Regressão Simples. Parte III: Coeficiente de determinação, regressão na origem e método de máxima verossimilhança

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1 Regressão Smples Parte III: Coefcete de determação, regressão a orgem e método de máxma verossmlhaça

2 Coefcete de determação Proporção da varabldade explcada pelo regressor. R Varação explcada Varação total R pode ser relatvamete grade mas aproxmação lear é pobre R SSM SST R SSR SST

3 Coefcete de determação Na regressão smples: a correlação lear é a raz quadrada do R r ± r R Embora o R ão decresça, ão podemos dzer que, se mas varáves predtoras são adcoadas o modelo, o modelo ovo é melhor do que o atgo. A meos que, se o a soma de quadrados de resíduos do modelo ovo seja reduzda para o mesmo da soma de quadrados de resíduos do modelo atgo, o ovo modelo terá uma méda quadrados de resíduos maor que a méda de quadrados de resíduos do modelo atgo. Etão o modelo ovo é por. A magtude de R também depede da rage de varabldade de x. Um grade valor de R pode ter sdo resultado de uma rage ão realístco de x e um valor pequeo de R pode ter sdo resultado de uma sufcete de um rage pequeo de x..

4 Outras métrcas R R p SSR SST R ajustado Quato maor melhor o modelo SSR MSRe s Quato meor melhor o modelo p PRESS y y Quato meor melhor o modelo A predção para a méda -ésma resposta cosderado o modelo de regressão sem o -esmo par de observação x,y.

5 Outras métrcas Método Akake AIC l L θ + p Quato meor melhor o modelo Valor da verossmlhaça o estmatva dos parâmetros

6 Cosderações Deve-se ter cudado para ão fazer extrapolações o rage da varável predtora. Se uma uma regressão dcar forte relacoameto etre duas varáves, ão mplca que as varáves estão relacoadas em um setdo casual. Por exemplo, seja y umero de defcete metal por habtates e x o úmero de emssoras de rádo com lceça o período de 94 a 937. O p-value do teste t é, e R,984. Quado o valor da varável x é descohecda, pode-se usar uma estmatva para x. Cotudo a acuráca da estmatva de y depederá da acuráca da estmatva usada para x.

7 Cosderações A A Se o poto A é um outler a estmatva pode ser errada. A A estmatva de é altamete fluecada pelos potos A e B B Se o poto A for removdo, a estmatva de sera zero

8 Regressão a orgem É frequetete aproprado em aálse de dados de processos químcos. For exemplo: a saída de um processo químco é zero quado a temperatura mapulada é zero. É comum o uso apropado desse modelo quado exstem valores de x dstates da orgem. Provê melhor ajuste

9 Estmação dos parâmetros pelo método da máxma verossmlhaça Como fo especfcado uma dstrbução de probabldades para os erros podemos obter estmadores para, e pelo MMV. O método de máxma verossmlhaça determa como estmatvas de máxma verossmlhaça, os valores de, e os quas produzem o maor valor para a verossmlhaça. Em geral, a desdade de uma observação para o modelo de regressão com erros ormas, utlzado o fato de que E + e varâca é dada por : f π exp [ ] A fução de verossmlhaça para observações,,...,, é o produto das desdades dvduas é a cojuta. Como a varâca dos erros é descohecda, a cojuta é uma fução de três parâmetros,, e :

10 [ ] π L / / exp exp,, π Devemos ecotrar valores de, e que maxmzam a fução de verossmlhaça L, calculado-se as dervadas parcas de L com respeto a, e e gualado cada dervada parcal a zero e resolvedo o sstema de equações obtdo. Podemos trabalhar com log e L ao vés de L, pos ambos são maxmzadas para os mesmos valores de, e : log log log e e e L π Estmação dos parâmetros pelo método da máxma verossmlhaça

11 As dervadas parcas do logartmo da fução de verossmlhaça, são dadas por: + 4 log log log e e e L L L Fazedo as dervadas parcas guas a zero, substtudo, e pelos estmadores, e Estmação dos parâmetros pelo método da máxma verossmlhaça Obtemos:

12 As duas prmeras equações são dêtcas as equações ormas ecotradas pelo método de mímos quadrados. O MMV produz um estmador vesado para. Parâmetros Estmadores y x x y x x x x y Estmação dos parâmetros pelo método da máxma verossmlhaça

13 Estmação dos parâmetros pelo método da máxma verossmlhaça Em geral os estmadores de máxma verossmlhaça tem melhores propredades estatístcas que os estmadores de mímos quadrados.. São ão evesados. Varâca míma. 3. São cosstetes; 4. São estatístcas sufcetes. Por outro lado: Requerem suposção da dstrbução para os erros além das suposções requerdas pelo método de mímos quadrados.

14 Estístca sufcete Seja Q uma população arbtrára cujos elemetos podem possur ou ão uma característca w cuja proporção de cdêca vale θ. Deseja-se estmar o valor de θ e para tal dspõe-se de uma amostra {w,w,...,w } ode w vale ou dcado se o elemeto possu ou ão a característca w. Parece razoável perceber que o que efetvamete teressa para a estmação de θ é a proporção da cdêca da característca aamostraouseja: queé etão dta ser uma estatístca sufcete para θ. g w

15 Teste de Hpótese para coefcete correlação H H : ρ : ρ Estatístca do teste: t r t r Se H é verdadera Regão crítca: Rejeta-se se t > tα /,