Capitulo 8 Resolução de Exercícios

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1 FORMULÁRIO Audades Peródcas, Crescetes e Postecpadas, com Termos em P. A. G G SPAC R R s s G G C R a R a 1 1 PAC Audades Gradetes Postecpadas S GP G 1 1 ; C GP G Audades Gradetes Atecpadas G (1 ) 1 SGA (1 ) C G (1 ) 1 (1 ) ; GA 1 S S (1 ) ; C C (1 ) GA GP Audades Gradetes, Decrescetes e Postecpadas G 1 1 G SGDP G 1 G 1 1 CGDP Audades Gradetes, Decrescetes e Atecpadas G 1 CGDA 1 (1 ) 2 1 e o motate correspodete, a época -1, é dado por: G 1 SGDA 1 (1 ) 2 1 e o motate correspodete, a época, é dado por: 1 1 S S S GDA GDA GDP GA GP Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 96

2 FORMULÁRIO Audades Iftas, Crescetes e Postecpadas, com Termos em P. A. G R C a, 2 Audades Peródcas, Crescetes e Postecpadas, com Termos em P.G. R Para q 1 CGG q ; S R1 1 GG Para R q 1 CG G 1 q 1q 1 S R ; GG 1 q 1 q Audades Peródcas, Iftas, Crescetes e Postecpadas, com Termos em P.G. R se q 1 CG, 1 q Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 97

3 8. Exercícos Propostos 1) Quato devemos aplcar, o da de hoje, em um vestmeto que rede % a.m. para que possamos sacar dez parcelas mesas, cosderado que as mesmas formem: a) Uma audade crescete em P.A., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão gual a R$ 300,00, com a prmera parcela daqu a 1 mês? b) Uma audade crescete em P.A., com termo cal de R$ 2.000,00 e razão gual a R$ 200,00, com a prmera parcela daqu a 2 meses? c) Uma audade decrescete em P.A., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão gual a R$ 300,00, com a prmera parcela daqu a 1 mês? d) Uma audade decrescete em P.A., com termo cal de R$ 4.000,00 e razão gual a R$ 200,00, com a prmera parcela daqu a 2 meses? e) Uma audade crescete em P.G., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de crescmeto mesal), com a prmera parcela daqu a 2 meses? f) Uma audade decrescete em P.G., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a prmera parcela daqu a 2 meses? 1) audade crescete em P.A., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão gual a R$ 300,00, com a prmera parcela daqu a 1 mês G C CPAC R ,0 R , , 0 1 C 0,01 0,0 0,0 1 0,0 C 3683, , , $ ,81 A plalha a segur mostra a resolução usado a fução VPL do Excel. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 98

4 b) audade crescete em P.A., com termo cal de R$ 2.000,00 e razão gual a R$ 200,00, com a prmera parcela daqu a 2 meses G 1 C CPA C R , , ,0 1 0,0 200 C 0,01 0,0 0,0 1 0,0 1 C,46986 R$ ,02 24, 63012, ,0 A plalha a segur mostra a resolução usado a fução VPL do Excel. c) audade decrescete em P.A., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão gual a R$ 300,00, com a prmera parcela daqu a 1 mês Observado que o termo cal é gual a vezes a razão, e que temos termos, podemos laçar mão da expressão do valor atual de uma audade gradete, decrescete e postecpada; ou seja: G , 0 1 CGDP $13.669,9 R 1 0,0 0,0 1 0,0 A plalha a segur mostra a resolução usado a fução VPL do Excel. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 99

5 d) audade decrescete em P.A., com termo cal de R$ 4.000,00 e razão gual a R$ 200,00, com a prmera parcela daqu a 2 meses Note que este caso podemos cosderar essa audade como a soma de uma audade uforme, dferda em 1 período e com termo gual a R$ 2.000,00, com uma audade gradete, decrescete e postecpada, dferda em 1 período. Logo, seu valor atual pode ser calculado como a soma dos valores atuas de cada uma das duas audades. O prmero valor atual, C 1, da audade uforme, é dado por: C1 R m, ode m é o prazo do dfermeto 1 1 0,0 1 0,0, 0 1 C , , 0663 O segudo valor atual, C 2, da audade gradete decrescete, é dado por: C C G m, ode m é o prazo do dfermeto ,0 200, ,029 0, 0 0, 0, Logo o valor atual da audade orgal, C, é dado por: C C1 C , ,03 R$ ,17 A plalha a segur mostra a resolução usado a fução VPL do Excel. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 0

