Disciplina: Séries e Equações Diferenciais Ordinárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL

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1 Disciplia: Séries e Equações Difereciais Ordiárias Prof Dr Marivaldo P Matos Curso de Matemática UFPBVIRTUAL matos@mat.ufpb.br Ambiete Virtual de Apredizagem: Moodle ( Site do Curso: Site da UFPBVIRTUAL: Telefoe UFPBVIRTUAL (8) Carga horária: 6 horas Créditos: 4 Emeta Sequêcias Numéricas, Séries Numéricas, Séries de Potêcias, Equações Difereciais de Primeira Ordem, Equações Difereciais Lieares de Seguda Ordem. Descrição A disciplia Séries e Equações Difereciais cosiste em uma eposição passo a passo de coceitos e propriedades básicas de cálculo de limites de sequêcia uméricas, critérios de covergêcia para séries, represetação das fuções elemetares do cálculo por séries de potêcias, métodos de resolução de equações difereciais ordiárias e aplicações. O programa da disciplia divide-se em cico uidades, as três primeiras sobre sequêcias e séries e as outras duas sobre equações diferecias. Na primeira uidade apresetam-se os coceitos e resultados básicos sobre sequêcias uméricas com vistas ao cálculo de limites; a seguda uidade apresetam-se os pricipais critérios de covergêcia para séries uméricas, com êfase o Teste da Razão. Na terceira uidade dar-se-á êfase ao desevolvimeto de fuções em séries de potêcias. Na quarta uidade apresetam-se coceitos e métodos sobre equações difereciais de primeira ordem efatizado o processo que vai da modelagem à resolução de algus problemas práticos. Fialmete, a quita uidade trata das equações difereciais lieares de seguda ordem, ode se apresetam coceitos e métodos com aplicações. Objetivos Ao fial do curso espera-se que o aluo Compreeda o sigificado de limite de uma sequêcia umérica e de covergêcia de uma série umérica; Saiba determiar o domíio de uma fução defiida por uma série de potêcias e esteja habilitado a desevolver as pricipais fuções elemetares do cálculo em séries de potêcias; Saiba aplicar os métodos de resolução de equações difereciais ordiárias e modelar algus feômeos físicos por equações difereciais para, em seguida, resolvê-los. Uidades Temática Itegradas Uidade I Sequêcias Numéricas Coceitos Básicos Sequêcias Covergetes Cálculo de Limites Uidade II Séries Numéricas Séries Covergetes Séries de Termos Positivos. Critérios de Covergêcia Séries Alteradas. Critério de Leibiz Covergêcia Absoluta. Critério da Razão 99

2 Uidade III Séries de Potêcias Itervalo de Covergêcia Fuções defiidas por Séries de Potêcias Derivação e Itegração de Séries de Potêcias Séries de Taylor e Séries de Maclauri Uidade IV Equações Difereciais de Primeira Ordem Modelagem de Problemas Práticos EDO Liear: solução geral EDO Não-Liear: métodos elemetares Uidade V Equações Difereciais Lieares de Seguda Ordem Algus modelos como motivação Método dos Coeficietes a Determiar - MCD Método de Variação dos Parâmetros - MVP Soluções em Séries de Potêcias

3 Uidade I Sequêcias Numéricas. Situado a temática Nesta uidade, apresetamos os coceitos básicos e a oção ituitiva de limite para sequêcias uméricas e formalizamos as pricipais propriedades para o cálculo de limites. A otação e termiologia fiadas são fudametais para o acompahameto das uidades posteriores.. Problematizado a Temática A importâcia de sequêcias (e séries) ifiitas para o cálculo tora-se evidete quado se deseja aproimar certas fuções por poliômios. Essa ideia já fora idealizada por Newto o cálculo de áreas ode ele frequetemete itegrava fuções a partir de sua represetação como uma soma ifiita de fuções poliomiais.. Cohecedo a Temática. Coceitos Básicos Iformalmete, uma sequêcia é uma lista ordeada de coisas, mas esta uidade as coisas serão úmeros reais. Pesado desta forma, uma sequêcia ada mais é do que uma lista ordeada ifiita de úmeros reais a, a, a,... a,... em que a é o primeiro termo e a é o -ésimo termo ou termo de ordem. Em se tratado de uma lista ifiita, cada termo a tem um sucessor a e assim fica estabelecida uma correspodêcia etre o cojuto {,,,4,...} dos úmeros aturais e o cojuto costituído pelos termos a, a, a,... a,... da sequêcia. Uma sequêcia {a } é uma fução f cujo domíio é o cojuto dos úmeros aturais e cujo valor o úmero atural é precisamete o termo a, isto é, f() a. Por simplicidade, essa sequêcia f é represetada pelo seu termo geérico a. Uma sequêcia pode ser represetada pelo seu termo geral a, b,, etc. ou eplicitado-se seus primeiros termos como mostram os seguites eemplos: Eemplo A sequêcia cujos termos são todos iguais a é represetada por a ou eplicitado seus primeiros termos:,,,,... Uma sequêcia em que todos os termos são iguais é deomiada sequêcia costate. Eemplo A sequêcia de termo geral a ( ) assume dois valores distitos: o valor, quado for um úmero ímpar e o valor, quado for par. Seus valores são alteradamete egativos e positivos e ela também é represetada sob a forma:,,,,... Quado os termos de uma sequêcia são alteradamete positivos e egativos ela recebe o ome de sequêcia alterada. Eemplo A sequêcia de termo geral a / é também represetada por:, /, /, /4,... Nesta sequêcia os termos a toram-se cada vez meores, à medida que o ídice aumeta. Eemplo ( ) Os cico primeiros termos da sequêcia alterada a são: a, a /, a /, a / 4, a 4 5 / 5. Em valor absoluto essa sequêcia se comporta como aquela do eemplo precedete. Em valores relativos os termos de ordem par decrescem e os termos de ordem ímpar crescem, à medida que o ídice aumeta. Idepedete de a ordem ser par ou ímpar, o termo a se aproima cada vez mais do úmero zero, com aumetado.

4 Eemplo A sequêcia de termo geral sequêcia a cresce com e atige valores arbitrariamete grades, ao cotrário da b que decresce à medida que aumeta. Defiição.A Uma sequêcia {a } é deomiada ão decrescete se: a a a a 4 L a L. Quado ocorrer < o lugar de a sequêcia será deomiada crescete. Defiição.B Uma sequêcia {a } é deomiada ão crescete se: a a a a 4 L a L. Quado ocorrer > o lugar de a sequêcia deomia-se decrescete. De forma cocisa, as defiições ateriores ficam assim: {a } é ão decrescete se a a, ; a ; a a, ; < a,. {a } é crescete se a <, {a } é ão crescete se {a } é decrescete se a Esses tipos de sequêcias classificam-se como sequêcias moótoas. Agora que você está familiarizado com os primeiros coceitos, veja as sequêcias dos eemplos do poto de vista gráfico. Como o domíio de uma sequêcia é um cojuto de potos isolados (recorde-se que o domíio de uma sequêcia é o cojuto dos úmeros aturais) o gráfico de uma sequêcia ão é uma liha cotíua, mas um cojuto de potos isolados do plao cartesiao em que as ordeadas represetam os termos a da sequêcia. A sequêcia costate a A sequêcia alterada a ( ) A sequêcia de termo geral a / Observe como as ordeadas (as alturas) dos potos (,/) vão dimiuido à medida que o ídice aumeta. A sequêcia a / é decrescete e seus termos se aproimam cada vez mais de zero, quado vai crescedo. Eiste uma simbologia apropriada que traduz essa aproimação da sequêcia a / para zero. Usa-se a otação para idicar que o ídice cresce arbitrariamete e a idica que a sequêcia a se aproima de zero. Assim, lim.

5 Observe a figura e se coveça que os termos de ordem par decrescem e se aproimam de zero, equato os termos de ordem ímpar crescem se aproimado também de zero, à medida que o ídice aumeta. Com a simbologia itroduzida ateriormete, escreve-se: ( ) lim. Este eemplo mostra que uma sequêcia alterada pode sim aproimar-se de um determiado valor, quado o ídice tora-se arbitrariamete grade. Isso ocorre quado os termos de ordem par e os termos de ordem ímpar se aproimam do mesmo valor e aqui este valor é zero. Isso ão ocorre com a sequêcia alterada da figura.b, ode os termos de ordem par e os termos de ordem ímpar se aproimam de valores diferetes. A sequêcia alterada a ( ) Além da mootoia (Defiição.A e.b), as sequêcias se classificam quato à limitação em: limitada superiormete, limitada iferiormete e limitada, como estabelecem as defiições a seguir. Defiição.C Uma sequêcia {a } é deomiada limitada superiormete quado eistir uma costate M, deomiada cota superior da sequêcia, tal que: M,. a Defiição.D Uma sequêcia {a } é deomiada limitada iferiormete quado eistir uma costate m, deomiada cota iferior da sequêcia, tal que: m a,. Defiição.E Uma sequêcia {a } é deomiada limitada quado o for superiormete e iferiormete. Isto é equivalete a eistêcia de uma costate positiva C tal que: C,. a Eemplo A sequêcia de termo geral a é limitada iferiormete por, mas ão é limitada superiormete, porque ela atige valores arbitrariamete grades. A sequêcia b é limitada superiormete por zero e ela atige valores arbitrariamete pequeos. Isso faz com que ela ão seja limitada iferiormete. Todos os termos da sequêcia a estão etre e, o que faz dela uma sequêcia limitada. O crescimeto ou decrescimeto é deduzido a partir de uma aálise da razão por a epressão que defie a e, este caso, obteha a Assim, a ( ) > a ( ) e, portato, a > a e a sequêcia é crescete. a. Para calcular a substitua a

6 No Moodle Agora vá à plataforma MOODLE e procure respoder as questões e resolver os eercícios referetes ao tema estudado.. Sequêcias Covergetes Em algus eemplos da seção aterior foi abordada a oção ituitiva de covergêcia e, iformalmete, pode-se dizer que uma sequêcia {a } tem limite L ou coverge para L quado os termos {a } da sequêcia estiverem arbitrariamete próimos de L ao se fazer suficietemete grade. Compare essa oção de covergêcia com as iformações produzidas pelos gráficos das sequêcias as figuras.c e.d acima, ode o úmero L em ambos os casos é zero. Passado para a liguagem matemática, isso sigifica que qualquer itervalo aberto que cotiver o úmero L coterá os termos da sequêcia a partir de certo ídice N. Observe pela figura.a que a distâcia etre os potos do gráfico da sequêcia, e a reta horizotal y L tora-se próima de zero, à medida que o ídice cresce. A ideia que passa é que o gráfico da sequêcia toca a reta y L, quado for suficietemete grade. Isso até ocorre em algus casos, mas ão é regra geral. Se você olhar a figura.c se covecerá de que o gráfico daquela sequêcia jamais tocará o eio horizotal. Para idicar que a sequêcia {a } tem limite L ou coverge para o úmero L, utiliza-se as otações lim a L ou a L, ode está implícito que. Agora que você absorveu a ideia ituitiva de limite, veja a defiição formal. Defiição.A Uma sequêcia {a } tem limite L ou coverge para L se para cada ε > eistir um correspodete úmero atural N tal que a L < ε sempre que > N. Observação Para cofrotar a oção ituitiva de limite com a defiição formal, observe que: (a) o úmero atural N da defiição de limite em geral depede do úmero ε dado; (b) sedo a desigualdade a L < ε equivalete a L ε < a < L ε, ou aida que a jaz o itervalo ( L ε, L ε ). A defiição.a estabelece que fora do itervalo aberto ( L ε, L ε ) eiste o máimo uma quatidade fiita de termos da sequêcia ou, em outras palavras, que os termos da sequêcia a partir da ordem N estão detro do itervalo aberto ( L ε, L ε ) ; (c) a sequêcia {a } covergir para L sigifica que as distâcias a L etre a e L se aproimam de zero quado ; Critério da Limitação Se uma sequêcia {a } é covergete, etão ela é limitada. Corolário Uma sequêcia que ão é limitada ão pode covergir. De fato, se Llim a, segue da defiição de limite, com ε, que eiste um úmero atural N tal que a -L <, sempre que > N, 4

