APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS. Consideremos a seguinte tabela de valores de uma função y = f(x):

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1 APROXIAÇÃO POR ÍNIOS QUADRADOS Cosideremos a seguite tabela de valores de uma fução y = f(x): i 3 x i 6 8 y i 8 Pretede-se estimar valores da fução em potos ão tabelados. Poderíamos utilizar o poliómio iterpolador de Lagrage, de grau 3 (visto termos potos), ou etão um Splie cúbico. Em ambos os casos, e desigado por P tal fução, ela teria de verificar: P(x i ) = y i,,, 3 e. Experimetemos primeiramete, represetar em eixos cartesiaos o cojuto de potos da tabela dada y x Verifica-se que os potos se dispõem quase em liha recta (represetação gráfica de um poliómio do º grau). Se usarmos essa

2 liha recta para apromar os valores de f(x), essa fução ão passará pelos potos tabelados, ou melhor dizedo, ão será iterpoladora de f(x), esses mesmos potos. Em vez de um poliómio iterpolador de f(x), pode usar-se a recta que passe mais prómo dos potos tabelados, ou seja que miimize a soma das distâcias dos potos tabelados à recta. as miimizar a soma das distâcias dos potos tabelados à recta é equivalete a miimizar a soma dos quadrados das distâcias dos potos tabelados à recta. A apromação por míimos quadrados cosiste em ecotrar a fução que melhor se ajuste, ao cojuto de potos dado, miimizado o erro resultate do ajustameto, ou seja, pretede-se miimizar a soma dos quadrados das difereças etre os valores tabelados e os valores obtidos pela apromação. y x Desigado ax i + b o i-ésimo valor dado pela apromação, o problema cosiste em ecotrar as costates a e b que miimizam

3 [ yi ( a + b) ] i = No exemplo apresetado, o problema reduz-se a ecotrar as costates a e b que miimizam [ y ax b ] i i ( + ) = = [ - (a + b )] + [ - (a + b)] + [8 - (6a + b )] + [ - (8a + b)]. Se [yi ( a+ b )] se cosiderar uma fução de duas variáveis, para que um par ordeado (a,b) seja um míimo local é codição ecessária (ão suficiete) que as derivadas parciais da fução em ordem a a e b se aulem em (a,b), ou seja a [ y ax b ] i i ( + ) = ( + ) = b e [ yi a b ] das quais resultam, para este exemplo, 3a + 5b = 3 e a + b = 8. A solução deste sistema de equações lieares é a = 6.55 e b = -.5, logo a fução apromadora pretedida é P(x) = 6.55x -.5 O problema de ecotrar a recta que melhor se ajuste a um cojuto de potos dado, pode etão ser formulado como:

4 3 [ i i+ ] i y ( ax b) Para que o míimo esta é ecessário que e a b [ i i ] y ( ax + b) = ( yi a b)( ) = [ i i ] y ( ax + b) = ( yi a b)( ) =. Estas equações podem ser simplificadas, assumido a seguite forma: e a + b = xy i i a + b. = yi a que se costuma chamar equações ormais, e cuja solução é a = ( xy i i) ( ).( yi).( x i ) ( x i) e b = ( x i ).( yi) ( xy i i).( ).( x i ) ( x i)

5 Cosideremos agora o problema mais geral que cosiste em apromar um cojuto de pares ordeados { (x i, y i ),,,,..., }, por um poliómio P( x) = k= ax k k de grau <, usado a técica dos míimos quadrados. O procedimeto é aálogo ao descrito aquado da utilização de um poliómio de grau (cuja represetação gráfica é uma recta) e cosiste em ecotrar as costates a, a, a,..., a que miimizam: E= ( yi P( )) = ( yi) P( ). yi+ ( P( )) = yi ( ax j i j ). yi+ ( ax j i j ) j= j= yi aj yx i i j aa j k j + =.( ) + ( k ). j= j= k= Tal como o caso liear, para que E teha um míimo é ecessário que E aj E aj =, j =,,...,. = yx i i j + ak = k= j+ k que costitui um sistema de + icógitas a j e + equações:

6 5 j+ k ak. = yx i i j, j=,,..., k= chamadas equações ormais. Estas últimas equações podem escrever-se a forma: a a a a LL + = yx i i, 3 a a a a LL + = yx i i, a + a a LL + a = yx i i. Prova-se que as equações ormais têm solução úica se os valores x i (,,,..., ) forem distitos. Exemplo: Cosidere a seguite tabela da fução y = f(x): i 3 x i y i determie a expressão aalítica do poliómio de grau dois, que aproma a fução tabelada, utilizado a técica dos míimos quadrados. Resolução: Neste problema = e =, logo teremos 3 equações ormais.

7 6 x i = 5 x i =.5 x i =.875 x i 3 =.565 x i =.388 y i = x i y i =.5 x i y i =.5 as equações ormais para este problema são: a + a + a = yx i i 3 a + a + a = yx i i 3 a + a + a = yx i i substituido valores obtém-se: 5. a +.5 a a = a a a = a a a =.5 cuja solução é a =.5, a =.86 e a =.837. O poliómio de grau dois, que aproma a fução tabelada, utilizado a técica dos míimos quadrados é P (x) =.837 x +.86 x +.5

8 7 Embora a técica dos míimos quadrados utilize ormalmete fuções apromadoras poliomiais, algus casos podem utilizar-se outras fuções, como por exemplo a fução expoecial. Neste caso a fução apromadora será da forma: com a e b costates. y = be ax miimizar Ao aplicar a técica dos míimos quadrados, pretede-se a E= ( yi b. e ) as equações ormais associadas são: E [ y b e ] [ e ] b i a a =. = E [ y b e ] [ b xe ] a i a a =.. i = mas ão têm solução exacta. O método usualmete seguido para dados que possuam uma relação expoecial cosiste em aplicar a fução logaritmo à fução apromadora: y = be ax l y = l b + ax

9 8 surgido assim uma relação liear para l b e a. O procedimeto aplicado aquado da obteção de uma fução apromadora liear pode agora ser aplicado, com as devidas adaptações. Exemplo : Cosidere os dados da seguite tabela: i x i y i Se se represetar em eixos cartesiaos os valores de x i e l y i, verifica-se a estêcia de uma relação liear, o que sugere a utilização de uma fução apromadora do tipo: y = be ax l y = l b + ax i x i l y i x i x i l yi

10 9 a = ( xy i i) ( ).( yi).( x i ) ( x i) obtém-se b = ( x i ).( yi) ( xy i i).( ).( x i ) ( x i) a = ( 5)(. ) ( 75. )( 9. ) ( 5)( 875. ) ( 75. ) =. 556 l b = ( 875. )( 9. ) (. )( 7. 5) ( 5)( 875. ) ( 75. ) =. ote-se que l b =. b = e. apromadora pretedida é = 3.7, pelo que a fução y = 3.7 e. x