1. Conceito de variável aleatória Podemos estudar, por exemplo, algumas características dos alunos do Curso de estatística.

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1 CAPÍTULO 7 VARIÁVEL ALEATÓRIA A probabldade teve íco com os jogos de azar (século XVII) com Cavalero de Nere, Fermat e Pascal, porém, coube a Beroull (73) laçar as bases da probabldade e a segur Laplace fez grades cotrbuções.. Coceto de varável aleatóra Podemos estudar, por eemplo, algumas característcas dos aluos do Curso de estatístca. Classe de aluos aspectos varável aleatóra alturas ( ) pesos ( ) dades ( ) procedêcas ( ) seo (0,) Seja S: espaço amostral e a um elemeto de S a Xa ( ) Espaço amostral dscreto XS ( ):cojuto magem a S um úco valor Xa ( ). Nestas codções podemos assocar a cada A essa fução X deomamos varável aleatóra. A varável aleatóra X represeta um valor umérco assocado a cada resultado de um epermeto de probabldade. A palavra aleatóra dca que os valores são determados pelo acaso. Estudaremos dos tpos de varáves aleatóras.. Varável aleatóra dscreta Se X é uma varável aleatóra defda em S com valores possíves de X fto ou eumerável, dzemos que X é varável aleatóra dscreta. Em outras palavras uma varável aleatóra dscreta é aquela que assume valores cotáves. Eemplos:. O úmero de casas de um codomío.. O úmero de cletes ateddo em determado da da semaa. 3. O úmero de carros veddos em uma cocessoára durate uma semaa de ofertas. 6

2 . Varável aleatóra cotíua Se X é uma varável aleatóra defda em S com valores o tervalo de úmeros reas. Nessas codções, X deoma-se varável aleatóra cotíua. Eemplos:. O peso de pães.. O tempo gasto por um aluo que vem para a faculdade. 3. O preço de apartametos veddos em um barro. Estudaremos prmeramete a varável aleatóra dscreta. Eemplo : Seja o espaço amostral S obtdo pelo laçameto de dos dados. Neste caso S é defdo S (,),(,),...,(6,6) e tem 36 elemetos. por: Defmos a varável aleatóra X por: X: assoca a cada poto a ( a, b) S a sua soma a b por: XS ( ),3,4,5,6,7,8,9,0,,, esse caso o cojuto magem é dado Eemplo : Seja uma ura com bolas bracas e 3 vermelhas. Retrado-se bolas sem reposção dessa ura. Defmos a varável X : úmero de bolas vermelhas. O esquema abao mostra as possbldades de retrada das duas bolas.. X. Fução probabldade Logo XS ( ) 0,,,,,,...,. Sejam X a varável aleatóra dscreta e seus possíves valores 3 assocamos um úmero p ( ) p( ), probabldade de, tal que: a) p ( ) 0, para todos e b) BB BV VB VV Se a cada valor p ( ), a essa fução p ( ) deomamos fução de probabldade da varável aleatóra dscreta X. Do eemplo, podemos escrever: 0 7

3 Resultados possíves BB BV VB VV Probabldade p ( ) / 5./ 4 /0 / 5.3/ 4 3/0 3/ 5./ 4 3/0 3/ 5./ 4 3/0 X 0 A dstrbução de probabldade a varável dscreta X : úmero de bolas vermelhas é p ( ) 0 0,6 p ( ) /0 6/0 3/0 0,3 0, 0 Eemplo 3: No laçameto de duas moedas dar a dstrbução de probabldade da varável úmero de caras C e úmero de coroas K e sua represetação gráfca. Solução: A tabela dca as possbldades e suas probabldades. Resultados possíves Probabldade X KK CK KC CC /4 /4 /4 /4 0 A dstrbução de probabldade a varável dscreta X : úmero de caras é dada por: 0 p ( ) /4 /4 /4 Eemplo 4: Dar a dstrbução de probabldade da varável X do eemplo e dê sua represetação gráfca. Solução: A tabela dca os resultados possíves e suas probabldades p /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 ( ) 8

