É o grau de associação entre duas ou mais variáveis. Pode ser: correlacional ou. experimental.

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1 É o grau de assocação etre duas ou mas varáves. Pode ser: correlacoal ou Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.r expermetal. Numa relação expermetal os valores de uma das varáves são cotrolados. No relacoameto correlacoal, por outro lado, ão se tem ehum cotrole sore as varáves sedo estudadas. O Estoque de Moeda (M1 está relacoado com a varação dos preços. Verfque se exste correlação etre o IPC amercao com a oferta moetára, cosderado dados do período de 196 a 3. Ao M1 IPC ,7 9, , 9, ,8 3, ,3 3, ,3 31, ,8 3, ,9 177,1 11,4 179, ,1 184, 1

2 IPC O prmero passo para determar se exste relacoameto etre as duas varáves é oter o dagrama de dspersão (scatter dagram M O dagrama de dspersão forece uma dea do tpo de relacoameto etre as duas varáves. Neste caso, percee-se que exste um relacoameto lear. Quado o relacoameto etre duas varáves quattatvas for do tpo lear, ele pode ser meddo através do: Oservado um relacoameto lear etre as duas varáves é possível determar a tesdade deste relacoameto. O coefcete que mede este relacoameto é deomado de Coefcete de Correlação (lear.

3 Quado se está traalhado com amostras o coefcete de correlação é dcado pela letra r e é uma estmatva do coefcete de correlação populacoal que é represetado por ρ (rho. Para determar o coefcete de correlação (grau de relacoameto lear etre duas varáves vamos determar calmete a varação cojuta etre elas, sto é, a covarâca. A covarâca etre duas varáves e, é represetada por Cov Cov( (; e calculada por: Cov(, ( 1 Mas ( [ + ] Etão: Cov(, ( 1 1 3

4 A covarâca podera ser utlzada para medr o grau e o sal do relacoameto etre as duas varáves, mas ela é dfícl de terpretar por varar de - a +. Assm é mas coveete utlzar o coefcete de correlação lear de Pearso (mometo produto. O coefcete de correlação lear (de Pearso é defdo por: r Cov (, Ode: Cov(, Esta expressão ão é muto prátca para calcular o coefcete de correlação. Pode-se oter uma expressão mas coveete para o cálculo maual e o cálculo de outras meddas ecessáras mas tarde. r Tem-se: Cov (, ( ( F a Fazedo: z e d Tem se : r. 4

5 A vatagem do coefcete de correlação (de Pearso é ser admesoal e varar de 1 a + 1, que o tora de fácl terpretação. Assm se r -1, temos uma relacoameto lear egatvo perfeto, sto é, os potos estão todos alhados e quado aumeta decresce e vce-versa r 1 e r +1, temos uma relacoameto lear postvo perfeto, sto é, os potos estão todos alhados e quado aumeta tamém aumeta r +1 Assm se r, temos uma ausêca de relacoameto lear, sto é, os potos ão mostram alhameto

6 r Assm se 1 < r <, temos uma relacoameto lear egatvo, sto é, os potos estão mas ou meos alhados e quado aumeta decresce e vce-versa < r < Assm se < r < 1, temos uma relacoameto lear postvo, sto é, os potos estão mas ou meos alhados e quado aumeta tamém aumeta < r < Uma correlação amostral ão sgfca ecessaramete uma correlação populacoal e vce-versa. É ecessáro testar o coefcete de correlação para verfcar se a correlação amostral é tamém populacoal. 6

7 Oservada uma amostra de ses pares, pode-se perceer que a correlação é quase um, sto é, r 1. No etato, oserve o que ocorre quado mas potos são acrescetados, sto é, r 1 quado se oserva a população! 1 ρ Determar o grau de relacoameto lear etre as varáves Ídce de Preços ao Cosumdor versus Estoque de Moeda, para os valores da Ecooma Amercaa de 196 a 3. Ao ,7 9, , 9, ,8 3, ,3 3, ,3 31, ,8 3, ,9 177,1 11,4 179, ,1 184, Total 5894,5 41, , , ,97 Vamos calcular r utlzado a expressão em destaque vsta aterormete, sto é, através das quatdades, x, e. 7

8 Tem-se: ,5 41,9 588, , , , , , 743 Etão: , ,8698 r , , ,8698,9863 Apesar de r ser um valor admesoal, ele ão é uma taxa. Assm o resultado ão deve ser expresso em percetagem. Em mutas stuações duas ou mas varáves estão relacoadas e surge etão a ecessdade de determar a atureza deste relacoameto. 8

9 A aálse de regressão é uma técca estatístca para modelar e vestgar o relacoameto etre duas ou mas varáves. De fato a regressão pode ser dvdda em dos prolemas: (o da especfcação e ( o da determação. O prolema da especfcação é descorr detre os possíves modelos (lear, quadrátco, expoecal, etc. qual o mas adequado. O prolema da determação é uma vez defdo o modelo (lear, quadrátco, expoecal, etc. estmar os parâmetros da equação. Normalmete é suposto que exsta uma varável (depedete ou resposta, que está relacoada a k varáves (depedetes ou regressoras ( 1,,..., k. A varável resposta é aleatóra, equato que as varáves regressoras são ormalmete cotroladas. O relacoameto etre elas é caracterzado por uma equação deomada de equação de regressão. 9

