Média. Mediana. Ponto Médio. Moda. Itabira MEDIDAS DE CENTRO. Prof. Msc. Emerson José de Paiva 1 BAC011 - ESTATÍSTICA. BAC Estatística

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1 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra BAC0 - ESTATÍSTICA ESTATÍSTICA DESCRITIVA MEDIDAS DE CENTRO Méda Medda de cetro ecotrada pela somatóra de todos os valores de um cojuto, dvddo pelo úmero de valores do cojuto. Medaa É o valor do meo de um cojuto de dados orgazados em ordem crescete ou decrescete. Poto Médo Valor que está exatamete a meo camho etre o maor e meor valores. Moda É o valor que ocorre mas frequetemete. Prof. Msc. Emerso José de Pava

2 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Meddas de Cetro Méda Artmétca Smples Artmétca Poderada x + x + L + x x x x xw + xw + L+ xw w + w + L+ w xw w Um pouco sobre arredodameto de médas: Tome uma decmal acma da dos dados: Ex.:,4 3,4 e 5,7 > méda 3,73 Em váras operações, arredode apeas o resultado fal 3 Meddas de Cetro Medaa Se é ímpar: Se é par: + ~x o o termo { } 35, 36, 37, 38, 40, 40, 4, 43, 46 x~ 40 ~x + + termo termo 5 6,,,,,,, ~ + x 5, 5 { } o 4 Prof. Msc. Emerso José de Pava

3 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Meddas de Cetro Poto Médo valor máxmo + valor mímo poto médo Motoração de Chumbo o Ar Abaxo estão as quatdades meddas de chumbo (emµg/m 3 ) o ar do World Trade Ceter em dferetes das após de setembro de 00. Ache o poto médo para essa amostra. 5,40,0 0,4 0,73 0,48,0 valor máxmo + valor mímo 5, , 4 poto médo, 90 5 Meddas de Cetro Moda Valor que ocorre mas frequetemete em um cojuto de dados.. Quado valores ocorrem com a mesma maor frequêca, cada um é uma moda e o cojuto é deomado BIMODAL;. Quado mas de valores ocorrem com a mesma maor frequêca, cada um é uma moda e o cojuto é deomado MULTIMODAL; 3. Quado ehum valor se repete, dzemos que ão há MODA. 6 Prof. Msc. Emerso José de Pava 3

4 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Meddas de Cetro { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 50 } x 345, 7 ~x 300 MÉDIA MEDIANA { 00, 50, 50, 300, 450, 460, 300 } Ambas são boas meddas de Tedêca Cetral. Prefra a méda x 60, 4 ~x 300 Devdo ao Outler 300, a medaa é melhor estatístca que a méda. 7 Meddas de Cetro EERCÍCIOS Determe a méda, a medaa, a moda e o poto médo de cada uma das duas amostras e compare os dos cojutos de resultados: a. Tempo de espera de cletes em dos bacos: Baco A: 6,5 6,6 6,7 6,8 7, 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Baco B: 4, 5,4 5,8 6, 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 0,0 7,5 7,0 b. Tempo de uso (em aos) de carros de aluos e carros de professores e fucoáros de uma uversdade: Aluos: Professores: , 7,5 7,8 4,5 8 Prof. Msc. Emerso José de Pava 4

5 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Meddas de Cetro EERCÍCIOS Determe a méda poderada para 5 otas de teste (85, 90, 75, 90 e 95), com os quatro prmeros testes valedo 5% cada um e o últmo valedo 40%. Determe a méda poderada para x 85, 90, 75 e w 0%, 30% e 50%. 9 Varabldade Observe os cojutos abaxo: A { 3, 4, 5, 6, 7 } B {, 3, 5, 7, 9 } C { 5, 5, 5, 5 } D { 3, 5, 5, 7 } E { 3.5, 5, 6.5 } Eles possuem mesma méda e medaa, sedo dferetes. E a prcpal dfereça está relacoada à varabldade exstete os dados. Meddas de Varabldade: Ampltude (H): Tem o coveete de levar em cota apeas os dos valores extremos: H A H B 9 8 H C H D H E AmpltudeRage 0 Prof. Msc. Emerso José de Pava 5