7 e cosiderado C o maior etre os úmeros a, a,..., a N e L, etão: a a L L a L L C, para todo. < Eemplo O critério da limitação é bastate utilizado quado se deseja mostrar que uma dada sequêcia ão coverge. Por eemplo, as sequêcias a e b log ão são limitadas e, cosequetemete, ão podem covergir. Em geral o limite de uma sequêcia é calculado por meio de propriedades e regras que são estabelecidas a partir da defiição de limite. Por eemplo, a distâcia etre dois termos cosecutivos a e a de uma sequêcia covergete se aproima de zero, quado. Para comprovar esse fato, seja L o limite da sequêcia a e use a desigualdade triagular para obter: a a a L L a a L L a. Para cocluir basta observar que os dois termos do lado direito da última desigualdade se aproimam de zero com. Como cosequêcia dessa propriedade deduz-se que a sequêcia a (-) ão coverge, porque a distâcia etre dois termos cosecutivos dessa sequêcia é sempre. É oportuo observar que eistem sequêcias que ão covergem, e aida assim, a distâcia etre quaisquer dois termos cosecutivos se aproima de zero, quado. Por eemplo, a sequêcia a log ão coverge e a distâcia etre dois termos cosecutivos dessa sequêcia se aproima de zero. De fato, a a log( ) log log( / ) e o lado direito da última igualdade se aproima de zero, quado. Dialogado e Costruido Cohecimeto Escrevedo para apreder Você já deve ter ouvido falar em uicidade do limite de uma fução real. Pois é, usado o coceito de limite e a desigualdade triagular, deduza que uma sequêcia covergete ão pode ter dois limites. Eistem sequêcias que crescem arbitrariamete com o ídice, como é o caso da sequêcia a. Para essas sequêcias aota-se lim a, e eistem sequêcias que decrescem arbitrariamete, à medida que aumeta, como por eemplo, a sequêcia b ; este caso aota-se lim b. Para essas sequêcias, a distâcia etre dois termos cosecutivos é sempre, e isso faz com que elas ão sejam covergetes. Uma sequêcia que ão coverge, isto é, que ão tem limite fiito, é deomiada sequêcia divergete. Observação Você deve está se pergutado: o que limite de sequêcia tem a ver com limite de fuções? A difereça etre lim f ( ) L e lim f ( ) L é que o úmero deve ser um úmero atural. Etão, se lim f ( ) L e f ( ) a, quado é um úmero atural, tem-se lim a L. Por eemplo, lim lim e daí segue que a sequêcia a coverge para. 5

8 . Cálculo de limites As propriedades básicas para o cálculo de limites de sequêcias são similares àquelas estabelecidas para fuções reais defiidas em itervalos. Elas são demostradas utilizado a defiição de limite. Dialogado e Costruido Cohecimeto Escrevedo para apreder Seja um úmero real tal que < < e cosidere a sequêcia de termo geral a. Se, a sequêcia a é ideticamete ula e, é claro, seu limite é zero. Se ão é zero, etão < < e log está defiido, é um úmero egativo e, além disso, dado ε >, etão: logε ε < ε log < logε > log <. A última desigualdade sugere escolher o ídice N da defiição de limite como o primeiro úmero atural maior do que logε log. As sequêcias (/), (/) e (/5) covergem todas para zero. Sobre o uso da Regra de L Hôpital Embora ão eista uma regra de L Hôpital para sequêcias, o limite do quociete a /b de duas sequêcias que covergem para zero ou têm limite ± pode ser calculado com base a última observação, cosiderado a fução que estede o termo geral da sequêcia. Por eemplo, log log / lim lim (usado a regra de L Hôpital) lim lim. Logo, a sequêcia (log)/ coverge para zero..a Propriedades algébricas Sejam {a } e {b } duas sequêcias covergetes com limites L e M, respectivamete. Etão: (a) limite da soma: lim( a b ) L M ; (b) limite do produto: lim( a b ) L M (c) limite do quociete: lim( a / b ) L M, se M e cada b é diferete de zero. / (d) limite do produto por costate: lim( C a ) C L, sedo C uma costate real. Com as propriedades algébricas.a, o cálculo de limites tora-se bem prático. Por eemplo, para calcular o limite da sequêcia a, coloca-se em evidêcia o termo de maior grau o umerador e o 4 deomiador, resultado: lim ( / ) / a lim lim lim 4 (4 / / ) 4 / / 4 Para que fique bem claro o procedimeto acima, observe os limites do umerador e do deomiador separadamete. Para o umerador, temos: Para o deomiador, temos: lim(4 / / lim( / ) lim lim(/ )lim(/ ) ) lim 4 lim(/ ) lim(/ ) lim(/ ) 4 4..B Critério do Cofroto Sejam {a }, {b } e {c } três sequêcias tais que a b c, a partir de certa ordem N. Se as sequêcias {a } e {c } covergem para o mesmo valor L, etão a sequêcia itermediária {b } também coverge para L. 6

9 .C Critério do Limite zero Se lim a e {b } é uma sequêcia limitada (covergete ou ão), etão o produto a b tem limite zero. Eemplo Para provar que a sequêcia (cos ) / tem limite zero, observe que ela se escreve como o produto a b, ode a / tem limite zero e b cos é limitada pois < b <,. Você deve ter percebido através dos eemplos que uma sequêcia limitada pode ser divergete e uma sequêcia moótoa também pode divergir. Se uma sequêcia além de limitada for também moótoa, etão ela será covergete. É isso o que estabelece o seguite critério..d Critério da Covergêcia Moótoa Uma sequêcia que é ao mesmo tempo limitada e moótoa é covergete. Eemplo Sequêcia evolvedo! Se é um iteiro positivo, defie-se o fatorial de por! L e covecioa-se!. Cosidere a sequêcia de termo geral! a. 5 L ( ) {a } é uma sequêcia limitada, porque L 5 L ( ) e, portato, a, para todo ; a {a } é uma sequêcia decrescete. Basta observar que <,, e, a cosequetemete, a < a. A sequêcia {a }, sedo moótoa e limitada, é covergete. 7

10 Uidade II Séries Numéricas. Situado a Temática Nesta uidade, apresetamos os coceitos e resultados básicos sobre covergêcia de séries ifiitas, que formam a base para o desevolvimeto de uma técica que os permite aproimar fuções por poliômios e, ao mesmo tempo, calcular o erro cometido essa aproimação. Na primeira seção trataremos dos fudametos gerais e as seções subsequetes serão abordados temas específicos sobre séries de termos positivos e séries alteradas.. Problematizado a Temática Uma soma ifiita é um processo que sempre os itriga porque literalmete ão podemos somar, um a um, uma quatidade ifiita de termos. Ao estabelecer que a soma ifiita a a a L a L dos termos de uma sequêcia {a } tem valor S (ou coverge para o úmero S) desejamos passar a seguite ideia: o valor da soma a a a... a tora-se arbitrariamete próima de S, à medida que o úmero de parcelas aumeta. Em algus casos uma soma ifiita resulta em um úmero, como o caso da soma: / / 4 /8 L / L, deduzida a partir da soma de áreas como a figura abaio. Em outros casos, a soma ifiita tora-se arbitrariamete grade à medida que se aumeta o úmero de parcelas. Não parece óbvio, mas isso ocorre com a soma: / / L / L, ode mais uma vez recorremos a ituição geométrica em ossa coclusão. Por fim, eistem somas ifiitas com resultado idefiido, como é o caso da soma: L que pode ser, pode ser zero, depededo de como seus termos são agrupados: ( ) ( ) ( ) ou ( ) ( ) ( ). Assim, é fudametal os familiarizarmos com os coceitos de covergêcia de sequêcias e somas ifiitas.. Cohecedo a Temática. Fudametos Gerais Para motivar o que será desevolvido esta seção apresetaremos como ilustração o cálculo da soma ifiita: 8

11 A esta soma ifiita associamos uma sequêcia {S }, deomiada sequêcia de somas parciais, defiida da seguite maeira: S.9 S S S , e assim por diate. É atural pesar a soma ifiita como o limite da sequêcia {S }, quado, e cosiderado que S vêzes etão lims.9999 é uma dízima periódica. Esse cálculo pode ser feito de outra maeira, escrevedo as parcelas da soma ifiita como frações ordiárias. Neste caso, a soma ifiita se escreve sob a forma: L L, de ode segue que: S (9 /) (/) (/) (/) L (/) [ ] e a epressão etre colchetes é a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r / e tem valor [ (/)ⁿ]/( /), isto é: 9 (/) S ) / (/. Na Uidade I apredemos que lim(/) e, dessa forma, lims. Este eemplo os coduz à igualdade.9999, a qual deve ser iterpretada como um limite. Dada uma sequêcia {a } de úmeros reais, a soma ifiita a a a L a L será represetada simbolicamete por a e deomiada série ifiita ou simplesmete série; o termo a recebe o ome de termo geral da série. Nosso objetivo é estabelecer codições sobre a sequêcia {a } para que a soma ifiita a resulte em um úmero real. Se este for o caso, a série ifiita deomia-se covergete. Coforme alertamos o iício, literalmete ão podemos somar, um a um, um úmero ifiito de termos, etretato, ao escrever a S queremos dizer que somado um úmero suficietemete grade de termos a soma ifiita tora-se arbitrariamete próima de S. Formalmete, temos a seguite defiição: Defiição.A A série a é dita covergete quado a sequêcia {S } de suas somas parciais for covergete. Neste caso, a soma da série é o limite da sequêcia {S }, isto é: a lim S Quado uma série ão for covergete ela será deomiada série divergete. Neste caso, a sequêcia de somas parciais {S } é divergete, isto é, ão tem limite. Eemplos Os primeiros eemplos: série geométrica, série harmôica e série de ecaie 9

12 (a) Série Geométrica A série r em que o termo geral é a r deomia-se série geométrica de razão r. Neste caso as somas parciais são dadas por: S r r L r r e o caso em que r, teremos S, obtida como -ésima soma de uma progressão geométrica de r razão r. A covergêcia da série geométrica depede do valor da razão r e será ivestigada por etapas. Para cada úmero atural, temos: S a a a L a a S a, S de modo que S S a e o caso em que r ± teremos a ( ). Assim, S S e a sequêcia de somas parciais{s } é divergete e, cosequetemete, a série geométrica também diverge. Dialogado e Costruido Cohecimeto Alerta! Recorde-se que, se uma sequêcia {S } coverge, etão as distâcias etre dois termos cosecutivos S S aproimam-se de zero, com r Quado r ±, etão S e há dois casos a cosiderar: r º Caso: r < Neste caso a sequêcia {r } coverge para zero e, portato, a lims /( r). Logo, a série geométrica é covergete e tem soma /( r); º Caso: r > Neste caso, a sequêcia {/r } coverge para zero, porque /r < e, cosequetemete, r o que os leva a cocluir que a sequêcia {r } é divergete, o mesmo ocorredo com a sequêcia de somas parciais {S }. Assim, a série geométrica diverge. Resumo Se r <, etão a série geométrica r coverge e tem soma /( r). Se r a série é diverge. (b) Série Harmôica A série / recebe o ome de série harmôica devido à semelhaça de seus termos aos ós em uma corda vibrado (ota musical). Por eemplo, / produz um harmôico igual ao dobro da frequêcia fudametal, / produz um harmôico igual ao triplo da frequêcia fudametal e assim por diate. Como vimos a eplaação do tema, a série harmôica é divergete, já que. / (c) Série de Ecaie Uma série do tipo ( b b ) ( b b ) L ( b b ) L em que os termos se ecaiam é represetada simbolicamete por ( b ) b e é deomiada série de ecaie. A -ésima soma parcial dessa série é: S b b ) ( b b ) L ( b b ) ( b b b b, de ode deduzimos que: ( ) Se b B, etão S b B e a série ( b b é covergete e tem soma b B; )

