MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

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1 MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 1. Obtenha os estmadores dos coefcentes lnear e angular de um modelo de regressão lnear smples utlzando o método dos mínmos quadrados.. Mostre que a reta de regressão lnear smples passa sempre pelo ponto (μ X, μ Y ). 3. Sejam YX e XY os coefcentes angulares nas regressões de Y contra X e de X contra Y, respectvamente. Mostre que YX. XY =r, em que r é o coefcente de correlação entre Y e X. 4. Mostre que em um modelo de regressão lnear smples (com apenas 1 varável ndependente, além da constante) o coefcente de determnação (R ) é gual ao quadrado do coefcente de correlação (r) entre a varável ndependente (X) e a varável dependente (Y).. Para se fazer nferênca, a partr de um modelo de regressão lnear, é necessáro fazer a hpótese de que os erros não normalmente dstrbuídos com méda gual a zero (=0) e varânca constante ( ). Interprete o sgnfcado dessa hpótese e forneça pelo menos um exemplo prátco em que ela seja possvelmente volada. 6. Obtenha os estmadores os coefcentes lnear e angular de um modelo de regressão lnear smples e de utlzando o método da máxma verossmlhança. 7. Aplcando as condções de segunda ordem para a otmzação (sto é, teste da dervada segunda), mostre que o estmador de máxma verossmlhança de 0, 1 e obtdos maxmzam, de fato, a função de verossmlhança. 8. Como o erro padrão do estmador do coefcente angular, de um modelo de regressão, vara, de forma nversamente proporconal, à varânca da respectva varável explcatva, é possível melhorar a sgnfcânca dos parâmetros estmados seleconando valores extremos desta (ampltude tão alta quanto possível). Explque porque sso é verdade e dscuta se este procedmento é desejável. 9. Mostre que ˆ x x y y x x é um estmador não vesado do coefcente angular do modelo de regressão lnear smples Y= + X Suponha que você deva construr um modelo que explque o comportamento da poupança agregada, de um país, em função do nível das taxas de juros. Você construra esse modelo utlzando uma amostra de um período em que as taxas de juros foram relatvamente constantes ou um período de grande flutuação nas taxas de juros? Explque sua resposta. 11. Verfque, exemplfcando, se as seguntes afrmações são verdaderas ou falsas:

2 a. O teste t de sgnfcânca, em modelos de regressão, exge que as dstrbuções amostras dos estmadores de 0 e 1 sgam dstrbução amostral. b. Mesmo que o termo de erro do modelo de regressão clássco não seja normalmente dstrbuído, os estmadores de máxma verossmlhança contnuam sendo não tendencosos. c. Se não há ntercepto ( 0 ) no modelo de regressão, a soma dos resíduos (e ) não totalzará zero. d. Se uma hpótese nula é rejetada, ela é verdadera. e. Quanto mas alto o valor de, maor a varânca do estmador de 0. f. A varânca condconal, Var(Y /X ) = e a varânca não condconal de Y, Var(Y ) = y, serão guas se X não nfluencar Y. 1. A Empresa Squadrus Ltda., fabrcante de mplementos agrícolas de alta tecnologa, realzou um levantamento do custo total de um de seus produtos (Y), expresso em R$1.000,00, em função do número total de peças produzdas (X), expresso em undades, durante cnco meses, com o objetvo de montar uma regressão lnear smples entre essas varáves. A partr de: 1 X 440 Y 10 X X Y Y 1 1 a. O valor do coefcente de correlação lnear. b. A reta que melhor se ajusta a esses dados. c. As estmatvas do custo fxo, do custo varável e de. d. O valor estmado do custo varável para a produção de 00 undades. e. Teste as hpóteses: H 0 : 1 =0, H a : 1 0, (=%). f. Cre os ntervalos de confança e de prevsão (de 9%) para X = 40 undades. g. Admtndo um o preço de venda de R$3.000,00, por undade, estmar a quantdade mínma que se deve produzr para se obter um lucro de R$80.000, Com o objetvo de prever o consumo de combustível (em mpg mlhas por galão), para certos automóves, em função de seus pesos em lbras, crou-se um modelo de regressão lnear smples tomando-se os dados do Consumer Report (abrl de 1997). Os resultados obtdos foram: Coeffcents: Estmate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) e-13 *** WT e-09 *** --- Sgnf. codes: 0 '***' '**' 0.01 '*' 0.0 '.' 0.1 ' ' 1 Root MSE: 1,48794 R-square: 0,909 Adj R-Sq: 0,9447 Resdual standard error: on 4 degrees of freedom

