Teoria Elementar da Probabilidade. a) Cada experiência poderá ser repetida indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas.

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1 Estatístca 47 Estatístca 48 Teora Elemetar da Probabldade SPECTOS PERTINENTES À CRCTERIZÇÃO DE UM EXPERIÊNCI LETÓRI MODELOS MTEMÁTICOS DETERMINÍSTICOS PROBBILÍSTICOS PROCESSO (FENÓMENO) LETÓRIO - Quado o acaso terfere a ocorrêca de um ou mas dos resultados os quas tal processo se pode traduzr. Face à cojugação de um determado úmero de codções, um resultado aleatóro pode ou ão ocorrer. Exemplo 1: Laçameto ao ar de uma moeda equlbrada. Os resultados " SI CR " (H) ou " SI CORO " (C) são aleatóros. Cada resultado aleatóro é a cosequêca de úmeras causas fortutas. Exemplo 2 : Laçameto de um dado e observação do resultado apresetado a face superor. a) Cada experêca poderá ser repetda defdamete sob codções essecalmete alteradas. b) Muto embora ão sejamos capazes de afrmar que resultado partcular ocorrerá, seremos capazes de descrever o cojuto de todos os possíves resultados da experêca. c) Quado a experêca for executada repetdamete, os resultados dvduas parecerão ocorrer de uma forma acdetal. Cotudo, quado a experêca for repetda um grade úmero de vezes, aparecerá uma regulardade. EXPERIÊNCIS LETÓRIS, ESPÇOS MOSTRIS E CONTECIMENTOS EXPERIÊNCI LETÓRI - Desga uma stuação à qual estejam assocados, de forma ão cotrolada, dos ou mas resultados possíves. Exemplos : Laçameto de uma moeda H-C ao ar uma vez ( resultados possíves : " SI CR " (H) ou " SI CORO " (C) ).

2 Estatístca 49 Estatístca 50 Laçameto de uma moeda H-C ao ar tatas vezes quatas as ecessáras até sar H ( cojuto fto umerável de resultados possíves : 1,2,3,...) O atraso de um comboo ( com uma fdade de resultados possíves : [0, +![ ). ESPÇO MOSTRL - Cojuto de todos os resultados possíves de uma experêca aleatóra. Exemplos : Cosderado as experêcas aleatóras defdas aterormete temos: Espaço amostral : S = { H, C } Espaço amostral : S = {1, 2, 3, } Espaço amostral : S = {t : t " 0 } Os espaços amostras podem ser dscretos ou cotíuos, cosoate os seus elemetos sejam umeráves ou ão. Os espaços dscretos podem ser ftos ou ftos. O espaço amostral assocado a uma experêca aleatóra depede da forma como a experêca é avalada sto é, depede daqulo que estamos a observar. Exemplo : Cosdere-se a experêca costtuída pelo laçameto ao ar da moeda H-C três vezes cosecutvas. Se o resultado for avalado pelo úmero de H obtdos (º de vezes em que " SI CR"), o espaço amostral é costtuído pelo cojuto {0, 1, 2, 3}. Se o resultado for avalado pela sequêca de H e C etão o espaço amostral é costtuído por oto resultados possíves. 1º laça/ 2º laça/ 3º laça/ F S FFF F C FFC C F FCF F C FCC C F CFF F C CFC C F CCF C CCC Árvore de resultados Dagrama de Ve (utlzada a represetação de resultados de experêcas sequecas) cotecmeto - Cojuto de elemetos de um espaço amostral, sto é, cojuto de resultados possíves assocados à realzação de uma experêca aleatóra. cotecmeto smples/composto cotecmeto certo/mpossível

