Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER ANO Estimação Pontual
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- Fernanda das Neves Álvares
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1 Estatístca: Aplcação ao Sesorameto Remoto SER 04 - ANO 08 Estmação Potual Camlo Daleles Reó camlo@dp.pe.br
2 Iferêca Estatístca Cosdere o expermeto: retram-se 3 bolas de uma ura (com reposção). Defe-se uma v.a. cujo valor represeta o úmero total de bolas vermelhas detre as 3 escolhdas. Qual a méda e varâca de? Quas os valores possíves de? Valores teros (úmero de tetatvas bem-suceddas) Mímo 0 (ehuma bola vermelha) Máxmo 3 (todas 3 são bolas vermelhas) : {0,,, 3} Qual a dstrbução de probabldade de? é dscreto A probabldade de sucesso é gual para todas tetatvas Dstrbução: Bomal Quas os parâmetros que defem uma Bomal? e p = 3 DISTRIBUIÇÃO CONHECIDA p =? PARÂMETRO(S) DESCONHECIDO(S)
3 Iferêca Estatístca Numa magem, um pxel é selecoado ao acaso. Defe-se uma v.a. cujo valor represeta seu valor dgtal. Qual a probabldade deste pxel possur valor etre 00 e 50? Quas os valores possíves de? Cosderado uma magem 8 bts... Mímo 0 (regão escura) Máxmo 55 (regão clara) : {0,,..., 55} Qual a dstrbução de probabldade de? é dscreto Descohecda (dscreta) Que parâmetros são ecessáros para defr esta dstrbução???????? DISTRIBUIÇÃO DESCONHECIDA 3
4 S Iferêca Estatístca ferr certas característcas da população dstrbução descohecda e/ou parâmetros descohecdos amostra elemetos (ou objetos) da população ex: sortear pxels de uma magem (com ou sem reposção) realzações da v.a. ex: medr a reflectâca de um objeto vezes a amostra costtu um cojuto de v.a.,,..., com mesma dstrbução (descohecda) Amostra Aleatóra* * cada amostragem resulta um cojuto dstto de valores 4
5 Estmação de Parâmetros População Amostra Dstrbução de Probabldade (ou FDP) Dstrbução Amostral (Frequêcas) Parâmetros (valor fxo) estmar Estatístcas (varável aleatóra) Estmação potual (estatístcas) por tervalo (tervalos de cofaça) OBS: estatístca: é a v.a. que estma (potualmete) um parâmetro (populacoal) as vezes é chamada smplesmete de estmador estmatva: é o valor do estmador obtdo para uma amostra específca 5
6 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. méda populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? método dos mometos método da máxma verossmlhaça 6
7 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. méda populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? Supoha que seja possível produzr k dferetes estmadores para, sedo é o k-ésmo estmador de ˆk Qual é o melhor estmador potual? ão tedecoso (exatdão) E( ˆ ) k varâca míma (precsão) Var( ˆ ) Var( ˆ ) k j k j Exato Imprecso Tro ao alvo Iexato Precso 7
8 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. méda populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? Ex. amostra com = 5 {3,4; 4,5;,6; 3,8; 6,0} Como ão há ehuma razão para acredtar que um valor da amostra é mas mportate do que o outro: ˆ x N j x FR( x ) j j méda amostral 3, 4 4, 5, 6 3, 8 6, 0 5 4,06 dados agrupados (v.a. dscreta) 8