4 A represetação gráfca é dada por. p ( ) 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 / Fução de dstrbução acumulada. Seja X uma varável aleatóra dscreta. Deoma-se fução de dstrbução acumulada de um poto, como a soma das probabldades dos valores meores ou guas a, sto é: F( ) p( ) Eemplo 5: Utlzado o eemplo 4: p /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 /36 /36 ( ) Calcule F, () sedo =, =5, =3, =3,5 e =5. Resolução F() p( ) /36 F(5) p( ) 0/36 5 F(3) p( ) 3 F(3,5) p( ) 3/36 3,5 F(5) p( ) 5 9

5 Eemplo 6: No laçameto de três moedas defmos X: úmero de caras. Assm a) O espaço amostral S é dado por: S ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk b) A dstrbução de probabldade da varável úmero de caras é. 0 3 p ( ) /8 3/8 3/8 /8 c) A probabldade de ocorrerem o mámo caras. Da tabela podemos escrever: p ( ) /83/83/8 7/8. d) A Fução de dstrbução acumulada, e sua represetação gráfca é dada por. Lembrado.A solução é dada por: que F( ) p( ) 0, se 0 / 8, se 0 F () 4 / 8, se 7 / 8, se 3, se 3 F() 7/8 4/8 /8 0 3 Eercícos de aplcação 0:. Seja X varável aleatóra dscreta defda por: / 5, se f() 4 / 5, se 0, etão a Fução de dstrbução acumulada é dada por: 0, se 0 F( ) 4 / 5, se 0, se Dê o gráfco de f ( ) ef( ). 0

6 . Seja X a varável aleatóra dscreta que assume os valores 0, e, tedo as probabldades /3, /6 e / respectvamete. Determar: a)a fução dstrbução acumulada F (). b) O gráfco de F ( ). 3. No laçameto de um dado defe-se varável aleatóra X: úmero de potos obtdos. Defr a fução dstrbução acumulada e dar seu gráfco.

7 4. Valor esperado ou Esperaça de uma varável aleatóra dscreta ou méda,,,...,, e Sejam X a varável aleatóra dscreta e seus possíves valores 3 P: p( ), p ( ), p ( 3),..., p ( ), suas respectvas probabldades, etão deoma-se valor esperado ou esperaça matemátca de X e se dca por E(X) a soma dos produtos dos valores da varável X pelas respectvas probabldades. E( X) p( ) Observação : E(X) é também deomada Méda ou valor médo. Eemplo 7: No laçameto de duas moedas, determar a (a) dstrbução de probabldade da varável úmero de caras e (b) esperaça. Solução: a) A tabela dca as possbldades. Resultados possíves Probabldade X CC CK KC KK /4 /4 /4 /4 0 A dstrbução de probabldade a varável dscreta X, úmero de caras é: 0 p ( ) /4 /4 /4 (b) E( X) p( ) =0./4././4 (Méda) Eemplo 8: Um par de dados é laçado e defmos a varável X como: X: varável aleatóra que assoca a cada poto ( a, b) S o maor desses valores, sto é, X( a, b) ma a, b. Determar E(X). Solução: Neste caso S é dado por S (,),(,),...,(6,6) e tem 36 elemetos. p( ) p( (,) /36 p( ) p( (,),(,),(,) 3/36

8 3 p( 3) p( (,3),(3,),(3,),(,3),(3,3) 5/36... p( 6) p( (,6),(,6),(3,6),...,(6,6) /36 X p ( ) /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /6 Usado a fórmula segue: E( X) p( ) =./36+.3/36+3.5/36+4.7/36+5.9/36+6./3= 6/36 = 4,47 Eemplo 9: Calcule a esperaça para as dstrbuções de probabldade dscretas dcadas as tabelas. a) X p ( ) /5 /5 /5 /5 /5 Solução: E( X) p( ) -./5 -./5 +./5 +./5 = 0 b) p ( ) /5 /5 /5 EX ( ) E( X ) [ E( X)] 0 Solução: E(X ) = 4./5+./5+0./5 = 0/5 = = Logo, podemos observar que c) p ( ) /5 /5 /5 /5 /5 Solução: E(X) = -4./5-./5+0./5+./5+4./5= 0 3

