CAP. VI DIFERENCIAÇÃO E INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

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1 CAP. VI DIFRNCIAÇÃO INGRAÇÃO NUÉRICA 6. DIFRNCIAÇÃO NUÉRICA m muitas circustâcias tora-se diícil obter valores de derivadas de uma ução: derivadas que ão são de ácil obteção; emplo (calcular a ª derivada: ( ep (( + l (si ( + arcta (+ / + de ão se coecer a epressão aalítica da ução sedo esta deiida um úmero iito de potos. ÉODOS NUÉRICOS Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

2 Seja ( uma ução cotíua com derivadas cotíuas até à ordem + o itervalo [ab] e i i... potos do itervalo [ab]. DRIVADAS D ª ORD: Cosideremos o poliómio iterpolador de Newto de º grau que iterpola ( os ós e : p ( +.( etão p ( [ ] e se ( p ( ( p ( portato ( p ( [ ] ( ( Fazedo ( [ ] ( ( Sedo podemos escrever ( [ ] XPLO: Calcular a ª derivada da ução (ep(si o poto. com.. Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

3 DRIVADAS D ª ORD: Cosideremos o poliómio iterpolador de Newto de º grau que iterpola ( os ós e : - (.(.( ( ( p + + tão [ ] ( p Fazedo [ ] ( Se os potos orem igualmete espaçados temos [ ] ( ( ( + ou [ ]! dode [ ] ( ( ( ( + ou [ ] ( XPLO: Calcular a ª derivada da ução (ep(si o poto. com.. DRIVADAS D ORD SUPRIOR: Geeralização desta técica ao cálculo de derivadas de ordem superior!! Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

4 6. INGRAÇÃO NUÉRICA Se uma ução ( é cotíua o itervalo [ab] e a sua primitiva F( é coecida o itegral deiido daquela ução etre a e b pode ser calculado pela órmula udametal do cálculo itegral: b I ( d F(b F(a a No etato em muitos casos o processo aterior pode ser compleo ou mesmo ão ser possível devido ao acto: de a primitiva de ( ão ser coecida ou de ácil obteção; de ão se coecer a epressão aalítica da ução sedo esta deiida um úmero iito de potos. ÉODOS NUÉRICOS A técica utilizada cosiste em substituir a ução itegrada ( por um poliómio p ( que aproime ( o itervalo [ab] : I b a ( d b a p ( d Os métodos uméricos que vamos estudar pertecem ao grupo das FÓRULAS D NWON-CÔS: Utilizam valores de ( ode os potos são igualmete espaçados Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

5 6.. RGRA DOS RAPÉZIOS ANALIICAN: Seja uma ução com derivadas cotíuas até à ª ordem em [a b] e p o poliómio de grau iterpolador de os potos a e b. Para a obteção desta órmula é utilizado o poliómio de Gregor-Newto de º grau: Assim p ( +.z b I ( d p ( d. a b a Para se aproimar a ução ( por um poliómio de º grau são ecessários potos: e. ectuado uma mudaça o itervalo de itegração isto é passado do itervalo [ab] para [ ] tem-se: b p( d p(d ( +.zd. a Fazedo a mudaça de variável z z. + d.dz e z z z z obtemos ( +.z..dz. z +.z + I Como - I. + Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

6 I +.( Fórmula dos rapézios ou (b - a I. + ( (a (b ou - I. ( ( + ( GRAFICAN : Pelos dois potos do etremo do itervalo az-se passar uma recta e o itegral de ( é aproimado pela área sob esta recta (área de um trapézio. Acetato 6- Diereciação e Itegração Numérica

7 RRO D RUNCAURA : A diereça etre o itegral eacto de ( (área sob a curva ( e o itegral aproimado (área do trapézio é o erro de itegração. Para se determiar o erro cometido ao utilizar a regra dos trapézios basta itegrar o erro de trucatura da aproimação poliomial: Itegrado ( ξ e z.(z a < ξ < b! z.(z ( ξ!.dz Como z.(z - ão muda de sial em ]a b[ pelo teorema do valor médio para itegrais! ( η (z - z dz ode η ]a b[! z z ( η ( η ( η Como b a vem: (b a < ( η ( η a < η b ou (b a ma a b ( Acetato 7- Diereciação e Itegração Numérica

8 XPLO: Calcular o seguite itegral pela regra dos trapézios e determiar uma estimativa para o majorate do erro cometido. Calcular o itegral aaliticamete e o erro absoluto cometido. I.6. d Acetato 8- Diereciação e Itegração Numérica

9 FÓRULA COPOSA DA RGRA DOS RAPÉZIOS: Uma orma para melorar o resultado obtido utilizado a regra dos trapézios é dividir o itervalo [a b] em subitervalos [ i i+ ] de amplitude b - a e a cada subitervalo aplicar a regra dos trapézios. GRAFICAN: ANALIICAN: I. ( + + ( ( + (b - a - Fórmula dos rapézios Composta OU I.( I. + ( Acetato 9- Diereciação e Itegração Numérica

