Estimação pontual, estimação intervalar e tamanho de amostras

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1 Estmação potual, estmação tervalar e tamaho de amostras Iferêca: por meo das amostras, cohecer formações geras da população. Problemas de ferêca, em geral, se dvdem em estmação de parâmetros e testes de hpóteses. Neste curso cosderaremos problemas de ferêca evolvedo estmação de parâmetros Estmação de parâmetros: A estmação é o processo que cosste o uso de dados da amostra (dados amostras) para estmar valores de parâmetros populacoas descohecdos, tas como méda, desvo padrão, proporções, etc. Estmador: é uma fução dos elemetos da amostra, que será usada o processo de estmação do parâmetro desejado. O estmador é, como vemos, uma estatístca. Será, portato, uma varável aleatóra caracterzada por uma dstrbução de probabldade e seus respectvos parâmetros própros. Estmatva: cada valor partcular assumdo por um estmador.

2 ESTIMATIVA PONTUAL: é uma estmatva de um úco valor para um parâmetro populacoal. ESTIMATIVA INTERVALAR: é um tervalo de valores usado para estmar um parâmetro populacoal. Eemplo: Cosdere um amostra aleatóra das alturas, em cm, de meos de 5 aos: 65, 70, 70, 68, 78, 80, 68, 50, 7, 70 Pergutas típcas de estmação de parâmetros em relação a estes dados são: A partr dos dados amostras e cosderado que a amostra fo retrada de uma população com méda descohecda: (a) Estme um úco valor represetado o parâmetro descohecdo. > estmação potual b) Estme um tervalo de possíves valores para.> estmação tervalar. Estmação Potual de um parâmetro θ : parâmetro (valor umérco costate e descohecdo da população) θˆ : estmador potual ( estatístca vsado estmar o parâmetro) Um estmador θˆ é uma fução dos valores amostras que é usado para estmar o valor de um parâmetro descohecdo θ.o estmador é uma varável aleatóra com uma dstrbuç ão de probabld ade. Quado uma amostra aleatóra é selecoad a de uma população e θˆ é calculado a partr dos dados, o valor umérco da amostra cosderada. obtdo é chamado uma estmatva de

3 Algus estmadores potuas: Parâmetro da população ( ) Estmador ( ) Méda ( ) Méda amostral ( ) Proporçao ( p ) Proporção amostral ( p ) Desvo-padrão ( ) Desvo-padrão amostral ( S ) Como escolher um estmador? () Deve ser ão evesado (ão tedecoso) Um estmador θˆ é ão evesado para o parâmetro θ se E(θˆ) θ, qualquer que seja o verdadero valor de θ. Se esta propredade ão é satsfeta, θˆ evesado. é um estmador Lembre-se: E () é o valor esperado de. 3

4 () Selecoe o estmador que tem meor varâca Selecoe o estmador ão evesado de que tem meor varâca, qualquer que seja o valor de. Se ele estr, ele é chamado de estmador ão tedecoso de míma varâca. O desvo - padrâo (DP) do estmador θˆ erro padrão e será deotado :ε(θˆ) DP (θˆ) é chamado Ilustrado a déa de evesameto Cosdere a varâca de uma população de tamaho N: σ N μ) N, ode μ é é a méa populacoal. Vamos supor que temos uma amostra aleatóra de tamaho e queremos estmar, a partr da amostra, a varâca da população. Cosderemos duas stuações: (a) A méda populacoal μal ohecda. Vamos defr o estmador θˆ μ) 4

5 Vamos verfcar se o estmador defdo é ouão evesado : E(ˆ) E ) ) E ) por tato se cohecermos amédapopulacoal o estmador ˆ ) ão evesado. (b) Cosdere que ão cohecemos amédapopulacoal. Podemos estmar amédapopulacoalpelaméda amostral e defr, por aaloga, o estmador da varâca como: ˆ ) e vamos testar se este estmador é ouão evesado. 5

6 6 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) que é ão evesado. S θˆ Da a defção vsta o co do curso para a varâca amostral: é evesado. μ θˆ e portato o estmador da varâca σ )σ ( σ σ μ E μ E Etão: E(θˆ) μ μ e vamos usar a detdade: E Temos: E(θˆ) Note que: ão evesameto ão deve ser cosderado um crtéro ecessvamete mportate para julgar um estmador a medda em que, o valor esperado é apeas uma das possíves meddas de cetro. Estem eemplos de estmadores evesados que tem cocetração de probabldade prómo do parâmetro maor do que o estmador ão evesado de míma varâca. Etretato, este curso, os estmadores mas comumete utlzados são ão evesados.

