1. Revisão Matemática

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1 1. Revsão Matemátca Dervadas Seja a fução f : R R, fxe x R, e cosdere a expressão : f ( x+ αe ) lmα 0 α f, ode e é o vector utáro. Se o lmte acma exstr, chama-se a dervada parcal de f o poto x e é represetado por f / x ) ou f / x. ( Assumdo que todas estas dervadas parcas exstem, o gradete de f em x é defdo pelo vector colua : f x1 f = f Prof. João Setero ISR x 1 º Semestre 003 / 04

2 1. Revsão Matemátca Dervadas Para qualquer y R, defmos a dervada u-drecoal de f a drecção de y ( f ( x + αy) f f x; y) = lm, α 0 α assumdo que o lmte exste. Note a partr das defções que f ( x; e ) = f ( x; e ) f ( x; e ) = ( f / x ) Se dervada drecoal de f em x (vector) exste em todas as drecções y e f ( x; y) é uma fução lear de y, dz-se que f é dferecável em x. Este tpo de dferecabldade é também chamado dferecabldade Gateaux. Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04

3 1. Revsão Matemátca Dervadas () f é dferecável em x sse o gradete f exste e satsfaz f y = f ( x; y) para todo y R. () A fução f dz-se dferecável um dado subcojuto S de R se é dferecável em qualquer x S. A fução f dz-se dferecável se é dferecável em todos x R. () Se f é dferecável um cojuto S e o gradete f é cotíuo em todo x S, f dz-se cotuamete dferecável em S. Uma tal fução é tambem cotíua em S e tem a propredade : ode é uma orma arbtrára. f ( x + y) f f y lm y 0 = 0, x S, y Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04

4 1. Revsão Matemátca Dervadas Dervadas de Fuções vectoras Se f : R Rm é uma fução vectoral, dz-se dferecável (cotuamete dferecável) se cada compoete f de f é dferecável (cotuamete dferecável). A matrz gradete de f deomada f, é a matrz m cuja colua é gradete de f f. Assm : [ f (x) f (x)]. f(x) = 1 m A trasposta de f é chamada o Jacobao de f Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04

5 1. Revsão Matemátca Dervadas Se cada uma das dervadas parcas duma fução f : R R é uma fução cotuamete dferecável de x etão usamos a otação : ( f / x x )( x) para dcar a dervada parcal de f / x um poto x R j A Hessaa de f, desgada por f, é a matrz cujo elemeto j é gual a : ( f / x x )( x) ( ) ( ) ) Temos para qualquer x e portato f / x x f / x x ( x f é j = j smétrca. j j Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04

6 1. Revsão Matemátca Prcpas teoremas relacoados com fuções dferecáves PROPOSIÇÃO 14.1: Se f :R R é cotuamete dferecável um tervalo aberto I, etão para qualquer x, y I, exste algum ξ [ x,y] tal que f ( y) f = f ( ξ )( y x) Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04

7 1. Revsão Matemátca Prcpas teoremas relacoados com fuções dferecáves PROPOSIÇÃO 15.1: (Expasões de Seguda Ordem) Seja f : R R dupla e cotuamete dferecável uma esfera aberta S cetrada um vector x. x+ y S, 1 t 1 f ( x y) f y f y ( f ( x y) d dt) y. + = τ τ 0 0 (a) para todo o y tal que (b) para todo o y tal que f ( x + y) = (c) para todo o y tal que x+ y S, exste um α 0, 1 tal que f + y f + x+ y S verfca-se Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04 1 y 1 f + f ( x + αy) y. ( ) ( x + y) = f + y f + y f y o y

8 1. Revsão Matemátca Cotracções Mutos algortmos teratvos podem ser descrtos por : ode g é uma aplcação de um subcojuto propredade : X R em s própro e tem a Aqu é uma orma, e γ é um escalar com 0 γ 1. Uma tal aplcação chama-se uma cotracção. O escalar γ chama-se módulo da cotracção g. NOTA: Uma aplcação g pode ser uma cotracção para uma escolha de orma e ão o ser para outra escolha x k+ 1 = g( x k ), k = 0,1,..., g g( y) γ x y, x, y X Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04

9 Seja a aplcação a teração 1. Revsão Matemátca Cotracções g: X X. Qualquer x X satsfazedo g x = x dz-se um poto fxo de g e x 1 defe um algortmo mportate para ecotrar um tal poto fxo. k + = g x k PROPOSIÇÃO 16.1: (Teorema da Cotracção) Supoha que fechado de g: X X é uma cotracção com módulo γ 0, 1 e que X é um subcojuto R. Etão : (a) (Exstêca e Ucdade de Poto Fxo) A aplcação g tem um úco poto fxo (b) (Covergêca) para qualquer vector cal x 1 g coverge para x. Em partcular, k + = x k x X x k x* γ k x 0 x*, k 0 0, a sequêca { k } x X. x gerada por Prof. João Setero ISR 1 º Semestre 003 / 04