13 Se a sequêcia {b } diverge, etão a sequêcia {S } e, cosequetemete, a série ( b ) b também diverge. Como ilustração, vamos ivestigar a covergêcia da série log. Em primeiro lugar observamos que a série se escreve sob a forma ( b ) b, com b log, e, portato, trata-se uma série de ecaie. Como a sequêcia b log é divergete (tem limite ), etão a série de ecaie também diverge. Outra série que se equadra este modelo é a série. Se cosiderarmos a decomposição a série idetifica-se com a série de ecaie ( b ) b, com b /. Temos que b e limb e, sedo assim, a série é covergete e tem soma: b limb. Ampliado seu Cohecimeto Raciociado corretamete Quado estudamos séries uméricas pela primeira vez somos iduzidos a pesar que a covergêcia do termo geral a é quem determia a covergêcia da série. Os primeiros eemplos os mostram que o termo geral de uma série divergete pode ter limite zero, como ocorre com a série harmôica. Portato, a covergêcia do termo geral a ão implica a covergêcia da série a. O raciocíio correto é: se a sequêcia de somas parciais {S } for covergete, etão a série será covergete. Critério do -ésimo termo Se a série a é covergete, etão o termo geral a tem limite zero. Em outras palavras, se o termo geral a ão coverge ou tem limite diferete de zero, etão a série a é divergete. Demostração: A demostração baseia-se em um fato que já utilizamos outras vezes: se uma sequêcia é covergete, etão a distâcia etre dois termos cosecutivos tem limite zero. Ora, a série ser covergete sigifica que a sequêcia {S } de somas parciais coverge e como a S S -, etão o termo geral a coverge para zero. A codição lima ão dá iformação sobre a covergêcia da série a, sedo ecessária uma ivestigação adicioal para determiar a covergêcia ou ão da série. O critério do -ésimo termo é utilizado como um critério de divergêcia, como sugere o seguite diagrama:

14 Mais eemplos As séries ( ) e /( ) são divergetes. A primeira porque o termo geral a ( ) ão tem limite (é divergete) e a seguda porque o termo geral a /() embora covergete, ão tem limite zero. Em ambos os casos o critério do -ésimo termo foi utilizado. Como cosequêcia das propriedades básicas do limite, demostram-se as seguites propriedades para séries uméricas: Operações com séries Sejam a e b duas séries uméricas e seja λ uma costate. Se a e b são covergetes, etão ( a ) b e ( λa ) também covergem e valem as relações: ( a ) b a b e ( λ a ) λ a ; Se a coverge e b diverge, etão ( a ) b diverge; Se a diverge e λ, etão ( λ a ) diverge. Para ilustrar, vamos demostrar a primeira propriedade: a soma de duas séries covergetes produz uma série covergete. De fato, represetado por {S } e {R } as somas parciais das séries covergetes a e b, respectivamete, etão a -ésima soma parcial da série ( a b ) é: U ( a ( a b ) ( a b ) ( a b ) L( a b ) a a L a ) ( b b b L b ) S R. Como {S } e {R } são covergetes, etão {U } é covergete e limu lims limr Dialogado e Costruido Cohecimeto Escrevedo para apreder As demais operações com séries listadas acima são demostradas de maeira similar. Escreva as demostrações usado os seguites fatos sobre sequêcias que você apredeu a uidade I: Se S L, etão λ S λl; Se {S } é divergete e λ, etão {λs } também diverge; Se {S } coverge e {R } diverge, etão {S R } diverge. Eemplos (a) A série (/ / ) é divergete, porque / diverge e (b) A serie [(/ ) (/ ) ] (/ ) coverge; é covergete, porque (/ ) e (/ ) são covergetes. A soma da série é calculada com auílio da fórmula padrão da soma de uma série geométrica. Temos: (/ ) (/ ) / (razão r /); / (/ ) (razão r /). / Logo, [(/ ) (/ ) ] / 5/.

15 (c) Pode ocorrer de / e [ /( ) ] ecaie a e b serem divergetes e ( a b ) covergir. De fato, as séries são divergetes e, aida assim, a soma termo a termo é a série de covergete. A atureza (covergete ou divergete) de uma série ão é alterada quado acrescetamos ou omitimos uma quatidade fiita de termos. Por eemplo, as séries / e / são ambas divergetes, porque elas 5 diferem em eatamete quatro termos. Já as séries (/ ) e (/ ) diferem em ove termos e são ambas covergetes, embora teham somas diferetes. De forma geral, temos o seguite: se duas séries diferem em uma quatidade fiita de termos, etão ambas são covergetes ou ambas são divergetes. No Moodle... Na plataforma MOODLE ecotram-se diversas questões que já podem ser respodidas para fiação da teoria. Lá você vai ecotrar questões do tipo Falso (F) ou Verdadeiro (V), algus problemas práticos de aplicação da série geométrica e séries para testar a covergêcia.. Séries de termos positivos Nesta seção vamos ivestigar, por meio de critérios específicos, a covergêcia de uma série a em que todos os termos a são positivos. Para tal série, a sequêcia de somas parciais {S } é moótoa crescete e sua covergêcia está codicioada à sua limitação. Uma série a ode cada termo a é maior do que zero é deomiada série de termos positivos. O primeiro critério específico para séries de termos positivos que abordaremos cohecido como Critério da Itegral relacioa a soma discreta (série) com a soma cotíua (itegral). Critério da Itegral Cosideremos uma fução f:[, ) cotíua e supohamos que f seja ão egativa e ão crescete, isto é: (a) f(), para ; e (b) f() f(y), sempre que y. Nessas codições, se a f() etão a série f ( ) d for covergete. a é covergete se, e somete se, a itegral imprópria Demostração: Supohamos que a fução f teha o aspecto mostrado a figura.b abaio e comparemos as áreas dos retâgulos com a área sob o gráfico de f. Temos: a a L a f ( ) d a a La, isto é: S a R S,, ode S a a a é a -ésima soma parcial da série e R f ( ) d. Sedo as sequêcias {S } e {R } moótoas, segue das desigualdades acima que a limitação e, portato, a covergêcia de uma delas implica a limitação e, por coseguite, a covergêcia, da outra. Isso prova que as sequêcias {S } e {R } são ambas covergetes ou ambas divergetes

16 Eemplos (a) A fução f()/² atede às codições do Critério da Itegral o itervalo [, ). De fato, esse itervalo a fução é claramete cotíua e ão egativa e como a derivada f () /³ é egativa, para, etão f() é decrescete. A itegral imprópria ( / ) d é covergete (seu valor é igual a ) e, por coseguite, a série correspodete / coverge. (b) Para, a fução f() /(log) também atede às codições do Critério da Itegral (verifique!) B e a itegral imprópria [ /( log ) ] d limlog(log ) /( log ) também diverge. sedo divergete deduzimos que a série B (c) Cosideremos agora a fução f ( ) e, defiida para. Não é difícil verificar que as codições do Critério da Itegral são atedidas também este caso e que a itegral imprópria d e coverge para /e. Logo, a série e é covergete... p-séries Uma classe importate de séries uméricas é aquela costituída das séries do tipo p /, que levam o ome de p-séries e que são bastate utilizadas como séries de prova os critérios de comparação. O termo geral a / p tem limite, quado p, e limite, quado p <. Em ambos os casos o critério do -ésimo termo estabelece a divergêcia da série. No caso p > a covergêcia das p-séries será determiada pelo critério da itegral e iiciamos a ivestigação recordado algumas itegrais impróprias elemetares. Se p >, a fução f() / p, defiida para, atede às codições do critério da itegral (verifique!) e temos: a) se p, etão b) se p, etão (/ ) d lim B B (/ ) d lim log B B p B p p p, se < p < (/ ) d lim d lim lim( B ). B B p p B /( p), se p > B Assim, a itegral imprópria ( / p ) d coverge apeas quado p > de ode deduzimos, pelo critério da itegral, que a p-série p / coverge quado p > e diverge quado p. No quadro abaio mostramos algumas p-séries covergetes e outras divergetes. 4

17 p-séries covergetes / / / / 5 / p-séries divergetes / / / /.. Comparação de séries Recordemos os seguites fatos para séries de termos positivos: (a) a sequêcia {S } de somas parciais é moótoa crescete e será covergete se, e somete se, for limitada; (b) se a série a é domiada pela série b, isto é, se a b, para todo, etão as respectivas somas parciais {S } e {R } satisfazem a relação S R, para todo. Esses fatos, jutamete com o critério da covergêcia moótoa para sequêcias estabelecem o seguite critério de covergêcia para séries cohecido como Critério da Comparação. Critério da Comparação Sejam a e (a) Se a série (b) Se a série b duas séries de termos positivos. b coverge e a b, para todo, etão a série b diverge e a b, para todo, etão a série a também coverge. a também diverge. Demostração: As afirmações (a) e (b) são equivaletes e provaremos apeas a parte (a). Supohamos etão a b e que b coverge. Sejam {S } e {R } as somas parciais das séries a e b, respectivamete. Como {R } é uma sequêcia limitada, por ser covergete, e S R, para todo, etão {S }, além de moótoa, é limitada e, portato, covergete. Logo, a série a coverge. Dialogado e Costruido Cohecimeto Embora os resultados que evolvem uma série domiada por outra sejam, em geral, euciados e demostrados admitido-se que este domíio ocorra para todos os termos das séries, eles cotiuam válidos quado uma das séries é domiada pela outra a partir de determiada ordem. Eemplos (a) Se, etão log e, portato, (log )/ (/). Como a série harmôica / é divergete segue do critério da comparação que a série (log ) / é também divergete. (b) As séries! e são covergetes, já que elas são domiadas, respectivamete, pelas séries covergetes e. 5

18 (c) Se a série domiada (a meor) for covergete, etão a série domiate (a maior) pode covergir ou divergir. Por eemplo, a série covergete é domiada pela série divergete. De modo aálogo, se a série domiate for divergete, etão a série domiada pode covergir ou divergir. Ao aplicarmos o Critério da Comparação, a série de prova b que desejamos ecotrar, além de atureza cohecida, deve ateder à codição a b ou a b, coforme o caso, para todo úmero atural a partir de certo ídice N. Depededo da epressão que defie o termo geral a, a desigualdade a b (ou a b ) pode ser de difícil verificação e o critério da comparação dado a seguir é em geral mais fácil de ser aplicado porque, uma vez escolhida a série de prova b, ossas coclusões depedem tãosomete do limite da razão a /b, com. Critério da Comparação o Limite Sejam a e (a) Se l > as séries (b) Se l e (c) Se l e b duas séries de termos positivos e seja l lim( a / b ). a e b coverge, etão b é divergete, etão b são ambas covergetes ou ambas divergetes; a também coverge; a também é divergete. Quado o termo geral a é um quociete, um bom camiho para se chegar a uma série de prova b adequada ao Critério da Comparação o Limite se obtém coservado o umerador e o deomiador de a apeas os termos domiates (termos de maior grau o caso de poliômios). Por eemplo, para a série 6 temos a ( 6 ) /(5 4) e coservado os termos domiates o 5 4 umerador e o deomiador obtemos b 6 /(5) 6 / 5. Como lim( a / ) > e a p-série b diverge, etão a também diverge. b Eemplo Com o critério da comparação o limite deduzimos que as séries e e se 4 (/ ) são co- vergetes. Basta compará-las com as p-séries covergetes / e 4 /, e otar que:. Séries Alteradas 4 lim e se (/ ) e lim. / / 4 A sequêcia {S } de somas parciais de uma série de termos positivos a é crescete e sua covergêcia é decorrete da sua limitação. Esse foi o argumeto usado a demostração de critérios de covergêcia estudados até aqui, mais especificamete os Critérios da Comparação e da Itegral, os quais são válidos apeas para séries de termos positivos. A restrição do Critério da Comparação às séries de termos 6

