Distribuições de Probabilidades

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1 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Dstrbuções de Probabldades Estudamos aterormete as dstrbuções de freqüêcas de amostras. Estudaremos, agora, as dstrbuções de probabldades de populações. A dstrbução de freqüêca de uma amostra é uma estmatva da dstrbução de probabldade da população correspodete. Se o tamaho da amostra for grade, podemos esperar que a dstrbução de freqüêca da amostra seja uma boa apromação da dstrbução de probabldade da população. Na busca de soluções para um grade úmero de problemas prátcos, são de fudametal mportâca os estudos das característcas de amostras, as dstrbuções de freqüêcas, os gráfcos, as meddas de posção, as meddas de dspersão etc. Etretato, quado o estudo, teórco e prátco, dz respeto a varáves de uma população, a dstrbução de probabldade é mas adequada. As aálses das dstrbuções de probabldades possbltam a costrução de modelos que os aulam o etedmeto de feômeos do mudo real. Varáves Aleatóras Vmos o estudo das probabldades que espaço amostral é defdo como o cojuto de todos os possíves resultados de um epermeto aleatóro. Os elemetos de um espaço amostral podem ser umércos ou ão. Como eemplo, supoha que o epermeto é regstrar o peso de atletas de Boe. Neste caso, teremos um cojuto umérco. Porém, se o epermeto for regstrar o seo dos atletas de Boe, teremos um cojuto ão umérco. Em mutas stuações epermetas, é ecessáro atrbur um úmero real a todo elemeto do espaço amostral. Defmos varável aleatóra como uma fução X que assoca a cada elemeto s Є S, ode S é o espaço amostral assocado a um epermeto aleatóro, um úmero real X(s). E Nemer / 5

2 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Observe que, apesar do ome, varável aleatóra é uma fução cujo domío é o cojuto S, e o cotradomío o cojuto de todos os valores possíves de X, ou seja, os X(s). Como eemplos de varáves aleatóras, temos: a) X: úmero de caras obtdas o laçameto de duas moedas. Temos: ε laçameto de duas moedas; S {cc, ck, kc, kk} ode: c cara e k coroa A varável X poderá assumr os valores 0, e. Assm: X0 correspode ao resultado do eveto kk (ehuma cara); X correspode ao resultado ck ou kc (uma cara); X correspode ao resultado cc (duas caras). b) X: úmero de cletes que etram um supermercado etre h e h. A varável poderá assumr os valores 0,,,... c) X: altura dos aluos etre,50 m e,90 m. Varável Aleatóra Dscreta Varável aleatóra dscreta é aquela em que o úmero de valores possíves que ela pode assumr é fto ou fto umerável. As varáves aleatóras dos eemplos a) e b) são dscretas. Varável Aleatóra Cotíua Varável aleatóra cotíua é aquela em que seu cotradomío é um tervalo. A varável aleatóra do eemplo c) é cotíua. ução de Probabldade Seja X uma varável aleatóra dscreta. Sejam,,, 4,... seus possíves valores. A cada resultado assocaremos um úmero p( ) P (X ), deomado probabldade de, tal que: a) P( ) 0 para todo. b) p( ) Esta fução é deomada fução de probabldade da varável aleatóra X. A dstrbução de probabldade de X é dada pelos pares [ ; p( )],,,..., e poderá ser epressa por uma tabela, gráfco ou fórmula. E Nemer / 5

3 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Como eemplo, ecotre a dstrbução dscreta de probabldade da varável úmero de caras ecotradas o laçameto de três moedas. Solução: ε laçameto de três moedas; S {ccc, cck, ckk, ckc, kck, kcc, kkc, kkk} ode: c cara e k coroa A varável X poderá assumr os valores 0,, e. Assm: X0 correspode ao resultado do eveto kkk; X correspode ao resultado kkc, kck, ckk; X correspode ao resultado cck, ckc, kcc; X correspode ao resultado ccc. A dstrbução de probabldade, epressa por uma tabela, fcara da segute forma: 0 P( ) / / / / A mesma dstrbução, epressa por um gráfco, fcara da segute forma: / / P() /4 / 0 0 E Nemer / 5

4 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 ução de Dstrbução Acumulada Supoha X uma varável aleatóra dscreta. Defe-se ução de Dstrbução Acumulada em um poto como a soma das probabldades dos valores meores ou guas a. p ) ( ) ( Para o eemplo ateror, temos que: a) 4 ) ( b) 7 ) ( c) 4,5) ( d) ) ( e) 4) ( f) 0 ) ( Valor Esperado ou Méda de uma Varável Aleatóra Dscreta Seja X uma varável aleatóra dscreta, com valores,,..., k. O valor esperado de X (ou esperaça matemátca de X), ou smplesmete méda de X é defda como: [] ) ( ) ( k p E μ Observe a semelhaça etre a fórmula da méda de uma varável dscreta e a fórmula da méda amostral: Méda amostral: Lembre-se que: f f Méda populacoal de uma varável dscreta: p ) ( ) ( μ E Nemer 4 / 5

