ESTATÍSTICA Aula 7. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

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1 ESTATÍSTICA Aula 7 Prof. Dr. Marco Atoo Leoel Caetao

2 Dstrbuções de Probabldade DISCRETAS CONTÍNUAS (Números teros) Bomal Posso Geométrca Hper-Geométrca Pascal (Números reas) Normal t-studet F-Sedecor Gama Qu-Quadrado

3 O que é probabldade? Cotagem de sucessos Freqüêca Absoluta Freqüêca Relatva Grade úmero de expermetos (+) P A Lm a

4 Dstrbuções Dscretas BINOMIAL P( x k k) p k k ( p) Quado usar? DICOTOMIA POISSON P( x k) e λ k λ k! Quado usar? Aproxmação da Posso

5 Dstrbuções Cotíuas Dstrbução Normal Teorema do Lmte Cetral NORMALIZAÇÃO

6 O que é ormalzação? probabldadeárea f ( x) e ( x méda) ( dp) π( dp) z x méda dp

7 Estmado Tedêcas

8 Estmação Lear Modelo Matemátco para detfcação de padrão de tedêcas próxmas à retas. reta de regressão lear Y agulo btagete(agulo) a X

9 Determado os Parâmetros Coefcete Lear ˆ x x y x y x b Coefcete Agular bx y a ˆ ˆ x y Méda de x Méda de y

10 Tpos de Modelo L-L y aˆ + bx ˆ Aumeto de udade em x Aumeto b udades em y Log-Log l( y ) aˆ + bˆl( x) Aumeto de % em x Aumeto de b% em y L-Log y aˆ + bˆl( x) Aumeto de % em x Aumeto b udades em y Log-L l( y) aˆ + bx ˆ Aumeto de udade em x Aumeto de b% em y

11 A Correlação

12 O Coefcete de Correlação ( ) y y x x y x y x r

13 Tratameto (Pb) para formação óssea em Madíbulas DIAS Destometra 3,9 7,94 4,33,3 8,346

14 Tratameto (Pb) para formação óssea em Madíbulas MODELO LIN-LIN PB * DIA Correlato: r PB DIA Regresso 95% cofd.

15 Dureza de Resas Compostas (Z) Profuddade Dureza,5 36,,5 33,5,5 9,7 3,5 8,4 4,5 7,7

16 Dureza de Resas Compostas (Z) 4.9 MODELO LOG-LOG l(y) *l(x) r LN ( Dureza Vckers ) LN (PROFUNDIDADE)

17 Assocação etre Atrbutos (Tabela de Cotgêcas) Aplcação em Questoáros Medr grau de assocação etre pergutas e atrbutos Medr grau de correlação etre as respostas Respostas Reas 3 total total Respostas Estmadas 3,5 9, 5,3 7, 5,6 3, 3 5,3 4,,4 Valor Estmado total da lha (célula) x total da colua (célula) Total geral

18 Dstrbução de Qu-Quadrado χ calculado ( valor _ observado() valor _ estmado() ) valor _ estmado() Coefcete de Cotgêca (assocação) C χ χ + N N total de obs. Coefcete de Correlação r C ( C )( k ) K o. coluas

19 INTERVALO DE CONFIANÇA PARA MÉDIA Estmação Potual x x Prcpal Falha Não Permte Cohecer a Magtude do Erro Solução Itervalo de cofaça para desvo-padrão cohecdo Itervalo de cofaça para desvo-padrão descohecdo

20 IC para desvo-padrão cohecdo área α / Área (-α) área α/ Z α / méda Z α / IC desvopop méda Zα / ;méda + Zα / desvo POP

21 IC para desvo-padrão descohecdo amostra POPULAÇÃO Valores da tabela ormal IC desvoamost méda Zα / ;méda + Zα Z α/ / desvo méda AMOST Z α/

22 Exemplo Supoha X a duração de vda útl de um sstema adesvo Scotch-Bod. Admte-se que sejam expermetados em certos tpos de detes, com méda de 5, das. Supodo desvo-padrão cohecdo e gual a 4 das e que foram testados detes, deseja-se saber o IC para méda de duração com 95% de cofaça. Área,5% 47,5% 47,5% Área,5% -,96 5,, ,,96 ;5, +,96 IC [ 49,4 ; 5,98 ]

23 IC para proporção [ p Z desvo p + Z desvo ] IC α / proporcoal; α / proporcoal desvo proporcoal p( p)

24 Para IC populacoal Tamaho da Amostra IC desvopop méda Zα / ;méda + Zα / desvo POP Sem-Ampltude Z desvo SemAmp α / POP Erro para mas ou para meos Para IC amostral Z desvo SemAmp α / AMOST Para IC proporcoal Z α / p( p) SemAmp

25 Teste de Hpóteses HIPÓTESES REJEITA-SE Ho QUANDO H: μ μ H: μ < μ H: μ μ H: μ > μ Zcal < -Ztab Zcal > Ztab -Ztab H: μ μ H: μ μ Zcal > Ztab Ztab -Ztab Ztab