9 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. méda populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? verfcado a tedecosdade de E ( ) E E estmador ão tedecoso Iterpretação (teórca): se calculássemos a méda dos de todas amostras (de tamaho ) possíves de serem obtdas, o resultado sera 9
10 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. méda populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? calculado a varâca de Var( ) Var Var Se as amostras forem depedetes, ou seja, se elas ão guardarem ehuma relação etre s. 0
11 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. méda populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? x E ( ) Var( ) Quato maor o tamaho da amostra (), mas precsa será a estmatva de
12 Estmação Potual de méda populacoal E ( ) Smulado-se Var( ) a partr de amostras de uma v.a. N ~ ( 00, 5)
13 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. varâca populacoal De que maera os valores da amostra podem ser combados a fm de se produzr uma boa estmatva de? Como ão há ehuma razão para acredtar que um valor da amostra é mas mportate do que o outro e é descohecdo: ˆ x Mas será um estmador tedecoso? 3
14 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. varâca populacoal x ˆ 4
15 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. varâca populacoal ˆ x E E ˆ E E E E Var( ) E E E E 5
16 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. varâca populacoal ˆ x E E ˆ E E E E Var( ) E E E E 6
17 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. varâca populacoal E E ˆ x E E ˆ E E E E estmador tedecoso! 7
18 Estmação Potual de Seja uma v.a. ormalmete dstrbuída com a méda () e a varâca ( ) descohecdas. Retra-se uma amostra de tamaho com a faldade de se estmar e. varâca populacoal ˆ x s x varâca amostral E s estmador ão tedecoso (ver Estmadores.xls) Iterpretação (teórca): se calculássemos a méda dos s de todas amostras (de tamaho ) possíves de serem obtdas, o resultado sera 8
19 Estmação Potual de varâca populacoal Es ( ) Smulado-se 5 s a partr de amostras de uma v.a. N ~ ( 00, 5)
20 Cosdere que bolas são escolhdas ao acaso (com reposção), defdo-se Y como o úmero de bolas vermelhas etre as selecoadas, qual a dstrbução de Y? Y ~ Bomal(, p) Estmação Potual de p Numa ura, há N bolas, sedo K vermelhas e N K azus. Assm, pode-se dzer que K/N represeta a proporção p de bolas vermelhas a ura (que por sua vez, represeta a probabldade de se selecoar uma bola vermelha desta ura). Mas se N e K são descohecdos, como estmar p? Y ~ Beroull p = P( = ) P(sucesso) Qual é o melhor estmador potual de p? Y? ˆp Y EY ( ) E( pˆ ) E p p Y Var( Y ) Var( pˆ ) Var pq Proporção Amostral estmador ão tedecoso pq Quato maor o tamaho da amostra (), mas precsa será a estmatva de p Quato mas p se aproxma de 0,5 (50%), meos precsa será sua estmatva 0
21 Estmação Potual de p proporção populacoal p E( pˆ ) p Var( pˆ ) pq Smulado-se ˆp a partr de amostras de uma v.a. ~ Bomal( p, 0,5) 5 p0,5 0 p0,5 50 p0,5
22 Estmação Potual de p proporção populacoal p E( pˆ ) p Var( pˆ ) pq Smulado-se ˆp a partr de amostras de uma v.a. ~ Bomal( 5, p) 5 p0,5 5 p0,05