5 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Comparado as duas epressões, otamos que a méda teórca (ou populacoal) μ () é semelhate à méda amostral. À medda que o tamaho da amostra aumeta, a freqüêca relatva f aproma-se de p( ), ou seja, a méda amostral aproma-se da méda populacoal. Como eemplo, cosdere o laçameto de três moedas, ode seja pago R$ para cada cara que apareça. Quato se esperara gahar com um úco laçameto das três moedas? De outra maera, qual sera o valor esperado em reas? Solução: já vmos que a dstrbução de probabldades para o úmero de caras obtdo o laçameto de três moedas é: Número de caras 0 X: valor a ser recebdo (R$) 0 Probabldade: p( ) / / / / Sabemos que o valor esperado de é dado por: μ k E[] p( ) 0 $, 50 ( ) R O valor esperado é uma méda a logo prazo, ou seja, após váras jogadas, se esperara gahar R$,50. Varâca e Desvo Padrão de uma Varável Aleatóra Dscreta Já vmos que a varâca é uma medda de dspersão. A varâca de uma varável aleatóra dscreta X é dada por: Var [ ] [ ] E ( μ ) ( ) ( ) Desevolvedo o quadrado da dfereça, obtemos uma fórmula prátca para o cálculo da varâca: ode: E k [ X ] p E [ ] μ ( ) ( ) k ( p( ) ( ) e μ ) E Nemer 5 / 5

6 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 O desvo padrão é gual à raz quadrada postva da varâca: ( ) ( ) Como eemplo, supoha a segute dstrbução para as vedas de um determado produto por semaa: X (vedas) 0 4 p( ) 0,0 0,0 0,0 0,5 0,05 O úmero esperado de veda semaal será: k μ ) E p( ) 0 0,0 0,0 0,0 [] ( ) ( ) ( ) ( 0,5) 4( 0,05), 55 ( Quato à varâca, temos que: E [ ] μ ( ) ( ) Sabemos que: E k [ X ] p( ) 0 (0,0) (0,0) (0,0) (0,5) 4 (0,05), 65 Logo, temos que: [ ] μ,65 (,55),65,405,475, 5 ( ) E ( ) E o desvo padrão será de:,5 ( ), Dstrbuções de Probabldades de Varáves Cotíuas Vmos aterormete que uma varável aleatóra pode ser dscreta ou cotíua. A varável cotíua assume valores em tervalos da reta dos úmeros reas e sua dstrbução de freqüêca para uma amostra de observações pode ser represetada por um hstograma. E Nemer 6 / 5

7 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Os hstogramas possbltam que estmemos a probabldade de ocorrêca de determado eveto. Como eemplo, observe hstograma abao para uma amostra das otas de uma determada turma: 0,45 0,4 0,5 0, 0,5 0, 0,5 0, 0, Eamado o hstograma, podemos estmar, por eemplo, a probabldade de uma ota ser superor a 6. Neste caso, teríamos: P(ota > 6) 0,5 0,05 0,0 0 % Ou seja, a probabldade de uma ota da amostra ser superor a 6 sera de 0 %. Image agora que precsássemos estmar a probabldade de uma ota de toda a população de otas, e ão somete da amostra, ser superor a 6. Ifelzmete ão cohecemos o hstograma de freqüêcas relatvas de toda a população e, portato, ão podemos determar eatamete essa probabldade. Se a amostra das otas fo aleatoramete retrada da população, poderemos afrmar que uma estmatva para P (ota > 6) é de 0 %. Para o cálculo eato, e como ão cohecemos o hstograma de freqüêcas relatvas de toda a população, ecesstamos de um modelo para a dstrbução de freqüêca relatva da população. Estem város modelos que oferecem dstrbuções de freqüêcas relatvas populacoas (probabldades) para varáves aleatóras cotíuas. Esses modelos represetam comportametos de uma etesa sére de varáves do mudo dos egócos e também dstrbuções teórcas de probabldades E Nemer 7 / 5

8 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 que são fudametas para os métodos de ferêca estatístca. Tas modelos são epressos por fuções matemátcas deomadas fuções desdade de probabldade. A área sob a curva que epressa a fução desdade de probabldade é gual a (total das probabldades). A probabldade de uma partcular observação (por eemplo, uma ota de prova) pertecer a um tervalo é dada pela área sob a curva, correspodete ao tervalo. Dstrbução Normal (ou Dstrbução de Gauss) Iúmeras varáves cotíuas que descrevem feômeos aturas e socas apresetam dstrbuções prómas da dstrbução ormal. O ome ormal deve-se ao fato de que mutas dstrbuções de freqüêcas de erros de observações e mesurações podem ser descrtas por uma dstrbução dessa atureza. A fução desdade de probabldade de uma varável X com dstrbução ormal é dada por: f ( ) e π μ ode: < < μ meda da dstrbução desvo padrão da dstrbução π,46k e,7k O gráfco de uma dstrbução ormal assemelha-se muto a um so, e seu formato depederá dos valores dos parâmetros μ e. Observe as fguras A e B segutes. Na gura A, temos duas dstrbuções com médas dferetes ( μ < μ ) e varâcas guas ( ). Na gura B, temos duas dstrbuções com médas guas ( μ ) mas varâcas dferetes ( < ). μ E Nemer / 5