3 Resíduos y Multple R-Squared: 0.909, Adjusted R-squared: F-statstc: 14.7 on 1 and 4 DF, p-value: 3.41e-09 a. Teste as hpóteses: H 0 : 1 =0 H a : 1 0 (=%). x x b. A estmatva de e o valor de c. Estme o consumo de combustível para um veículo que pesa lbras. d. Suponha que os engenheros da Honda afrmem que, em méda, o Cvl (ou qualquer outro modelo de carro que pese, em méda,.440 lbras) faz mas de 30 mlhas por galão de combustível. Com base nos resultados da análse de regressão, você acredtara nessa afrmação? Por quê? e. Os engenheros de desgn para o Lexus ES300 têm como meta 18 mpg como sendo o deal para esse modelo (ou qualquer outro modelo que pese lbras), embora seja esperada alguma varação. É provável que o valor alvo seja realsta? Dscuta. 14. Em um certo tpo de teste em um espécme de metal, o estresse normal no espécme é conhecdo como funconalmente relaconado com a resstênca ao corte. Desta forma, crou-se um modelo de regressão lnear smples e os resultados obtdos foram: RESUMO DOS RESULTADOS Estatístca de regressão R múltplo 0,66 R-Quadrado 0,498 R-quadrado ajustado 0,377 Erro padrão 1,6396 Observações 1 ANOVA gl SQ MQ F F de sgnfcação Regressão 1 0,61 0,61 7,367 0,006 Resíduo 10 6,884,6884 Total 11 47,1466 Coefcentes Erro padrão Stat t valor-p 9% nferores 9% superores Interseção 4,818 6,06 6,44 6,E-0 8,0843 7,0793 Estresse normal -0,6861 0,499 -,743 0,006-1,49-0, Estresse normal (x) Plotagem de probabldade normal Percentl da amostra

4 Resíduos y a) Interprete o coefcente da varáves explcatva comentando a respeto do valor-p ou do ntervalo de confança. x x e de t %,10? b) Qual é a estmatva de e dos valores de c) Teste a hpótese de que 1 = -1,, no nível de sgnfcânca de 0,0. d) Use a abordagem da análse de varânca para testar a hpótese de que 1 = 0, no nível de sgnfcânca de 0,0 e) Um ntervalo de confança de 9% para a méda da resstênca ao corte quando x = 4,. f) Um ntervalo de predção de 9% para um únco valor predto da resstênca ao corte quando x = 4,. g) Com base nas nformações dadas e na análse dos resíduos, o modelo lnear parece aproprado? Explque sua resposta. 1. Observações sobre os rendmentos de uma reação químca tomando váras temperaturas foram regstradas e um modelo de regressão lnear fo crando. Os resultados obtdos foram: RESUMO DOS RESULTADOS Estatístca de regressão R múltplo 0,974 R-Quadrado 0,91 Erro padrão 1,747 Observações 1 ANOVA gl SQ MQ F F de sgnfcação Regressão 1 486, , ,084 6,76E-08 Resíduo 10 4,796,4796 Total 11 11,0067 Coefcentes Erro padrão Stat t valor-p 9% nferores 9% superores Interseção 61,133 1,88 3,691 1,7E-11 7,318 6,7139 Estresse normal 0,1139 0, ,0030 6,76E-08 0,097 0, temperatura (x) Plotagem de probabldade normal Percentl da amostra a) Qual é a estmatva de e dos valores de x x e de t %,10?

5 b) Teste a hpótese de que 1 = 0,1, no nível de sgnfcânca de 0,0. c) Use a abordagem da análse de varânca para testar a hpótese de que 1 = 0, no nível de sgnfcânca de 0,0. d) Um ntervalo de confança de 9% para a méda do rendmento da reação quando a temperatura for de 170º C. e) Um ntervalo de predção de 9% para um únco valor predto do rendmento da reação quando a temperatura for de 170º C. h) Com base nas nformações dadas e na análse dos resíduos, o modelo lnear parece aproprado? Explque sua resposta. ) Se você consdera o modelo não aproprado, você recomendara alguma transformação para tornar o modelo aproprado? Se sm, qual transformação?