6 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Meddas de Dspersão Dado um cojuto de dados A { 3, 4, 5, 6, 7 } Cosderado os desvos em relação à méda, temos, para A, por exemplo: x - x {-, -, 0,, } Etretato: ( x x) x x x x 0 Uma opção para aalsar os desvos das observações é cosderar o total dos quadrados dos desvos. 5 ( x x) Varâca/Desvo Padrão Assocado-se o somatóro do quadrado dos desvos ao úmero de elemetos da amostra (), tem-se: S ( x x)....que é a Varâca (Var(x)) S S...que é o Desvo Padrão (DP(x)), uma medda que é expressa a mesma udade dos dados orgas Prof. Msc. Emerso José de Pava 6

7 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Exemplo Calcular a Varâca e o Desvo Padrão de Méda 3 Soma dos potos de dados Número dos potos de dados ( ) ( ) S S Raz Quadrada da Varâca Desvo Padrão S,58 S Dvde-se a Soma por (-): Varâca S,5 Soma da últma colua 0 3 Méda, Varâca e Desvo-Padrão Em relação à Amostra: Méda: Varâca: Desvo Padrão: x x s (x x - ) s (x x - ) Em relação à População: Méda: Varâca: Desvo Padrão: N µ N N ( µ ) σ N σ N ( µ ) N 4 Prof. Msc. Emerso José de Pava 7

8 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Coefcete de Varação (cv) cv S x cv exprme a varabldade em termos relatvos. É uma medda admesoal e sua grade utldade é permtr a comparação das varabldades em dferetes cojutos de dados. Ex.: Testes de resstêca à tração aplcados a dos tpos dferetes de aço: Méda (kg/mm ) s (kg/mm ) Tpo I 7,45,0 Tpo II 47,00 7,5 cv I 7, 45 7, 5 cv II 47 7, 9 %, 73% Assm, apesar do Tpo I ser meos resstete, é ele mas estável, mas cosstete. O uso do coefcete de varação pode ser pesado cosderado a questão: Um desvo padrão de 0 se a méda é é bem dferete se a méda é 00! 5 Varâca/Desvo Padrão EERCÍCIOS Determe a ampltude, a varâca, e o desvo-padrão de cada uma das duas amostras e compare os dos cojutos de resultados: a. Tempo de espera de cletes em dos bacos: Baco A: 6,5 6,6 6,7 6,8 7, 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Baco B: 4, 5,4 5,8 6, 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 0,0 b. Tempo de uso (em aos) de carros de aluos e carros de professores e fucoáros de uma uversdade: Aluos: Professores: Prof. Msc. Emerso José de Pava 8

9 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Dstrbução de Freqüêcas Supodo que se coletem dados referetes ao dâmetro de determada peça: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } São aqueles valores a que se chegou pela smples coleta, dspostos a ordem de coleta. Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Dados brutos classfcados segudo algum crtéro. - Permte vsualzar de forma ampla as varações dos dados; - Os valores extremos são percebdos de medato - Permte verfcar tedêcas de cocetração de dados. 7 Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequeca absoluta K Σ (Frequêca Absoluta) 8 Prof. Msc. Emerso José de Pava 9

10 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequeca absoluta K (Frequêca Absoluta) Σ 0 9 Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequêca relatva f K f (Frequêca Absoluta) Σ 0 f (Frequêca Relatva) 0 Prof. Msc. Emerso José de Pava 0

11 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequeca relatva f K f (Frequêca Absoluta) f (Frequêca Relatva) 63 0, ,3 65 0, ,4 Σ 0 Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequêca absoluta acumulada N + N (Frequêca Absoluta) f (Frequêca Relatva) Σ 0 N (Frequêca Absoluta Acumulada) Prof. Msc. Emerso José de Pava

12 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequêca absoluta acumulada N + N (Frequêca Absoluta) f (Frequêca Relatva) N (Frequêca Absoluta Acumulada) Σ 0 3 Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequêca relatva acumulada N F (Frequêca Absoluta) f (Frequêca Relatva) N (Frequêca Absoluta Acumulada) Σ 0 F Frequêca Relatva Acumulada) 4 Prof. Msc. Emerso José de Pava