26 Quem é Zcal? AMOSTRAL x μ Z CAL s / POPULACIONAL Desvo-padrão amostral x μ Z CAL σ / Desvo-padrão populacoal

27 Exemplo Uma amostra foreceu os segutes valores: Ao ível de 5% de sgfcâca, há evdêca de que a méda da população seja feror a? Como σ é descohecdo e a amostra é pequea, o cálculo deverá ser realzado utlzado a dstrbução t- Studet. Mas, x 8 s,6 t cal x μ s / t cal H H : μ : μ < 8,6 / 4,77 Etão, ao ível de 5% t tab t(.95;3) -,35 Como t cal < t tab {-,77 < -,35 } REJEITA-SE H

28 ANÁLISE DE VARIÂNCIA Importâca Plaejameto de Expermetos Iterpretação de Expermetos Teste de váras amostras de uma úca vez para verfcar se pertecem à mesma população Basea-se a decomposção da varâca total exstete etre as observações

29 Decomposção da Varâca Causas Descohecdas Varâca total Causas Cohecdas Erro (resíduo) Varabldade do Materal Falta de Uformdade do Ambete

30 Exgêca Básca Os ERROS ou RESÍDUOS devem ser dstrbuídos ao acaso e depedetemete Os ERROS ou RESÍDUOS devem ter dstrbução Normal com méda ula e varâca fta Dstrbução dos Resíduos varações,5 -, amostrages

31 Admtr: Problema: A Aálse Populações depedetes: P, P,...P k Médas das populações: m, m,..., m k Mesma varâca: σ As populações têm ou ão médas guas? H : m m...m k Testar H : pelo meos uma méda é dferete Varabldade em Amostrages probabldade,45,4,35,3,5,,5,,5-4,5 -,5 -,5 -,5,5 3,5 valor da varável

32 O Box-Plot da Varâca Hstograma das Amostrages das Populações 7 Número de Amostrages POP POP POP POP valores amostrados -3-5 POP POP POP3 POP4 ±Desvo Padrão ±Erro Padrão Méda

33 Decomposção da Varâca Total TRATAMENTO I TRATAMENTO II TRATAMENTO III TRATAMENTO IV AMOSTRA- X X X3 X4 AMOSTRA- X X X3 X4 AMOSTRA-3 X3 X3 X33 X34 AMOSTRA-4 X4 X4 X43 X44 AMOSTRA-5 X5 X5 X53 X54 médas x x x 3 x 4 Número de Obs: 3 4 TOTAL DE OBS:

34 Médas MÉDIA GERAL x x + x + K+ k x k MÉDIA PONDERADA (para tamaho de amostras dferetes) x x x + + K+ k x k

35 Sedo k o úmero de tratametos: CAUSAS DA VARIABILIDADE Etre Tratametos (amostras) TRATAMENTO I TRATAMENTO II TRATAMENTO III TRATAMENTO IV AMOSTRA- X X X3 X4 k x Q ( ) x AMOSTRA- X X X3 X4 AMOSTRA-3 X3 X3 X33 X34 AMOSTRA-4 X4 X4 X43 X44 AMOSTRA-5 X5 X5 X53 X54 x x x 3 x 4 Méda geral x ( x ) x + x + x + ( ) x ( ) 3 x ( x ) 4 x

36 CAUSAS DA VARIABILIDADE Quadrado Médo ( estmador da varâca etre as amostras) Q QM k

37 CAUSAS DA VARIABILIDADE Detro dos Tratametos (amostras) [resíduo] k k Q ( x, j x ) j TRATAMENTO I TRATAMENTO II TRATAMENTO III TRATAMENTO IV AMOSTRA- X X X3 X4 AMOSTRA- X X X3 X4 AMOSTRA-3 X3 X3 X33 X34 AMOSTRA-4 X4 X4 X43 X44 AMOSTRA-5 X5 X5 X53 X54

38 CAUSAS DA VARIABILIDADE Quadrado Médo ( estmador da varâca detro das amostras) Dstrbução F-Sedecor QM Q k F tabelado F(ível sgfcâca, k-, -k) F calculado QM QM

39 REGRA DE DECISÃO Se F calculado < F tabelado ENTÃO H : verdade Se F calculado > F tabelado ENTÃO H : falso Se F calculado < ENTÃO erro de amostragem

40 Testes Não Paramétrcos Teste dos Sas: utlzado para aálse de dados emparelhados ( duas observações para a mesma medda). Teste de Wlcoxo: gual ao teste dos sas. Mas é mas poderoso pos leva em cota a magtude da dfereça de cada par. Teste de Ma-Whtey: Serve para testar se duas amostras veram de populações com médas guas. Teste de Kruskal-Walls: Serve para decdr se k amostras (k>) veram de populações com médas guas.