19 positivos tora-se clara quado cosideramos a série ( ) que é domiada pela série covergete / e, aida assim, ão coverge. O critério da comparação o limite também ão se aplica se uma das séries ão for de termos positivos. Se cosiderarmos série b, como veremos adiate, coverge e, cotudo, a ( ) e b, etão lim(a /b ), a a diverge. Neste caso o critério da comparação o limite ão se aplica porque a série de prova ( ) tem seus termos alteradamete positivos e egativos e, por essa razão, ela recebe o ome de série alterada ou série de Leibiz. As séries alteradas aparecem, por eemplo, o estudo de feômeos odulatórios, cujo modelo matemático tem por solução fuções represetadas por séries trigoométricas (Séries de Fourier): u(, t) [ a cos( πt / L) b se( πt / L) ] se( π / L), ode os coeficietes a e b que aparecem a série determiam a posição iicial e a velocidade iicial, respectivamete, de um poto da oda. As séries alteradas se apresetam em uma das seguites formas: ou b b b L ( ) b L ( ) b ode {b } é uma sequêcia de termos positivos. b b b L ( ) b L ( ) Ampliado seu Cohecimeto Jea-Baptiste Joseph Fourier foi um matemático e físico fracês, celebrado por iiciar a ivestigação sobre a decomposição de fuções periódicas em séries trigoométricas covergetes chamadas séries de Fourier e a sua aplicação aos problemas da codução do calor. A Trasformada de Fourier foi desigada em sua homeagem. b Critério de Leibiz Seja {b } uma sequêcia de termos positivos, moótoa decrescete e tal que lim b. Etão a série alterada ( ) b é covergete e se {S } represeta a sequêcia de somas parciais da série, etão para cada a soma S satisfaz as seguite estimativa: S S S Demostração: Um esboço da demostração é ilustrado a figura.c abaio ode mostramos as primeiras somas parciais da série oscilado de um lado para o outro em toro do alvo S e a distâcia etre duas somas parciais cosecutivas torado-se cada vez meor, porque lim b. Como b decresce, temos que: 7

20 S S S S S S b S S S S 4 b b ( b 44 ( b 4 44 ( b ( b b ) S b ) S b ) S b ) S 4 Prova-se que as somas S decrescem e S - crescem e ambas covergem para S. Assim, deduzimos as estimativas S - S S, que podem ser utilizadas para aproimar a soma da série. Eemplo A sequêcia b / é decrescete, tem limite zero e o critério de Leibiz assegura a covergêcia da série alterada ( ). De modo similar, deduzimos que as séries alteradas ( ) e ( ) são 5 covergetes. Cosiderado os quatro primeiros termos da série ( ), ecotramos S 4 / / / 4.58 que é uma aproimação (por ecesso) da soma da série. Ampliado seu Cohecimeto Gottfried Wilhelm vo Leibiz (Leipzig, de julho de 646 Haover, 4 de ovembro de 76) foi um filósofo, cietista, matemático, diplomata e bibliotecário alemão.a ele é atribuída a criação do termo "fução" (694), que usou para descrever uma quatidade relacioada a uma curva, como, por eemplo, a icliação ou um poto qualquer situado ela. É creditado a Leibiz e a Newto, o desevolvimeto do cálculo modero, em particular o desevolvimeto da Itegral e da Regra do Produto. Demostrou geialidade também os campos da lei, religião, política, história, literatura, lógica, metafísica e filosofia..4 Covergêcia Absoluta Como vimos o último eemplo, a série alterada ( ) é covergete, equato que a série obtida desta, cosiderado cada termo em valor absoluto é a série harmôica divergete. O processo iverso preserva a covergêcia, isto é, se a série a é covergete, etão a série a também coverge. Para comprovar este fato primeiro usamos a relação a a a,, e o critério da comparação para cocluir que a série ( a a ) é covergete. Em seguida, usamos a relação a (a a ) a e deduzimos que a é covergete, como soma de duas séries covergetes. Além disso, se S 8

21 e R represetam as somas parciais das séries triagular que: a e a S a a... a a a a R,, respectivamete, segue da desigualdade e, portato, lim S lim R. Assim, a a. Esses cometários motivam as defiições de Covergêcia Absoluta e Covergêcia Codicioal dadas a seguir. Defiição.B A série a deomia-se absolutamete covergete quado a série a for covergete. Eemplo As séries ( ) e ( ) covergem absolutamete. A série ( ) embora covergete, ão coverge absolutamete, coforme observamos o iício desta seção. A covergêcia dessa última série é de atureza codicioal. Defiição.C A série divergete. a deomia-se codicioalmete covergete se for covergete e a série a for A atureza da covergêcia (absoluta ou codicioal) irá decidir se as somas ifiitas se comportam como somas fiitas, com respeito ao reagrupameto de seus termos. Em uma soma fiita, é claro, seus termos podem ser reagrupados (ou rearrajados) sem que o valor da soma seja alterado. Nesse aspecto uma série absolutamete covergete se comporta como uma soma fiita. Isso é estabelecido pelo seguite critério: Critério do Reagrupameto Se a série a coverge absolutamete e tem soma S, etão a série b obtida da série a por um reagrupameto de seus termos é absolutamete covergete e tem soma S. Em uma série codicioalmete covergete, um reagrupameto de seus termos pode alterar o valor de sua soma e até tora-la divergete..4. O Critério da Razão O critério de covergêcia que daremos a seguir, embora ão coclusivo em algus casos, costituise em um dos mais importates (seão o mais importate) detre os critérios de covergêcia para séries uméricas, ão apeas do poto de vista técico como também as aplicações às Séries de Potêcias que serão abordadas a próima uidade. Critério da Razão Dada uma série a a, com a,, seja L lim. a (a) Se L <, etão a série coverge absolutamete; (b) Se L > ou L, etão a série diverge. 9

22 Eemplo Cosideremos a série ( ) ( ) em que o termo geral é a. Temos:!! lim a ( ) ( )! ( ) L lim lim ( )! ( ). a Como L<, etão a série ( ) coverge absolutamete.! Eemplo Para as séries ( ), ( ) e, o limite da razão a / a é igual a e o Critério da Razão ão se aplica. A covergêcia deve ser ivestigada por outros argumetos. A primeira coverge ( ) absolutamete, porque é covergete. A seguda, coforme foi estabelecido, coverge codicioalmete e a terceira é a série harmôica divergete. Este eemplo mostra que o Critério da Razão ão se aplica aos casos em que a razão a / a tem limite..4. Estratégia para testar a covergêcia de uma série Nos fudametos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a covergêcia ou divergêcia de uma série umérica e a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determiada série. Essa dificuldade também surge quado se itegra fuções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresetamos um roteiro que poderá ajudar a ivestigação.. Se lim a ou a sequêcia {a } é divergete o critério do -ésimo termo deve ser usado para cocluir que a série a diverge;. Se a série é da forma α r ela é uma série geométrica, que coverge para α/( r) se r < e diverge se r ;. Se a série é da forma ( b b ) ela é uma série de ecaie, que coverge para b limb, se {b } covergir. Se {b } divergir a série de ecaie também diverge; 4. Se a série é da forma p / ela é uma p-série e será covergete apeas quado p > ; 5. Nos outros casos teta-se o Teste da Razão seguido o esquema: No Moodle Com as uidades I e II motamos o ceário para a apresetação do persoagem pricipal as séries de potêcias que discutiremos a próima uidade. É fudametal você se familiarizar com os coceitos e critérios de covergêcia para sequêcias e séries uméricas e, por isso, recomedamos que você vá à plataforma MOODLE e resolva os eercícios para a fiação da teoria.

23 Uidade III Séries de Potêcias. Situado a Temática O objetivo pricipal desta uidade é represetar as fuções elemetares do cálculo como séries de potêcias, que são aquelas séries cujos termos cotêm potêcias de uma variável. Ao mesmo tempo apresetaremos uma técica que os permite aproimar fuções por poliômios.. Problematizado a Temática As séries de potêcias aparecem em muitos problemas da Física-Matemática, como por eemplo, em feômeos odulatórios e distribuição de temperatura em placas, ode recorremos às fuções de Bessel: k ( ) ( / ) J k ( )!( k)! que são tipos especiais de séries de potêcias, para descrever determiados modelos. Além de produzir aproimações poliomiais, as séries de potêcias forecem uma maeira eficiete de avaliar itegral ão elemetar, a eemplo da itegral e d, e resolver equações difereciais que os permitem compreeder feômeos físicos como a trasmissão de calor e de siais e vibrações.. Cohecedo a Temática. Fudametos Gerais São séries de potêcias as séries do tipo: c c ( a) c ( a) c ( a) L c ( a) L represetadas simbolicamete por:, c ( a), ode, por simplicidade, covecioamos ( a), quado a. Se cosiderarmos a série c, para todo, a série se tora uma série geométrica de razão a, covergete quado a <. O úmero real a deomia-se cetro da série e os úmeros c os coeficietes. Um caso particular ocorre quado a e, este caso, a série de potêcias resultate será: c c c c L c L simbolicamete represetada por:, c ode, mais uma vez, covecioamos, quado. Ao lidarmos com séries de potêcias, duas pergutas aturais que surgem são: para que valores reais atribuídos a a série de potêcias é covergete? Se f é a fução represetada pela série, qual a relação etre f e os coeficietes c da série? É claro que toda série de potêcias do tipo c ( a) é covergete quado a, sedo, este caso, a soma da série igual a c. O cojuto dos valores reais atribuídos a que toram a série de potêcias covergete é, portato, ão vazio e para tal a série represeta um úmero real que é a sua soma. Dessa forma, a série de potêcias c ( a) defie uma fução real f cujo valor em é: f ( ) c ( a)

24 e cujo domíio é precisamete o cojuto dos úmeros para os quais a série coverge. Uma série de potêcias se assemelha a um poliômio, com a difereça de possuir uma ifiidade de termos, e a fução que ela represeta é aproimada em seu domíio (itervalo de covergêcia) pelos poliômios S, que são as somas parciais da série. As relações etre a fução f e os coeficietes c da série serão estabelecidas a Seção.. Os valores de que toram uma série de potêcias covergete serão determiados pelo Critério da Razão, sedo o caso etremo (L ) aalisado em separado. Para ilustrar algumas situações, admitiremos que as operações Derivação e Itegração sejam possíveis termo a termo para séries. É claro que podemos derivar e itegrar termo a termo o caso de uma soma fiita e as geeralizações para somas ifiitas trataremos adiate a Seção... Eemplo Represetado a fução e em séries de potêcias A série de potêcias é absolutamete covergete para qualquer valor da variável. Para comprovar! esse fato, observamos que o termo geral da série é a ⁿ/! e: a L lim a! lim ( )! lim,. Como L, idepedetemete do valor real que se atribua a, segue do Critério da Razão que a série coverge absolutamete, seja qual for o valor real assumido pela variável, e, sedo assim, podemos defiir uma fução real f: por: f ( ) L L.!!! Formalmete, derivamos termo a termo a fução f com respeito à variável e ecotramos: f ( ) ( )! f ( ) e, por coseguite, a fução f() satisfaz à equação diferecial: f ( ) f ( ) para qualquer valor de. Para deduzir que f() e, basta observarmos que: d d f ( ) e f ( ) e f ( ), e, portato, f() Ce, sedo C uma costate. Notado que f(), segue que C e obtemos f() e, para todo. Assim, obtivemos a seguite série de potêcias para represetar a fução epoecial: e! e esta represetação é válida seja qual for o valor de real. Nota histórica Por volta de 748 Leohard Euler usou a represetação em série de potêcias de e, com, para obter o valor do úmero e com dígitos. Em, X. Gourdo e S. Kodo usaram a mesma represetação e técicas especiais e obtiveram o valor para e com mais de bilhões de casas decimais. Cosulte <