23 Estmação Potual de e Exemplo: uma amostra ( = ) é retrada de uma população e os segutes valores são observados: 0,, 3, 5,,,,, 3, 3, 4,. Calcule a méda e varâca amostras. méda amostral N x (dados brutos) x FA( x ) j j N j x jfr x j j ( ) (dados agrupados) 0** *4 3*3 4* 5* 7 (usado FA) 3 dstrbução amostral Freq. Freq. Valor Absoluta Relatva 0 / /6 4 /3 3 3 /4 4 / 5 / Total 7 0* * * 3* 4* 5* (usado FR) 3
24 Estmação Potual de e Exemplo: uma amostra ( = ) é retrada de uma população e os segutes valores são observados: 0,, 3, 5,,,,, 3, 3, 4,. Calcule a méda e varâca amostras. varâca amostral s s x x 7 3 (dados brutos) (0 3) ( (0... ) * 3)... ( 3 ) 3 s,88 dstrbução amostral Valor Freq. Freq. Absoluta Relatva 0 / /6 4 /3 3 3 /4 4 / 5 / Total s N N x j FA( x j ) x j FA( x j ) j j (dados agrupados) (0 3) * ( (0 * *... 5 *) * 3) *... (5 3 ) * 3 s,88 4
25 Estmação Potual de, e p Observações:, e p são parâmetros que represetam a população e portato são valores fxos sedo, em geral, descohecdos, s e ˆp são estatístcas calculadas a partr da amostra e represetam varáves aleatóras (cada cojuto de amostras pode apresetar um valor dferete) Não cofuda varâca amostral (s ) com varâca da méda amostral (Var( )) De modo geral, as amostras devem ser obtdas de modo depedete uma das outras, ou seja, o valor de uma amostra ão deve ter relação com o(s) valor(es) das outras amostras (exceção em estudos de séres temporas ou dados espacas, ode estuda-se exatamete esta relação) 5
26 Utlzação de amostras ão depedetes T deslocameto A resposta do sesor represeta a tegração das respostas de todos objetos que estão o campo de vsada 6
27 Utlzação de amostras ão depedetes T T T 3 T 4 área de sobreposção (redudâca) 7
28 Utlzação de amostras ão depedetes T T T 3 T Resolução Espacal Tamaho do Pxel : valor que represeta a resposta do sesor o tempo T ( elemeto de resolução) Note que estes valores ão são depedetes (devdo a sobreposção) 8
29 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 9
30 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,9,5 3, 5,3,8 6 9, 6,3 5,3 6,, 6,5 7,6, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 0, 0,6 0, /3 30
31 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,9 5,8 5,67,5 3 3,67 3, 3,4 3,67 5,3 4,6 3,67,8 3,6 4, , 8,4 7,33 6,3 6,6 7 5,3 5,6 6 6, 5,4 4,33, 3,4 5 6,5 6 5,33 7,6 7, 6,67, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 0, 0,6 0, /3 3
32 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,9 5,8 5,67,5 3 3,67 3, 3,4 3,67 5,3 4,6 3,67,8 3,6 4, , 8,4 7,33 6,3 6,6 7 5,3 5,6 6 6, 5,4 4,33, 3,4 5 6,5 6 5,33 7,6 7, 6,67, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 0, 0,6 0, /3 3
33 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,9 5,8 5,67,5 3 3,67 3, 3,4 3,67 5,3 4,6 3,67,8 3,6 4, , 8,4 7,33 6,3 6,6 7 5,3 5,6 6 6, 5,4 4,33, 3,4 5 6,5 6 5,33 7,6 7, 6,67, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 0, 0,6 0, /3 33
34 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,9 5,8 5,67,5 3 3,67 3, 3,4 3,67 5,3 4,6 3,67,8 3,6 4, , 8,4 7,33 6,3 6,6 7 5,3 5,6 6 6, 5,4 4,33, 3,4 5 6,5 6 5,33 7,6 7, 6,67, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 0, 0,6 0, /3 34