10 RRO D RUNCAURA: O erro total cometido é a soma dos erros cometidos a aplicação da b a órmula dos trapézios a cada um dos subitervalos (. i i i i i ( η ( η η ] [ i- i Pelo teorema do valor médio para somas iitas i ( ηi ( ηi ( η ( η η ] a b[ i i Assim ( η η ] a b[ (b a. (b a ( η ( η η ] ab[ ou (b a. (b a ma a b ( XPLO: Calcular o itegral utilizado a regra dos trapézios composta cosiderado seis subitervalos. Determiar uma estimativa para o majorate do erro cometido e o erro absoluto cometido. I.6. d Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

11 6.. PRIIRA RGRA D SIPSON ANALIICAN: Para a obteção desta órmula é utilizado o poliómio de Gregor-Newto de º grau: ( P +. z +.z.(z Assim I b a ( d b p( d a Para se aproimar a ução ( por um poliómio do º grau são ecessários potos: e igualmete espaçados. ectuado uma mudaça o itervalo de itegração isto é passado de [ab] para [ ] tem-se: b p ( d p(d ( +.z +.z.(z d a Como z z. + d.dz e a z z b z z Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

12 temos que I Itegrado obtém-se: +.z +.z.(z.dz I ( + + Sabe-se que: ( ( + Logo I + ( + ( + I ( + + Primeira Regra de Simpso ou Regra do / GRAFICAN: Y( ( ( ( a b Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

13 A primeira regra de Simpso utiliza a área sob uma parábola para aproimar a área sob a curva em dois itervalos adjacetes. RRO D RUNCAURA: al como para a regra dos trapézios para se determiar o erro cometido ao utilizar a primeira regra de Simpso basta itegrar o erro de trucatura da aproimação poliomial ( e ter em cota que b a. (b a ( ( (η (η a < η <.9 9 b ou (b a 88 9 ma a b ( ( NOA: ra de esperar que tal como a regra dos trapézios é eacta para poliómios de grau a regra de Simpso osse eacta para poliómios de grau ou meor. Pela órmula do erro a ª regra de Simpso orece valores eactos ão só para o itegral de poliómios de grau mas também para poliómios de grau (derivada de ª ordem é ula. Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

14 FÓRULA COPOSA DA PRIIRA RGRA D SIPSON: ANALIICAN: Para obter a órmula composta deve dividir-se o itervalo de itegração [ab] em subitervalos iguais de amplitude e a cada par de subitervalos aplicar a primeira regra de Simpso. Nota: Como a regra de Simpso simples é aplicada a pares de subitervalos o úmero de subitervalos tem que ser par e cada b a subitervalo tem amplitude. Obtém-se etão: I ( ( ( I ( Primeira Regra de Simpso Composta + + RRO D RUNCAURA: O erro total cometido pela primeira regra de Simpso composta é a soma dos erros cometidos a aplicação da regra de Simpso simples a cada par de subitervalos. (b a 8. (b a 8 ( ( ( η. ( η η ] a b[ ou (b a 8. (b a 8. ma a b ( ( Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

15 XPLO: Calcular o valor de em subitervalos. d Π + utilizado a primeira regra de Simpso Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

16 6.. SGUNDA RGRA D SIPSON Para a obteção desta órmula é utilizado o poliómio de Gregor-Newto de º grau: P ( +.z +.z.(z + 6.z.(z.(z Assim I b a ( d b p( d a Para se aproimar a ução ( por um poliómio do º grau ( são ecessários potos: a e b igualmete espaçados ( Itegrado obtem-se: b a. I ( Seguda Regra de Simpso ou Regra dos /8 RRO D RUNCAURA: Para se determiar o erro cometido ao utilizar a seguda regra de Simpso basta itegrar o erro de trucatura da aproimação poliomial ( e ter em cota que b a. ou 8 8 ( ( η ( b a ( b a ( ( η η ] a b[ ma a b ( ( Acetato 6- Diereciação e Itegração Numérica

17 FÓRULA COPOSA DA SGUNDA RGRA D SIPSON: ANALIICAN: Para obter a órmula composta deve dividir-se o itervalo de itegração [ab] em subitervalos iguais de amplitude e a cada cojuto de três subitervalos aplicar a seguda regra de Simpso. Nota: Como a regra de Simpso é aplicada a cojutos de três subitervalos o úmero total de subitervalos pode ser ímpar ou par. Obtém-se etão: I 8 ( ( ( I - ( Seguda Regra de Simpso Composta XPLO: Calcular o itegral ( + e + com e 9 subitervalos. l d aplicado a ª regra de Simpso Acetato 7- Diereciação e Itegração Numérica

18 Acetato 8- Diereciação e Itegração Numérica

19 Acetato 9- Diereciação e Itegração Numérica

20 Acetato - Diereciação e Itegração Numérica

21 Acetato - Diereciação e Itegração Numérica