Capítulo V ESPAÇOS EUCLIDIANOS

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1 Cpítlo V EPAÇO EUCLIDIANO

2 Cpítlo V Espços Eclidios Cpítlo V Prodto Esclr em Espços Vectoriis Chm-se prodto esclr o espço ectoril E m plicção E E R qe todo o pr rel ( ) de ectores de E ssoci m úmero rel idicdo por tl qe os segites ioms sejm erificdos: P) P) ( w) w P) ( λ ) λ( ) P) e se e somete se O úmero rel chm-se prodto esclr dos ectores e Eemplo No espço ectoril ds forçs plicds m poto fção qe cd pr de forçs F e F ssoci o úmero rel obtido mltiplicdo-se s itesiddes desss forçs pelo cosseo do âglo θ qe formm é m prodto esclr esse espço: F F F cosθ F Eemplo No espço ectoril dos poliómios em defiidos m iterlo fechdo [ b] fção qe cd pr de poliómios p p( ) e q( ) q ssoci o úmero rel obtido medite o itegrl defiido do prodto desses poliómios é m prodto esclr esse espço q p( ) q( ) b p d Eemplo No R plicção de R R ( ) e ( b b b ) b R qe o pr de ectores ssoci o úmero rel: b b b b é m prodto esclr Prof Alzir Diis

3 Cpítlo V Espços Eclidios Espço Vectoril Eclidio Um espço ectoril rel de dimesão fiit - fiito o ql está defiido m prodto esclr é m espço ectoril eclidio Módlo de m Vector e s Proprieddes Ddo m ector de m espço ectoril eclidio E chm-se módlo o orm de o úmero rel ão egtio idicdo por defiido por Eemplo e ( z) ( z) ( z) z z z etão z i) e isto é se o ector é chmdo ector itário ii) Ddo m ector qlqer E diferete de o ector: é m ector itário Eemplo No E ( ) ( ) R os ectores: ( ) E são itários E ; ( ) E ; Vejmos s proprieddes do módlo de m ector: I) e se e somete se Est propriedde é coseqêci de P) II) λ λ De fcto λ ( λ) ( λ) λ ( ) λ λ Ateção: edo λ m esclr λ ± λ λ orm III) De fcto se m dos ectores é lo erificção d propriedde é imedit e em em são los pr qlqer λ R : λ e ( ) ( ) λ λ λ λ Prof Alzir Diis

4 Cpítlo V Espços Eclidios λ tedo em ist qe o primeiro membro d ( ) λ ( ) igldde cim é o discrimite do triómio em λ qe figr o segdo membro dee ser - ão qeremos qe eistm ds rízes pois heri zos em qe fção er egti e í ão poderímos clclr ( ) orms: se ( ) ( λ) λ( ) λ ( ) qe c logo ( ( )) ( )( ) ) emos ssim qe se etão ( ( ) ) ( )( ) ( ) λ ( b c em b ( ) b c ( )( ) ( ) ( )( ) e ssim tem-se Not: e etão A desigldde é cohecid com o ome de desigldde de chwrz o ieqção de Cch-chwrz O sil le somete qdo λ isto é qdo ( λ) Em prticlr em R igldde erific-se pr ectores colieres IV) De fcto ( ) ( ) ( ) ( ) Ms sbemos qe esclr orms III logo ( ) obtedo-se ssim triglr ieqção desigd por desigldde Âglo de Dois Vectores A desigldde de chwrz: permite escreer isto é Verific-se qe ri etre 7 Prof Alzir Diis

5 Cpítlo V Espços Eclidios e tl como o cosseo de m âglo θ Por esse motio podemos dizer qe cos θ em qe θ é o âglo etre dois ectores e Vectores Ortogois e Cojto Ortogol de Vectores A espressão cos θ permite dizer qe θ π isto é cos θ se e somete se Nests codições diz-se qe dois ectores e de m espço ectoril eclidio E são ortogois e represet-se por se e pes se O ector é ortogol qlqer ector E : Reciprocmete se é ortogol qlqer ector E etão e Um cojto de ectores é chmdo ortogol qdo dois ectores qisqer e desse cojto são ortogois isto é Eemplo Em E ( ) ( ) R os ectores ( ) E ; ( ) E ; E costitem m cojto ortogol de ectores: se escolhermos qisqer dois deles e efectrmos o prodto esclr o itero temos E E eorem Um cojto ortogol de ectores ão los { } liermete idepedete é Cosideremos igldde: α α α Começemos por α cosiderr por hipótese de qe o cotrário é erddeiro e o cojto fosse liermete depedete pelo meos m dos α seri diferete de zero Vmos spor qe se tem α α : α ( ) α ( ) α ( ) ( ) ( ) α α α α ( ) α ( ) α edo em ist qe - pois - pode coclir-se qe > > α e por coseqêci o cojto { } liermete idepedete Podemos fzer o mesmo pr etc é 8 Prof Alzir Diis