10 Quado exstr apeas uma varável regressora ( tem-se a regressão smples, se depeder de duas ou mas varáves regressoras, etão tem-se a regressão múltpla. Vamos supor que a regressão é do tpo smples e que o o modelo seja lear, sto é, vamos supor que a equação de regressão seja do tpo: α + β+ U. y α + β + U; x 1 x x x O termo U é o termo erro, sto é, U represeta outras fluêcas sore a varável, além da exercda pela varável. A varação resdual (termo U é suposto de méda zero e desvo costate e gual a σ. Ou ada pode-se admtr que o modelo forece o valor médo de, para um dado x, sto é: E(/x α + β α + β+ U; E(/x α + β, sto é, E(U V(/x σ ; Cov(U, Uj, para j; A varável permaece fxa em oservações sucessvas e os erros U são ormalmete dstruídos. 1

11 O modelo suposto E(/x α + β é populacoal. Vamos supor que se teha pares de oservações, dgamos: (x 1, y 1, (x, y,..., (x, y e que através deles queremos estmar o modelo acma. A reta estmada será represetada por: Ŷ a + ou a + + E Ode a é um estmador de α e é um estmador de β, sedo Ŷ um estmador de E(/x. Exstem dversos métodos para a determação da reta desejada. Um deles, deomado de MMQ (Métodos dos Mímos Quadrados, cosste em mmzar a soma dos quadrados das dstâcas da reta aos potos. Tem-se: Etão: a + x + E, E - (a + x Deve-se mmzar: φ E 1 1 Ŷ 1 a y ŷ E a + + E x 11

12 1 Dervado parcalmete tem-se: a ( x a ( a 1 1 φ φ Igualado as dervadas parcas a zero vem: a ( x a ( 1 1 Isolado as cógtas, tem-se: + + a Resolvedo para a e, segue: a y Lemrado que:

13 Cosderado os valores das varáves Oferta Moetára e Ídce de Preços ao Cosumdor, cosderadas aterormete, determar uma equação de regressão lear para prever o IPC dado um determado ível de Oferta Moetára. Ao IPC M ,6 14, ,9 145, 196 3, 147, ,6 153, ,5 16, ,4 167, ,1 117,9 179,9 11, , 187,1 Da mesma forma que para calcular o coefcete de correlação é ecessáro a costrução de três ovas coluas. Uma para, uma para e outra para. Ao ,7 9, , 9, ,8 3, ,3 3, ,3 31, ,8 3, ,9 177,1 11,4 179, ,1 184, Total 5894,5 41, , , ,97 Tem-se: ,5 41,9 588, , , , ,97 Etão: , , ,

14 A equação de regressão, será, etão: ,4161,133, ,743 a 93,477, , , ,89 ˆ 14,89 +,13 x A perguta que cae agora é: este modelo represeta em os potos dados? A resposta é dada através do erro padrão da regressão. O ojetvo do MMQ é mmzar a varação resdual em toro da reta de regressão. Uma avalação desta varação é dada por: E a O cálculo da varâca resdual, por esta expressão, é muto traalhoso, pos é ecessáro prmero determar os valores prevstos. Etretato é possível oter uma expressão que ão requera o cálculo dos valores prevstos, sto é, de Ŷ a +. Desevolvedo o umerador da expressão, vem: a [ ( ] [ + ] [ ( ] ( (

15 Uma vez que: ( Mas: Deste modo, tem-se: ( a + Etão: a + + Assm: s E - ( -a - - erá, falmete: s Cosderado os valores do exemplo ateror, determar o erro padrão da regressão. Tem-se: , , , ,743,133 Etão: s ,8698 -, , ,878 8,83 15

16 A perguta, agora, é: este erro é razoável?, quer dzer, ele ão é muto grade? A resposta evolve o cálculo do erro relatvo, sto é, devemos comparar este resultado com a varável de teresse. A varável evolvda aqu é a, sto é, a ase moetára, etão, o erro relatvo, será: s 8,878 g s 9,47% 93,477 Ŷ Ŷ Ŷ Ŷ + Ŷ Ŷ + Ŷ VT VR + VE x (a Varação Total: VT VT ( ( Varação Resdual: VR VR ( Ŷ VT VE (c Varação Explcada: VE Uma maera de medr o grau de aderêca (adequação de um modelo é verfcar o quato da varação total de é explcada pela reta de regressão. VE ( ˆ 16

17 Para sto, toma-se o quocete etre a varação explcada, VE e a varação total,vt: R VE / VT Este resultado é deomado de Coefcete de Determação. R VE VT Este resultado mede o quato as varações de uma das varáves são explcadas pelas varações da outra varável. Ou ada, ele mede a parcela da varação total que é explcada pela reta de regressão, sto é: VE R A varação resdual correspode a: VR (1 R Assm 1 R é o Coefcete de Idetermação. 17