3 Estatístca 51 Estatístca 52 CCF FFF 1 FCC FCF 2 CFC FFC CFF CCC 1 - " Saída de duas caras " (acotecmeto composto) 2 - " Saída de três coroas " (acotecmeto smples) Como os acotecmetos são cojutos, podemos aplcar-lhes as operações de reuão, tersecção e complemetardade, defdo ovos acotecmetos. S #B B S $B S B #B - acotecmeto que ocorrerá sse ou B (ou ambos) ocorrerem $B - acotecmeto que ocorrerá sse e B ocorrerem - acotecmeto complemetar de em S, ocorrerá sse ão ocorrer Dos acotecmetos dzem-se mutuamete exclusvos se ão puderem ocorrer smultaeamete, sto é se $B = % Coceto de probabldade Defção clássca Se uma experêca aleatóra tver N resultados mutuamete exclusvos e gualmete prováves e se um acotecmeto cotver N desses resultados ( N & N), etão a probabldade do acotecmeto é dada por : P ( ) = N N! umero de casos favoraves$ # & " umero de casos possves % Defção geométrca Permte ultrapassar uma lmtação da defção clássca de probabldade e que resulta do pressuposto de que o úmero de resultados possíves assocados a cada experêca aleatóra é fto. Etão vem que: P ( ) = med med S represetado "med" uma medda de dmesão de uma qualquer regão cluída um espaço amostral cotíuo S de uma experêca aleatóra. Defção frequecsta No decurso de N repetções de uma experêca aleatóra, um acotecmeto ocorre N vezes (0&N &N). frequêca relatva de ocorrêca desse acotecmeto é: N f = N

4 Estatístca 53 Estatístca 54 Defe-se probabldade de como o lmte de f quado o úmero de repetções tede para fto: N P( ) = lm f = lm N!" N!" N Defção axomátca Basea-se em propredades resultates das defções aterores e asseta os três axomas segutes: 0 & P() & 1 P(S) = 1 P (#B) = P() + P(B) se e B mutuamete exclusvos Propredades: P() + P() = 1 P(%) = 0 P (#B) = P() + P(B) ' P($B) para e B quasquer ( B ) P() & P(B) Métodos de eumeração Regra da multplcação Procedmeto procedmeto 2 Regra da adção procedm. 1 procedm rrajos e Permutações Cosderem-se elemetos dsttos. Pretede-se cotar o úmero de maeras de escolher k elemetos (0&k&) de etre esses, cosderado a sua ordem. Exstem: Se k = vem: k =! (! k) =! = P Combações Cosderem-se ovamete elemetos dsttos.o úmero de maeras de escolher k elemetos (0&k&) de etre esses, sem cosder a sua ordem é: C k =! " # $ k% & =!! k! k! ( ' ) Permutações com algus elemetos repetdos Cosderem-se ovamete elemetos pertecetes a k espéces dsttas.o úmero de permutações possíves desses elemetos é dado por:! 1! 2! L k! em que + + L + =. 1 2 k

5 Estatístca 55 Probabldade codcoada e acotecmetos depedetes Probabldade codcoada, P( B ) - probabldade de ocorrêca de um acotecmeto quado se admte que ocorreu um acotecmeto B : ou P( B) = (! B) P( B) P P(! B) = P( B) " P( B) P() - probabldade a pror P( B) - probabldade a posteror (com P(B) > 0) Dos acotecmetos dzem-se depedetes se: P( B) = P( ) (com P(B) > 0) ou P( B) = P( B) (com P() > 0) e portato: P! B = P " P B (com P() " 0 e P(B) " 0 ) ( ) ( ) ( ) Teorema de Bayes B 2 B 1 B 3 Estatístca 56 ( ) P( B ) P B! P B = = P( ) " = 1 ( ) P( B ) P( B ) P( B ) em que B 1, B 2,, B costtuem uma partção do espaço amostral S, sto é: B! B = ", * +j O resultado : j = 1 B = U S P B > 0, * ( ) ( ) = ( )! ( ) P P B P B " = 1 é o eucado do teorema da probabldade total e obtémse a partr da decomposção de em acotecmetos mutuamete exclusvos, sto é: ( ) ( ) ( ) =! B1 "! B2 " L "! B Varáves aleatóras Seja, uma experêca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experêca. Uma fução X, que assoce a cada elemeto s, S um úmero real X(s), é uma varável aleatóra. Sobre um mesmo espaço amostral podem ser defdas dferetes fuções (varáves aleatóras). " dscreto! v. a. dscreta Cotrado m o da aplcaçao # $ cotuo! v. a. cotua B 4 B 5 B 6