7 Estmação potual da méda populacoal ( μ ) parâmetro: μ (méda populacoal) dados:,,..., (amostra aleatóra estmador: (méda amostral) σ erro padrão da méda: ε () de tamaho ) amostragem sem reposção de população fta: ε() σ N N se ão cohecer σ, estme o erro usado desvo amostral S Estmação potual da proporção populacoal ( p ): parâmetro: dados: : úmero de ocorrêcas de uma certa característca estmador: p (proporção populacoal) uma amostra aleatóra de tamaho pˆ erro padrão da proporção: ε(pˆ) p( p) amostragem sem reposção de população fta: ε(pˆ) p( p) N N se ão cohecer p, estme o erro usado a proporção amostral pˆ 7

8 Note que o erro padrão da proporção depede da proporção populacoal, ou de alguma estmatva dela como por eemplo a própra proporção amostral. Etretato, se ão for possível obter alguma estmatva de p, e como para qualquer valor de p temos a desgualdade p(-p) /4, o erro padrão é lmtado por ε(pˆ) Estmação tervalar de um parâmetro populacoal Um estmador tervalar de um parâmetro é um tervalo que é prevsto para coter o parâmetro. A cofaça que atrbumos ao tervalo é a probabldade de que ele rá coter o parâmetro. 8

9 Cosdere o parâmetro. Seja ( - a ) umaprobabldade especfcada e L e U fuções dos valores amostras X,..., X demodo que P(L U) - a Etão o tervalo (L,U)é chamado tervalo de cofaça de 00( - a )% parao parâmetro, e ( - a ) chamado de ível de cofaça assocado ao tervalo., O ível de cofaça (NC) é a probabldade -α, que é a proporção de vezes que o tervalo de cofaça realmete cotém o parâmetro populacoal, supodo que o processo seja repetdo um úmero grade de vezes. Algus íves de cofaça geralmete usados. NC a Para NC 0,90 ou (90%) α 0, Para NC 0,95 ou (95%) α 0,05 Para NC 0,99 ou (99%) α 0,0 9

10 Vamos cosderar prmero a estmatva tervalar para a proporção populacoal Eemplo de uma estmatva tervalar: A estmatva de IC de 95% para a proporção populacoal p é 0,38 < p < 0,497. Iterpretação: Há uma terpretação correta e mutas erradas, dferetes e cratvas para o IC. Correta: Estamos 95% cofates de que o tervalo de 0,38 a 0,497 realmete cotém o verdadero valor de p. Errada: Há uma chace de 95% de que o verdadero valor de p esteja etre 0,38 e 0,497. Para estabelecer um IC são utlzados valores crítcos. O uso do escore padrão Z. O escore padrão Z pode ser usado para de dstgur etre estatístcas amostras que têm chace de ocorrer e aquelas que ão têm. Sob certas codções a dstrbução amostral das proporções amostras pode ser apromada por uma dstrbução ormal. Há uma probabldade -α de que uma proporção amostral caa uma regão lmtada por dos valores de Z, para os quas uma área de α / seja defda a cauda esquerda e uma área de α / seja defda a cauda dreta. 0

11 Valores crítcos. Um valor crítco é um úmero a frotera que separa estatístcas amostras que têm uma chace de ocorrer daquelas que ão têm. O úmero Z a/ é um valor crítco, que é um escore Z com a propredade de separar uma área de α / a cauda dreta da dstrbução ormal padrozada. Vamos cosderar um eemplo ode temos um tervalo de cofaça de 90%, ou seja, (-a)0,90 Valores Crítcos a a/ a/ 0,90 0,05 0,05 Nível de cofaça: NC -a Por eemplo, NC 90% a - NC 0, - + Valores crítcos: ± Z a/ ±,6449 a/ 0,05 Z a/,6449

