Métodos Avançados em Epidemiologia

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1 Unversdade Federal de Mnas Geras Insttuto de Cêncas Exatas Departamento de Estatístca Métodos Avançados em Epdemologa Aula 5-1 Regressão Lnear Smples: Estmação e Interpretação da Reta Tabela ANOVA e R 2 Estmação da Méda e de Resposta Indvdual Análse dos Resíduos

2 Estudar o relaconamento entre duas varáves: Varação no peso e tempo de exercíco físco semanal; Saláro e dade; Venda de um produto e gasto com propaganda; Desempenho no emprego e resultado em testes de aptdão. Como a varável X explca a varável Y? Posso prever os valores dey usando os valores de X? Y : varável resposta ( dependente ) X : varável explcatva ( predtora, ndependente )

3 Um exemplo clássco: altura de mães e flhas Uma das prmeras utlzações da regressão: estudar a herança de traços físcos entre gerações. No período de 1893 a 1898, E. S. Pearson coletou nformações sobre altura de n=1375 mulheres do Reno Undo com mas de 65 anos e de uma de suas flhas com mas de 18 anos para verfcar se hava assocação entre altura de mães e flhas. As flhas herdam a altura de suas mães? Em outras palavras: mães mas altas tendem a ter flhas mas altas e mães mas baxas tendem a ter flhas mas baxas?

4 A altura da flha não é exatamente gual à da sua mae (os pontos não estão todos sobre a reta de 45º), mas há uma tendênca de mães mas altas terem flhas mas altas. A nuvem de pontos apresentam uma forma elíptca: algumas flhas têm altura muta maor/menor que a esperada pela altura de suas mães.

5 Outro exemplo: renda e gasto Gasto Mensal (R$) Renda Mensal (R$)

6 Exemplo: desempenho ensno médo X na unversdade

7 Intercepto: valor de Y quando X=0 A Equação da Reta Y = β β X Inclnação: aumento em Y a cada aumento de 1 undade em X

8 Exemplo de equação da reta: Y = X Y = X Y X = 0, Y = 1 X = 1, Y = 1.5 X = 2, Y = X

9 O Modelo de Regressão Lnear Smples β + β + ε Y 0 1 = X β 0 + β 1 X parte da varabldade de Y que é explcada pela varação em X ε erro aleatóro parte da varabldade de Y que NÃO é explcada pela varação em X: um mesmo valor de X assocado a valores de Y dferentes.

10 O Modelo de Regressão Lnear Smples β + β + ε Y 0 1 = X parte da varabldade de Y que é explcada pela varação de X erro aleatóro: parte da varabldade de Y que é NÃO é explcada O objetvo de um modelo de regressão é explcar parte da varabldade da varável resposta Y através da varável explcatva X. A parte não explcada da varabldade de Y é representada por um termo de erro aleatóro.

11 Suposções do Modelo de Regressão Lnear: A varável resposta Y é contínua. A relação entre Y e X é lnear. Os errosε são ndependentes e seguem a dstrbução Normal com méda gual a zero e varânca constante ao longo da reta.

12 Estmação e Interpretação da Reta A determnação da equação é feta a partr de um conjunto de dados que contém os valores observados da varável resposta e da varável explcatva. ε = β β y + x ), 1,2,3,..., n ( 0 1 = Os valores de β 0 eβ 1 são estmados de modo que a Soma dos Quadrados dos Erros seja a menor possível. SQE = n ( ε ) = [ y ( β0 + β1x )] = 1 2 n = 1 Isto é, devemos achar os valores deβ 0 eβ 1 que tornem o valor de SQE o menor possível para a amostra. 2

13 ε = β β y + x ), 1,2,3,..., n ( 0 1 = SQE = n 2 ( ε ) = [ y ( β0 + β1x )] = 1 n = 1 2 Achar a reta que mnmze o valor de SQE

14 E quas são os valores de β 0 e β 1 que levam ao menor valor de SQE? 0 1 ˆ ˆ. y x β β = ( )( ) ( ) ˆ n n y y x x x x β = = = = = n x n x 1 1 = = n y n y 1 1 Onde: (médas amostras) 1 x x =

15 Exemplo da altura de mães e flhas

16 Gasto Mensal (R$) Exemplo: Renda e Gasto Y = gasto mensal (R$) X = renda (R$) ˆβ = ˆβ = Renda Mensal (R$) A equação estmada yˆ = x A cada real a mas na renda mensal, o gasto mensal aumenta, em méda, R$ 0.74 (74 centavos).