41 Teste dos Sas Faz-se as dfereças etre as duas meddas. Utlza-se sal: + alteração maor a seguda medda - alteração meor a seguda medda alteração gual a seguda medda As meddas serão guas quado a quatdade de + e - forem de mesma proporção. A quatdade de sal vale p.5 (5%) Fxar o erro α. Escolher a dstrbução ormal N(,) caso >3 ou bomal se <3. Calcular y p ode z cal y: úmero de sas p + ( p) : tamaho da amostra descotados os empates. p.5 Regra de Decsão: Acetar H as meddas são guas se zα / zcal zα /

42 Exemplo Dos examadores foreceram escores para um expermeto de detes com peetração de corates após alta rotação de broca + ScotchBod a margem oclusal. Ao ível de 5% os examadores forecem o mesmo valor de escores? Examador Examador SINAL y 8 y p 8,5 z cal,8973 p ( p),5,5 zα /,96 Como z α / zcal zα / Coclu-se que os dos escores forecdos estão calbrados

43 Teste de Wlcoxo Faz-se as dfereças para cada par d. Atrbu-se postos (colocar em ordem crescete) a todos os d descosderado os sas. Os zeros ão cotam. Determar T a meor soma de postos de mesmo sal. Descotar de o úmero de zeros, sto é, d. Fxar o erro α Calcular ( + ) T z 4 ode cal ( + ) ( + ) / 4 T: meor das somas dos postos de mesmo sal. Regra de Decsão: Acetar H os grupos são guas se z α / zcal zα /

44 Exemplo Dos examadores foreceram escores para um expermeto de detes com peetração de corates após alta rotação de broca + ScotchBod a margem oclusal. Ao ível de 5% os examadores forecem o mesmo valor de escores? Examador Examador d Depos do zero o prmero úmero das dfereças é. Assm, os 6 prmeros úmeros em ordem crescetes são. Logo o posto médo para o úmero : posto () 3,5 6 6 Exstem úmeros 4, logo o posto médo será: 9 + posto (4) 9,5

45 Examador Examador d Postos (+) Postos(-) -4 9,5-3,5-3,5-4 9, , ,5 3,5-3,5 Soma dos Postos,5 43,5 Meor posto T,5

46 Assm, - (zeros) z cal ( + ) T 4 ( + ) ( + ) / 4 ( + ),5 4 ( + )( + ) / 4,5 7,5 9,8,63 Para 5% de sgfcâca, 96 zα / Logo, aceta-se H pos,96 z cal, 96 Os dos escores estão calbrados.

47 Teste de Ma-Whtey Cosderar úmero de casos do meor grupo. úmero de casos do maor grupo. Colocar os dados em ordem crescete. ( O zero agora etra este teste ) Calcular R soma dos postos do grupo. R soma dos postos do grupo. Escolher a meor soma etre R e R. Calcular a estatístca: ou Fxar o erro α Calcular ode z cal μ μ μ ( + + ) / ou Regra de Decsão: Acetar H os grupos são guas se ( + ) + R ( + ) + R z α / zcal zα /

48 Exemplo Mcro-fltração a margem oclusal para ível de 5%. O tratameto à Laser tem a mesma efcêca do que o padrão? Alta Rotação + Ácdo Laser + Ácdo Alta Laser Rotação 5,5 7 5,5 5,5 5, , ,5 5, ,5 5,5 5, K+ posto () 5,5 + + K+ 3 posto () 7 3 posto () 4 Meor Posto Soma dos Postos R 3,5 R 43,5

49 μ ( + ) + R 3 + 3,5 μ 98,5 z cal μ ( + + ) / ou 98,5 ( + + ) /,53 Logo, aceta-se H pos,96 z cal, 96 O tratameto a laser tem a mesma efcêca do padrão.

50 Teste de Kruskal-Walls Colocar os dados em ordem crescete de postos. Caso haja empate atrbur o posto médo. Calcular a soma dos postos R soma dos postos do grupo. R soma dos postos do grupo. : : R soma dos postos do grupo. Fxar o erro α. Escolher uma varável qu-quadrado com k- graus de lberdade. Calcular a estatístca: H k ( + ) R 3 ( ) + Regra de Decsão: Acetar H os grupos são guas se H < χ k Rejetar H, há pelo meos um grupo dferete se H > χ k

51 Exemplo Testar ao ível de 5% a hpótese de gualdade das médas para os 3 grupos de aluos que foram submetdos a esquemas dferecados de aulas. As otas foram regstradas para uma mesma prova. Aula Expostva Aula com recurso audo-vsual Eso programado Aula Expostva Postos Aula com recurso audo-vsual Eso programado 8, ,5 7 6 R 39,5 R 39,5 R 3 57 H + 3 posto (),5 Qu-quadrado tabelado χ Cálculo de H α, k χ(,5), 5,99 R R R (6 + ),9 6(6 + ) Logo, aceta-se H pos H,9 < 5,99 Os esquemas podem ser cosderados estatístcamete guas a 5%

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