Espaços Vectoriais. Sérgio Reis Cunha. Outubro de Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

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1 APONTAMENTOS DE ÁLGEBRA Espços Vectors Sérgo Res Ch Otbro de Fcldde de Egehr d Uersdde do Porto Lcectr em Egehr Electrotécc e de Comptdores

2 Espços Vectors Defção de Espço Vectorl / Defção de Espço Vectorl Defção Um espço ectorl V sobre m corpo de esclres C é m cojto ão zo de elemetos, os qs se chmm ectores, qe poss s segtes propreddes: Está defd m operção bár de som de dos ectores de V, d ql reslt m ector de V, tl qe o cojto V reltmete est operção é m cojto belo: o, V + V, o, V + = +, o w,, V ( + ) + w = + ( + w ), o : ( ) V V + = + = z =, o : + = + = ( ). V V Está defd m operção de mltplcção de m ector de V por m esclr do corpo, d ql reslt m ector de V, com s segte propreddes: o α C V α V o αβ, C V α ( β ) ( αβ) o αβ, C V ( α β) α β o α C + V α ( ) α α V =, ode é o elemeto etro mltplcto do corpo C. Dorte pes se cosderm os espços ectors sobre o corpo dos res (C = ), desgdos por espços ectors res, e sobre o corpo dos complexos (C = ), desgdos por espços ectors complexos. Exemplos Espço ectorl sobre o corpo dos res, ode os ectores são represetdos por -plos ordedos: x x = x A som de ectores é dd por: x x + y x x + y = = + = x x + y A mltplcção de m esclr por m ector é dd por:

3 Espços Vectors Defção de Espço Vectorl 3/ x x = x αx αx α = αx A fgr bxo mostr os segtes ectores em = = 3 = 3 3 : 4 = + = 5 = + 3 = 3 3 z 3 5 y x 4 Espço ectorl dos polómos de gr meor o gl e de coefcetes res: () px = x + x + + x + ode cd ector é descrto pelos ses coefcetes: p =. A som de ectores correspode à som de polómos: ( ) p x = x + x + + x + p ( x ) = b x + b x + + bx + b b b p ( x) + p ( x) = ( + b ) x + ( + b ) x + + ( + b ) x + ( + b )

4 Espços Vectors Defção de Espço Vectorl 4/ p = b b b p b b = b b b p p b b = + + A operção de mltplcção por m esclr é defd trés de: ( ) px x x x = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) px x x x α α α α α = p = p α α α α α = Teorem Em qlqer espço ectorl erfc-se qe V =, ode é o elemeto etro dto do corpo e é o ector lo (elemeto etro dto do grpo costtído pelo espço ectorl reltmete à operção de som de ectores). Demostrção ( ( )) ( ( )) + + = +, ode ( ) é o erso (oposto) de reltmete à operção de dção de ectores. Vsto qe ( ( )) + = (seão ão serm ersos m do otro), obtém-se + =, de ode se cocl flmete qe =. Teorem Em qlqer espço ectorl, o erso dto do elemeto etro mltplcto do corpo sobre o ql está defdo o espço ectorl, qdo mltplcdo por qlqer ector do espço, reslt o erso do ector reltmete à operção de dção de ectores: ( ) V =. Demostrção ( ) ( ) ( ( )) + = + = + = =. Como m grpo o erso é úco e ( ) + =, etão ( ) =.

5 Espços Vectors Sbespços Vectors 5/ Defção de Sbespço Vectorl Defção Sej V m espço ectorl e sej V m sbcojto de V tl qe V sej tmbém m espço ectorl reltmete às operções de dção de ectores e mltplcção por m esclr qe defem V como espço ectorl. Etão dz-se qe V é m sbespço ectorl de V. Teorem Sej V m espço ectorl e sej V m sbcojto de V. Reltmete às operções de dção de ectores e mltplcção por m esclr qe defem V como espço ectorl, V é m spespço ectorl de V se e só se: V é ão zo; V é fechdo reltmete à operção de dção de ectores: +. V, V V é fechdo reltmete à operção de mltplcção por m esclr: Demostrção α V. α C V Vsto qe m sbespço é, ele própro, m espço ectorl e qe s três codções pertecem à xomátc dos espços ectors, terão ecessrmete qe ser cmprds. Rest pes erfcr sfcêc ds mesms pr qe V sej m espço ectorl. Assm, erfc-se de segd qe ests codções mplcm os resttes xoms dos espços ectors: A comttdde e ssoctdde d som de ectores são propreddes d operção qe, erfcdo-se o cojto V, tomtcmete se erfcm em qlqer sbcojto de V, como sej V ; Sedo o cojto V ão zo, V. Sedo fechdo reltmete à operção de mltplcção por m esclr, o elemeto etro d dção de ectores pertece V, pos = V porqe α V α. O erso de qlqer ector de V tmbém pertece V porqe, como referdo m teorem teror, ( ) = e ( ) V se V. As propreddes d operção de mltplcção de m esclr por m ector, erfcdo-se pr o cojto V, tmbém se erfcm pr m sbcojto de V, como sej V. Verfcdo-se qe V =, tmbém é erdde qe V =, sto qe V V. C