35 Utlzação de amostras ão depedetes Supoha que represeta um cojuto de amostras depedetes de uma v.a. qualquer obtdas uma determada sequêca (sére temporal por exemplo) ,9 5,8 5,67,5 3 3,67 3, 3,4 3,67 5,3 4,6 3,67,8 3,6 4, , 8,4 7,33 6,3 6,6 7 5,3 5,6 6 6, 5,4 4,33, 3,4 5 6,5 6 5,33 7,6 7, 6,67, e resultam do cálculo de médas móves (tamaho 3) aplcado sobre 0, 0,8 0, 0, 0,6 0, /3 s 5,3 6,90 5,3 4,39 5,3,68 5,3,6 Coclusão: a utlzação de amostras ão depedetes (autocorrelacoadas) afetam mas a estmação da varâca do que a estmação da méda 35
36 Dstrbuções amostras Um parâmetro pode ser estmado através de um úco valor (estmador potual) f(x) 0? amostra,,..., Se m amostras de tamaho fossem obtdas e para cada uma fosse calculada, poderíamos esperar que todas tvessem o mesmo valor? Muto pouco provável! Como o estmador é uma v.a., etão há, pelo meos teorcamete, uma dstrbução assocada a esse estmador. Cohecer essas dstrbuções é fudametal para se eteder o quão próxmas ou dsttas poderão ser as estmatvas obtdas para as dferetes amostras 36
37 Dstrbução amostral relacoada com,,, amostra aleatóra ~?(, ) dstrbução descohecda, descohecdo, mas cohecdo ~? Se ~ N(, ) : ~ N(?,?) (, ) E Se for grade (ou seja, adotado-se o TLC): Var ~? ~ N(, ) ~ N(0,) mesmo ão se cohecedo a dstrbução de f(x) 0? amostra,,..., f( ) a 0 Duas amostrages dsttas a e b: f( ) b 0 a a a b b b 37
38 Dstrbução amostral relacoada com s Ates de apresetar a dstrbução relacoada com s, é precso apresetar a dstrbução (lê-se qu-quadrado). 38
39 Dstrbução Uma varável aleatóra tem dstrbução se sua fução desdade de probabldade for dada por: g x f ( x) x e x 0 g ( g ) g {,,3,...} g g > E( ) g Var( ) g 0 + ~ (lê-se: tem dstrbução qu-quadrado com g graus g de lberdade) Propredades: a) se Z ~ N(0,), etão Z b) se ~, etão ~ ~ 39
40 Dstrbução 0 t + P( 3,5)? 0 0 P ( g t ) P( 3, 5) 0,975 g 0,005 0,00 0,05 0,050 0,00 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 7,88 6,63 5,0 3,84,7 0,06 0,0039 0,000 0,0006 0, ,60 9, 7,38 5,99 4,6 0, 0,0 0,05 0,00 0,00 3,84,34 9,35 7,8 6,5 0,58 0,35 0, 0, 0,07 4 4,86 3,8,4 9,49 7,78,06 0,7 0,48 0,30 0, 5 6,75 5,09,83,07 9,4,6,5 0,83 0,55 0,4 6 8,55 6,8 4,45,59 0,64,0,64,4 0,87 0,68 7 0,8 8,48 6,0 4,07,0,83,7,69,4 0,99 8,95 0,09 7,53 5,5 3,36 3,49,73,8,65,34 9 3,59,67 9,0 6,9 4,68 4,7 3,33,70,09,73 0 5,9 3, 0,48 8,3 5,99 4,87 3,94 3,5,56,6 6,76 4,7,9 9,68 7,8 5,58 4,57 3,8 3,05,60 8,30 6, 3,34,03 8,55 6,30 5,3 4,40 3,57 3,07 3 9,8 7,69 4,74,36 9,8 7,04 5,89 5,0 4, 3,57 4 3,3 9,4 6, 3,68,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07 5 3,80 30,58 7,49 5,00,3 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3,00 8,85 6,30 3,54 9,3 7,96 6,9 5,8 5,4 7 35,7 33,4 30,9 7,59 4,77 0,09 8,67 7,56 6,4 5, ,6 34,8 3,53 8,87 5,99 0,86 9,39 8,3 7,0 6,6 9 38,58 36,9 3,85 30,4 7,0,65 0, 8,9 7,63 6, ,00 37,57 34,7 3,4 8,4,44 0,85 9,59 8,6 7,43 4,40 38,93 35,48 3,67 9,6 3,4,59 0,8 8,90 8,03 4,80 40,9 36,78 33,9 30,8 4,04,34 0,98 9,54 8, ,8 4,64 38,08 35,7 3,0 4,85 3,09,69 0,0 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33,0 5,66 3,85,40 0,86 9, ,93 44,3 40,65 37,65 34,38 6,47 4,6 3,,5 0,5 6 48,9 45,64 4,9 38,89 35,56 7,9 5,38 3,84,0,6 7 49,64 46,96 43,9 40, 36,74 8, 6,5 4,57,88,8 8 50,99 48,8 44,46 4,34 37,9 8,94 6,93 5,3 