25 Ampliado seu Cohecimeto Leohard Euler Origem: Wikipédia, a eciclopédia livre. Leohard Paul Euler (Basileia, 5 de Abril de 77 - São Petersburgo, 8 de Setembro de 78) foi um matemático e físico suíço de lígua alemã que passou a maior parte de sua vida a Rússia e a Alemaha. Euler fez importates descobertas em campos variados os Cálculos e Teoria dos Grafos. Ele também fez muitas cotribuições para a matemática modera o campo da termiologia e otação, em especial para a Aálise Matemática, como a oção de uma fução matemática. Além disso, ficou famoso por seus trabalhos em mecâica, ótica e astroomia. Euler é cosiderado o mais proemiete matemático do século XVIII. Foi também um dos mais prolíficos.uma declaração atribuída a Pierre-Simo Laplace maifestada sobre Euler a sua ifluêcia sobre a matemática: Leia Euler, leia Euler, ele é o comadate de todos ós. Na figura.a eibimos os gráficos da fução e e das primeiras somas parciais da série e ode! observamos que à medida que aumeta o gráfico da -ésima soma S aproima-se do gráfico da fução e. Eemplo Um valor aproimado para e t dt Se a série de e a variável for substituída por t², obteremos: t t e,! para qualquer valor de t, e itegrado de até, termo a termo, resultará: t t t t dt dt!!( )!( ) t e. A itegral que aparece o lado esquerdo da relação acima ão pode ser calculada pelos métodos elemetares do cálculo itegral e essa relação permite que ela seja calculada umericamete. Aí está uma boa razão para represetarmos as fuções elemetares do cálculo por séries de potêcias. Por eemplo, aproimado a série pela soma parcial S 4, obtemos: Eemplo e t dt Represetação para log() e arctg Vimos a uidade II que a série geométrica é covergete quado <, e somete este caso. Quado aplicamos o Critério da Razão a essa série deduzimos que para esses valores de a covergêcia é absoluta e coforme estabelecemos:

26 , < <. Se a última igualdade trocarmos por e depois por ², obteremos, respectivamete: ( ) e ( ), < <. Por itegração termo a termo de até, < <, resulta, respectivamete: ( ) log( ) e arctg ( ), < <. Usado o Critério de Leibiz para séries alteradas podemos verificar sem maiores dificuldades que a série de potêcias que represeta arctg ecotrada acima também coverge quado ±. O que ão é óbvio, embora seja verdadeiro, é que a represetação é aida válida em ± e cosiderado, ecotramos a fórmula de Leibiz para o úmero π: π L. Eemplo Represetação para log em série de potêcias de Para represetar a fução log por uma série de potêcias de, procedemos como o eemplo precedete e começamos escrevedo: ( ) ( t ), para t <, t ( t ) e itegrado essa igualdade, termo a termo, de até, ecotramos: ( ) ( ) log, represetação válida para <, isto é, < <. Eistem séries de potêcias que covergem em um úico valor de, como é o caso da série!, que coverge somete quado, porque este caso: a, se L lim lim( ) a, se e eistem séries para as quais o cojuto de valores de ode elas covergem é maior do que aquele determiado pelo critério da razão. Isso ocorre quado o caso etremo L é aalisado separadamete, forecedo dois valores para ode a série pode covergir absolutamete ou covergir codicioalmete. No caso da série que represeta a fução arctg ela coverge, também, os potos ±, obtidos a partir de L. Outro eemplo que ilustra essa situação é dado a seguir. Eemplo Usado o critério da razão Apliquemos o critério da razão à série L ( ). Neste caso temos: a ( ) lim lim a ( ) lim 4

27 e, portato, a série coverge absolutamete quado <, o que equivale a < < 4, e diverge quado >. Essa é a iformação cotida o critério da razão e a covergêcia da série as etremidades desse itervalo ão pode ser prevista atecipadamete. Esse é o caso etremo L que será aalisado agora. A equação tem soluções 4 e e, levado estes valores a série origial, obtemos a série divergete, para 4, e a série (codicioalmete) covergete ( ), para. Portato, o cojuto dos valores de que toram a série covergete é o itervalo semiaberto < 4... Itervalo de covergêcia Nos eemplos apresetados o iício desta seção, verificamos que uma série de potêcias c ( a) pode covergir apeas quado a, pode covergir absolutamete em qualquer valor de ou pode ser absolutamete covergete em um itervalo a < R e divergete quado a > R, podedo ser covergete ou ão os etremos desse itervalo. Esse úmero real R, que é o raio do itervalo, é deomiado raio de covergêcia da série e o itervalo correspodete é o itervalo de covergêcia. O itervalo de covergêcia de uma série de potêcias pode ser de qualquer um dos seguites tipos: (a R, a R), [ a R, a R), ( a R, ar] ou [a R, a R], depededo da covergêcia ou ão da série os etremos do itervalo. As iformações forecidas pelo critério da razão estão ilustradas a figura.b abaio. Para séries de potêcias do tipo c, ode o cetro é a, o itervalo de covergêcia pode ser de qualquer um dos tipos [ R, R], [ R, R), ( R, R] ou ( R, R). Na tabela abaio ilustramos essas situações com algumas séries apresetadas a itrodução, idicado as respectivas fuções que elas represetam o itervalo de covergêcia. Adiate formalizaremos os resultados para séries de potêcias em geral. Teorema. série raio de covergêcia itervalo de covergêcia e R (, )!! R {} R (,) ( ) R (,) ( ) arctg R [,] Com relação à série de potêcias c ( a) (a) a série coverge apeas quado a;, apeas uma das codições abaio se verifica: 5

28 (b) a série coverge absolutamete para qualquer valor que se atribua a ; (c) eiste um úmero real R >, deomiado raio de covergêcia, tal que a série coverge absolutamete quado a < R e diverge quado a > R.. Com relação ao raio de covergêcia R estabelecido o Teorema., os casos em que ocorrer a codição (a) diremos que o raio de covergêcia é R e quado a série for covergete em qualquer valor de diremos que o raio de covergêcia da série é R. Assim, toda série de potêcias tem um raio de covergêcia que pode ser zero, um úmero real positivo ou. Uma maeira prática de calcular o raio de covergêcia de uma série de potêcias é estabelecida a seguir. Teorema. Se o limite l lim c /c eiste e é diferete de zero, etão o raio de covergêcia R da série k p c ( a), sedo k >, é igual a (/l) /k. Se l, etão R e se l, etão R. k p ( a e temos: Demostração: Represetado por a o termo geral da série, etão a c ) k k p a c ( a) k c L lim lim a lim a k p a c ( a) c e usado o critério da razão deduzimos que: se l, etão L e a série coverge absolutamete em qualquer valor que se atribua a e, este caso, R ; se l, etão a úica possibilidade de se ter L < ocorre quado a e, este caso, R ; fialmete, se < l <, etão a série coverge absolutamete se a k l <, isto é, a < (/l) /k e diverge se a k l >, isto é, a l > (/l) /k. Neste caso deduzimos que R (/l) /k. Eemplo Na série!( 5) vemos que a 5 e c!/ⁿ, de modo que: l c ( )! lim lim c! lim. Assim, R e a série coverge apeas quado 5. Procededo de maeira iteiramete aáloga com a série ( ) ( 4), obtemos:! c l lim c! lim ( )! o que idica ser R e a série coverge absolutamete para qualquer valor atribuído a. O itervalo de covergêcia, este caso, é (, ). Eemplo Cosideremos a série 4, ode temos a, k e c 4 /, de modo que c 4 l lim lim 4 lim c ( ) 4 ( ) Assim, R (/4) / / e a série coverge absolutamete quado < / e diverge quado > /. Nos potos etremos ±/ obtemos a p-série covergete /². Logo, a série coverge absolutamete o itervalo [ /, /]. 4 k l 6

29 7.. Derivação e Itegração Como observamos ateriormete, uma série de potêcias ) ( a c defie uma fução real cujo domíio é o itervalo de covergêcia da série. A série derivada ) ( a c, que é obtida por derivação termo a termo, tem o mesmo raio de covergêcia da série origial, o que é facilmete comprovado, otado-se que: c c c c c c lim lim lim ) ( lim, quado o último limite eistir. O mesmo é válido para a série itegral ) ( a c e, este caso: c c c c c c lim lim lim lim, ode, mais uma vez, admitimos a eistêcia do último limite. Os processos de derivação e itegração termo a termo para série de potêcias são motivados pelas fuções poliomiais, para as quais essas operações são óbvias. Formalmete temos os resultados seguites: Teorema. (derivação termo a termo) Se a série ) ( a c tem raio de covergêcia R >, etão a série ) ( a c, obtida por derivação termo a termo, tem raio de covergêcia R, a fução ) ( ) ( a c f é derivável o itervalo (a R, ar) e este itervalo ) ( ) ( a c f. Teorema.4 (itegração termo a termo) Se a série ) ( ) ( a c f tem raio de covergêcia R >, etão a série ) ( a c, obtida por itegração termo a termo, tem raio de covergêcia R e para cada o itervalo de covergêcia ) ( ) ( ) ( t a t a a c a t c dt t f. Esses teoremas sobre derivação e itegração de séries de potêcias justificam pleamete aquelas operações feitas a itrodução, quado obtivemos o desevolvimeto de algumas fuções em séries de potêcias. Naquela ocasião efetuamos, formalmete, a derivação e a itegração termo a termo. As demostrações desses teoremas podem ser ecotradas as referêcias bibliográficas. Eemplo Como veremos adiate, a fução se é represetada o itervalo (, ) pela série: L L )! ( ) ( 5!! 5 se e por derivação termo a termo obtemos a seguite represetação em série para a fução cos :

30 4 ( ) cos L L, < <.! 4! ()! Em símbolos essas séries se escrevem sob a forma: ( ) ( ) se e cos ( )! ()!, < < Combiado as séries de se e cos e usado algus artifícios simples ecotramos séries que represetam as fuções se², cos² e ²se. Por eemplo, a série de se² é obtida usado a relação se² ( cos)/ jutamete com a série que represeta cos, com o lugar de. Veja este procedimeto passo-a-passo: ( ) ( ) () ( ) 4 cos cos ()! ()! ()! cos ( ) 4 ()! se cos ( ) 4 ()! Já a série de ²se é obtida simplesmete multiplicado a série de se por ². Neste caso, obtemos: ( ) ( ) se. ( )! ( )! Eemplo Cosiderado a série geométrica, < <, obtemos por derivação termo a termo a seguite represetação em série para a fução /( ) : d d ( ). d d ( ) Multiplicado a última série por, chegamos a: 4 4 L ( ). Séries de Taylor e de Maclauri As fuções e e ( ) foram represetadas em séries de potêcias sem maiores dificuldades; o primeiro caso, usamos derivação termo a termo e, o segudo, uma série geométrica. Eistem fuções que, embora ifiitamete deriváveis em um poto a, ão podem ser represetadas as proimidades de a por uma série de potêcias de a. As fuções que podem ser represetadas por séries de potêcias de a são aquelas ifiitamete deriváveis em algum itervalo aberto cotedo a e que este itervalo estão arbitrariamete próimas do seu Poliômio de Taylor. Se f() é uma fução derivável até a ordem em um itervalo aberto cotedo a, o Poliômio de Taylor de ordem gerado por f em a é o poliômio P () dado por: ( ) f ( a) f ( a) f ( a) P ( ) f ( a) ( a) ( a) L ( a).!!! Se cosiderarmos a obteremos o Poliômio de Maclauri de f: ( ) f () f () f () P ( ) f () L.!!! No caso da fução f() e, o Poliômio de Maclauri de ordem é: P ( ) L,!!! 8

