Gabarito da 2 a lista de MAT )u.v = Este produto interno representa o valor do estoque representado pelo vetor u.

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Felipe Garrau Ramalho
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1 Grio lis e MAT A forç resle em iesie N ireção o prir o semi-eio posiio os A eloie resle é m/h m âglo e -6 o sese O ião ee segir ireção -6 o soese Ese proo iero represe o lor o esoqe represeo pelo eor m - 6Use efiição e orm e s propriees e proo iero - Use hipóese e qe se é go < < ;/ eão os > emre-se mém qe orm e m eor é sempre - Use hipóese e qe se é oso;/ < < ; eão os < - emre-se qe os;/ / / e -/ - / 9 6 o Use o fo e qe - - e em segi se s propriees o proo iero ;/6 ;/6 Não Cor-eemplo : e 6 ms é iferee e - - A ição ão é omi - Não eise eor lo - Nem oos os eores são simeríáeis pr operção e ição - Não é ere isriiie mliplição e m eor pel som e eslr - A ição ão é ssoiiie - A ição ão é omi - Não eise eor lo - Nem oos os eores são simeríáeis pr operção e ição - Não é ere isriiie mliplição e m eor pel som e eslr É sespço Não é sespço É sespço Não é sespço R: e e são qisqer úmeros reis W é m plo qlqer qe pss pel origem W Não Feo - e iglo s ompoees orrespoees hegmos m sisem iompíel o sej ão eisem e pereees os reis l qe - K C 6 É sespço Não é sespço

2 6 - - i E A B C ii Não é possíel - Iso sigifi qe { -} é m se e R C - 6 Esreeo omo omição lier e e : Por igle e eores oemos o sisem D seg eqção emos Ssiio primeir eqção emos Ssiio os lores e e ereir eqção emos Esreeo omo omição lier e e : Por igle e eores oemos o segie sisem lier já form mriil: Ese sisem mie solção somee qo qe é oição qe e eem sisfer Bs mosrrmos qe os eores em W são omições lieres os eores os: Por igle e eores hegmos o sisem: O sisem é ompíel e eermio om e Poro os eores germ o plo R Com isso formmos o sisem ~ ~ ~

3 qe esloo é eqilee O sisem é ompíel e ieermio om e R Com isso mosrmos qe os eores germ o plo Um plo poe ser gero por ois eores o se esolhermos m oro eor qe sej omição lier os ois eores os eses rês eores germ o mesmo plo Um plo ão poe ser gero por m úio eor pois os sespços geros por m só eor são res psso pel origem Os ojos { } e { } são ois gerores e W 9 Bs er se é omição lier e e iso é R Assim oemos o sisem qe esloo é eqilee Poro o sisem é iompíel e om isso o eor ão peree o sespço gero por e Vmos mosrr qe os eores e M R são omições lieres os elemeos o ojo C o sej se pr emos: Isso os le o segie sisem: Esreeo-o form mriil emos eqilee hegmos o sisem e esloo O sisem é ompíel poro qlqer eor em M R poe ser esrio omo omição lier os eores o ojo C iso é C ger M R Fç D igle im forme o sisem e eqções qe esloo hegmos O sisem só mie solção qo Com isso } : { ] [ Eormos o sisem lier Esloo ese sisem oemos:

4 Ese sisem lier só mie solção qo qe é mesm oição o sespço gero por {- } Poro os ois ojos germ o mesmo sespço eoril U { : } { } { } Eão m ojo e gerores e U é { } V { : e } { } { } Assim m ojo geror e V é {-} U V { : e e } { : e } V Eão qlqer ojo qe gere V mém ger U V V { : }e W é o sespço o R gero por { o sej W { : } Eão W { } Com isso oemos o sisem lier qe esloo emos O sisem só mie solção qo - ogo W { : } Assim V W { : e } { : } { : } { } Poro é m geror e V W Sejm U e W ois sespços e m espço eoril V i e W om isso W ogo U W ii Sejm e W Eão e W Como U e W são sespços eoriis sege qe e W Dess form W iii Sej λ e W Eão λ e λ W pois U e W são sespços eoriis Com isso λ W Poro U W é m sespço e V Sejm U { : }e W { : } sespços o R Sej e W A som ão peree em U em W Poro som e sespços em sempre é m sespço 6 Sejm U e V espços eoriis e spoh qe U e V Como por hipóese U V é espço eoril sege qe U V ms iso qer ier qe U o V Spoh por eemplo qe U Como U é m espço eoril emos U e U Mosrmos qe se V eão U e iso eqüile er V U Se iéssemos sposo qe V mosrrímos qe U V Reipromee spoh qe U V Eão U V V qe por hipóese é m espço eoril ogo S ogo S S { R : e } { } { }

5 Assim e germ S Eses ão são os úios gerores e S pois qlqer oro pr e múliplos eslres o omições lieres eses ois eores mém germ S Por eemplo e germ S Sej [S] Eão pr em-se Por igle e eores oemos o sisem qe é eqilee o sisem 9 9 O sisem só mie solção qo 9 Poro } 9 : { S 9 Temos qe erifir se p é omição lier os elemeos o ojo Por igle e poliômios emos Ssiio os lores e qr eqção emos Poro o sisem é iompíel e om isso p ão peree o sespço gero por { - } Pr qe sejm I eles eem sisfer Femos Por igle e eores emos o segie sisem homogêeo N form mriil emos: Esloo oemos Se ese sisem for ompíel ele só erá solção riil e om isso são I Pr qe ele sej ompíel s qe iso é Se o sisem mie solção ão riil ess form sem qe sejm oos igis ero iso é os eores serim D Fç R oe Dess igle emos o sisem homogêeo: Ese sisem em meos eqções qe iógis om isso mie ifiis solções iepeee o lor e Poro os eores são D pr oo R