3,56,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,09 9,77 7,7 6,05 4,6 3, 30 53,67 50,89 46,98 43,77 40,6 0,60 8,49 6,79 4,95 3, ,77 63,69 59,34 55,76 5,8 9,05 6,5 4,43,6 0, ,49 76,5 7,4 67,50 63,7 37,69 34,76 3,36 9,7 7, ,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,9 40,48 37,48 35, , 00,43 95,0 90,53 85,53 55,33 5,74 48,76 45,44 43,8 80 6,3,33 06,63 0,88 96,58 64,8 60,39 57,5 53,54 5,7 90 8,30 4, 8,4 3,5 07,57 73,9 69,3 65,65 6,75 59, ,7 35,8 9,56 4,34 8,50 8,36 77,93 74, 70,06 67,33 40
41 Dstrbução 0 t + P( 3,5)? 0 0 P ( g t ) P( 3,5) 0,975 P(?) 0,9 5 P( 8,55) 0,9 5 g 0,005 0,00 0,05 0,050 0,00 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 7,88 6,63 5,0 3,84,7 0,06 0,0039 0,000 0,0006 0, ,60 9, 7,38 5,99 4,6 0, 0,0 0,05 0,00 0,00 3,84,34 9,35 7,8 6,5 0,58 0,35 0, 0, 0,07 4 4,86 3,8,4 9,49 7,78,06 0,7 0,48 0,30 0, 5 6,75 5,09,83,07 9,4,6,5 0,83 0,55 0,4 6 8,55 6,8 4,45,59 0,64,0,64,4 0,87 0,68 7 0,8 8,48 6,0 4,07,0,83,7,69,4 0,99 8,95 0,09 7,53 5,5 3,36 3,49,73,8,65,34 9 3,59,67 9,0 6,9 4,68 4,7 3,33,70,09,73 0 5,9 3, 0,48 8,3 5,99 4,87 3,94 3,5,56,6 6,76 4,7,9 9,68 7,8 5,58 4,57 3,8 3,05,60 8,30 6, 3,34,03 8,55 6,30 5,3 4,40 3,57 3,07 3 9,8 7,69 4,74,36 9,8 7,04 5,89 5,0 4, 3,57 4 3,3 9,4 6, 3,68,06 7,79 6,57 5,63 4,66 4,07 5 3,80 30,58 7,49 5,00,3 8,55 7,6 6,6 5,3 4, ,7 3,00 8,85 6,30 3,54 9,3 7,96 6,9 5,8 5,4 7 35,7 33,4 30,9 7,59 4,77 0,09 8,67 7,56 6,4 5, ,6 34,8 3,53 8,87 5,99 0,86 9,39 8,3 7,0 6,6 9 38,58 36,9 3,85 30,4 7,0,65 0, 8,9 7,63 6, ,00 37,57 34,7 3,4 8,4,44 0,85 9,59 8,6 7,43 4,40 38,93 35,48 3,67 9,6 3,4,59 0,8 8,90 8,03 4,80 40,9 36,78 33,9 30,8 4,04,34 0,98 9,54 8, ,8 4,64 38,08 35,7 3,0 4,85 3,09,69 0,0 9,6 4 45,56 4,98 39,36 36,4 33,0 5,66 3,85,40 0,86 9, ,93 44,3 40,65 37,65 34,38 6,47 4,6 3,,5 0,5 6 48,9 45,64 4,9 38,89 35,56 7,9 5,38 3,84,0,6 7 49,64 46,96 43,9 40, 36,74 8, 6,5 4,57,88,8 8 50,99 48,8 44,46 4,34 37,9 8,94 6,93 5,3 3,56,46 9 5,34 49,59 45,7 4,56 39,09 9,77 7,7 6,05 4,6 3, 30 53,67 50,89 46,98 43,77 40,6 0,60 8,49 6,79 4,95 3, ,77 63,69 59,34 55,76 5,8 9,05 6,5 4,43,6 0, ,49 76,5 7,4 67,50 63,7 37,69 34,76 3,36 9,7 7, ,95 88,38 83,30 79,08 74,40 46,46 43,9 40,48 37,48 35, , 00,43 95,0 90,53 85,53 55,33 5,74 48,76 45,44 43,8 80 6,3,33 06,63 0,88 96,58 64,8 60,39 57,5 53,54 5,7 90 8,30 4, 8,4 3,5 07,57 73,9 69,3 65,65 6,75 59, ,7 35,8 9,56 4,34 8,50 8,36 77,93 74, 70,06 67,33 4
42 Dstrbução amostral relacoada com s,,, amostra aleatóra Se ~ N(, ) dstrbução ormal com e descohecdos ~? N(0,) ( ) ~? ( ) ~? Substtudo-se por tem-se que mas ( ) ~ (perde-se grau de lberdade) ( ) ( ) ( ) s s ( ) s ~ 4
43 Graus de lberdade De modo geral, pode-se eteder grau de lberdade como o úmero de valores que, o fal de um cálculo de uma estatístca, estão lvres para vararem, ou seja, que têm o comportameto de varáves aleatóras. Por exemplo: deseja-se avalar os desvos em toro da méda a partr de uma amostra de 3 valores retrados de uma população ormalmete dstrbuída. ~ N, Amostra:,, 3 ( é cohecda) Quas são os valores possíves de serem obtdos esta amostra? R: Neste caso, posso escolher lvremete quasquer 3 valores etre - e + -3,5? 0,5? 00,9? 43