6 e) audade crescete em P.G., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão 1,06 (6% de crescmeto mesal), com a prmera parcela daqu a 2 meses R q q 1 CGG 1 1q m, ode m é o prazo do dfermeto C , $ ,18 GG 1 0,0 1,06 1 0,0 1 0,0 R A plalha a segur mostra a resolução usado a fução VPL do Excel. f) audade decrescete em P.G., com termo cal de R$ 3.000,00 e razão 0,94, com a prmera parcela daqu a 2 meses R q q 1 CGG 1 1q m, ode m é o prazo do dfermeto C , $17.38,38 GG 1 0, 0 0,94 1 0,0 1 0, 0 R A plalha a segur mostra a resolução usado a fução VPL do Excel. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 1

7 2) Pedro cotrau um empréstmo de R$.000,00 que será pago em parcelas mesas, que formam uma audade gradete, crescete com o prmero pagameto ao fal de 6 meses. Se a taxa de juros que o baco cobra de Pedro é de % a.m., quas os valores da prmera e décma parcelas? O fluxo de caxa represetatvo do problema é: Logo, a equação de valor é dada por: 11 G 1 0, ,01 0,0 0,0, Vale ressaltar que o últmo pagameto de uma audade gradete crescete e postecpada, tem o valor 1 G; o que acarretou fazermos = 11, a equação acma. G 000 3, , G R$ 324,14 0, 0817 Portato o valor da 1ª parcela é R$ 324,14; e o da últma parcela correspode a R$ 3.241,40. Podemos modelar este problema de dversas maeras. Vamos, este caso, utlzar as fuções VPL e Solver do Excel; como mostrado as plalhas abaxo Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 2

8 3) Thago pretede fazer dez retradas mesas, formado uma audade gradete, crescete, com termo cal e razão de R$ 00,00; com a prmera retrada devedo ser realzada daqu a 6 meses. Sabedo que Thago tem uma cadereta de poupaça, com aversáro o da de hoje, e saldo de R$ 1.000,00, quato deverá depostar regularmete (depóstos uformes e mesas), de hoje até a data de sua últma retrada, para que o saldo fal da cadereta (juros de 6%a.a.c.m.) seja R$ 2.000,00, medatamete após a últma retrada? Como o saldo fal a época 1 (data da últma retrada) deve ser R$ 2.000,00, cosderaremos esta data como a data focal para estabelecmeto da equação de valor. Represetado retradas como setas para cma, e depóstos como setas para baxo, temos a segute lustração para o fluxo de caxa: Logo, temos a segute equação de valor: , , 00 1 R R , ,00 0,00 0,00 ode, para o emprego da fórmula do motate da audade gradete, crescete, tedo em vsta retradas, fez-se Assm: 77, , R1,3648 R , 66 16, R 28838,97726 R R$1.73,80 A plalha a segur mostra uma das possíves modelages para resolução do problema o Excel. 1 Como estudado a seção.2.1 do capítulo, as caderetas de poupaça, além de pagarem juros à taxa de 6% a.a.c.m, cosderam também a taxa referecal, TR. No caso, estaremos supodo que a TR fque ula durate todo o prazo cosderado. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 3

9 4) João fez um facameto para compra de um carro o valor de R$ 0.000,00. O vededor apresetou dversas opções de pagameto, descrtas a segur, as quas a prmera parcela tem carêca de 3 meses: a. 0 parcelas mesas guas o valor de R$ 1.00,00 b. 0 parcelas mesas formado uma audade com termos em P.A., com termo cal de R$ 00,00 e razão de R$ 0,00. c. 30 parcelas mesas formado uma audade com termos em P.G., com termo cal de R$ 2000,00 e taxa de crescmeto de 2% a.m. Se João quer pagar a meor taxa de juros, qual das três opções deve escolher? Por se tratar, em cada opção, de um fluxo de caxa com apeas uma varação de sal, podemos garatr que exste apeas uma taxa tera de retoro. Isso possblta que a aálse possa ser feta através da escolha do facameto com a meor taxa tera de retoro. Facameto do tpo (a) A equação de valor é: ou , Por se tratar de uma fução muto complexa, utlzaremos a aálse gráfca da fução para saber uma estmatva da taxa tera de retoro. Para tal, chamaremos de f () a fução Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 4