31 o qual coicide com a -ésima soma parcial S da série que represeta a fução e. Para esta fução, usado o fato que lim (rⁿ/!), seja qual for o úmero real r, deduzimos que se < ξ <, etão ( ) f ( ξ ) lim ( a) ( )! e lim ξ ( a) ( )!. O resultado pricipal desta seção, cohecido como Fórmula de Taylor com Resto, estabelece uma codição ecessária e suficiete para que uma fução ifiitamete derivável possa ser aproimada pelo seu Poliômio de Taylor. Teorema.5 (fórmula de Taylor com resto) Seja f() uma fução derivável até a ordem em um itervalo I cotedo a o seu iterior. Dado qualquer esse itervalo, eiste um úmero ξ etre a e tal que: ( ) f ( ξ ) f ( ) P ( ) ( a). ( )! Além disso, se f é ifiitamete derivável o itervalo I, a sequêcia {P ()} coverge para f() se, e somete se: ( ) f ( ξ ) lim ( a). ( )! O termo de Taylor. Corolário R ( ) ( ) f ( ξ ) ( a) ( )! Se eistirem costates M e r tais que Neste caso, limr (). deomia-se resto da aproimação da fução f pelo seu Poliômio ( ) ( ) f ξ Mr, para todo,,, e todo ξ etre a e, etão Mr a R ( ), para todo. ( )! Se f é uma fução ifiitamete derivável em um itervalo aberto cotedo a e se {S ()} represeta ( ) f ( a) a sequêcia de somas parciais da série ( a), etão a codição limr () os coduz a! lim S ( ) lim P ( ) lim [ f ( ) R ( ) ] f ( ) lim R ( ) f ( ) e, portato, a série coverge para f() em cada do itervalo de covergêcia. Assim, ( ) f ( a) f ( ) ( a)! Em homeagem ao matemático iglês Brook Taylor (685-7), essa série deomia-se Série de Taylor de f em toro de a. No caso em que a, a série de Taylor correspodete recebe o ome de Série de Maclauri de f, em homeagem ao matemático escocês Coli Maclauri ( ) que a popularizou em suas publicações. Eemplo Se f() e, temos que f () (), para todo, e, portato, a série de Maclauri de e é aquela obtida a itrodução. Eemplo Se f() se, etão f(), f (), f (), f (), f (4) (), e assim por diate. De forma () ( ) geral, f ( ξ ) ± seξ e f ( ξ ) ± cosξ e, portato, o resto R () tede para zero, quado, comprovado que a Série de Maclauri de se é de fato aquela que mecioamos a seção aterior.. 9

32 .. Aproimação Poliomial Ao aproimar uma fução f() pelo poliômio de Taylor P () gerado por ela devemos ter em mete dois aspectos: (i) se a aproimação atede as epectativas e (ii) que grau deve ter o poliômio P () para obtermos a precisão desejada. O grau do poliômio determia o úmero de termos que devem ser cosiderados a aproimação e o erro é estimado usado relação R ( ) f ( ) P ( ). Se a série for alterada a estimativa de Leibiz para séries alteradas pode ser utilizada para medir o tamaho do erro. Em qualquer caso podemos usar a Fórmula de Taylor para obtermos: Mr R ( ) a ( )!, ode f ( ) ( ) Mr Eemplo aproimado log( ) por Vamos ecotrar os valores positivos de de modo que ao aproimar log() por o erro ão ultrapasse % do valor de. Na seção. ecotramos ( ) log( ), válida o itervalo < <. Se f() log( ) e < ξ < <, etão f ( ξ ) R ( )! ( ξ )!! e para o erro ão ultrapassar % do valor de, basta cosiderar / < /, isto é, <.. Eemplo aproimação quadrática para f() e Ao cosiderarmos a aproimação quadrática e, o itervalo <., cometemos um erro que pode ser estimado pela Fórmula de Taylor ou pelo Critério de Leibiz, o caso em que <. De fato, o resto é dado por:. f ( ξ ) e (.) 4 R ( ) (.76).! 6 Eemplo o teste da seguda derivada Supohamos que a fução f e suas derivadas f e f sejam cotíuas em um itervalo aberto I cotedo o poto a e cosideremos a aproimação quadrática de f f ( a) f ( ξ ) f ( ) f ( a) ( a) ( a),!! ode ξ está etre a e, coforme estabelece o Teorema de Taylor. Observado a epressão acima deduzimos o Teste da Seguda Derivada para etremos locais: (a) se f (a) e f < o itervalo I, etão f() f(a), para todo o itervalo I e, portato, a fução f tem um máimo local o poto a; (b) se f (a) e f > o itervalo I, etão f() f(a), para todo o itervalo I e, portato, a fução f tem um míimo local o poto a. Ampliado seu Cohecimeto Uma fução f() deomia-se aalítica em a quado ela puder ser represetada por sua Série de Taylor em algum itervalo aberto cotedo a. De acordo com o Teorema de Taylor, uma fução ifiitamete derivável em uma vizihaça de a é aí aalítica se, e somete se, o resto de sua aproimação de Taylor tede para zero, com. Assim, a soma e o produto de fuções aalíticas são aalíticas, como também são aalíticas, além dos poliômios, as demais fuções elemetares do cálculo: e, log, se, cos etc. em seus respectivos domíios. Um fato crucial, porém ão tão óbvio, é que se uma fução f() é aalítica em um itervalo I, ode ela uca se aula, etão a fução /f é também aalítica em I. Com isto queremos efatizar que as fuções racioais são aalíticas em todo itervalo ode o deomiador é diferete de zero.

33 . Série Biomial A epasão biomial simbolicamete represetada por k! k( k )! k k k k k ( y) y y L y, k k j k j j j y k k, ode j k! j!( k e cohecida por biômio de Newto, foi geeralizada por volta de 665 por Newto, o caso em que o epoete k é um úmero fracioário positivo ou egativo, ode ele obteve uma epasão em série ifiita para ( y) k. Motivados pela fórmula biomial de Newto estabelecemos série a de Maclauri da fução f() () α, sedo α um úmero real qualquer, cohecida por série biomial: j)! () α α α(α )²/! α(α ) (α )ⁿ)/!, cujo -ésimo termo é a α(α ) (α )ⁿ)/!. A covergêcia dessa série é determiada pelo teste da razão e, este caso, temos que: a α L lim lim a e, portato, a série biomial coverge absolutamete quado < e diverge quado >. Ampliado seu cohecimeto Ao demostrar a cosistêcia que havia etre o sistema por si idealizado e as leis de Kepler do movimeto dos plaetas, foi o primeiro a demostrar que o movimeto de objetos, tato a Terra como em outros corpos celestes, são goverados pelo mesmo cojuto de leis aturais. O poder uificador e profético de suas leis era cetrado a revolução cietífica, o avaço do heliocetrismo e a difudida oção de que a ivestigação racioal pode revelar o fucioameto mais itríseco da atureza. Em uma pesquisa promovida pela reomada istituição Royal Society, Newto foi cosiderado o cietista que causou maior impacto a história da ciêcia. De persoalidade sóbria, fechada e solitária, para ele, a fução da ciêcia era descobrir leis uiversais e euciá-las de forma precisa e racioal. Eemplo aproimado o valor de. Uma maeira de aproimar o valor de, para um dado o itervalo < <, é usado a série biomial. Neste caso temos α / e aproimado a série biomial pelos quatro primeiros termos, ecotramos:. Se cosiderarmos., ecotraremos a seguite aproimação:. (.) (.) (.)

34 Uidade IV Equações Difereciais Ordiárias de ª Ordem. Situado a Temática As equações difereciais ordiárias (EDO), que são aquelas equações que evolvem uma fução descohecida e suas derivadas ordiárias, são de grade iteresse as ciêcias eatas e em outras áreas do cohecimeto humao, uma vez que muitas leis e relações físicas podem ser formuladas matematicamete por meio de uma equação diferecial ordiária. Nesta uidade desevolveremos algumas técicas para resolver equações difereciais de primeira ordem.. Problematizado a Temática Para motivar o que será desevolvido esta uidade vamos cosiderar algus problemas do cotidiao mostrado as etapas que vão da descrição do feômeo à modelagem do mesmo por meio de uma equação diferecial ordiária. Problema : Decaimeto radioativo A taa de decaimeto relativo de uma quatidade m(t) de massa remaescete, após um tempo t, de uma substâcia radioativa é dada por: m e supohamos que essa taa teha sido determiada em laboratório e seu valor seja costate. A quatidade m() m de substâcia o iício do processo deomia-se dado iicial. Ao par costituído pela equação diferecial e a codição iicial m() m damos o ome de problema de valor iicial e abreviamos PVI. Problema : Crescimeto populacioal Cico ratos, em uma população estável de 5, são itecioalmete ioculados com uma doeça cotagiosa para testar uma teoria de dissemiação da epidemia, segudo a qual a taa da população ifectada é proporcioal ao produto do úmero de ratos ifectados pelo úmero de ratos sem a doeça. Admitido que essa teoria seja correta, qual o tempo ecessário para que a metade da população cotraia a doeça? Se deotarmos por N(t) o úmero de ratos ifectados a população, etão este modelo é descrito pela EDO dn dn kn( 5 N) ou kdt, k > dt N(5 - N) Problema : Variação de Temperatura Um corpo com temperatura descohecida é colocado em um quarto que é matido à temperatura costate de F. Se, após miutos, a temperatura do corpo é F e após miutos é 5F, qual será a temperatura iicial T do corpo? A lei de variação de temperatura de Newto estabelece que: a taa de variação de temperatura de um corpo é proporcioal à difereça de temperatura etre o corpo e o meio ambiete. Se deotarmos por T(t) a temperatura do corpo o istate t e por τ a temperatura ambiete, etão a temperatura T(t) do corpo será goverada pela EDO dt dt dm dt k( T τ ) ou T kt kτ, k >. Se, por eemplo, T < τ teremos T ' > e, este caso, ocorrerá um processo de aquecimeto do corpo. Problema 4: Juro Composto Cotiuamete Supohamos que R$ sejam ivestidos com juros de % ao ao, computados cotiuamete. Qual será o valor ivestido após aos? Se A(t) represeta o valor do ivestimeto após t aos, o modelo matemático que descreve esta situação é: da A dt A()

35 . Cohecedo a Temática. Métodos Elemetares Dada uma fução de três variáveis F(,u,v), suposta cotíua, uma EDO de ª ordem é uma relação do tipo F(,y,y'), ode é a variável idepedete e y y() é uma fução derivável que desejamos ecotrar, de modo que F(,y(),y'()). Por eemplo, a equação y y é desse tipo com F(,u,v) v u e para cada costate C a fução y Ce satisfaz a equação em cada real. As equações difereciais de primeira ordem se apresetam sob duas formas equivaletes: (a) Forma Normal: y f(, y); (b) Forma Diferecial: P(, y)d Q(, y)dy. Para comprovar que essas formas são de fato equivaletes, otamos que: y f (, y) dy f (, y) d e P(, y) P(, y) d Q(, y) dy y Q(, y) a região ode Q(,y) ão é zero. A seguir faremos uma descrição detalhada de algus métodos de resolução para equações difereciais ordiárias de primeira ordem. Nos eemplos ilustrativos usaremos a mesma letra C para represetar diversas costates que vão surgido durate a resolução da equação... EDO Liear Uma EDO liear de primeira ordem se equadra o seguite modelo geral: y a( ) y b( ), ode as fuções a() e b() são supostas cotíuas e y y() é uma fução descohecida que desejamos ecotrar. Essa EDO é classificada como liear de primeira ordem; ela é liear porque é do primeiro grau as variáveis y e y e de primeira ordem porque esta é a ordem da derivada que figura a equação. Ates de descrever o método de resolução para a EDO liear, vamos cosiderar dois eemplos ilustrativos. Primeiro cosideremos a EDO y y e e multipliquemos ambos os lados da equação por e para chegarmos a equação diferecial equivalete e y ye, que pode ser escrita sob a forma compacta (e y). Itegrado essa última equação obtemos: ( e y) d d e y C y ( C) e, sedo C uma costate. Como segudo eemplo, cosideremos a EDO y ( / ) y, > e multipliquemos ambos os lados da equação por para chegarmos a equação diferecial equivalete y y, que pode ser escrita sob a forma compacta (y). Itegrado essa última equação obtemos: ( y ) d d y C y C /, sedo C uma costate.

