em % o valor da cota, ele pagará,$ 7, R$7,. Seja o úmero máimo de kw que deverão ser cosumidos para que o objetivo do morador seja alcaçado. Observado que < <4, temos, + 7, 7, kw. C Do gráfico, tem-se que o saldo devedor iicial é R$,. Além disso, como a capitalização é composta, podemos cocluir que a parcela mesal de juros é variável. Fialmete, supodo uma taa de juros costate e igual a % ao mês, teríamos, ao fial de meses, um saldo devedor igual a (,) R$,7. Portato, comparado esse resultado com o gráfico, podemos afirmar que a taa de juros mesal é superior a %. Se, ão covém, pois < ( + ) é falsa. Se 4, covém, pois 4 < (4 + ) é verdadeira. Se, ão covém, pois < ( + ) é falsa. Assim sedo, ambos estarão à mesma velocidade após terem percorrido m. D De acordo com o gráfico, segue que o resultado pedido é $,7+ $,+ 4 R$,. 7 E A taa de crescimeto relativo o período de a foi de -,. Portato, matida esta taa para a próima década, em o úmero de veículos será, em milões, igual a (,) 4,. $ + 4 MATEMÁTICA Volume MATEMÁTICA II

9 C Os países com otas abaio da média são: Rússia, Portugal, Méico, Itália e Israel. Detre esses países, o que apreseta maior quatidade de oras de estudo é Israel. C Cosiderado que Q(t) é a quatidade de resíduos domiciliares por abitate o ao t e observado a tabela temos um aumeto de 4kg a cada cico aos. Portato, em a quatidade será dada por: Q^ Q^+ ^:$ 4 & Q^ 4+. B [A] Falsa Quado assume valores cada vez maiores, g() assume valores cada vez meores. [B] Verdadeira. [C] e [D] Falsas, f() se aproima de. 4 D Determiado o valor de t para que se tea (t) máimo: 4 b t 4 a 4 4 $ 4 Determiado o valor máimo: N4 ( ) + +,, úmero iicial de trabaladores.. Cada trabalador deveria receber. Como três desistiram e os demais receberam cada um reais a mais referete ao valor que caberia aos três desistetes, temos a equação:. ( ) 4 $ $ & $ ( ) & 4 Resolvedo a equação acima, temos: ou (ão covém). A) 4 \$ _ i &\ (meor que ) B) cosiderado \, temos a seguite fução quadrática. A $ (P ) P s - + s Para que A seja máimo Ps. d O valor mais próimo de é P 4. Logo, o maior aumeto será dado a décima primeira semaa. A) Portato, ( ) trabaladores realizaram o serviço.. B) Cada um deles recebeu. reais. C T ( 4$ a $ ) A altura máima será dada por v 7m. 4$ a 4$ ( ) 7 E A receita R() da loja será dada por: R() ( ) R() Fazedo R()., temos:. +. ou A) A () para $ * + ( ) $, para > Temos, etão, dois valores para p, p ou p. Etão, +. B Seja R() o faturameto obtido com o valor das camisas. R_ i _ + i $ _ i B) 4, + _ i 4,, A) Velocidade média da tartaruga é o coeficiete agular da reta que represeta seu deslocameto: m m $ m / 4 4 mi B) Equação da posição da tartaruga (m) em fução do tempo (miutos): $ Equação da posição (m) da lebre o istate do ecotro: Resolvedo a igualdade $, temos mi ora Portato, a lebre e a tartaruga se ecotrarão ora após o iício da corrida. c) As velocidades são iguais, portato os coeficietes agulares das duas retas são iguais: & & t mim 4 t 4 t A) Falso, pois se > termos R() egativo. B) Verdadeiro, pois para reais o faturameto será ( + 4) () 4 e o faturameto para reais será ( + ) 4. C) Falso, ocorre para,, ou seja, 4 camisetas. D) Falso, pois R() ( + )( ) 7,. A) (), m (), +.b +, b,, b b B) A altura máima será calculada através do v ( do vértice) D 4$ (, ) $, v 4, m 4$ a 4$ (, ) B A) Verdadeira A parábola itersecta o eio em dois potos distitos. B) Falsa O vértice tem ordeada egativa. C) Verdadeira A parábola tem cocavidade para cima. D) Verdadeira A parábola itersecta o eio os potos (,) e (/,). (tempo em que a lebre voltou a correr depois que acordou) Portato, a lebre ficou dormido mi oras e 4 mi. MATEMÁTICA II MATEMÁTICA Volume