Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas. Cálculo de Volumes por Cascas Cilíndricas

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1 UNIERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Cálculo de olumes por Cscs Cilídrics Se ftirmos perpediculrmete o eixo y, oteremos um rruel. Ms pr clculrmos os rios itero e extero d rruel, terímos de resolver equção cúic y = x - x 3 pr x em termos de y; isto ão é fácil. Prof.: Rogério Dis Dll Riv Cálculo de olumes por Cscs Cilídrics.Itrodução.Resolução de Exemplos Algus prolems de volume são muito difíceis de lidr pelos métodos ds seções teriores. Por exemplo, vmos cosiderr o prolem de ecotrr o volume de um sólido otido pel rotção o redor do eixo y pel região limitd por y = x -x 3 e y =, coforme figur seguir. Felizmete existe um método, chmdo Método ds Cscs Cilídrics, que é mis fácil de usr em csos como esse. A figur seguir mostr um csc cilídric de rio itero r, rio extero r e ltur h. O seu volume é clculdo pel sutrção do volume do cilidro itero do volume do cilidro extero.

2 = = πr h πr h = π r r h = π r + r r r h Dividimos o itervlo [, ] em suitervlos [x i-, x] i de mesm lrgur x e cosideremos x i o poto médio do i-ésimo suitervlo. Se o retâgulo com se [x i-, x] i e ltur f ( xi ) é girdo o redor do eixo y, etão o resultdo é um csc cilídric com rio médio x i, ltur f ( xi ) e espessur x, coforme figur seguir. r + r = π h r r Se fizermos r = r r r = r + r ( espessur d csc) (o rio médio d csc) etão fórmul pr o volume de um csc cilídric se tor = π rh r e pode ser memorizd como = [circuferêci] [ltur] [espessur] = π rh r ( π ) i ( i ) = x f x x Agor cosidere S como o sólido otido pel rotção o redor do eixo y d região limitd por y = f (x) [ode f (x) ], y =, x = e x =, ode >, coformemostrdo figur ixo Portto, um proximção pr o volume de S é dd pel som dos volumes desss cscs: π = = x f x x i i i i = i = Ess proximção tor-se melhor qudo. Ms,peldefiiçãodeitegrl,semosque i ( i ) π lim π xi f x x = =

3 O volume do sólido figur ixo, otido pel rotção o redor do eixo y d região so curv y = f (x) de té é: Exemplo : Determie o volume do sólido otido pel rotção o redor do eixo y d região limitd pory=x x 3 e y =. < ode A melhor meir pr se lemrr d fórmul terior é pesr em um csc típic, cortd e chtd como figur ixo, com rio x, circuferêci πx, ltur f (x) e espessur x ou dx. Solução: Do esoço d figur ixo, vemos que um csc típic tem rio x, circuferêci πx e ltur f (x) =x x 3. ( π ) = x f x dx circuferêci ltur Esse tipo de rgumeto será útil em outrs situções, tis como qudo girmos o redor de outrs rets lém do eixo y. Etão, pelo método ds cscs, o volume é: π = π x x x dx = x x dx 4 5 x x = π = = 5 5 π 5 π 3

4 A figur ixo mostr o gráfico gerdo pelo computdor do sólido resultte: Etão o volume é: 3 π = π x x x dx = x x dx 3 4 π x x π = 3 4 = π = Exemplo : Determie o volume de um sólido otido pel rotção o redor do eixo y d região etrey =x e y=x. O exemplo seguir mostr que o método d csc fucio em tmém qudo girmos o redor do eixo x. Simplesmete, temos de desehr um digrm pr idetificr o rio e ltur d csc. Solução: A região e um csc típic são mostrds figur ixo. emos que csc tem rio x, circuferêciπx e ltur x x. Exemplo 3: Use cscs cilídrics pr determir o volume do sólido otido pel rotção o redor do eixo x d região so curv y =x / de. 4

5 Solução: Pr usr s cscs escrevemos y = x / como x = y, coforme figur ixo. Solução: A figur ixo mostr região e csc cilídric formd pel rotção o redor d ret x =. Est tem rio x, circuferêci π ( x) e ltur x x. Pel rotção o redor do eixo x, vemos que um csc típic tem rio y, circuferêci πy e ltur y. Etão o volume é y f y dy 3 π = π y y dy = y y dy 4 π y y π = 4 = π = 4 Ovolumedosólidoé 3 π = π x x x dx = x 3x + x dx 4 3 π x x x π π = + = + = 4 4 Exemplo 4: Determie o volume do sólido otido pel rotção d região limitd por y = x x e y = o redor d ret x =. 5