36 No caso geral procedemos de maeira similar e primeiro multiplicamos ambos os lados da equação por uma fução adequada I(), deomiada fator itegrate, trasformado-a em uma derivada total, e em seguida itegramos formalmete o resultado. Assim, ao multiplicar a EDO pelo fator I() obtemos a equação: y I() a()y I() b() I() e o fator itegrate I() é determiado de modo que y I( ) a( ) yi( ) y I( ) a( ) yi( ) a( ) I( ) I ( ). d [ yi( ) ] d y I( ) yi ( ) A última igualdade os permite escolher I() ep( a()d ) e a EDO se reduz a: d [ y ep( a( ) d) ] b( )ep( a( ) d) d e itegrado essa última igualdade com respeito à variável, ecotramos: y ep( a( ) d) C b( )ep( a( ) d) d [ ] ode C é uma costate arbitrária que será determiada quado for imposta à EDO uma codição iicial. A última epressão egloba todas as soluções da EDO e, por essa razão, ela recebe o ome de solução geral da EDO. Eemplo Resolvedo uma EDO liear Vamos ecotrar a solução geral da EDO: (se)y (cos )y cos, < < π. Para colocar a EDO a forma padrão, dividimos os dois lados da equação por se e obtemos: y (cotg)y (cos)/(se), ode idetificamos a() cotg e b() (cos)/(se). Assim, a solução geral da EDO é: cos y ep( cotg d) C ep( cotg d) d se e usado log(se) como uma primitiva de cotg, chegamos a: cos y ep( log se ) C ep(logse ) d C cos d se se ou seja: y [ C se ] se [ ] Com essa solução geral podemos ecotrar, por eemplo, a solução que atede à codição y(π/), bastado para isso calcular o valor da costate C. Neste caso, fazemos a solução geral π/ e y, ecotramos C e a solução particular procurada será: y [ se] se Eemplo Solução em série de potêcias A EDO liear y y já está a forma padrão, com a() e b(). O fator itegrate este caso é I() ep( a()d) ep(²) e a EDO é equivalete a: 4

37 d d [ ye ] e e por itegração ecotramos a solução geral [ ] y( ) e C e d. A itegral que aparece o lado direito da última igualdade ão pode ser calculada pelos métodos elemetares do cálculo itegral e usado a série de potêcias ecotrada a uidade para represetar a fução e, chegamos a: y ( ) e C.!( ) Eemplo Juro composto cotiuamete Supohamos que R$ sejam ivestidos com juros de %, computados aualmete. A seguite tabela mostra o crescimeto do ivestimeto ao após ao. Iicial após ao após aos após t aos (.) (.) 4.4 (.) t Em geral, ivestido uma quatidade A a uma taa aual de k %, após t aos o ivestimeto será: t A ( k /). Se os juros são compostos, por eemplo, vezes ao ao, etão em cada período de composição a taa de juros é k/ e eistem t períodos de composição em t aos. Nesse caso, o valor ivestido será: k A( t) A k e a tabela a seguir mostra a evolução do ivestimeto de R$, após aos, com juros de % e com várias opções de composição. iicial ( /) composição aual [ ] 6. composição semestral [ /( ) ] 6. 5 composição trimestral 4 [ /(4 ) ] 6. 7 t Se a epressão A ( t) A ( k /) fizermos, etão os juros estão sedo computados cotiuamete e o ivestimeto após t aos será: t t [ A ( k /) ] A lim( k /) A ep( /) A( t) lim kt Derivado a última relação com respeito a t, obtemos: t. da ( k /) A ou A k A, k >, dt de ode cocluímos que, com a composição cotíua de juros, o valor do ivestimeto cresce a uma taa da/dt proporcioal ao valor ivestido. Os mesmos R$ ivestidos a uma taa de %, computados cotiuamete, produz, ao fial de três aos, o motate A() e

38 Eemplo Decaimeto radiotivo A radiação espotâea faz com que a massa m(t) de uma substâcia radioativa dimiua com o tempo e se m é a quatidade iicial da substâcia, etão a equação diferecial dm km ou m km, k > dt mostra que uma substâcia radioativa decai a uma taa proporcioal à quatidade remaescete e o istate t a quatidade de substâcia é determiada por itegração t t m ( s) ds m( s) kds log( m( t)) log m caracterizado um decaimeto epoecial para a massa m(t)... EDO Eata kt m( t) m e kt, Uma EDO a forma diferecial P(, y)d Q(, y) dy é deomiada eata quado eistir uma fução difereciável ϕ(, y) tal que dϕ Pd Qdy. Se P e Q são difereciáveis em um domíio simplesmete coeo, a eistêcia de tal ϕ é equivalete à codição: P Q, y porque a relação dϕ P d Q dy é equivalete ao sistema de equações difereciais ϕ P e ϕ y Q e o domíio ode as derivadas mistas ϕ y e ϕ y coicidirem teremos válida a relação P y Q. Uma tal fução ϕ é deomiada fução potecial e o problema de ecotrar uma fução potecial se reduz a resolver o sistema costituído pelo par de equações ϕ P e ϕ y Q. Se uma fução y() é defiida implicitamete pela equação ϕ (, y()) C, sedo C costate, a Regra da Cadeia os dá: ϕ ϕ y y e usado as relações ϕ P e ϕ y Q cocluímos que P(, y)d Q(, y) dy. Isto sugere deomiar as curvas ϕ(, y) C de curvas itegrais ou curvas soluções da EDO. Eemplo Determiado as curvas itegrais Vamos determiar as curvas itegrais da EDO (² y²)d ydy. Em primeiro lugar observamos tratar-se de uma EDO de primeira ordem eata, porque: P(, y) y P y Q(, y) y Q y y e, portato, P y Q. Neste caso, o sistema ϕ P e ϕ y Q se reduz a: ϕ y ( I) ϕ y y ( II) e itegrado (I), com respeito à variável, obtemos ϕ (, y) ( y ) d d y d y C( y) ode C(y) é a costate de itegração. Agora, derivado a fução ϕ(, y) com relação à variável y e usado (II), obtemos y C (y) y, isto é, C (y) e, portato, C(y) k, k costate. Fialmete, obtemos a família de fuções poteciais: ϕ(, y) y k 6

39 e as curvas itegrais são dadas por ³ y² C, ode C represeta diversas costates que aparecem durate a busca da fução potecial. A curva itegral que passa pelo poto (,) é ³ y² e a solução y() que satisfaz ao dado y() é y( ) /, defiida as proimidades de. O potecial como itegral de liha É oportuo observar que o problema de ecotrar o potecial para uma EDO eata se reduz a calcular a itegral de liha: ϕ (, y) B P(, y) d Q(, y) dy A e como essa itegral idepede do camiho, podemos cosiderar o camiho poligoal da figura ao lado e obtemos: y ϕ (, y) P( t, b) dt Q(, t) dt.. EDO Separável a Vamos cosiderar agora equações difereciais do tipo: b a()p(y) d b()q(y) dy ode as fuções a(), b(), p(y) e q(y) são supostas cotíuas. As variáveis e y que aparecem os coeficietes da EDO podem ser separadas e isso motivou o ome de EDO separável para essa classe de equações difereciais. Multiplicado a EDO pelo fator itegrate I(, y) /[b()p(y)], ela se reduz à forma a() b() d p(y)q(y) dy, cuja família de curvas itegrais é determiada por itegração. Eemplo Trajetórias ortogoais Cosideremos o plao y uma família de curvas a um parâmetro λ descrita pela equação F(,y,λ), ode a fução F é suposta difereciável em alguma região do espaço euclidiao IR³. Para cada valor do parâmetro λ, a equação descreve uma curva o plao y e por difereciação implícita com relação à variável, obtemos a seguite relação: dy F Fy d e supodo F y, resolvemos a última equação para obter dy F, d Fy que represeta a declividade da curva descrita por F(, y, λ). Cada curva do plao y que itercepta ortogoalmete todas as curvas dessa família de curvas F(, y, λ) recebe o ome de trajetória ortogoal da família e a declividade de cada trajetória ortogoal é, portato: dy Fy d F isto é, as trajetórias ortogoais são as curvas que satisfazem à EDO F dy Fyd. Um eemplo típico de trajetórias ortogoais ocorre em um campo eletroestático em que as lihas de força do campo são ortogoais às lihas de potecial costate. Eemplo Cosideremos a família de circuferêcias descritas pela equação ² y² λ, λ >. Temos F(, y, λ) y λ e a EDO este caso é dy yd ou dy/y d/ e uma simples itegração os dá y μ, μ costate, que descreve uma família de retas passado pela origem. Essa família de retas, mostrada a figura ao lado, represeta as trajetórias ortogoais à família de circuferêcias dada. 7

40 Eemplo A EDO dy yd ão é eata, mas as variáveis e y em seus coeficietes podem ser separadas. Neste caso, cosideramos para fator itegrate a fução I(, y) /y e multiplicado a EDO por este fator itegrate ela tora-se equivalete a (/y) dy (/) d, e por itegração chegamos à família de curvas itegrais: log y log C, isto é, log y/ C ou y C, sedo C costate. As curvas itegrais da EDO são, portato, retas que passam pela origem, embora as soluções ão estejam defiidas para. Eemplo Cosideremos agora a seguite EDO ão liear: 4 y, y 9y que se escreve sob a forma 4 d 9y dy, ode as variáveis em seus coeficietes já estão separadas. Itegrado formalmete esta última EDO ecotramos a família de elipses 4 9y C mostradas a figura ao lado e que represetam as curvas itegrais. Observamos, aida, que as soluções ão passam pelo eio e, por eemplo, a solução que passa pelo poto (,) é a fução y 4, defiida o itervalo < /..4 Fatores Itegrates O processo de itegração deve ser aplicado a uma EDO a forma diferecial P(,y) d Q(, y) dy preferecialmete em duas situações: ou quado ela for uma derivada total tipo dϕ ou quado as variáveis e y estiverem separadas tipo f() d g(y) dy. Nos outros casos procuramos um fator itegrate para a EDO, isto é, uma fução I(, y) que tora a equação I(,y){P(,y) d Q(, y) dy} uma EDO eata, e em seguida aplicamos os métodos já estudados. Esse foi o procedimeto que utilizamos para resolver as EDO's Lieares e as Separáveis em que o fator itegrate foi determiado, em cada caso, de maeira sistemática. Em algus casos um fator itegrate para a EDO pode ser determiado por tetativas, como mostra o eemplo a seguir. Eemplo Um fator itegrate para a EDO (y² 6y)d (y 4²)dy Determiaremos costates m e que toram a fução I(,y) m yⁿ um fator itegrate da equação. Multiplicado a EDO pelo suposto fator itegrate m y, obtemos: m m m m ( y 6 y ) d ( y y ) dy P(, y) Q(, y) e essa EDO será eata quado P y Q. A equação P y Q os coduz à idetidade poliomial: m m m m ( ) y 6( ) y ( m ) y 4( m ) y, a qual, após simplificada, se reduz a: ( ) y 6( ) ( m ) y 4( m ). A última idetidade seguramete será atedida quado: ( ) ( m ) 6( ) 4( m ) isto é, quado e m. Assim, a fução I(,y) y é um fator itegrate para a EDO e ela se escreve a forma eata: 8

