Difusão entre Dois Compartimentos

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1 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Dfusão etre Dos Compartmetos A le de Fck para membraas (equação 4 da aula passada) mplca que a permeabldade de uma membraa a um soluto é dada pela razão etre o fluxo do soluto pela membraa e a dfereça de cocetração do soluto etre os dos lados da membraa: P = c φ c e. () Esta equação os sugere como se pode medr a permeabldade P de um dado materal a um soluto. Pode-se tomar uma lâma do materal, de uma dada espessura, e usá-la para separar dos compartmetos cheos com uma solução cujo soluto seja (veja a fgura da dreta a pága 3). As cocetrações do soluto os dos compartmetos podem ser meddas por métodos químcos ou óptcos ou por detectores de radação o caso de solutos radoatvos. O fluxo pode ser estmado tomado-se a dfereça da cocetração do soluto em um dos compartmetos etre dos states dferetes de tempo e dvddo-se essa dfereça pelo tempo etre as duas meddas e a área superfcal da lâma. Pela equação (), a permeabldade do materal ao soluto será dada pela razão etre o fluxo e a dfereças das cocetrações os dos compartmetos.

2 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Note que, como a equação () fo obtda sob a hpótese de regme estacoáro, o método descrto acma só é váldo se o fluxo for sufcetemete pequeo para ão alterar substacalmete as cocetrações os dos compartmetos. Este método, porém, dfclmete podera ser usado para medr a permeabldade da membraa de uma célula. Image as dfculdades téccas evolvdas para se extrar a membraa de uma célula mcroscópca e formar uma partção etre dos compartmetos com ela. Como podemos medr a permeabldade de uma membraa celular? Se cosderarmos que a dfusão etre os lados tero e extero de uma célula é equvalete a um processo de dfusão etre dos compartmetos, como lustrado a fgura a segur, pode-se ecotrar um método para estmar a permeabldade de uma membraa celular baseado o chamado modelo de dfusão etre dos compartmetos.

3 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Fgura da esquerda: esquema de uma célula em um baho. A = área da membraa da célula; φ = fluxo do soluto para fora da célula; V, = volume do teror da célula; V e = volume do baho; c = cocetração do soluto o teror da célula; c e = cocetração do soluto o exteror da célula. Fgura da dreta: modelo de dfusão etre dos compartmetos (a membraa é a partção etre os dos compartmetos). As varáves têm o mesmo sgfcado que a fgura da esquerda. Aproxmação de Membraa Fa Vamos cosderar dos compartmetos de volumes V e V separados por uma membraa de área A, como a fgura da dreta acma. Vamos supor o segute: As soluções os dos compartmetos estão bem msturadas, de maera que a cocetração do soluto é uforme o espaço 3

4 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 detro de cada compartmeto e depede apeas do tempo t. As cocetrações para os dos compartmetos serão desgadas por: c ( e c (. As partículas do soluto são coservadas, ou seja, ão há reações químcas presetes que crem ou destruam partículas do soluto. Se N for o úmero total de moles do soluto presetes os dos compartmetos, esta codção mplca que, V c ( + V c ( = N. () O úmero de partículas de soluto presetes detro da membraa a qualquer state de tempo é desprezível em comparação com as quatdades presetes os dos compartmetos. A qualquer state de tempo, a relação etre o fluxo e a cocetração é dada pela prmera le de Fck para membraas: φ ( = P ( c ( c (), (3) ode φ ( é o fluxo de partículas do compartmeto para o. Note que a últma suposção é uma hpótese forte, pos mplca assumr uma codção que, rgorosamete, só vale o regme estacoáro como válda também quado as cocetrações e o fluxo varam o tempo. 4

5 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 O fluxo φ se relacoa com a varação da cocetração o lado por: φ = A dn dt = A d ( V c ) dt = V A dc ( dt. (4) Substtudo esta equação a equação (3): dc( AP = ( c( c ( ).. (5) dt V Isolado c ( a equação () e substtudo em (5): dc( dt = AP V c V ( + V c ( N V dc( dt c( = AP V + c( V N VV dc ( + AP dt V r c ( = AP N, (6) V V ode o volume reduzdo dos dos compartmetos, V r, fo defdo como: V r V V V +V. (7) A equação (6) é uma equação dferecal lear ordára de prmera ordem com coefcetes costates. A sua solução é: 5

6 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 c ( = c ( )+ ( c (0) c ( ))e t τ, (8) ode c (0) é o valor cal da cocetração de soluto o compartmeto, c ( ) é o valor fal (asstótco) da cocetração e τ é a costate de tempo que govera o processo de varação expoecal da cocetração, do seu valor cal para o seu valor asstótco. Resolvedo a equação (6), obtemos que (faça como exercíco em casa): e C ( ) = V r V V N (9) τ = V r AP. (0) Quado o valor asstótco de c ( é atgdo, a cocetração ão vara mas o tempo (o mesmo vale para a cocetração c ( o outro compartmeto). Repetdo os passos acma para se obter a equação dferecal para c (, observa-se que ela vara o tempo com a mesma costate temporal τ e que o seu valor asstótco é gual ao de c (. Faça sso como exercíco para casa. 6

