7 Análise de covariância (ANCOVA)

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Thomas Espírito Santo Domingues
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1 Plejameto de Expermetos II - Adlso dos Ajos 74 7 Aálse de covarâca (ANCOVA) 7.1 Itrodução Em algus expermetos, pode ser muto dfícl e até mpossível obter udades expermetas semelhtes. Por exemplo, pode-se ão ter cobaas de mesmo peso, motores com o mesmo tempo de fucoameto, corpos de prova com mesmo tamho etc. Mas, em todos estes casos, qudo a codção cal da udade expermetal for cohecda e puder ser medda, e ada, que seja cohecdo que esta codção cal (uma varável) teha fluêca sobre a varável resposta, pode-se utlzar esta formação para corrgr a varável resposta. Tal, procedmeto pode ser feto utlzdo-se da técca de álse de covarâca. A varável medda a codção cal da udade expermetal é chamada de covarável (ou ada, varável auxlar, varável cocomtte). Em um mesmo expermeto, pode haver mas de uma covarável. A covarável complemeta o cotrole local e a grde maora das stuações smplesmete o substtu. Obvamete, a covarável ecessta estar correlacoada com a varável resposta para que se possa fazer uso de tal álse. Qudo a Aálse de Varâca é realzada com uma ou mas covaráves, usase chamar a álse de ANCOVA 2. A ANCOVA permte que se faça um ajuste do efeto de uma varável resposta que sofreu fluêca de uma varável ou uma causa de varação ão cotrolada. A ANCOVA, permte, portto, um cotrole do erro expermetal, aumetdo a precsão do expermeto. é possível também fazer o ajuste das médas dos tratametos em fução da(s) covarável(es) e, em algus casos, estmar observações perddas durte o expermeto. Para que uma covarável possa ser assm cosderada, deve-se gartr que ela ão seja afetada pelo tratameto. Por exemplo: ao utlza-se como covarável o úmero de mas sobrevvetes em uma gaola, deve-se gartr que a causa da morte ou da perda dos mas durte o expermeto ão seja causada pelo efeto do tratameto. Neste caso, o uso da covarável é correto, pos será elmado da álse uma possível fote de varação cohecda: o própro efeto do tratameto. 2 Aalyss of covarce

2 Plejameto de Expermetos II - Adlso dos Ajos 7 Um stuação bastte comum é qudo exstem mas de pesos dferetes e a varável resposta de teresse é o peso fal dos mas. Neste caso, tes do íco do expermeto, o peso cal dos mas é obtdo e utlzado como covarável o expermeto. Grafcamete, a forma de correção da varável resposta através da ANCOVA pode ser vsta a fgura 14. Fgura 14: Metodologa de ajuste da álse de covarâca. 7.2 Modelo estatístco Cosdere um expermeto com um fator e uma covarável. O modelo estatístco pode ser escrto da segute mera: y = µ + α + β(x X) + (23) ode µ = costte; α =efeto do -ésmo tratameto; X = valor observado da covarável; X = méda da covarável; β = coefcete de regressão lear etre a covarável (X) e a varável resposta (Y), com β = 0. Neste caso, a relação deve ser lear. Neste modelo, assume-se que a varável resposta e a covarável estão relacoadas learmete.

3 Plejameto de Expermetos II - Adlso dos Ajos 76 Aálse de Varâca Tabela 9: Aálse de covarâca. GL SQ e Prod. Cruzados Ajuste pela Regressão CV GL xx xy yy y GL QM Trat a-1 T xx T xy T yy Erro a(-1) E xy E yy SQE=E yy (E xy) 2 a(-1)-1 Total -1 S xx S xy S yy SQE =S yy (Sxy)2 S xx -2 Trat. aj. SQE-SQE a-1 SQE a( 1) 1 SQE SQE a 1 Ode S yy = S xx = y (y..) 2 x (x..) 2 S xy = x y (y..)(x.. ) T xx = x. (x..) 2 T xy = (x. )(y. ) (x..)(y.. ) T yy = y. (y..) 2 E yy = S yy T yy = S xx T xx E xy = S xy T xy

4 Plejameto de Expermetos II - Adlso dos Ajos 77 e ˆβ = E xy (24) O valor de F para tratametos é obtdo por: F = SQE SQE A 1 SQE a( 1) 1 (2) E a hpótese H 0 : β = 0 pode ser testada por F = (E xy) 2 E yy (E xy) 2 Exx a( 1) 1 F α (1, a( 1) 1) (26) O ajuste da varável observada Y, pode ser eteddo como y β(x X) = µ + α + (27) O ajuste de médas de tratametos, pode ser feto da segute mera ȳ. = ȳ. ˆβ( x. x.. ) (28) 7.3 Exemplo: Cosdere o segute cojuto de dados ode fo meddo a resstêca de fos de algodão. A resposta avalada fo o comprmeto (cm) que o fo atgu tes de se romper. Como cada fo possu um dâmetro dferete, e sso afeta a resstêca, utlzou-se essa formação como covarável. Os dados estão a tabela 60. Três tpos de máquas foram comparadas este expermeto. O prmero passo da álse é verfcar se exste relação lear etre a varável e a covarável. Esta relação deve ser pelo meos aproxmada. O passo segute é calcular as somas de quadrados e produtos cruzados. S yy = 3 j=1 y 2 (y..) 2 = ( ) (603)2 3 = 346, 40

5 Plejameto de Expermetos II - Adlso dos Ajos 78 Tabela 60: Comprmeto (Y) e dâmetro (X) de fos de algodão. Máqua 1 Máqua 2 Máqua 3 Observação Y X Y X Y X Total S xx = 3 S xy = 3 T yy = 3 j=1 j=1 T xx = 3 T xy = 3 x 2 (x..) 2 = ( ) (362)2 3 = 261, 73 (x )(y ) (x..)(y..) = ( ) (362)(603) = 282, 60 3 (y. ) 2 (y..) 2 = ( ) (603)2 = 140, 4 (x. ) 2 E yy = 346, 4 140, 4 = 206, 0 (x..)2 = ( ) (362)2 = 66, 13 (x. )(y. ) (x..)(y.. ) = ( ) (362)(603) = 96 = 261, 73 66, 13 = 19, 6 E xy = 282, 6 96 = 186, 6 SQE = 346, 4 (282,6)2 261,73 = 41, 27 SQE = 206 (186,6)2 19,6 = 27, 99 SQE SQE = 41, 27 27, 99 = 13, 28 tratametos ajustada para a covarável. que é a soma de quadrados de O Coefcete de regressão ˆβ pode ser obtdo por ˆβ = E xy = 186, 6 19, 6 Pode-se testar a hpótese H 0 : β = 0 por = 0, 94 F β = (186, 6)2 /19, 6 2, 4 = 70, 08

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