17 Exemplo: desempenho ensno médo X na unversdade Não faz sentdo nterpretrar β 0 =66.48, pos não há nota zero no ensno médo. Quando ao β 1 =0.18, sgnfca que, a cada 1 ponto a mas na nota do ensno médo, acrescenta-se, em méda, 0.18 pontos na nota da unversdade.

18 As Fontes da Varabldade de Y A Análse de Regressão trabalha com a déa de que a varabldade total da varável resposta Y é o resultado de duas fontes de varação: n = 1 n ( ) 2 ( ) 2 y = + ( ) y yˆ y y yˆ SQ Total = = 1 SQ Reg + n = 1 SQ Res 2 Varabldade Total de Y Varabldade Y explcada por X Varabldade Y devda ao erro

19 Renda Mensal (R$) Gasto Mensal (R$)

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21 A Tabela de Análse de Varânca (ANOVA) Fonte de Soma de Graus de Quadrado Estatístca Valor-p Varação Quadrados Lberdade Médo F Regressão SQ Reg 1 QM Reg QM Reg valor Resduos SQ Res n-2 QM Res QM Res Total SQ Total n-1 Teste F da Tabela ANOVA: Hpótese nula (o modelo lnear não é aproprado): H 0 : β 1 = 0 H 0 é rejetada se o valor-p < α (nível de sgnfcânca do teste)

22 Exemplo: desempenho ensno médo X na unversdade

23 Qual a proporção da varabldade total de Y que é explcada pelo modelo de regressão? Coefcente de Determnação: R 2 SQReg =, 0 R SQ Total R = ( ) 2 r XY Quanto mas próxmo de 1, maor é a capacdade de explcação do modelo, onde rxy é o coefcente de correlação lnear de Pearson. No exemplo do desempenho ensno médo X na unversdade:

24 Qual é a estmatva para a varânca do erro ε, ou seja, da parte de Y que não é explcada pelo modelo de regressão? n ˆ = 1 σ 2 σˆ ˆ σ 2 = ( y yˆ ) n 2 2 =QM res 2 No exemplo do desempenho ensno médo X na unversdade:

25 Exemplo: Saída do MINITAB Regresson Analyss: Unv versus EM The regresson equaton s Unv = 66,5 + 0,180 EM Predctor Coef SE Coef T P Constant 66,480 2,155 30,85 0,000 EM 0, , ,44 0,000 Analyss of Varance Source DF SS MS F P Regresson 1 11,340 11,340 55,42 0,000 Resdual Error 13 2,660 0,205 Total 14 14,000 R-Sq = 81,0%

26 Estmação da Méda de Y

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28 Exemplo: desempenho ensno médo X na unversdade Veja arquvo Regressao-Smples-exemplo.xls.

29 Estmação de Resposta Indvdual de Y

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31 Análse dos Resíduos

32 e Os resíduos,, são uma estmatva dos erros ε. = y yˆ Gráfcos mas utlzados: Resíduos versus predtos pelo modelo; Resíduos versus varáves no modelo; Resíduos versus varáves fora do modelo; Hstograma (ou boxplot) dos resíduos; Gráfco de Probabldade Normal (e teste) dos resíduos.

33 Varânca Constante e Lneardade resíduo ( y, ˆ x) resíduo ( y, ˆ x) resíduo ( y, ˆ x) resíduo ( y, ˆ x)

34 Exemplo: desempenho ensno médo X na unversdade

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