7 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Como os valores asstótcos das duas cocetrações são guas, o estado asstótco é um estado de equlíbro. Nesse estado, o fluxo φ é ulo. Por causa dsso, vamos chamar a costate temporal τ de (tau de equlíbro): = V r AP, () e a varação temporal de c com t passa a ser escrta como: c ( = c ( )+ ( c (0) c ( ))e t. () Desevolvedo um racocío semelhate ao feto acma para o fluxo φ (, vemos que ele também vara expoecalmete o tempo com a mesma costate temporal. Supodo uma stuação em que, o state cal, c (0) > c (0), os comportametos de c (, c ( e φ ( são dados pelo gráfco abaxo. 7

8 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Uma aálse da expressão () para a costate de tempo de equlíbro os dz que, quato maores forem a permeabldade P ou a área da membraa A, meor será. Isto faz setdo tutvamete, pos aumetado-se a permeabldade ou a área da membraa aumeta-se o fluxo através dela e, portato, mas rapdamete o sstema chega ao equlíbro. Por outro lado, aumetado-se o volume dos compartmetos (sto é, aumetado-se V r ) aumeta-se a costate de tempo. Isto também faz setdo tutvamete, pos um aumeto os volumes dos compartmetos mplca um aumeto da quatdade de soluto que tem que se dfudr até que se atja o equlíbro, causado um aumeto o tempo ecessáro para o estabelecmeto do equlíbro. 8

9 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Cotuado com a aálse da expressão para, vemos que V r é domado pelo meor dos dos volumes. Por exemplo, se V >> V, etão V r V. Já se V << V, etão V r V. Da equação (9) e da defção de V r temos que o valor da cocetração de equlíbro é: c ( ) = V r N = N. (3) V V V +V Portato, o equlíbro o úmero total de moles de soluto, N está dstrbuído uformemete pelo volume total dos dos compartmetos, V + V. Substtudo a equação () em (3) (lembre-se que a equação () vale para qualquer, obtemos uma expressão para a cocetração de equlíbro em termos das cocetrações cas: c ( ) = N = V c (0)+V c (0). V +V V +V (4) Os resultados obtdos dzem respeto à aproxmação de membraa fa. O poto cetral desta aproxmação fo a hpótese de que a le de Fck para membraas é válda a cada state de tempo. 9

10 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 A le de Fck para membraas fo obtda (ver aula 3) para o caso de um fluxo estacoáro através da membraa, mplcado que a cocetração de soluto vara learmete através dela. Portato, fcou mplícto o estudo feto para uma membraa fa que o fluxo assumdo como exstete através da membraa até o equlíbro ser atgdo é estacoáro. Esta codção é válda apeas quado >> τ ee, ou seja, quado o tempo que o sstema leva para chegar ao equlíbro é muto maor que o tempo que ele leva para atgr o estado estacoáro. Neste caso (e apeas ele) a aproxmação feta de usar a le de Fck para membraas para descrever o fluxo etre os dos lados pode ser cosderada adequada. Para determar até que poto a aproxmação de membraa fa é boa, vamos calcular a razão etre as costates de tempo de equlíbro ( ) e de estado estacoáro (τ est ), usado as equações () desta aula e a equação (8) da aula 3: τ ee = V rπ D AP d. (5) 0

11 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Substtudo a equação (3) da aula 3 esta expressão: τ ee = V rπ D d Ad D k = V rπ Adk. (6) Assumdo que k = para smplfcar: τ ee = V rπ Ad. (7) Se esta razão for grade, a aproxmação de membraa fa é boa. Para uma célula típca, o volume da solução extera a ela é muto maor que o volume da solução o seu teror, V e >> V, de maera que: Portato, para uma célula típca: V r = V V e V +V e V. (8) τ ee = π V Ad. (9) Para uma célula esférca de rao r, o seu volume e a sua área 4 3 superfcal são, respectvamete: = π r e A = 4πr. Portato: V 3 τ ee = π r 3d. (0)

12 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 Um valor típco para r de uma célula ou orgaela é µm, e para d é 0 m. Para estes valores, /τ ee 330 para uma célula esférca. Isto mplca que, para células típcas, a aproxmação de membraa fa é uma boa aproxmação. Métodos expermetas para a determação de P para membraas celulares Algus métodos expermetas para se medr a permeabldade de membraas celulares a város tpos de solutos são baseados o modelo de dfusão etre dos compartmetos apresetado acma. Segudo esse modelo, a cocetração tracelular de um soluto vara o tempo de acordo com a equação (), ode c t ( c (0) c ( ) ) e, ( = c ( ) + () V τ eq = () AP é a costate de tempo de equlíbro, que govera a velocdade com que a cocetração o teror da célula atge o equlíbro (supôs-se que o volume exteror é muto maor que o volume da célula V, de maera que V r V).

13 59087 Bofísca II FFCLRP USP Prof. Atôo Roque Aula 4 O termo A que aparece a expressão para é a área da superfíce da célula e o termo P é a permeabldade da membraa celular ao soluto. A equação () pode ser reescrta como, c c c( ) = e (0) c ( ) ( t ou, tomado-se o logartmo de ambos os lados,, (3) c( c( ) l c(0) c( ) t = τ eq. (4) Portato, se tvermos um meo de medr a cocetração tracelular de em fução de t, de maera que possamos determar o valor asstótco c ( ), um gráfco em coordeadas sem-logartmcas da quatdade etre parêteses a equação acma em fução do tempo terá a forma de uma reta com clação egatva (gual a / ). Uma medda dessa clação os permte obter P, pos P = V. (5) A 3