10 represetada pelo lado esquerdo da equação. O gráfco de f () é represetado a segur, para dos tervalos ( 0 ; 1) e (0 ; 0,1), os qual podemos verfcar a exstêca de apeas uma raz e ter uma boa estmatva de seu valor. Logo, a raz da equação está o tervalo aberto (1% ; 2%). Portato, laçado mão do método da bsseção, começaremos ossa aálse pela taxa 1,%a.m.. Para = 1,%a.m. o lado esquerdo da equação é gual a 0,6393; sto é, maor que zero, dcado que a ova tetatva deve ser um valor etre 1,% e 2%. Para = 1,7%a.m. o lado esquerdo da equação é gual a -1,32231; sto é, meor que zero, dcado que a ova tetatva deve ser um valor etre 1,% e 1,7%. Para = 1,62%a.m. o lado esquerdo da equação é gual a -0,36161; sto é, meor que zero, dcado que a ova tetatva deve ser um valor etre 1,% e 1,62%. Para = 1,62%a.m. o lado esquerdo da equação é gual a 0,13378; sto é, meor que zero, dcado que a ova tetatva deve ser um valor etre 1,62% e 1,62%. Realzado mas algumas terações chegaríamos a = 1,792%a.m. que tem uma aproxmação da ordem de -6. Este mesmo problema podera ser resolvdo utlzado o Excel, de dversas maeras. Mostraremos aqu apeas duas delas. Na prmera, utlzamos a fução TIR do Excel e explctamos o fluxo de caxa. Na seguda, utlzamos as fuções faceras e a fução Solver do Excel. Vale ressaltar que como a fução TIR exge apeas uma sequêca de valores para dcar o fluxo de caxa, tvemos que dvdr a fgura em duas partes; mostradas a segur, uma ao lado da outra. Como de costume, a fórmula apresetada a célula D2 represeta a efetvamete serda a célula D1. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága

11 1 2 Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 6

12 Alteratvamete, usado a fução [TIR] da HP 12C, tem-se: [f][reg]0000[chs][g][cf 0]0[g][CF j][g][cf j]100[g][cf j]0[g][n j][f][irr]1,7921 Facameto do tpo (b) Tedo em vsta a fórmula para C PAC e o dfermeto de 2 meses tem-se: ou Como já observado o fluxo de caxa só troca de sal uma vez; podemos, pos, garatr que só exstrá uma taxa tera de retoro. Portato, fazedo o gráfco da fução f (), formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estmatva do seu valor. O gráfco abaxo represeta f () o tervalo (0 ; 0,1). Pela comparação dos gráfcos de f (), dos facametos (a) e (b), poderíamos costatar, por speção vsual, que o facameto (a) apreseta uma taxa tera de retoro feror a do facameto (b); sedo, portato, uma melhor opção que o facameto (b). Poderíamos utlzar o método teratvo para descobrr o valor da TIR. Porém, resolveremos o problema utlzado o Excel e sua fução TIR, a partr do fluxo de caxa. A plalha a segur mostra, portato, apeas um possível ecamhameto para a solução. Vale ressaltar que como a fução TIR exge apeas uma sequêca de valores para dcar o fluxo de caxa, tvemos que dvdr a fgura em duas partes; mostradas a segur, uma ao Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 7

13 lado da outra. Como de costume, a fórmula apresetada a célula D2 represeta a efetvamete serda a célula D1. Facameto do tpo (c) Em casos tas como este, o prmero passo é testar a solução q1. Se esta fosse válda, deveríamos ter, cosderado o dfermeto de 2 meses: C GG 2 R , ,2941 q 2 Como a gualdade ão é satsfeta, sabemos que teremos q 1 q 11,02 1 0,02. Portato, a equação de valor que defe a taxa cobrada o facameto é: Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 8