9 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 μ μ X μ X gura A: Duas dstrbuções ormas de mesma varâca e com médas dferetes gura B: Duas dstrbuções ormas de mesma méda e com varâcas dferetes Observado as fguras aterores, é possível detfcar algumas característcas mportates das dstrbuções ormas. Como cada dstrbução ormal é determada pelos parâmetros μ (méda) e (desvo padrão), a otação para uma varável com dstrbução ormal é: X N( μ; ) Como eemplo, X N(50;6) sgfca que temos uma varável com dstrbução ormal cuja méda é 50 e desvo padrão é 6 6. Observe o gráfco abao que a dstrbução é smétrca em relação à méda. Portato, 50 % das observações de X estarão abao da méda, e 50 % acma. Logo: Méda Medaa Moda Área 0,50 Área 0,50 μ E Nemer 9 / 5

10 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 À medda que os valores de X afastam-se da méda (para a dreta ou para a esquerda), a fução tede a zero, sto é, aproma-se do eo. Por tratar-se de uma medda de dstrbução cotíua, a probabldade de X assumr um partcular valor o é zero, ou seja, P(X o )0. Logo, temos que: P( a < < b) P( a < b) P( a < b) P( a b) A probabldade de uma varável aleatóra dstrbuída ormalmete tomar um valor etre dos potos quasquer a e b, (com a b), é gual à área sob a curva compreedda etre os dos potos. Área P(a < < b) a b O valor umérco dessa área hachurada é o resultado da tegral de f() etre os potos a e b, ou seja: P( a < < b) e π b a μ d Essa tegração ão pode ser calculada aaltcamete e deve ser computada por métodos umércos. Porém, o problema pode ser resolvdo por meo de uma trasformação de varáves que os coduz à chamada dstrbução ormal padrozada, ou dstrbução ormal reduzda. Dstrbução Normal Padrozada (ou Dstrbução Normal Reduzda) Seja X uma varável aleatóra com dstrbução X N( μ; ). Cosderemos a trasformação lear de X para Z. E Nemer 0 / 5

11 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Z X μ Podemos demostrar que a méda dessa varável Z é zero e que sua varâca é gual a. sto é: μ ( z) 0 ( z) ( z) Logo, a fução desdade varável Z é dada por: f ( z) e π z ode: < z < μ ( z) 0 ( z) π,46k e,7k E seu gráfco é: f(z) ( z) 0 z A otação para a dstrbução ormal padrozada é Z N(0; ). Como são fas a méda ( μ ( z) 0 ) e a varâca ( ( z) ), as probabldades (áreas) sob f(z) são calculadas e tabeladas. Logo, para ecotrar as áreas (probabldades) sob a curva f(), muda-se suas abscssas para z, e determa-se a probabldade com auílo de uma tabela de dstrbução ormal padrozada. E Nemer / 5

12 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Portato, temos que: ode: P ( a < < b) P( z < z < z ) Z a μ Z b μ Uso da Tabela da Dstrbução Normal Padrozada Temos dos tpos de tabelas que oferecem as áreas sob a curva ormal padrão. Tabela A: Esta prmera tabela forece a área sob a curva ormal padrão etre z - e valores postvos da varável z (a fgura acma, z z ). Abao está reproduzda parte da tabela: Dstrbução Normal Reduzda p Z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , E Nemer / 5

13 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Tabela B: Esta seguda tabela forece a área sob a curva ormal padrão etre z 0 e outros valores postvos da varável z (a fgura acma, z z ). Abao está reproduzda parte da tabela: p Z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Observe que os valores obtdos da prmera tabela são guas aos da seguda tabela somados a 0,5. Como eemplo, vejamos como obter P(0 < z <,7). Observe que:,7, 0,07 Este valor defe a colua a tabela Este valor defe a lha a tabela E Nemer / 5

14 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Neste eemplo, faremos uso das duas tabelas somete para demostração. Nos eemplos segutes, faremos uso somete da seguda tabela. Usado a Tabela A, obtemos o segute: p Z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0, , , , , , , , , , , , , , E temos a segute stuação: Área procurada Área obtda da tabela A,7 z Lembre-se de que o valor obtdo da tabela A determa a área etre z - e z z, que o osso caso é,7. Como estamos procurado a área etre z0 e z,7, temos que descotar a metade da curva que vale 0,5. Portato: P ( 0 < <,7) P( z <,7) P( z < 0) 0,790 0,5 0,790 7,9% E Nemer 4 / 5

15 Estatístca - aulasestdstrnormal.doc 0/05/06 Vamos usar agora a Tabela B. Temos que: p Z 0,00 0,0 0,0 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0, , , , , , , , , , , , , , E temos a segute stuação: Área obtda da tabela B 0,7 z Lembre-se de que o valor obtdo da tabela B determa a área etre z 0 e z z, que o osso caso é,7. E essa é justamete a área que estamos procurado. Portato: P ( 0 < <,7) 0,790 7,9% E Nemer 5 / 5