AULA Transformações lineares de R n em R m Composição de transformações lineares.

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1 Note bem: a leitra destes apotametos ão dispesa de modo algm a leitra ateta da bibliografia pricipal da cadeira Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar pelo alo resoledo os problemas apresetados a bibliografia, sem coslta préia das solções propostas, aálise comparatia etre as sas resposta e a respostas propostas, e posterior exposição jto do docete de todas as dúidas associadas. ÓPICOS Composição de trasformações lieares. rasformação liear iersa. rasformações afis. raslação. UL 6 6. rasformações lieares de R em R m. 6.. Composição de trasformações lieares. Sejam E, E e E espaços ectoriais sobre o corpo K e : E E, S : E E trasformações lieares. Etão S : E E é ma trasformação liear, chamada composta de S com (e escreemos S ( ( o ( S (. Por otras palaras, a composta de ma trasformação liear é ma trasformação liear. Em particlar, se : R p m p R é ma trasformação liear com matriz caóica e S : R R é otra trasformação liear com matriz caóica S, etão m S : R R é liear e a sa matriz caóica é S Exemplos. Sedo : R S R ma reflexão sobre o plao xz ( Prof. Isabel Matos & José maral LG

2 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R, S : R R ma rotação de θ π sobre o eixo do zz S( S cos( θ se( θ se( cos( θ θ, U : R R ma expasão de k. 5 r U( U composição de U com S com, r V ( U( S( ( ( U S ( US, é ma trasformação liear, V : R R, com matriz de trasformação, o seja V US r V ( V Saliete-se qe a composição de trasformações lieares ão é comtatia (basta ateder ao facto de se efectar à csta de m prodto matricial. Prof. Isabel Matos & José maral LG

3 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R 6.. rasformação liear iersa. Se E é m espaço ectorial sobre m corpo K, a aplicação E : E E tal qe E ( é liear e desiga-se por idetidade em E. Das aplicações qaisqer : E E e S : E E dizem-se trasformações iersas ma da otra se S E e S E. Escreemos S e S (ma ez qe a iersa, qado existe é úica e dizemos qe S e são iertíeis. Se E e E são espaços ectoriais sobre o corpo K e : E E é ma trasformação liear iertíel etão : E E é ma trasformação liear (iertíel. Por otras palaras, a iersa de ma trasformação liear é liear. Exemplo Em particlar, se : R R é ma trasformação liear iertíel (m isomorfismo, com matriz caóica, etão : R R é ma trasformação liear iertíel com matriz caóica O seja, a matriz da trasformação iersa é igal à iersa da matriz da trasformação.. Sedo : R R ma rotação de θ π sobre o eixo do zz ( cos( π se( π se( π cos( π, a sa trasformação iersa tem matriz de trasformação ( cos( π se( π se( π cos( π o seja, como seria de esperar, ma rotação de θ π. Prof. Isabel Matos & José maral LG

4 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R 6.. rasformações afis. raslação. Chamamos trasformação afim de m R R a ma trasformação da forma S ( ( + k, em qe é ma trasformação liear de R R m e k R é m ector costate. (Note bem: ma trasformação afim ão é ma trasformação liear. Uma trasformação afim : R, em qe [ k, k,, ] R da forma ( I + k k k correspode a ma traslação de i cada m dos ectores e i da base caóica de Exemplos. trasformação afim : R R R. m k idades segdo ( + correspode a ma traslação de ma idade segdo e e de idades segdo e 4. trasformação afim : R R ( + correspode a ma reflexão sobre o eixo dos yy segida de ma traslação de idades segdo e. Por exemplo, para o poto (, temos Figra 6. ( Prof. Isabel Matos & José maral LG

5 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R Exercícios. CLCULR IMGEM DD MRIZ D RNSFORMÇÃO E O OBJECO. 6.. Sedo a matriz caóica de ma trasformação liear emos : R R, determie (,. 6 8 imagem do ector e + e é o ector ( 6e e + 8e. >> [ ; - -; ]; >> [ ]'; >> * Sedo a matriz caóica de ma trasformação liear : R R, determie (,,. emos 6 imagem do ector e + e + e é o ector ( 6e + e. >> [- ; - ]; >> [ ]'; Prof. Isabel Matos & José maral LG

6 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R >> * Sedo a matriz caóica de ma trasformação liear emos : R R, determie (,,. 6 imagem do ector e + e + e é o ector ( e + 6e e. >> [- ; - ;- -]; >> [ ]'; >> * Dada a trasformação liear : R R, qe cosiste ma reflexão sobre o eixo dos yy, segida dma rotação de π (o setido directo e dma projecção ortogoal sobre o eixo dos yy, determie (,. Como imos, a ma reflexão sobre o eixo dos yy correspode a matriz de trasformação, a ma rotação de m âglo θ o setido directo correspode a matriz de trasformação cos( θ se( θ se( θ cos( θ, e a ma projecção ortogoal sobre o eixo dos yy correspode a matriz de trasformação Prof. Isabel Matos & José maral LG

7 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R Prof. Isabel Matos & José maral LG Sedo a trasformação ma composição das trasformações elemetares, temos π π π π cos( se( se( cos( ( >> [- ; ]; >> tetapi/; >> [cos(teta -si(teta; si(teta cos(teta]; >> [ ; ]; >> ** -.. >> [ ]'; >> * Cosidere a segite matriz dos értices de m triâglo em R r Determie a imagem fial (os értices do triâglo qado é reflectido sobre o eixo dos yy, e depois rodado de π o setido directo. Dado qe a ma reflexão sobre o eixo dos yy correspode a matriz de trasformação, e a ma rotação de m âglo π o setido directo correspode a matriz de trasformação

8 R N S F O R M Ç Õ E S L I N E R E S L G E B R L I N E R Prof. Isabel Matos & José maral LG θ θ θ θ cos( se( se( cos( matriz da trasformação é Dado qe os értices do triâglo correspodem a ectores cola correspodetes a cada ma das colas da matriz r r, reslta qe ao prodto r correspode ma matriz [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] r em qe cada ma das colas correspode à imagem de cada m dos értices do triâglo r >> tetapi/; >> [cos(teta -si(teta;... si(teta cos(teta]; >> *; >> r[ ; ]; >> *r as