14 0000 ou Captulo 8 Resolução de Exercícos , , , ,02 1 Como o fluxo de caxa só troca de sal uma vez, podemos garatr que só exstrá uma taxa tera de retoro. Portato, fazedo o gráfco da fução f (), formada pelo lado esquerdo da equação, podemos ter uma estmatva do seu valor. O gráfco abaxo represeta f () o tervalo (0 ; 0,1). Poderíamos utlzar o método teratvo para descobrr o valor da TIR. Porém, resolveremos o problema utlzado o Excel e sua fução TIR, a partr do fluxo de caxa. A plalha a segur mostra esse ecamhameto. Pela comparação dos gráfcos de f (), dos facametos (a) e (c), poderíamos costatar, por speção vsual, que o facameto (a) apreseta uma taxa tera de retoro feror à do facameto (c); sedo, portato, uma melhor opção que o facameto Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 9

15 (c); Logo, João devera optar pelo facameto (a), pos é o que apreseta a meor taxa tera de retoro. ) O Govero do Estado do Ro de Jaero deve realzar obras para revtalzação a Av. Brasl, prcpal acesso rodováro à cdade do Ro de Jaero. Exstem duas propostas para tal obra. A prmera, utlzado asfalto ormal, com vda útl de cco aos, ao custo cal de R$ ,00/km, e custo aual de mauteção formado uma P.A., postecpada, com termo cal de R$ 0.000,00 e razão de R$.000,00. A seguda, utlzado um ovo tpo de asfalto, deomado asfalto emborrachado, que utlza peus velhos em sua composção; sedo, portato, ecologcamete correto e com vda útl de 12 aos. Seu custo cal é de R$ ,00/km, e custo aual de mauteção formado uma P.G., postecpada, com termo cal de R$ ,00 e taxa de crescmeto de 1%a.a. Cosderado que exste dspobldade orçametára para ambas as opções, qual deve ser a escolhda, cosderado um custo de captal de %a.a.? Como as duas opções têm vdas útes dsttas devemos comparar o custo médo de cada opção, as suas respectvas vdas útes. 2 Para tal, devemos ecotrar o valor atual de cada uma das audades e soma-los com seu respectvo custo cal; e a segur, e a dstruí-lo uformemete pela duração de sua vda útl. Opção do Asfalto Normal (custo médo R AN ) 0, , , 0 1 CPAC 0000 $ , 00 R 0,01 0,0 0,0 1 0,0 Logo RAN 0,0 1 0, R$184.12, 60, 0 1 Opção do Asfalto Emborrachado (custo médo R AE ) , 01 q 1 C GG 1 R$ , 24 12,0 1,01 1 0,0 Logo RAE 12 0,0 1 0, , R$ ,3 12,0 1 Portato, a opção pelo asfalto emborrachado deve ser a preferda. 2 Justfcaremos tal crtéro de seleção o capítulo 11. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 1

16 A plalha abaxo mostra os cálculos, para ambas as opções, utlzado as fuções VPL e PGTO do Excel. Mas uma vez, as fórmulas apresetadas as coluas C e F represetam as efetvamete serdas as respectvas células das coluas B e E. 6) Recosdere o exercíco, a hpótese de prevsão de flação futura à taxa de 3%a.a. Qual sera, esse caso, a opção preferível? Prmeramete, deveremos explctar a taxa de juros real R, a partr da taxa de juros aparete (=%a.a.) e da taxa de flação (I=3%a.a.). 1,0 1 1 R 1 I 1,0 1,03 1 R R 1 0, ou1,9417% a. a. 1,03 Por outro lado, supodo que os custos de mauteção ão sejam reajustados, devemos calcular o fluxo de caxa real de ambos os casos deflacoado os fluxos do exercíco. Os fluxos reas, sto é, os fluxos a preços da data atual, são os apresetados a tabela abaxo (ode a colua Valores Aparetes represetam os custos de mauteção a preços corretes). Período Val.Aparetes Valores Reas Período Val.Aparetes Valores Reas , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,21994 Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 111