6 Espços Vectors Sbespços Vectors 6/ Exemplo de m sbespço ectorl Ddo o espço ectorl s solções d eqção: germ m sbespço V de V, pos V 3 de ectores form: 3 :, V + V : x = y, z x + y + z = ( + + = ); x = y z x = y z x + x + = y + y z + z ( x + x ) + ( y + y ) + ( z + z ) = ( x + y + z ) + ( x + y + z ) = + =. Logo + V se V e V ; α V α : V Logo V α V. x = y z αx α = αy αz αx + αy + αz = α( x + y + z) = α =. z x V y

7 Espços Vectors Depedêc e Idepedêc Ler 7/ Depedêc e Idepedêc Ler Defção Sedo V m espço ectorl e S = {,,, } m cojto de ectores de V, m combção ler dos ectores de S é qlqer ector represetáel form = α+ α+ + α ode α, α,, α são qsqer esclres do corpo sobre o ql está defdo V. Pel xomátc dos espços ectors, V. Defção Um ector de m espço ectorl V dz-se lermete depedete do cojto de ectores tmbém de V, S = {,,, }, se e só se exstrem esclres α, α,, α ts qe = α+ α+ + α. Se ão exstrem esclres qe stsfçm est gldde, etão dz-se qe é lermete depedete de S. Um form ltert de defr depedêc ler é: Defção Um cojto S = {,,, } de m espço ectorl V dz-se lermete depedete (o qe os ses ectores são lermete depedetes) se e só se gldde α + α + + α= mplcr ecessrmete qe α = α = = α =. Teorem Sej S = {,,, } m cojto de ectores do espço ectorl V. O cojto de ectores d form: é m sbespço ectorl de V. { : α α α,,,, C } U = = α α α Demostrção De cordo com m teorem teror, bst pror qe U é ão zo e qe é fechdo reltmete às operções de dção de ectores e mltplcção por m esclr: U é ão zo, porqe, por exemplo, α = e α = = α = ). Sejm w, U qsqer. Etão:,,, : α α α C = α + α + + α U (este ector é obtdo seleccodo e β, β,, β C : w = β + β + + β + w = ( α+ α+ + α) + ( β+ β+ + β) = = ( α + β ) + ( α + β ) + + ( α + β ).

8 Espços Vectors Depedêc e Idepedêc Ler 8/ Cocl-se qe + w U porqe α + β, α + β,, α + β C. Sejm U e β C qsqer. Etão: α α α = α + α + + α,,, : C e β = β( α+ α+ + α) = = ( βα ) + ( βα ) + + ( βα ). Cocl-se qe β U porqe βα, βα,, βα C. Defção Ao cojto de ectores form U = { : = α+ α+ + α} de m espço ectorl o ql pertecem os ectores do cojto S = {,,, } chm-se espço (sbespço) gerdo pelo cojto S (o pelos ectores,,, ). Dz-se d qe S é m cojto gerdor do espço U.