12 Margem de erro E Quado os dados são usados para estmar um parâmetro populacoal, a margem de erro (ou erro mámo da estmatva), represetada por E, pode ser ecotrada pela multplcação do valor crítco pelo erro padrão do estmador (que é o desvo padrão) coforme a epressão: E Za / ε(θˆ) Margem de erro E para a proporção Quado os dados são usados para estmar uma proporção populacoal p, a margem de erro (ou erro mámo da estmatva), represetada por E, pode ser ecotrada pela multplcação do valor crítco pelo desvo padrão das proporções amostras coforme a epressão: E Z a / pˆ( pˆ) (margem de erro para proporções) Note que: a fórmula orgal para E, é o valor da proporção populacoal p que aparece. Etretato, ão cohecemos p, e usamos uma estmatva cohecda de p, que fucoa bem para grade. E se lembramos que p(-p) /4, o lmte um superor para E é dado por: Z E a /

13 Itervalo de Cofaça (ou Estmatva Itervalar) para a Proporção Populacoal p pˆ E p pˆ E ou ou pˆ E pˆ E,pˆ E) Procedmeto para costrução de um IC para a proporção () Verfque os requstos (amostra aleatóra, tamaho grade, ) () Estabelecdo o NC, recorra à Tabela da Normal e ecotre Z a/ (3) Calcule a margem de erro: pˆ( pˆ) E Z a / (4) Usado E e pˆ, ache os valores de e. (5) Substtua estes valores em um formato específco do tervalo de cofaça: pˆ E p pˆ E ou ou pˆ E pˆ E pˆ E,pˆ E) pˆ E 3

14 Determação do Tamaho Amostral Supoha que queremos coletar dados amostras com o objetvo de estmar alguma proporção populacoal. Quatos tes amostras () devem ser obtdos? Com base a epressão do erro: -Quado uma estmatva qˆ pˆ -Quado ão se cohece : é cohecda: Arredode o resultado para o prómo tero. pˆ pˆ Z ) a / 4E Z ) a / E pˆqˆ Amostragem sem reposção de População Fta de tamaho N: Erro: Defção do Tamaho Amostral Arredode o resultado para o prómo tero. 4

15 Itervalo de cofaça para a méda populacoal () ( é cohecdo ) Requstos: - O desvo padrão da população é cohecdo. - A amostra é aleatóra smples (todas as amostras de mesmo tamaho tem gual chace de serem selecoadas). - Uma ou ambas as codções segutes são satsfetas: A população é ormalmete dstrbuída ou 30. Itervalo de cofaça para Méda Populacoal: σ cohecdo Vmos que a méda amostral da méda populacoal. Itervalos de cofaça: é a melhor estmatva potual Estmatva de tervalo de cofaça para a méda populacoal (com σ cohecdo): E E ou E, E) ou E Margem de erro: E Z / Tamaho amostral: a Z a / E Arredodar para o tero maor mas prómo 5

16 Amostragem sem reposção depopulação Fta de tamaho N: Margem de Erro: Defção do Tamaho Amostral Arredode o resultado para o tero maor mas prómo. Itervalos de de 95% de cofaça para0 amostras de tamaho 7 retradas de uma população com 00 e 0. este caso : , para cada amostra 7 6