17 Matematcamete, as expressões que represetam as parcelas reas de mauteção do asfalto ormal RN j e do asfalto emborrachado REj, são dadas por: RN RE j j j 1 j 1 I , 01 j I j1, j 1,2,...,, j 1,2,...,12 Devemos, agora, descotar os respectvos fluxos reas à taxa real, para somar com o respectvo custo cal; e, a segur, expressa-los em termos de custos médos, ao logo das respectvas vdas útes. Comparado, etão, seus custo médos reas. Vale otar que os valores atuas a época zero, cosderado os fluxos aparetes, à taxa aparete, se gualam aos dos respectvos fluxos reas, à taxa real. Portato, os valores atuas calculados o exercíco podem ser utlzados para obter os custos médos reas de cada opção. Ou seja, o custo médo real do asfalto ormal (R AN ) e do emborrachado (R AE ) são, tedo em vsta a taxa real de 1,9417%a.a. RAN RAE 0, , R$ ,8 1 0, , , , R$120.47,39 12, A plalha abaxo mostra os cálculos, para ambas as opções, utlzado as fuções VPL e PGTO do Excel. Mas uma vez, as fórmulas apresetadas as coluas D e H represetam as efetvamete serdas as respectvas células das coluas C e G. Mas uma vez, o asfalto emborrachado sera o preferdo; já que apreseta o meor custo médo aual. 7) Calcular o prmero termo de uma audade mesal, postecpada e de termos, cujo valor presete é R$ ,00, à uma taxa de juros de % a.m., os casos em que: a) a audade é em P.A. com razão R$ 200,00. b) a audade é em P.G. com taxa de decrescmeto de %a.m. Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 112

18 a) Audade em P.A. com razão R$ 200,00. A equação de valor é dada por: R 0, , , ,0, 0 0,0 1 0,0 ou , , 72173R Logo o prmero termo, R, é: , 4098 R R$ 4.360,37 7, b) Audade em P.G. com taxa de decrescmeto de %a.m. Como q,0 0,9 1 1,0, tem-se R 0, , 0 0,9 1 0, 0 ou ,32427R Logo o prmero termo, R, é dado por: R R$ 6.324, ) Um facameto deve ser pago em cco parcelas mesas, que formam uma P.A., postecpada, com termo cal e razão guas a R$ 1.000,00. O tomador do empréstmo pretede sugerr que o facameto seja pago em cco parcelas guas. Calcular o valor das parcelas se o baco trabalha com taxa de juros compostos de 12%a.a., e a prmera parcela tem vecmeto de hoje a 1 mês ,12 1 0, ou 0, 9489% a. m. m C C GAP GAP 1 1 a , , , , , , , , 4681 Queremos que:, CGAP R 4,86078R 0, , Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 113

19 Logo, temos: 14490, ,86074 R R R$ 2.981,11 9) Um facameto deve ser pago em cco parcelas mesas, que formam uma P.G. com termo cal gual a R$ 1.000,00 e taxa de decrescmeto de %. O tomador do empréstmo pretede sugerr que o facameto seja pago em dez parcelas guas. Calcular o valor das parcelas costates se o baco trabalha com taxa de juros compostos de 2%a.m., e as prmeras prestações, em ambos os casos, têm vecmeto de hoje a 1 mês. 00 0,9 q 1 C GG , 73784, 02 0,9 1 0, 02 Queremos que:,02 1 CGG R 8,9828R 0, 021 0, 02 Logo, temos: 4273, ,9828 R R R$ 47,78 ) Uma empresa está fazedo seu plaejameto facero de curto prazo (12 meses, de jaero a dezembro), e projeta que os custos com a folha de pessoal, prevsta para jaero, o valor de R$ 0.000,00, decresçam à taxa de %a.m., durate o ao; devdo a uma polítca de aposetadoras cetvadas. Sabedo-se que o dretor facero pretede fazer uma aplcação que rede 1%a.m., que valor C deve depostar o da 26 de dezembro para fazer frete às despesas com a folha de pessoal o próxmo ao, paga o da 26 de cada mês, cosderado o pagameto do 13º salaro juto com o saláro de dezembro? Como q 0,9 11 0,01, tem-se: , ,9 C 1 R$ , , 0,9, 01, 01 Itrodução à Matemátca Facera Faro & Lachtermacher Versão Fal Pága 114

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