9 Espços Vectors Bses de Espços Vectors 9/ Bses, Dmesões e Coordeds Teorem Sejm,,..., ectores qe germ V. Se for lermete depedete dos resttes, etão,...,, +,..., tmbém ger V. Demostrção Sej Etão V. α, α,..., α : = αjj () j = No etto é depedete dos resttes. Etão: β,..., β,,..., : β β βjj + = j = j Sbsttdo em ( ) obtém-se: = α + α β j j j j j= j= j j = ( α + αβ ) j = j j j j Logo é combção ler de,...,, +,...,. Sedo V qlqer, etão,...,, +,..., ger V. Defção Bse de m espço ectorl é qlqer cojto de ectores lermete depedetes qe ger o espço ectorl. Exemplo: 3 Bse de : = = 3 = Bse de : = = x z 3 y

10 Espços Vectors Bses de Espços Vectors / Teorem A represetção de qlqer ector de V m s bse é úc. Sej = α e j = etão αj = βj j { } j j,..., = βj j = j Demostrção = + ( ) = + ( ) = α + ( ) β = j j j j j= j= ( α β ) ( β ) j j j j j= j= j= α + = = j j j Como,..., é m bse, etão são lermete depedetes. Etão erfc-se qe α β = Logo αj = βj j {,..., } j j j {,..., } Teorem Sej {,,..., } m bse de V. Sejm,,..., m ectores de V lermete depedetes. Etão m. Demostrção Spohmos qe m >. Sedo {,,, } m bse de V e porqe V, é m combção ler de,,..., : = αjj. j = Como (seão o cojto,,..., m ser lermete depedete), etão αj pr lgm j {,..., }. Spohmos α. αj Etão pode-se dzer qe = + j α. α O cojto { } j= j,,...,, +,..., ger V, porqe tem j, j e tmbém ger. é lermete depedete de j, j, seão ser lermete depedete de, Logo {,,...,, +,..., } é m bse de V. j j

11 Espços Vectors Bses de Espços Vectors / O procedmeto pode ser repetdo com, e ssm scessmete. Em cd terção crescet-se m dos ectores e retr-se m dos ectores. Os ectores qe sem d bse podem ão ser os,,... e sm os, porqe os são lermete depedetes dos qe etrm. Por otrs plrs, represetção de como combção dos ectores,, e dos d o cojto tem grtdmete m dos coefcetes de m dos ectores ão lo. Cosege-se por este processo costrr m bse costtíd por {,,..., }, o qe é o mesmo qe dzer qe os prmeros ectores do cojto,,..., m costtem m bse de V. Ad sobrm m ectores. Como os prmeros são m bse, etão os qe sobrm são depedetes dos prmeros. Logo, se,,..., m são lermete depedetes, ão é possíel qe m >, erfcdo-se tes qe m. Coroláro Ds bses de V têm o mesmo úmero de elemetos. Demostrção Se são bses, são cojtos lermete depedetes. Pelo teorem teror, se o cojto com meor úmero de elemetos é m bse, o de mor ão poderá ser lermete depedete, ão podedo etão ser m bse. Assm, o o prmero ão é bse, o o segdo ão é bse. Defção Ao úmero de elemetos de qlqer bse de m espço ectorl chm-se dmesão do espço ectorl. Defção Sej = α úc represetção de V bse,..., de V, de dmesão. = Aos coefcetes α, α,..., α chmm-se coordeds de ess bse. Exemplo Pror qe s solções d eqção x + y + z = formm m sbespço de 3. Dr exemplos de solções. Costrr m bse pr s solções.

12 Espços Vectors Norm e Prodto Itero / Norm e Prodto Itero Defção A orm de ectores m espço ectorl V é m fção qe ssoc cd ector V m úmero rel ão egto. É represetd por (o d ) e stsfz os V segtes xoms: > e = ; /, V α = α α ; + +, V (desgldde trglr). Norms ss As três orms ms ss em e : Norm : = x + x x ode Norm o ecld: ( ) ½ = x + x x Norm : mx { x, x,..., x } = x x =... x Geerlzção: orm p [, [ / p = x p Exemplo = = 3 p = = 6 = 4 = 3 = = = 5 Verfc-se qe lm = p + p p p p ( { }) { } ( ) / / p = mx x mx x = = p p / p

13 Espços Vectors Norm e Prodto Itero 3/ Defção Sej m orm em V. Um scessão de ectores { } em V dz-se coergr pr V se e só se scessão de úmeros res coerge pr. Teorem d eqlêc de orms Se m scessão coerge pr m determd orm de m espço ectorl, coerge pr tods s orms desse espço ectorl (e sempre pr o mesmo lor ). Defção de prodto tero Sej V m espço ectorl rel. Um prodto tero em V é m fção qe ssoc cd pr ordedo de ectores de V m úmero rel, represet-se por, e stsfz os segtes xoms: =,,, V α + β, w = α, w + β, w e w, α + β = α w, + β w, w,, V, αβ,, > e, = se e só se =. Sej V m espço ectorl complexo. Um prodto tero em V é m fção qe ssoc cd pr ordedo de ectores, Vm úmero complexo, represetdo por,, e stsfz:, =, α + β, w = α, w + β, w e w, α + β = α w, + β w, w,, V, αβ,, e, > e, = se e só se =. Exemplos ) Prodto tero sl em : x y x y =... =... x y = = 3 ) Prodto tero etre polómos:, = xy + xy xy, = + ( ) + 3 = Cosderdo o espço de polómos px () de gr feror o gl o terlo [, ], m prodto tero pode ser defdo por:

14 Espços Vectors Norm e Prodto Itero 4/ Teorem = p ( x), p ( x) p ( x) p ( x) dx Pr qlqer prodto tero, em V (rel o complexo) erfc-se qe ½ ½,,,, V Demostrção Se, =, etão desgldde é trlmete stsfet, porqe, e, Se, : + α, + α = + α, + α + α, =, + α, + α, + αα, α, Escolhedo α = (ote-se qe, ):,,,,,,, +,,,,,,, +,,,, +, ( ) Logo / /,,, c.q.d. Nots:,, α = =,,, é rel,, =, Teorem Sej, m prodto tero defdo em V. A fção qe cd ector V ssoc m lor rel ão egto trés de =, ½ é m orm em V. Desg-se por orm dzd pelo prodto tero. Demostrção ½ =, > se e pel xomátc do prodto tero) / =, = se = ½ ½ ½ α = α, α = ( α, α ) = ( αα, ) (trlmete stsfeto

15 Espços Vectors Norm e Prodto Itero 5/ + ( ) / = α, = α, = α = +, + ½ = (, +, +, +, ) ½ (, +, +, +, ) ½ ( ½ ½ ½ ½ ) ½,,,,,, ½ ½ ( ) ½,,,, ½ ½ (,, ) ½ = = + + = = + = ½,, = + = + Logo + + c.q.d. ½ dz orm ecld em O prodto tero sl em x x =... x ½ ½, x = = = Exemplo de otro prodto tero, ão sl: x y = x = y, = 3xy + xy Norm dzd por este prodto: ½ =, = ( 3x + x ) ½.

16 Espços Vectors Norm e Prodto Itero 6/ Âglo etre ectores em reltmete o prodto tero sl = + cos( θ) θ Sbsttdo pel orm dzd pelo prodto tero obtém-se:, =, +,,, cos( θ) ½ ½ / /,,, +, =, +,,, cos( θ) (, +, ) = cos( θ),, cos( θ ) = = ½ ½,,

17 Espços Vectors Ortogoldde e Projecções 7/ Ortogoldde e Projecções Defção: ortogoldde Dos ectores dzem-se ortogos m espço ectorl com orm defd por m prodto tero se e só se, =. Um cojto de ectores o mesmo espço dz-se ortogol se e só se qsqer dos ectores dsttos do cojto forem ortogos etre s. Defção: ersor O ector V, ode V é m espço ectorl ormdo, obtdo prtr de otro ector V tl qe trés de = tem orm e desg-se por ersor d drecção e setdo defdos por. Defção: cojto ortoormdo Um cojto de ectores ortogos m espço ectorl com prodto tero defdo e orm dzd pelo prodto tero em qe todos têm orm tár (são ersores) dz- -se m cojto ortoormdo. Teorem Um cojto de ectores ão los e ortogol é ecessrmete lermete depedete. Demostrção Spohmos qe {,..., } é ortogol, ms qe é combção ler dos resttes: α : = α j j j j= j Como, etão pelo meos m dos Spohmos α, k {,...,, +,..., } Etão α é ecessrmete ão lo. j k, k = αj j, k = αj j, k = αj j, k + αk k, k j= j= j= j j j, k Como os ectores são ortogos,, = se j k j k No etto, como k, k, k > Etão, k = αk k, k, o qe cotrr hpótese de e k serem ortogos. Logo {,..., } tem qe ser m cojto lermete depedete.