9 Eemplo 0: Qual a esperaça matemátca em um jogo que paga ao jogador R$ 6,00 se obtém cara e R$ 8,00 se obtém coroa? X 6 8 p ( ) / / EX ( ) 6. (/)+8. (/) = R$ 7,00 5.Teoremas: Teorema : Esperaça de uma costate é a própra costate. Devemos mostrar que E() k k. A varável é dada por X: k, k, k, k,..., k ( valores k), logo a esperaça matemátca é dada por: E( k) p( ) k p() k k p() k k p() k...+ k p() k = kp( k) p( k)... p( k) k p () k k, sedo p( k) / Teorema : Multplcado cada valor de uma varável aleatóra por uma costate a esperaça fcará multplcada pela costate. Devemos mostrar que E( kx ) k E( X). A varável é dada por X: k, k, k 3,..., k, logo a esperaça matemátca é dada por: p E( kx ) ( ) k p( k ) k p( k)...+ k p( k ). Podo k em evdêca e lembrado que p( k ) p( ), segue: E( kx ) k p( ) k p( )...+ k p( ) = k p( ) ke( X) Eemplo : Calcular a esperaça da varável X e de 4X usado a tabela que segue: X 4X

10 Portato: 34 EX ( ) 3 e E(4 X) =4.3 3 Teorema 3: A esperaça da soma de duas varáves aleatóras é gual a soma das esperaças. Devemos mostrar que E( X Y) E( X) E( Y) Da defção de Esperaça podemos escrever: E( X Y) ( y ) p(, y ) p( ) y p( y ) E( X) E( Y) j j j j j j Eemplo : Sejam as varáves aleatóras dscretas: X :, 3, 4 E( X) 3 Y : 6, 9, E( Y) 9 E( X) E( Y) 36 X Y : 8,, 6 E( X Y), Portato, E( X Y) E( X) E( Y) 3 Teorema 4: E( ax by) ae( X) be( Y) Da defção de Esperaça e pelo teorema podemos escrever: ae( X) be( Y) E( ax by) ( a by ) p(, y ) a p( ) by p( y ) j j j j j j Eemplo 3: Em um da que chove um vededor de guarda-chuvas gaha R$ 300,00, mas, se ão chove perde R$ 5,00. Supodo que a probabldade de chover um determado da é de 30%, determar EX ( ). Solução: 6. Varâca EX ( ) 300 0,3 50,7 79,50,,,...,. Sejam X a varável aleatóra dscreta e seus possíves valores 3 Deoma-se varâca de uma varável aleatóra X e dca-se por Var(X) = ( X) [ E( X)]. p( ) Outra maera de defr varâca é dada por: Var(X) = ( X) = E( X ) [ E( X)] 5

11 De fato: Podemos escrever Var(X) = = ( X) [ E( X)]. p( ) E[ X E( X)] desevolvedo o quadrado, segue: E[ X X. E( X) [ E( X)] ] E( X ) E( X). E( X) [ E( X)] E( X ) [ E( X)] 7. Desvo padrão A raz quadrada da varâca deoma-se desvo padrão: ( X ) Var( X ) Eemplo 4: Um jogo cosste o laçameto de um dado. Se sar um úmero par, a pessoa gaha uma quata equvalete ao trplo do poto trado, se sar um úmero ímpar a pessoa paga o quádruplo do poto obtdo. Determar: a) Esperaça. b) Varâca. c) Desvo padrão. Motado a tabela da dstrbução, segue: Eveto p ( ) p( ) E( X) [ E( X)] [ E( X)] p( ) -4 /6-4/ /6 6 /6 6/ /6 3 - /6 -/ /6 4 /6 / /6 5-0 /6-0/ /6 6 8 /6 8/ /6 0 77,333 a) b) = 0 E( X) p( ) =77,333 ( X) [ E( X)]. p( ) c) ( X ) Var( X ) =3,3 Teoremas: Teorema : A varâca de uma costate é ula. Var ( k) 0 Da defção de varâca podemos escrever: Var ( k) E[ k E( k)] E[ k k] 0 6