44 Graus de lberdade Agora, se é descohecdo e o substtuímos por... Como Amostra:,, 3 3 etão 0 3 /3 Assm, ao se escolher os dos prmeros valores, o tercero é ecessaramete cohecdo. Neste caso, perde-se grau de lberdade -,5? 0,?,4?,5 0, ( ) 0 3 As perdas de graus de lberdade acotecem sempre que um parâmetro é substtuído por seu estmador 44
45 Dstrbução amostral relacoada com,,, amostra aleatóra ~?(, ) dstrbução descohecda, e também descohecdos Vmos que tem dstrbução ormal desde que seja cohecda! Ates de apresetar a dstrbução relacoada com precso apresetar a dstrbução t de Studet. quado descohecemos, é 45
46 Dstrbução t de Studet Uma varável aleatóra tem dstrbução t de Studet se sua fução desdade de probabldade for dada por: ( g) [( g) ] x f ( x) x ( g ) g g g {,,3,...} E ( ) 0 g ~ Var( ) g g t (lê-se: tem dstrbução t de Studet com g graus de lberdade) t g Propredades: a) se Z ~ N(0,) e W ~ g etão b) se g etão t N(0,) g Z W g ~ t g 46
47 Dstrbução t de Studet 0,4 0, 0, 0,08 0,06 0,04 0, t + PT ( 0?) 0,0 PT ( 0,764) 0,0 P( T t) g g 0, 0,05 0,05 0,0 0,005 3,078 6,34,706 3,8 63,656,886,90 4,303 6,965 9,95 3,638,353 3,8 4,54 5,84 4,533,3,776 3,747 4,604 5,476,05,57 3,365 4,03 6,440,943,447 3,43 3,707 7,45,895,365,998 3,499 8,397,860,306,896 3,355 9,383,833,6,8 3,50 0,37,8,8,764 3,69,363,796,0,78 3,06,356,78,79,68 3,055 3,350,77,60,650 3,0 4,345,76,45,64,977 5,34,753,3,60,947 6,337,746,0,583,9 7,333,740,0,567,898 8,330,734,0,55,878 9,38,79,093,539,86 0,35,75,086,58,845,33,7,080,58,83,3,77,074,508,89 3,39,74,069,500,807 4,38,7,064,49,797 5,36,708,060,485,787 6,35,706,056,479,779 7,34,703,05,473,77 8,33,70,048,467,763 9,3,699,045,46,756 30,30,697,04,457,750 40,303,684,0,43,704 50,99,676,009,403,678 60,96,67,000,390,660 0,89,658,980,358,67,8,645,960,36,576 47
48 Dstrbução amostral relacoada com,,, amostra aleatóra Se ~ N(, ) dstrbução ormal com e descohecdos ~? N(0,) Lembrete: ~ N(, ) ( ) s ~? ( ) s ( ) ~? t s s Se é grade ( > 00), etão: ~ N(0,) s 48
49 Dstrbução amostral relacoada com e,,,,,,,,,,,, amostras aleatóras depedetes ~ N(, ), ~ N(, ) descohecdas, mas cohecdas, j j f() 0 ~? ~ N(, ) ~ N(, ) ~ N(, ) ~? ( ) ( ) ~? N(0,) Normal Padrão 49
50 Dstrbução amostral relacoada com e,,,,,,,,,,,, amostras aleatóras depedetes ~ N(, ), ~ N(, ) e descohecdas, j j f() ( ) ( ) ~? N(0,) ( ) s ( ) s ~? 0 ( ) ( ) ( ) s ( ) s ~? t 50
51 Dstrbução amostral relacoada com e ( ) ( ) ( ) s ( ) s ~ t (fazedo ) abordagem homocedástca ( ) ( ) ( ) s ( ) s ~ t rearrajado os termos... ( ) ( ) ( ) s ( ) s ~ t 5
52 Dstrbução amostral relacoada com e ( ) ( ) ~? N(0,) (cosderado ) abordagem heterocedástca ( ) ( ) ~ t g s s g s s s s Importate: a seleção de qual abordagem (homo ou heterocedástca) deve ser adotada é feta com base em teste de hpótese realzado prevamete 5
53 Dstrbução amostral relacoada com s e s Ates de apresetar a dstrbução relacoada com e, é precso s s apresetar a dstrbução F. 53
![Dstrbução F (de Sedecor) Uma varável aleatóra tem dstrbução F se sua fução desdade de probabldade for dada por: g E( ) g g ( g g ) Var( ) g ( g ) ( g 4) g / ( g g ) [( g g ) ] g g f x x x x g / ( ) 0](/docs-images/92/111008427/images/54-0.jpg "( g ) ( g ) g g g {,,3,...} g {,,3,.")