18 Espços Vectors Ortogoldde e Projecções 8/ Coroláro Um cojto de ectores {,..., } ão los e ortogos m espço ectorl com prodto tero defdo é m bse do sbespço ectorl gerdo por eles. Teorem Sej B = {,,..., } m bse ortogol de m espço ectorl V com prodto tero e sej V qlqer. As coordeds de ess bse são dds pelo prodto tero de cd elemeto d bse com, dddo pelo prodto tero do elemeto d bse por ele própro:, = α, ode α =, = Demostrção N, =, α = α, = j j j j j= j= j= j = α, + α, = α, j j Logo α =,, Coroláro Sej B = {,..., } m bse ortoormd de m espço V ormdo e cj orm é dzd por m prodto tero. Sej V qlqer. Etão s coordeds de ess bse são dds pelo prodto tero de cd elemeto d bse com : = α, ode α =, = Demostrção Decorre medtmete do teorem teror, otdo-se qe, =. Defção: Projecção em sbespço defdo por bse ortogol Sej V m espço ectorl com prodto tero. Sej m sbespço gerdo pelo cojto ortogol B = {,..., }. À fção qe cd ector V ssoc m ector de trés de: ' = P ( ) = α ode m = α =,, chm-se projecção sobre o sbespço : ' = P ( ).

19 Espços Vectors Ortogoldde e Projecções 9/ V Propreddes Se etão P ( ) = Demostrção: Verfqe-se qe, se, etão é combção ler dos ectores, de B, sedo s coordeds defds d mesm form: α =, é ortogol qlqer ector de. P ( ) Demostrção: P ( ) é ortogol cd m dos ectores de B: ( ),, P ( ) m, P = = =, α, j j j = =, α,, =,, =,, =, Um ez qe qlqer ector ' é combção ler dos ectores de B: m ' = β, obtém-se: j = j j m ', P = β, P = ( ) ( ) j j j = Logo, dz-se qe P ( ) é ortogol o sbespço. A fção P ( ) é ler: P ( + ) = P ( ) + P ( ) P ( α) = αp ( ) Demostrção:

20 Espços Vectors Ortogoldde e Projecções / Notdo qe expressão, α = é ler reltmete o prodto tero,, e qe o prodto tero é ler reltmete, etão P ( ) tmbém é ler reltmete. Teorem Sedo V m espço ormdo com orm defd pelo prodto tero e o sbespço gerdo pelo cojto ortogol B = {,..., m }, etão pr qlqer V, projecção P ( ) reslt o ector de qe é ms próxmo de o setdo em qe: ' P ( ) ' Demostrção ' = ', ' = P + P ', P + P ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( ) '), ( ) = P + P ( P ) + ( P ( ) ' ) = P, P + P, P ' + ( ) ( ) ( ) ( ) + P ', P + P ', P ' ( ) ( ) ( ) ( ) = P, P + P ', P ' ( ) ( ) ( ) ( ) P ' V Est últm gldde decorre do fcto de ( ), o qe, pel segd propredde presetd, mplc qe P ( ), P ( ) ' = P ( ) ', P ( ) =. Sedo tmbém m fcto qe P ( ) ', P ( ) ', obtém-se flmete: ' ' V V V ( ) ( ) = ' P, P P ( ) P c.q.d. ' ( ) Teorem de Grm-Schmdt Obteção de m bse ortogol (ortoormd). Sej V m espço ectorl com prodto tero (e orm por ele dzd) gerdo pelo cojto de ectores A = {,..., }. Pode-se costrr m bse ortogol (ortoormd) de V pelo procedmeto segte: Escolh-se o prmero ector de A,, e coloqe-se bse B = { }. (Pr m bse ortoormd s-se B = ). Pr cd m dos resttes ectores, =,...,, clcl-se = P ( ) ode V é o sbespço gerdo pel bse té etão costríd, B. V

21 Espços Vectors Ortogoldde e Projecções / Se for lo, etão é depedete dos ectores terores e é descrtdo. Se é ão lo, crescet-se bse pretedd: B = B { } (Pr m bse ortoormd, crescet-se B B = ) : Exemplo / Exercíco Costrr m bse ortogol pr o (sb)espço gerdo por =,, = = 3 = = B =, qe ger V, 4 P ( ) = = V = + =, Logo, é descrtdo. B = { } =, qe ger V ( = V ) ½, 3 = P 3 3 ( ) = = V 3, = ½ ½ B = 3 {, 3} =, ½ ½ Esgotdos todos os ectores, obtém-se B = B =, 3. ½ Verfc-se qe são ortogos:

22 Espços Vectors Ortogoldde e Projecções / ½, ½ = = Obteção de m bse ortoormd: B 3 3 ½,, ½ 6 ½ = = 6 4 6, 6 4 =.