AULA Matriz inversa Matriz inversa.
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- Ana Vitória Macedo Figueira
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1 Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira ÓPICOS Matriz iversa. U 6 Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar pelo aluo resolvedo os problemas apresetados a bibliografia, sem cosulta prévia das soluções propostas, aálise comparativa etre as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição juto do docete de todas as dúvidas associadas. Método de codesação. Matriz ortogoal. Propriedades da álgebra matricial. 6. Matriz iversa. 6.. Matriz iversa. odo o úmero real ão ulo, a, possui iverso, isto é, existe um real b tal que ab ba. O iverso é úico, usado-se a otação b a. Nem todas as matrizes,, quadradas ão ulas, possuem iversa, ou seja, em sempre existe uma matriz tal que I. Uma matriz quadrada diz-se ivertível (ou regular, ou ão sigular, se existir uma matriz tal que I, em que I é a matriz idetidade de ordem. Se é ivertível, a sua iversa é úica e deota-se por. é ivertível sse car(. Uma matriz que ão tem iversa diz-se uma matriz sigular (ou ão regular, ou ão ivertível. Exemplos. Seja a matriz iversa de é, como podemos verificar: I + Prof. José maral G
2 M R I Z I N V E R S 6.. Método de codesação. Se é uma matriz quadrada de ordem ivertível, car(, pelo que, efectuado operações elemetares sobre lihas, é possível trasformar a matriz [ I] a matriz [ I ]. edo em cota a resolução de sistemas de equações lieares, facilmete se coclui que. Este método de determiação da iversa de uma matriz é desigado por método de codesação. Exemplo. Seja a matriz: Recorredo ao método de codesação, podemos calcular a iversa de ogo 0 0 I I Cálculo da iversa, iv(, >> [ 5; 3]: Prof. José maral G
3 M R I Z I N V E R S >> iv( as >> [ -; 4; 3-3] ; >> iv( as Podemos ver o resultado a forma racioal com o comado format rat >> format rat >> iv( as 9-3/ / Para restabelecer o formato decimal usamos o comado format short Poderíamos calcular a iversa pelo método de codesação (embora ão seja ecessário dada a existêcia da fução iv >> D[ eye(3] D >> Drref(D D >> DD(:,4:6 D Prof. José maral G
4 M R I Z I N V E R S 6.3. Matriz ortogoal. Uma matriz quadrada trasposta ou seja Exemplos 3. Seja a matriz: trasposta de C é Dado que diz-se ortogoal sse a sua iversa for igual à sua I 3 C 3 3 C CC I, a matriz C é uma matriz ortogoal 3 C C 3 >> C[/ sqrt(3/; sqrt(3/ -/] C >> C*C.' as Prof. José maral G
5 M R I Z I N V E R S 6.4. Propriedades da álgebra matricial dição Sempre que as expressões estejam defiidas, são demostráveis as seguites propriedades: + + (comutativa + ( + C ( + + C (associativa + 0 (elemeto eutro + ( 0 (elemeto simétrico Multiplicação por escalar α ( β ( αβ ( α + β α + β α ( + α + α Multiplicação ( C ( C (associativa I I m (elemeto eutro ( + C + C ( + C + C (distributiva α ( ( α ( α (elemeto absorvete rasposição Iversa ( ( + + ( α α ( k ( ( ( ( k ( α α, ( α 0 ( ( 0 / ( 0 0 (só se ou for ivertível C / C (só se for ivertível Prof. José maral G
6 M R I Z I N V E R S Exercícios. 6.. Dada a matriz Determie a matriz iversa emos, pelo que I >> [0 ; - ; 3 0 -]; >> format rat >> iv( as 4/7 /7 5/7 5/7-6/7 /7 6/7 3/7 -/ Prof. José maral G
7 M R I Z I N V E R S 6.. Cosidere o sistema de equações lieares a forma matricial, x b, 0 0 x 0 Calcule a iversa da matriz simples do sistema, solução do sistema., e, com base esta, determie a Recorredo ao método de codesação temos, pelo que 0 0 I Cohecida a iversa da matriz simples do sistema, temos x b x b 3 Ix b x b Prof. José maral G