6 Sejm e Como { } é m ojo liermee iepeee sege qe os oefiiees omição lier im são oos igis ero iso é poemos formr o sisem homogêeo Ese sisem em somee solção riil Poro o ojo { } é I 6 O sojo o é m sojo e P e imesão e P é igl iso é o se e P em eores Por m eorem qe gre qe oo sojo liermee iepeee e m espço eoril e imesão em o máimo eores olímos qe o sojo o o eeríio é liermee epeee pois em poliômios É fáil er qe 6 Com isso m os eores ese sojo é esrio omo omição lier os oros ois Poro o sojo é liermee epeee { } é liermee iepeee pois se emos qe impli qe De fo oo ojo om m só eor é liermee iepeee ese qe ele ão sej lo Como ehm os eores poe ser oio mliplio-se o oro por m eslr eles ão são liermee epeees Poro o ojo é liermee iepeee e Sejm e fç Dess igle oemos o sisem homogêeo qe esloo é eqilee o sisem Como o sisem lier im mie solção ão riil emos qe o ojo é I f Como o eor lo peree ese ojo ele é liermee epeee pois qlqer ojo qe eh o eor lo é liermee epeee Sejm Κ e spoh Κ Se eremos Κ e omo o ojo S é liermee iepeee erímos Κ e ssim o ojo { Κ } seri liermee iepeee o qe orri hipóese ese ojo ser D ogo eemos er Com isso Κ Cosegimos ssim esreer omo omição lier os eores e S Spoh qe eis m or represeção e o sej qe eism Κ is qe Κ Eão Κ Κ Κ Κ Κ Como os eores Κ são I eão oos os eslres omição lier im são igis ero Assim Κ o sej s s represeções e são igis Poro represeção é úi

7 Agor o o sojo o R { } é fáil er qe ese é m sojo liermee epeee e e Como S é D eão eisem eslres ão oos los Κ Κ is qe Λ Λ Spoh qe Assim Λ Eão é omição os emis eores em S Reipromee sej m eor qe é omição os eores e S iso é Λ i Eão Λ Pelo meos o oefiiee e omição lier im é iferee e ero Poro o sojo S é D 6 Sejm is qe Como são I eão os oefiiees omição lier im são oos igis ero Assim oemos o sisem Ese sisem lier homogêeo mie pes solção riil poro os eores são I Sej A { Κ } Eão Κ iso é omição lier os eores e A im é l sem qe oos os oefiiees sejm igis ero Poro A é D Sej A { Κ Κ } l qe m pre e A sej D Por eemplo sej { Κ } A m pre liermee epeee Eão eisem eslres i Κ is qe Λ sem qe oos os i sejm igis ero Eão Λ Λ Como es omição lier em oos os oefiiees são los oli-se qe A é D Sej A { Κ } Sej { Λ } m pre qlqer e A e Λ Spoh qe Λ Eão Λ Λ qe é m omição lier os eores em A Como A é I sege qe oos os oefiiees omição lier im são igis ero logo Λ Poro { } é I Sejm Fç Eão Ssiio seg eqção pel primeir eqção som seg emos: Sege pel seg eqção qe Ssiio primeir eqção emos qe qe impli qe pois por hipóese Com isso emos Poro e são I i Sejm e fç

8 Dess igle hegmos o segie sisem lier homogêeo e ssiio ereir eqção por mliplio pel primeir eqção som ereir eqção hegmos o sisem eqilee: Pr qe o ojo e eores sej I o sisem ee er somee solção riil Pr qe iso oeç eemos er - o - o qe eqüile e 9 Se m os eores o é lo eão { } é D Eão spoh qe mos sejm iferees o eor lo Eão e om e iferees e ero De hegmos Como ssiio o lor e emos qe o sej é múliplo eslr e Poro { } é D BM X im M im W BW im W BW im W ; BW {} im W ; BW { } e im W ; BW { --} f im W 6 ; BW 6 { } Os eores são D poro ão formm se Sim os eores formm se logo: Os eores formm se eão: Como imesão e M R é s erifir qe os eores os são I liermee iepeees Esre o eor geério omo omição lier os qro eores os Um se é: { } 6 [6] [6] / / [6] 6 [-] B [6] B 6 [-] B Bse { } 9 i B W {-- -} ; im W ii {-- - } iii Bse ôi: { } Nehm sojo e eores se ôi ão irá gerr W

9 9 6 im Bse im Bse 6 { : - } 6 Bse {-/ / -/ / }; im Bse { }; im 6 Bse { - -}; im Bse { }; im 6 B U { }; im B V { }; im B U V { }; im B U { - }; im B V { }; im B U V { }; im 6 Referee o 6 66 Elío 6 B U { }; im ; B W { }; im B UW { - - -}; im B U W { }; im 6 Referee o B U { - }; im B W { }; im B UW { - -}; im B U W { - }; im [ ] / / / [ - ] A [ - ] B / 6 / / [ - ] C / / [ - ] I B [] I B [] B B I B / / [] B / {½ ½ ½ ½ -½ ½ ½ -½ -½}

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