54 Dstrbução F (de Sedecor) Uma varável aleatóra tem dstrbução F se sua fução desdade de probabldade for dada por: g E( ) g g ( g g ) Var( ) g ( g ) ( g 4) g / ( g g ) [( g g ) ] g g f x x x x g / ( ) 0 ( g ) ( g ) g g g {,,3,...} g {,,3,...} 0 + ~ F g, g (lê-se: tem dstrbução F com g e g graus de lberdade) Propredades: a) se U b) se ~ g ~ g, g e V ~ g F etão etão ~ F g, g U/ g ~ Fg, g V / g P( Fg, g F) P( Fg, g ) F F g, g 0 F + F g, g 0 + F 54
55 Dstrbução F g 0 + F P( F F) 0,05 g, g PF ( 5,0?) 0,05 PF ( 5,0,57) 0,05 g 55
56 Dstrbução F g 0 + F P( F F) 0,05 g, g PF ( 5,5?) 0,05 PF ( 5,5?) 0,05 g 56
57 Dstrbução F g 0 + F P( F F) 0,05 g, g g PF ( 5,5?) 0,05 PF ( 5,5?) 0,05 PF ( 5,5 3,3) 0,05 PF ( 5,5 ) 0,05 3,3 PF ( 5,5 0,39) 0,05 57
58 Dstrbução amostral relacoada com s e s,,,,,,,,,,,, amostras aleatóras depedetes ~ N(, ), ~ N(, ) e descohecdas, j j f() ( ) s ~? ( ) s ~? 0 ( ) s ( ) s ~? F, ( ) s ( ) ( ) ( ) s s s s s ~ F, 58
59 Dstrbução amostral relacoada com ˆp Y ~ Bomal(, p) Y ~ Beroull p = P( = ) P(sucesso) Y pˆ Proporção Amostral E( pˆ ) p Var( pˆ ) pq Qual a dstrbução de ˆp? Se for grade (ou seja, adotado-se o TLC): pq pˆ ~ N( p, ) pˆ p pq ~ N(0,) 59
60 Dstrbução amostral relacoada com e ˆp ˆp Y ~ Bomal(, p ) Y ~ Bomal(, p ) Y pˆ E( p ) p ˆ Var( pˆ ) pq Y pˆ E( pˆ ) p Var( pˆ ) pq Se e forem grades (ou seja, adotado-se o TLC): pq pˆ ~ N( p, ) pq pˆ ~ N( p, ) pˆ pˆ p p p q p q ~ N(0,) 60
61 Dstrbuções amostras (Resumo) para para s N(0,) t se é cohecda se é descohecda N(0,) se e são cohecdas para t se e são descohecdas, mas t g se e são descohecdas, mas s para F s, para ˆp N(0,) para pˆ pˆ N(0,) 6
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Questão : As otas de dez aluos, um exame, estão dadas a segur:, 5, 8, 3, 6, 5, 8, 7, 6, 0 O desvo médo e a varâca dessas otas podem ser expressos, respectvamete, por: a),8 e 4,6 b),0 e, c),8 e 5, d),0
Em muitas situações duas ou mais variáveis estão relacionadas e surge então a necessidade de determinar a natureza deste relacionamento.
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Parte 3 - Regressão lear smples Defção do modelo Modelo de regressão empregado para eplcar a relação lear etre duas varáves (ajuste de uma reta). O modelo de regressão lear smples pode ser epresso a forma:
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