8 M R I Z I N V E R S >> [ ; - ;- 0]; >> b[0 0 ]'; >> format rat >> iv( as / -/ - / -/ 0 0 >> xiv(*b x Sedo, e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguites são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações idicadas estão defiidas.. (. C + C C( ( C C 5. + ( Verdadeira X X Falsa X X X X (. Pode demostrar-se, isso sim, que (. Não esquecer que o produto de matrizes ão é comutativo. Podedo verificar-se em particular que C + C C( +, caso as matrizes C e ( + sejam permutáveis, em geral, isto é, para quaisquer matrizes quadradas, e C, temos C + C ( + C C( apeas os casos em que ou for ivertível. emos esses casos que 0 0 I I eha-se em ateção que + ( + I ( +. +, a soma de uma matriz com um escalar, é uma operação ão defiida. Prof. José maral G
9 M R I Z I N V E R S 6.4. Sedo, e C matrizes quadradas quaisquer, diga se as proposições seguites são verdadeiras ou falsas (admite-se que as operações idicadas estão defiidas. ( + C + C + + I ( + ( + ( C C Verdadeira X X Falsa X X X X 6.5. dmitido que e são matrizes de ordem, é regular, e e são permutáveis, mostre que e também são matrizes permutáveis. emos ( ( ( ( I ( I ( ( ( 6.6. dmitido que e são matrizes ortogoais de ordem, mostre que emos ( I + 0 Sedo uma matriz ortogoal, ( ( ( I + 0 I + 0 I + 0, pelo que ( ( I + 0 I + 0 ( I + I 0 Sedo uma matriz ortogoal, I, pelo que ( I + I 0 ( I + I 0 ( 0 0 Prof. José maral G
10 M R I Z I N V E R S 6.7. Determie a matriz real X tal que (( X C I, sedo 0 0 ; 0 ; C Multiplicado à direita ambos os membros da equação por C, temos: (( X C C I C (( X I C (( X C, e atededo a que a trasposta da soma é igual à soma das traspostas, temos: Sedo, e, pelo que temos (( X C (( ( X C (( X C X C(( ( (( X C ( I 0 0 I 0 ( e, fialmete 0 (( 0 ( (( X C X Prof. José maral G
11 M R I Z I N V E R S 6.8. Supodo que, e C são matrizes quadradas de ordem ivertíveis simplifique a expressão matricial (( C ( CC tededo a que a iversa da trasposta é igual à trasposta da iversa, temos tededo a que (, temos (( C ( CC (( C ( CC (( C ( CC ((( C C C (( CC CC (( I I (( Fialmete, atededo a que a trasposta da soma é igual à soma das traspostas, temos: (( ( 6.9. Sejam e matrizes quadradas de ordem, com ortogoal. Mostre que ( I + tededo a que a trasposta da soma é igual à soma das traspostas e a que a iversa da trasposta é igual à trasposta da iversa, temos: Sedo ortogoal, etão ( ( I + (( I + (( I + (( I + I + I + +, pelo que + + Prof. José maral G
12 M R I Z I N V E R S 6.0. Cosidere o seguite sistema de equações lieares, as icógitas reais x, y e z, ode a e b são parâmetros reais: x + y + 3z 0 x + ay + ( a 3 z a + b ( a + y (a + 3 z a b 3 a Resolva o sistema para a b 0. b Sedo a matriz simples do sistema dado para a b 0, mostre que é regular e determie a iversa. c Utilize para cofirmar o resultado obtido em b. d Discuta o sistema, em fução dos valores dos parâmetros reais a e b. a Para a b 0 temos o sistema, a forma matricial, 3 x y z 3 Recorredo ao método de Gauss-Jorda, temos: b edo portato como solução x 3 y 0 z b Vimos a alíea aterior que car( 3, logo é ivertível. emos I I , logo c emos x b x b Prof. José maral G
13 M R I Z I N V E R S 0 3 x Cofirmado o resultado obtido em a. d Escrevedo a matriz completa do sistema, temos: 3 0 a a 3 a b b + 0 ( a + (a + 3 a b ( a a a b ( a + a 3 a b ( a a a b ( a + 3( b + Para ( a + 0, ou seja, a, podemos dividir a a e 3 a liha por ( a +. emos portato aqui uma primeira codição a a b b ( b + a a+ b b 0 ( a+ ( a+ 3( b ( a + O sistema é possível e determiado. Para a, temos b b b O sistema é possível e (simplesmete idetermiado b b b 0 O sistema é impossível. Resumido a O sistema é possível e determiado b O sistema é possível e (simplesmete idetermiado a b O sistema é impossível Prof. José maral G
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ITA Destas, é (são) falsa(s) (A) Apenas I (B) apenas II (C) apenas III (D) apenas I e III (E) apenas nenhuma.