6 Estatístca 57 Estatístca 58 É possível defr varáves aleatóras mstas que correspodem à combação dos cocetos de varáves aleatóras dscretas e cotíuas. O cotradomío da fução correspode ao domío da varável aleatóra,r x, que de certo modo, poderemos cosderar como um outro espaço amostral assocado à varável aleatóra X e represetado a característca umérca que os teressa. S B s X(s) X Seja B um acotecmeto o cotradomío R x. Nesse caso defe-se P(B) como: P(B) = P() em que = { s, S : X(s), B } R x Notação: X - varável aleatóra x - valor que a varável aleatóra assume Varáves aleatóras dscretas varável aleatóra X dz-se dscreta se o úmero de valores possíves para X sto é, R x, for fto ou fto umerável. Etão X - { x 1, x 2, x 3, }. Fução de probabldade px Propredades ( x) p X (x ) " 0, *! = 1 px ( x) = 1 p X (x) = P ( X = x ) ( ) " px x se x = x = # $ 0 se x! x Fução de dstrbução (ou de probabldade acumulada) ( ) = (! ) = " ( ) FX x P X x px xk xk! x Propredades F X ( x ) é moótoa crescete e cotíua à dreta F X (-! ) = 0 F X (+! ) = 1 P ( a < X & b) = F X ( b ) - F X ( a ) Nota: p X (x j ) = F X (x j ) - F X (x j-1 ) Varáves aleatóras cotíuas varável aleatóra X dz-se cotíua se R X, cotradomío de X, for um tervalo ou cojuto de tervalos reas.

7 Estatístca 59 Estatístca 60 Fução desdade de probabldade fx ( x ): P( a! X! b ) = " a b fx ( x ) dx Propredades f X (x) " 0, * x-. #!" +" fx ( x ) dx = 1 Nota: f X (x) dx = probabldade de X - [x, x + dx] + P(X = x) = 0 Fuções de varáves aleatóras Seja, uma experêca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experêca. Seja X uma varável aleatóra defda em S. dmta que y = H (x) é uma fução real de x. Etão, Y = H (X) é uma varável aleatóra porque para todo o s - S fca determado um valor de Y tal que y = H (X(s)). S R X R Y s X X(s) = x H H(x) = y Fução de dstrbução (ou de probabldade acumulada) FX ( x ) = P ( X! x ) = x " #$ fx ( u ) du Propredades F X (x) é moótoa crescete : x 2 > x 1 ) F X (x 2 ) > F X (x 1 ) F X (-! ) = 0 F X (+! ) = 1 P ( a & X & b ) = F X ( b ) - F X ( a ) F X (x) " 0, * x d F ( x ) X = fx d x ( x ) R X : valores possíves da fução X (cotradomío de X) R Y : valores possíves de Y (cotradomío da v.a. Y) cotecmetos equvaletes Seja C um acotecmeto assocado ao cotradomío R Y de Y. Seja B ( R X defdo como : B = { x - R X : H (x) - C } Etão B e C são acotecmetos equvaletes e defe-se: P ( C ) = P [ { x - R X : H (x) - C }] = P [ { s - S : H [ X(s) ] - C }]

8 Estatístca 61 Estatístca 62 Varáves aleatóras dscretas F Y (y) = P ( Y & y ) = P ( H(X) & y ) = P (? & X &? ) Seja X uma v.a. dscreta. Etão Y = H(X) é também uma v.a. dscreta e dada p X (x ), podemos obter: f Y (y) = d F Y d y ( y ) p Y ( y j ) = P ( Y = y j ) =! P ( X = ) em que x : H (x ) = y j Seja X uma v.a. cotíua e Y= H(X) uma v.a. dscreta. Etão se { Y = y j } for equvalete a um dado acotecmeto, o cotradomío R X de X vem que: p Y ( y j ) = P ( Y = y j ) = ( ) Varáves aleatóras cotíuas! f x dx Seja X uma v.a. cotíua e Y = H(X) também uma v.a. cotíua. Dada f X (x) podemos obter f Y (y) por dos métodos: Método 1 ) Obter F Y (y), a fução de dstrbução da v.a. Y, determado-se o acotecmeto (em R X ) que é equvalete ao acotecmeto {Y & y }. ) Dervar F Y (y) em ordem a y para obter f Y (y). ) Determar os valores de y (em R Y ) para os quas f Y (y) " 0. x Método 2 (apeas quado H(X) é estrtamete moótoa) fy ( y ) ( x ) f = X = fx d y d x ( x ) d x d y x = H -1 (y) Nota: aplcação do método pode ser geeralzada desde que se decompoha H(X) em tervalos em que seja estrtamete moótoa (crescete ou decrescete). Varáves aleatóras bdmesoas Seja, uma experêca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experêca. Sejam X = X(s) e Y = Y(s) duas fuções cada uma assocado um úmero real a cada resultado s - S. Desga-se (X,Y) por v.a. bdmesoal. S s Y X X(s) Y(s) R X R Y