41 (y cuja fução potecial vem dada por: 6 y ) d ( y y 4 y) dy P( t,) dt Q(, t) dt ( t φ (, y) 4 t) dt. Um cálculo simples os leva a ϕ(,y) ²y³ ³y² e, portato, as curvas itegrais da EDO são: y y C, sedo C costate...5 Fatores Itegrates Notáveis Como observamos ateriormete, algus fatores itegrates são determiados de modo sistemático. Com isso queremos dizer que em algus casos eistem fórmulas para calcular o fator itegrate para a EDO P(,y) d Q(, y) dy, desde que as fuções P(,y) e Q(,y) atedam a determiadas codições. A seguir destacaremos algus desses casos. º Caso Supohamos que os coeficietes P e Q sejam de tal forma que a epressão ( Py Q ) / Q depeda apeas da variável e que será represetada por f(), isto é: ( Py Q ) f ( ). Q I ( ) ep f ( ) d é um fator itegrate para a EDO. Neste caso, a fução ( ) Eemplo Um fator itegrate para a EDO (² y )d y dy, >. Neste caso temos P(,y) ² y² e Q(,y) y, de modo que (P y Q )/Q / f() é uma fução apeas de e para fator itegrate cosideramos a fução I ( ) ep( ( / ) d) ep( log ). Multiplicado a EDO por esse fator itegrate obtemos a equação eata: y y d dy ou (/ y / ) d ( y / ) dy e a fução potecial ϕ(,y) pode ser calculada pela itegral de liha: y ϕ (, y) (/ t) dt ( t / ) dt, ode cosideramos o poto A(,) como poto de partida. Fazedo os cálculos obtemos: φ(, y) log y / e as curvas itegrais da EDO são descritas pela equação log y / C Eemplo Um fator itegrate para a EDO (² y )d (y y)dy, >. Neste caso temos P(,y) ² y² e Q(,y) y y, de modo que (P y Q )/Q ()/ f() é uma fução apeas de e para fator itegrate cosideramos a fução ( ) ep d I ep( log( )) (. ) Multiplicado a EDO por esse fator itegrate obtemos a equação eata: y y d dy, ( ) ( ) cuja fução potecial ϕ(,y) pode ser calculada pela itegral de liha: y 9

42 t y t ϕ (, y) dt dt t, ( ) ( ) ode cosideramos o poto A(,) como poto de partida. Fazedo os cálculos ecotramos: φ (, y) log( ) /( ) ( y ) / ( ) e as curvas itegrais da EDO são dadas por: º Caso log( ) /( ) ( y²)/()² C. Quado os coeficietes P e Q são de tal forma que ( Py Q ) / P g( y) é uma fução apeas de y, etão, de maeira iteiramete aáloga ao caso aterior, podemos verificar que a fução I(y) ep( g(y)dy) é um fator itegrate para a equação. Por eemplo, para a EDO: yd (²y²)dy, y >, temos que ( Py Q ) / P / y é uma fução apeas de y e I(y) ep( ( /y)dy) y é um fator itegrate. Se multiplicarmos a EDO por I(y) obteremos a equação diferecial eata y d ( y y y) dy que pode ser resolvida pelo método do potecial. º Caso Quado os coeficietes P(,y ) e Q(,y) são de tal forma que P(,y ) yα(y) e Q(,y) β(y), ode α(t) e β(t) são fuções de uma variável real, por eemplo, se α ( t ) cost e β ( t) t t, temos α ( y ) cos( y) e β ( y ) y e, daí, P (, y) y cos( y) e Q(, y) y, etão a fução I(,y) /(P yq) é um fator itegrate para a EDO. Este fato também pode ser comprovado de maeira similar ao º caso. Eemplo Um fator itegrate para a EDO y ( y y) / A EDO ão liear y ( y y) / a forma diferecial se escreve: y( y)d dy e os coeficietes P(,y) y( y) e Q(,y) se equadram o º caso, com α(t) t e β(t). Cosideramos para fator itegrate a fução I(,y) /(P yq) /(²y²) e a EDO origial tora-se equivalete à seguite EDO eata: ( y)/(²y) d /(y²) dy. Para determiar uma fução potecial ϕ(,y) para a última EDO, escolhemos o poto iicial A(,) e ecotramos: P( t,) dt Q(, t) dt [( t) / t ] dt [ /( t )] dt / y log ϕ(, y) y y A família de curvas itegrais, defiidas para >, é dada por y log y( C), ode C é uma costate...6 O Método da Série de Taylor O método das séries de potêcias também se aplica o caso em que a EDO ão é liear. Como ilustração vamos cosiderar o PVI ão liear. 4

43 y y y() Este método, como o próprio ome sugere, iicia-se admitido que a solução da EDO possa ser represetada por sua série de Taylor em toro do poto iicial. Supohamos, etão, que a solução do PVI seja dada a forma ( ) y () y () y () y () y( ) y() L!!!! ode y() é o dado iicial e os outros coeficietes da série são obtidos por sucessivas derivações da EDO. Temos: y y y () y() y yy y () y()y () y y y yy y () y ()y () y()y () 8 e assim por diate. Logo, a solução do PVI é y() 4 /...7 Reagrupado os termos de uma EDO Por simplicidade, descreveremos este método por meio de eemplos. Para aplicá-lo com sucesso é ecessário cohecermos algus fatores itegrates elemetares, e a tabela dada a seguir relacioa algus desses fatores, que são obtidos a partir de regras de difereciação. Pd Qdy I(,y) dϕ yd dy / d(y/) /y d(/y) /y d[log(y/] /( y ) d[arctg(y/)] yd dy /y d[log(y)] /(y), > d[(y) /( )] d ydy /( y ) d[log( y )/] /( y ), > d[( y ) /( )] Como ilustração, vamos ecotrar a solução geral da EDO ão liear: y y d y y dy. Esta EDO, por ser eata, pode ser resolvida pelo método do potecial. Etretato, a solução é facilmete ecotrada reescrevedo a equação a forma: yd dy (yd dy)/(² y²) ou, a forma compacta: d(y) d[arctg(/y)], cuja família de curvas itegrais, obtida por itegração formal, é: y arctg(/y) C. A EDO foi resolvida após um reagrupameto de seus termos. Outra EDO que pode ser resolvida por este método é (y y²)d ( ²y²)dy, a qual, após um reagrupameto de seus termos, se escreve sob a forma: yd dy ( y²)d ²y² dy, com fator itegrate I(,y) /(²y²). Multiplicado a EDO pelo fator I(,y), obtemos: (yd dy)/( ²y²) ( (/)d dy) 4

44 e observado a tabela acima idetificamos o termo (yd dy)/( ²y²) como sedo d( /(y)) e a EDO assume fialmete a forma: d(/y) d(log y), cuja família de curvas itegrais, obtida por itegração formal, vem dada por /(y) log y C...8 EDO de Beroulli y p() y q() y r As EDO s lieares de ª ordem y a( ) y b( ) são resolvidas com auílio da fórmula [ C b( )ep( a( ) d ] a( ) d) y ep( ) d. Já as ão lieares são resolvidas por meio de métodos especiais como aqueles desevolvidos esta uidade. Se todas as equações difereciais de primeira ordem pudessem ser trasformadas em equações lieares, elas seriam, ao meos teoricamete, resolvidas pela fórmula especificada acima. Ifelizmete isto só é possível para algumas equações e o eemplo a seguir já é um bom começo. r A EDO de Beroulli y p( ) y q( ) y, r e r é ão liear de primeira ordem e se trasforma em uma EDO liear por meio da substituição z y r. De fato, para este z temos que r z ( r) y y e com esta substituição a EDO de Beroulli tora-se: z ( r) p( ) z ( r) q( ) que é liear e cuja solução geral é obtida a partir da fórmula específica para EDO s lieares. Eemplo Resolvedo a EDO de Beroulli y y y Neste caso, p(), q() e r / e a substituição a ser cosiderada é z y /. A EDO liear resultate é: z z cuja solução geral é z ) ep( d) [ C ep( d) d] e [ C e d] (. Usado itegração por partes, obtemos ( ) e como primitiva de e, o que resulta z( ) Ce. Cosiderado que z y /, etão a solução geral da EDO é y() [Ce ]. A solução que satisfaz à codição y() é determiada ao calcular a costate C. Neste caso, obtemos C e a solução correspodete é y() [e ]. Ampliado seu cohecimeto Beroulli, Joha ( ) Joha Beroulli asceu a Suíça e frequetou a Uiversidade da Basileia. Sua tese de doutorado discorria sobre matemática a despeito do seu título médico, utilizado para escoder seus estudos matemáticos do pai, que queria que ele se torasse médico. Ele estudou matemática em segredo, com seu taletoso irmão Jakob, que ocupou a cátedra de matemática da Uiversidade da Basileia. Em 77, após a morte de Newto, Beroulli foi cosiderado o pricipal matemático da Europa. Ele também esiou seu sucessor quado istruiu Leohard Euler a Uiversidade da Basileia. O filho de Joha foi o matemático Daiel Beroulli, que também discutiu com Joha a respeito de questões matemáticas.. Eistêcia e Uicidade de Solução Ao resolver uma EDO, ecotramos uma fução y y() que satisfaz a equação em cada poto de certo itervalo I e a essa fução damos o ome de solução da EDO esse itervalo. O coceito de solução é 4

45 mais preciso: por solução da EDO y f(,y) etedemos uma fução y y(), defiida e derivável em algum itervalo I, que satisfaz a equação em cada poto do itervalo I, isto é, y () f(, y()), para todo I. No último eemplo determiamos a solução da EDO que atedeu à codição especificada y(), que deomiamos codição iicial. Como já mecioamos, o par costituído de uma EDO e uma codição iicial é deomiado problema de valor iicial, abreviado a literatura por PVI, e descrito matematicamete pelo sistema: y f (, y) y ( ) y Assim, resolver o PVI sigifica ecotrar uma solução da EDO y f(,y) que passa pelo poto (,y ) do domíio da fução f. Eemplo Resolvedo um PVI Cosideremos o PVI y y, y(). A solução geral da EDO y y é y Ce, sedo C uma costate, e a solução que passa pelo poto (,) é y e e esta é a úica solução do PVI. Dialogado e Costruido Cohecimeto Escrevedo para apreder y y Um problema de valor iicial pode ter mais de uma solução. Este é o caso do PVI y() que sugerimos a você mostrar que as fuções y() e y() são soluções., Estes eemplos mostram que um PVI pode ter apeas uma ou várias soluções. Observamos que para o PVI do primeiro eemplo a fução f(,y) y é cotíua em, jutamete com a derivada parcial f y, e estas são as codições que devem ser atedidas pela fução f para que o PVI correspodete y f(,y), y( ) y teha solução úica em algum itervalo I cotedo o poto. Teorema de Eistêcia e Uicidade Se a fução f(,y) e a derivada parcial f y forem cotíuas o retâgulo Ω {(,y) ; a, y y b}, etão o PVI y f (, y) y ( ) y possui uma úica solução y y() defiida o itervalo I τ [ τ, τ], ode τ mi{a,b/m} e M é o valor máimo assumido pela fução f o retâgulo Ω. Essa situação está ilustrada a figura abaio, em que a liha em destaque represeta o gráfico da solução do PVI. y y Com relação ao PVI, observamos que ele ão viola o Teorema de Eistêcia e y() Uicidade, uma vez que a derivada parcial f y da fução f (, y) y ão eiste a origem. A 4