ITA 00. (ITA 00) Cosidere as afirmações abaixo relativas a cojutos A, B e C quaisquer: I. A egação de x A B é: x A ou x B. II. A (B C) = (A B) (A C) III. (A\B) (B\A) = (A B) \ (A B) Destas, é (são) falsa(s)
(i) (1,5 val.) Represente na forma de um intervalo ou de uma união disjunta de intervalos cada um dos conjuntos seguintes:
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FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão 5 Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS
ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r
CÁLCULO DIFERENCIAL. Conceito de derivada. Interpretação geométrica
CÁLCULO DIFERENCIAL Coceito de derivada Iterpretação geométrica A oção fudametal do Cálculo Diferecial a derivada parece ter sido pela primeira vez explicitada o século XVII, pelo matemático fracês Pierre
Interpolação. Interpolação Polinomial
Iterpolação Iterpolação Poliomial Objetivo Iterpolar uma fução f(x) cosiste em aproximar essa fução por uma outra fução g(x), escolhida etre uma classe de fuções defiidas (aqui, usaremos poliômios). g(x)
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 1
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Professor: Classificação: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as ustificações
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 0.º Ao Versão Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão
Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 18/12/2012
Prova Parcial Aluo(a): Data: 8/2/202. (,5p) Use regras de iferêcia para provar que os argumetos são válidos. (usar os símbolos proposicioais idicados): A Rússia era uma potêcia superior, e ou a Fraça ão
= { 1, 2,..., n} { 1, 2,..., m}
IME ITA Apostila ITA E 0 Matrizes Ua atriz de orde é, iforalete, ua tabela co lihas e coluas, e que lihas são as filas horizotais e coluas são as filas verticais Co esta idéia teos a seguite represetação
NOTAÇÕES. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.
R C : cojuto dos úmeros reais : cojuto dos úmeros complexos i : uidade imagiária: i2 = 1 z Re(z) Im(z) det A : módulo do úmero z E C : parte real do úmero z E C : parte imagiária do úmero z E C : determiate
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Teste º Ao de escolaridade Versão Nome: Nº Turma: Professor: José Tioco 9//8 Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar
Instrumentação e Medidas
strumetação e Medidas Liceciatura em Egeharia Electrotécica Exame (ª Chamada) 20 de Juho de 20 tes de começar o exame leia atetamete as seguites istruções: Para além da calculadora, só é permitido ter
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 1
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP
Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros
Ficha de Trabalho 02 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6).
F I C H A D E R A B A L H O 0 Ficha de rabalho 0 Sistemas. Matriz Inversa. (Aulas 4 a 6). Sistemas de equações lineares. Equação linear. Sistema de equações lineares. Equação matricial. Soluções do sistema.
NOTAÇÕES. denota o segmento que une os pontos A e B. In x denota o logarítmo natural de x. A t denota a matriz transposta da matriz A.
MATEMÁTICA NOTAÇÕES é o cojuto dos úmeros compleos. é o cojuto dos úmeros reais. = {,,, } i deota a uidade imagiária, ou seja, i =. Z é o cojugado do úmero compleo Z Se X é um cojuto, PX) deota o cojuto
Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo 1 - Primeira Lista - 01/2017
Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo - Primeira Lista - 0/207. Determie { ( se a seqüêcia coverge ou diverge; se covergir, ache o limite. 5 ) } { } { } { arcta(), 000 (b) (c) ( ) l() } { 000 2 } { 4
2.2. Séries de potências
Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise
Dessa forma, concluímos que n deve ser ímpar e, como 120 é par, então essa sequência não possui termo central.
Resoluções das atividades adicioais Capítulo Grupo A. a) a 9, a 7, a 8, a e a 79. b) a, a, a, a e a.. a) a, a, a, a 8 e a 6. 9 b) a, a 6, a, a 9 e a.. Se a 9 e a k são equidistates dos extremos, etão existe
APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (IV ) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Ídice 4 4 Defiição e exemplos 4 Subespaços4 4 Cojutos
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Aluo: N.º Turma: Professor: Classificação: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ Campus Pato Branco ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO. Prova Parcial 1 Matemática Discreta para Computação 2011
Campus Pato Braco Prova Parcial Matemática Discreta para Computação 20 Aluo(a): Data: 08/04/20. (,5p) Explicar o Paradoxo de Cator. Use como base o seguite: Teorema de Cator: Para qualquer cojuto A, a
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Curso: LEI. Correção do exame da Época Normal - A 2006/2007
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE SETÚBAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA DISCRETA Curso: LEI Correção do exame da Época Normal - A 2006/2007 Diga, justi cado, se as seguites proposições são verdadeiras
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Aluo: N.º Turma: Professor: Classificação: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações
Proposta de teste de avaliação
Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 miutos Data: Grupo I Na resposta aos ites deste grupo, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do
Sucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.