6 Cpítlo V Espços Eclidios e e são sbcojtos ão zios do espço ectoril eclidio E diz-se qe é ortogol e represet-se por se qlqer ector é ortogol qlqer ector eorem Ddo m sbcojto ão zio do espço ectoril eclidio E o cojto dos ectores ortogois é m sbespço ectoril de E De fcto i) e pr qlqer ( ) tem-se e o qe mostr qe ii) Alogmete erific-se qe pr qlqer λ R λ O sbespço de todos os ectores ortogois o sbcojto é chmdo complemeto ortogol de Cojto Ortoorml e Bse Ortoorml Um cojto de ectores é ortoorml se é ortogol e todos os ses ectores são itários Eemplo Em R o cojto dos ectores ( ) E ( ) ( ) E é ortoorml E ; ( ) E ; Um cojto de ectores qe sej m bse do espço ectoril eclidio E e sej ortoorml diz-se m bse ortoorml de E Eemplo Os ectores E E E E referidos trás costitem m bse ortoorml de R 9 Prof Alzir Diis

7 Cpítlo V Espços Eclidios Compoetes dos Vectores e Prodto Esclr e { } é m bse do espço ectoril E e se e b b b são dois ectores qisqer de E plicção E E R qe ssoci o pr de ectores ( ) o úmero rel: b b b é m prodto esclr Vejmos: ( ) ( b b b ) ( b ) ( b ) ( b ) b b b b b b De fcto P) b b b b b b P) e w c c c : ( w) ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( w) b c b c b c ( w) ( b b b ) ( c c c ) ( w) w P) e R λ λb λb λb λ λ b λ : ( ) ( ) ( ) ( λ) ( ) b b λ P) sedo somete se Vejmos o segite: I) Em prticlr em R cosiderdo bse ortoorml ( ) E ( ) ; E ( ) E ( ) dos ectores ( ) e ( b b b ) b E ; o prodto esclr é sedo E E E E e b E be be b E b b b b Aliás ledo-se em cot s proprieddes do prodto esclr e tedo em ist qe: E E se i j E E se i j o cálclo de i j dá ectmete epressão cim i j II) Como coseqêci imedit do cálclo do prodto esclr de dois ectores tem-se pr : 7 Prof Alzir Diis

8 Cpítlo V Espços Eclidios Prof Alzir Diis 7 Processo de Ortogolizção de Grm-chmidt Ddo m espço ectoril eclidio E e m bse { } desse espço é possíel prtir dess bse determir m bse ortoorml de E De fcto spodo qe ão são ortogois cosidere-se: e determie-se o lor de α de modo qe o ector α sej ortogol : se etão ( ) ( ) α α α isto é Assim os ectores e são ortogois Cosideremos gor o ector: e determie-se os lores de e de modo qe o ector sej ortogol os ectores e : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) bedo qe etão ( ) ( ) e isto é Assim os ectores e são ortogois Pode coclir-se o teorem por idção dmitido qe por este processo tehm sido obtidos ( ) ectores e cosiderr o ector: ode são tis qe o referido ector sej ortogol os ectores Os lores de qe precem em são: A bse { } é m bse ortogol Pr se obter m bse ortoorml bst mltiplicr cd i por i Assim bse:

9 Cpítlo V Espços Eclidios Prof Alzir Diis 7 é m bse ortoorml os ectores são ortogois e itários obtid prtir d bse { } bse ão ortogol O processo qe permite determição d bse ortoorml chm-se processo de Grm-chmidt edo em ist qe ( ) ( ) Do mesmo modo ( ) ( ) Os ectores podem ser epressos do segite modo: I) II) ( ) ( ) III) ( ) ( ) ( ) ( ) D mesm form terímos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Eemplo Os ectores ( ) ( ) e ( ) de R ão são ortogois e ão são todos itários Vejmos: Qto às orms:

10 Cpítlo V Espços Eclidios Prof Alzir Diis 7 Os ectores e são liermete idepedetes e germ R porém pesr de { } costitir m bse de R ão é m bse ortoorml A prtir del e tilizdo o processo de Grm-chmidt pode obter-se m bse ortoorml { } de R Vejmos como: ( ) ; ( ) ( ) ( ) Clclemos gor ( ) ( ) Etão ( ) ( ) Já clclmos ( ) e Clclemos gor Clclemos etão ( ) ( ) Precismos de clclr ( ) e id ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) Logo ( ) ( ) Logo edo ssim { } é m bse ortogol Flt clclr pr termos bse ortoorml:

11 Cpítlo V Espços Eclidios Prof Alzir Diis 7 Etão { } é m bse ortoorml Podemos cofirmá-lo prodo qe são ectores ortogois e itários: ortogois itários Vejmos gor o qe podemos dizer do ector ( ) E de R em relção ds bses diferetes: { } e { } cjos ectores já cohecemos: Eemplo O ector ( ) E de R pode ser epresso como combição lier dos ectores d bse { } referidos o eemplo terior e é itário ess bse De fcto: ( ) z E ( ) z ( ) z z z z Obtém-se

12 Cpítlo V Espços Eclidios z z z z Resoledo o sistem obtém-se e z logo E E E E Eemplo - O ector ( ) dos ectores d bse { } E de R pode ser epresso como combição lier referidos o peúltimo eemplo ms ão é itário ess bse De fcto: E z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( z) ( ) ( z) z isto é Resoledo o sistem obtém-se e z logo z E e E E ( ) E Form Qdrátic em E Ddo m espço ectoril E de bse { E E E } chm-se form qdrátic o poliómio homogéeo de segdo gr s compoetes de m ector X desse espço reltimete à bse Form Qdrátic o Plo A mtriz simétric rel: c c b bse ortoorml { E ( ) E ( ) } A ssoci o ector ( ) X de R referido à o poliómio segite X AX 7 Prof Alzir Diis

13 Cpítlo V Espços Eclidios c [ ] b c c b qe é m poliómio homogéeo do segdo gr em e chmdo form qdrátic do plo A cd ector X correspode m úmero rel: p AX X Eemplo - A mtriz simétric rel: A defie em R segite form X Ao ector qdrátic AX [ ] ( ) X por eemplo correspode o úmero rel: p 8 Redção d Form Qdrátic o Plo à Form Cóic Desigdo form qdrátic o plo X AX por p ( X) pode eprimir-se ess form qdrátic por p( X ) λ λ ode λ e mtriz A e ( ) s compoetes do ector X bse { } λ são os lores próprios d X os ectores próprios ssocidos λ e P X X sedo X e X X AX edo em λ De fcto: p( ) ist qe A é m mtriz simétric rel pode escreer-se: D P AP sedo D mtriz digol cjos elemetos são os lores próprios λ e λ e P mtriz ortogol formd pelos ectores próprios itários X e X ssocidos λ e λ A PDP bstitido A por p ( X) X PDP X o p( X) ( X P) D( P X ) P X P p X X DX X em ( ) P P PDP em p( X) X AX tem-se P X X Fzedo P o Ms λ D e P λ λ X e filmete λ X logo p( ) [ ] ( ) λ λ p X Assim X AX X P DX P o b c λ λ A form qdrátic o plo λ λ é deomid form cóic d form 7 Prof Alzir Diis

14 Cpítlo V Espços Eclidios Eemplo A form qdrátic: ( ) ( ) p X p X pode ser epress por De fcto I) A form qdrátic ( ) p X é defiid pel mtriz A Ms os lores próprios d mtriz A são λ e λ λ det A λi λ pois [ ] λ o sej ( λ)( λ) λ λ λ λ λ ± ( ) e ± ± λ λ λ Etão ( ) p X II) Por otro ldo os ectores próprios itários ssocidos λ e λ são respectimete λ λ X e X pois ( A λ I) X Pr λ tem-se ( ) o sej ( ) 9 obtedo-se ssim eremos etão ( ) Achemos o ector itário: ( ) 9 77 Prof Alzir Diis

15 Cpítlo V Espços Eclidios Pr λ tem-se 9 obtedo-se ssim o sistem 9 9 em-se etão ( ) Achemos o ector itário: ( ) obtedo eremos ssim P Etão P edo P X X P e spodo qe s compoetes de X sejm e X em X P X P isto é s isto é ( ) compoetes de X P são ( ) Assim ( ) ( ) e e pr X tem-se 8 Ateção Não esqecer qe ( ) bse { X X } são s compoetes de m ector X P isto é este cso P {( ) ( )} Etão defimos de qe géero terá qe ser ( ) : ( ) ( ) ( ) ( ) o sej 78 Prof Alzir Diis

16 Cpítlo V Espços Eclidios Prof Alzir Diis 79 teremos ssim 8 8 Etão ( ) o ( ) ( ) ( )