13 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População: Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) Frequeca relatva acumulada (Frequêca Absoluta) f (Frequêca Relatva) N (Frequêca Absoluta Acumulada) F Frequêca Relatva Acumulada) F N Σ 0 5 Dstrbução de Freqüêcas Ex.: População Dâmetro de determada peça (em mm). Dados brutos: { 68, 64, 64, 63, 65, 68, 65, 64, 68, 68 } Rol: { 63, 64, 64, 64, 65, 65, 68, 68, 68, 68 } Ampltude (H) (Frequêca Absoluta) f (Frequêca Relatva) N (Frequêca Absoluta Acumulada) F Frequêca Relatva Acumulada) Σ 0 K f K F f N N + N 6 Prof. Msc. Emerso José de Pava 3

14 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Classes (ou Categoras) São tervalos defdos para se agrupar os dados. Recomeda-se que sejam especfcadas etre 5 e 0 classes dsttas, varado-se o úmero de classes de acordo com o volume de dados o cojuto. A meta é usar classes sufcetes para mostrar a varação dos dados, mas ão tatas a podo de algumas coterem somete algus tes de dados. Ampltude de classe: Ampltude Lmte feror da classe segute Lmte feror da classe atual Poto médo da classe: Poto médo (Lmte feror da classe + Lmte superor da classe) / 7 Classes (ou Categoras) Lmtes das classes: 0 0 : maor ou gual a 0 e meor que 0; 0 0 : maor que 0 e meor que 0; 0 0 : maor que 0 e meor ou gual a 0. x (Varável) x (poto médo) (frequêca absoluta) f (frequêca relatva) f% (frequêca percetual) N (Absoluta Acum.) F (Relatva Acum.) F% (Percetual Acum.) Σ Prof. Msc. Emerso José de Pava 4

15 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Hstogramas Costrução da tabela de dstrbução de frequêcas a partr do hstograma de classes desguas. Exercíco: Complete a tabela f x Σ 9 Exercíco Ecotre todas as estatístcas descrtvas para a sére da tabela a segur e costrua a Tabela de Frequêcas. (Newbold et al., 003 p.33) Prof. Msc. Emerso José de Pava 5

16 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Exercíco Exercíco : Represetação Gráfca: Dot Plot Tempo (em horas) para a coclusão de audtoras fscas em empresas Prof. Msc. Emerso José de Pava 6

17 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Represetação Gráfca:Ramo-e-folhas x Ramos x x Folhas x x x x x x x x Ex.: Represetação Gráfca:Ramo-e-folhas Costrua o Dagrama de Ramos-e-folhas para os dados de vda útl de bateras de automóves., 4, 3,5 4,5 3, 3,7 3,0,6 3,4,6 3, 3,3 3,8 3, 4,7 3,7,5 4,3 3,4 3,6,9 3,3 3,9 3, 3,3 3, 3,7 4,4 3, 4,,9 3,4 4,7 3,8 3,,6 3,9 3,0 4, 3,5 34 Prof. Msc. Emerso José de Pava 7

18 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Quarts, Decs, Percets e Boxplot * Outler ( fora da dstâca do Q3 +,5D ) Observação Máxma Q375ª Percetl DQ3-Q Iterquartl DBP % 50% 5% QMedaa (50ª Percetl) Q5ª Percetl Observação Míma Boxplot é desgastate quado feto sem computador pos supõe a ordeação de dados. 35 Quarts, Decs, Percets e Boxplot A tabela abaxo relacoa 75 cargas axas apuradas em latas de alumío: Prof. Msc. Emerso José de Pava 8

19 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Quarts, Decs, Percets e Boxplot Determe o percetl correspodete a 4: ú ú 00 Pela tabela, vemos que há valores ferores a 4, de forma que: 4 00 A carga axal de 4 correspode ao º percetl. 37 Quarts, Decs, Percets e Boxplot Para as 75 cargas axas de latas de alumío da tabela, determe o valor correspodete ao 5º percetl: ,75 ode: º de valores o cojuto de dados k percetl a ser utlzado L dcador que dá a posção do valor P k k mo percetl Arredoda-se para cma, ecotrado 44. O 5º percetl é, portato, o 44º valor, a cotar do meor, ou seja, P Prof. Msc. Emerso José de Pava 9

20 BAC 0 - Estatístca Uversdade Federal de Itajubá - Campus Itabra Quarts, Decs, Percets e Boxplot ( ) Valor do meo ( ) + 4 ( + ) Quarts: QQuarta Observação Crescete7.7 Q3Quarta Observação Decrescete50.6 Outlers: Q3+.5D ( )68.95 São outlers valores maores que Prof. Msc. Emerso José de Pava 0

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