Sucessões Defiição: Uma sucessão de úmeros reais é uma aplicação u do cojuto dos úmeros iteiros positivos,, o cojuto dos úmeros reais,. A expressão u que associa a cada a sua imagem desiga-se por termo
==Enunciado== 2. (a) Mostre que se h(t) é uma função seccionalmente contínua e periódica, de período T, que admite transformada de Laplace, então
Departameto de Matemática - Escola Superior de ecologia - Istituto Politécico de Viseu Complemetos de Aálise Matemática Egeharia de Sistemas e Iformática Euciado e Resolução da a. Frequêcia de 5/6 Duração:
AULA Produto interno em espaços vectoriais reais ou complexos Produto Interno. Norma. Distância.
Note bem: a letura destes apotametos ão dspesa de modo algum a letura ateta da bblografa prcpal da cadera Chama-se a ateção para a mportâca do trabalho pessoal a realzar pelo aluo resoledo os problemas
Proposta de teste de avaliação
Proosta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESOLARIDADE Duração: 9 miutos Data: adero (é ermitido o uso de calculadora) Na resosta aos ites de escolha múltila, selecioe a oção correta. Escreva,
Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta
Gabarito do Simulado da Primeira Fase - Nível Beta Questão potos Serão laçados dois dados: um dado azul de 4 faces, umeradas de a 4, e um dado vermelho de 8 faces, umeradas de a 8 a Determie a probabilidade
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ao 00 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como a probabilidade do João acertar em cada tetativa é 0,, a probabilidade do João acertar as tetativas é 0, 0, 0, 0,
Questão 02. Resolução: Sejam r e s as retas suportes de AB e BC, respectivamente. Equações de r e s. Da figura 1, temos: b + = + = + + = 4 ) 2.
009 IME Questão 0 Sae-se que: a [ a ] + {a}, a \, ode [a] é a parte iteira de a x + [ y ] + {z}, y + [ z ] + {x}, 6, z + [ x ] + { y} com x, y e z \ Determie o valor de x y + z Para o sistema dado, podemos
MATEMÁTICA II. 01. Uma função f, de R em R, tal. , então podemos afirmar que a, b e c são números reais, tais. que. D) c =
MATEMÁTCA 0. Uma fução f, de R em R, tal que f(x 5) f(x), f( x) f(x),f( ). Seja 9 a f( ), b f( ) e c f() f( 7), etão podemos afirmar que a, b e c são úmeros reais, tais que A) a b c B) b a c C) c a b ab
a = b n Vejamos alguns exemplos que nos permitem observar essas relações. = 4 4² = 16 radical radicando
Caro aluo, Com o objetivo de esclarecer as dúvidas sobre a raiz quadrada, apresetamos este material a defiição de radiciação, o cálculo da raiz quadrada e algumas propriedades de radiciação. Além disso,
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Teste º Ao de escolaridade Versão Nome: Nº Turma: Professor: José Tioco 9//8 Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Sinais de Tempo Discreto
Siais de Tempo Discreto Siais defiidos em istates discretos do tempo t 0, t 1, t 2,..., t,... são siais de tempo-discreto, deotados pelos símbolos f(t ), x(t ), y(t )... (sedo um iteiro). x(t )... t 1
Identifique todas as folhas Folhas não identificadas NÃO SERÃO COTADAS. Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I
Idetifique todas as folhas Folhas ão idetificadas NÃO SERÃO COTADAS Faculdade de Ecoomia Uiversidade Nova de Lisboa EXAME DE CÁLCULO I Ao Lectivo 009-0 - º Semestre Eame Fial de ª Época em 0 de Jaeiro
étodos uméricos MÉTODO DOS MOMENTOS - MOM Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
étodos uméricos MÉTODO DOS MOMETOS - MOM Prof. Erivelto Geraldo epomuceo PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA ELÉTRICA UIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI PRÓ-REITORIA DE PESQUISA CETRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECOLÓGICA
Análise Infinitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES
-. Calcule os seguites limites Aálise Ifiitesimal II LIMITES DE SUCESSÕES a) lim + ) b) lim 3 + 4 5 + 7 + c) lim + + ) d) lim 3 + 4 5 + 7 + e) lim + ) + 3 f) lim + 3 + ) g) lim + ) h) lim + 3 i) lim +