17 Itervalo de cofaça da Méda Populacoal: σ Descohecdo Se cohecemos o desvo - padrão populacoal σ, a varável padrozada Z - μ σ/ ), do estmador da méda tem dstrbução ormal padrozada. vmos que potual Em geral, σ ão é cohecdo, o desvo - padrão amostral S. Neste caso troduzmos - μ t S Wllam Sealy Gosset (Cohecdo como :Studet) e é atural usar como estmatva para σ, mostrou varável que : Se a amostra é obtda de uma população com dstrbução ormal, etão a varável t é dstrbuda segudo a cohecda "dstrbução de Studet". Dstrbução t-studet Qumco e Matemátco (New College, Oford). Fo trabalhar para a destlara de Arthur Guess & So. Gosset ra aplcar os seus cohecmetos de estatístca a cervejara - para a seleção das melhores amostras de cevada. Gosset adquru o seu cohecmeto o Laboratóro Bométrco Karl Pearso. Pearso dava pouca mportâca aos resultados obtdos por Gosset, pos eram baseados em pequeas amostras a cervejera, ele (Pearso) por orma tha ceteas de observações e ão va urgêca em desevolver um método que tratasse com pequeas amostras Wllam Sealy Gosset Cohecdo como: Studet Para prever fugas de formação e futuras revelações dos "segredos" da marca, a Guess probu que os seus empregados pudessem publcar quasquer trabalhos depedete do coteúdo. Gosset ão tha como publcar os trabalhos com o seu ome. Etão, usou o pseudomo Studet para as suas publcações evtado ser detectado pela etdade empregadora. Seu feto mas cohecdo, é hoje cohecdo com a Dstrbução t-studet, que outras crcustâcas sera cohecda como a Dstrbução t-gosset. 7

18 Dstrbução-t de Studet com gl (-) graus de lberdade Dstrbução smétrca em toro de zero Para cada valor de gl este uma dstrbução-t Normal padrozada A medda que aumeta a dstrbução de t se aproma da dstrbução de Z (ormal) (>30) a é a probabldade (área) a cauda dreta 8

19 Estmatva tervalar da Méda Populacoal: σ Descohecdo Para população com dstrbução ormal e com σ descohecdo, um tervalo de cofaça com (-α).00% para a méda populacoal é E E ou E, E) ou E a margem de erro: E ta / S Valor de t: obtdo da dstrbução-t de studet terpretação :(- α) é a probabldade de que o tervalo ( - E, E) coteha a méda 9

20 Itervalos de de 95% de cofaça para 0 amostras de tamaho retradas de uma população com dstrbução ormal com 00 e 0. No caso, a 0.05 e t 0.05 s Neste caso : -.447, ode s é o desvo padrão de cada amostra.447 (dst. t com gl - 6). s para cada amostra, 7 7 A Estmatva tervalar é a mas utlzada. Note que: Numa estmatva tervalar, o cetro do tervalo de cofaça ão é vsto como o melhor estmador potual, o tervalo é a estmatva. Ele é obtdo de modo que temos uma % de cofaça dele coter o parâmetro e ehuma preferêca é atrbuída a algum de seus potos. Devdo a smetra da dstrbução apromada de, ocorre que o cetro do tervalo de cofaça para é. Etretato, se a dstrbução amostral ão é smétrca, o poto médo do tervalo ão ecessaramete cocde com a melhor estmatva potual do parâmetro. 0

21 Estmação da Méda Populacoal: Resumo Seja,,..., N(μ(σ). A dstrbução de é chamada dstrbução χ uma amostra aleatóra de uma população ormal χ Dstrbução χ ( ) σ ()s σ com (-) graus de lberdade.

22 Itervalo de (-α)% de cofaça para σ s (), χ α s () χ ( α ) Estmatvas de σ usado a dstrbução χ são muto afetadas (ão cofáves) para amostras de populações ão ormas.

23 A Stewart Avato Products Compay vem fabrcado altímetros de avões com erros dstrbuídos ormalmete com méda 0 (obtda por calbragem) e desvo padrão de 43,7 pés. Após a stalação da ova produção de equpametos selecoaram-se aleatoramete 30 altímetros da ova lha de produção. Esta amostra acusou erros com desvo padrão de 54,7 pés. Baseado a amostra, vamos fazer uma estmatva tervalar com 95% de cofaça para o desvo-padrao dos erros dos altímetros 30 amostras retradas de população ormal com desvo- padrão s 54,7 pés. 95% de cofãça sgfca α/0.05 Temos que ecotrar a dstrbução χ com gl-9 Os valores correspodetes a χ χ α (α ) χ χ

24 O tervalo de 95% de cofaça para o desvo padrão será : s () () 9 9, s 54.7, 54.7 χ χ α ( α ) ou seja : 43.6, 7.7) 4