12 Teorema : Teorema 3: Se Var ( kx ) k Var ( X) Var ( kx ) E[ kx E( kx )] E[ kx ke( X)] ou k E[ X E( X)] k Var ( X) X e Y são varáves depedetes, etão Var ( X Y) Var ( X) Var ( Y) ( X Y) ( X) ( Y) e seu desvo padrão é ( X Y) ( X) ( Y) Teorema 4: Se X e Y são varáves depedetes, etão Var ( X Y) Var ( X) Var ( Y) Cov ( X, Y) Demostração: Sabemos que Var(X) = ( X) = E( X ) [ E( X)], e podemos escrever, Var ( X Y) E[( X Y) ] [ E( X Y)] E[ X XY Y ] [ E( X) E( Y)] = E( X ) E( XY) E( Y ) [ E( X)] E( X). E( Y) [ E( Y)], smplfcado os termos semelhates segue: Var ( X Y) ( E( X ) [ E( X)] )+( E( Y ) [ E( Y)] )+[ E( XY) E( X)( E( Y)], portato, Var ( X Y) Var ( X) Var ( Y) Cov ( X, Y) Teorema 5: Se X e Y são varáves depedetes, etão Var ax by a Var X b Var Y abcov X Y ( ) ( ) ( ) (, ) 8. Covarâca A covarâca é uma medda da força da relação etre duas varáves aleatóras dscretas X e Y e represetamos por Cov(X,Y). O valor que mede o grau de depedêca etre as duas varáves aleatóras deomamos covarâca. Se X e Y são duas varáves aleatóras dscretas a covarâca é defda por: ( I) Cov ( X, Y) E[( X E( X))( Y E( Y))], ou seja, o valor médo do produto dos desvos de X e Y em relação às suas respectvas médas. Outra maera de escrever sua fórmula é dada desevolvedo o produto, assm: ( I) Cov ( X, Y) E[( X E( X))( Y E( Y))] = E[ XY XE( Y) YE( X) E( X) E( Y)] E( XY) E( X) E( Y) E( Y) E( X) E( X) E( Y) E( XY) E( X) E( Y) Cov( X, Y) E( XY) E( X) E( Y) Observação : Se a covarâca é postva, sso dca que grades valores de uma varável X estão assocados a grades valores da varável Y. 7

13 Observação 3: Se a covarâca é egatva, sso dca que grades valores de uma varável X estão assocados a pequeos valores da varável Y. Eemplo 5: Sejam Var ( X) 5, Var ( Y) 6 e cov( X, Y) 4, determar Var (X 3 Y) Solução: Usado o teorema 5, podemos escrever: Var (X 3 Y) = Var ( X) 3 Var ( Y)..3cov( X, Y) = =. Eemplo 6: Uma dústra produz sabão em pó e os empacota em caas por meo de uma máqua que é regulada para pesar em méda 00 g e desvo padrão 4 g. Se a embalagem (caa) tem peso médo costate de 4 g e desvo padrão de g, etão estas codções, qual a méda e o desvo padrão do peso bruto da caa de sabão em pó? Solução: Sejam X : peso do materal sabão em pó, logo ( X) 00 g, ( X) 4g e 6g Y: peso da embalagem, logo ( Y) 4 g, ( Y) g e ( Y) g Z: peso bruto da caa, logo Z X Y E( X Y) E( X) E( Y) = 00+4=4g ( Z) ( X Y) ( X) ( Y) = 6 7g e tem desvo padrão ( Z) 7 4,3 g. Eemplo 7: Uma dústra produz rodas de magéso de aro 7, cujo peso utáro (X) tem dstrbução ormal de méda 0kg e desvo padrão 00g. As rodas são embaladas em uma caa de papelão com 4 udades e sabe-se ada que a caa vaza (Y) tem dstrbução ormal de méda kg e desvo padrão 00g. Calcular a probabldade do peso total (T) da caa ser superor a 4,5kg. Resolução: Do eucado podemos escrever que a varável T é defda por: T Y X X X X 3 4 ( T) ( Y) 4 ( X) 4kg 4000 g T ( T) ( Y) 4 ( X) g Portato, ( T) 4000 g g Com o uso da varável padrozada z, segue: z, 4 8

14 p( 4500) p( z,) 0,5 p(0 z,) 0,5 0,38686,34% Etão a probabldade de ser maor que 4,5 kg é de,34% Eemplo 8: O professor de Matemátca da turma A aplcou uma prova teste com cco questões do tpo verdadero e falso. A dstrbução das otas e as respetvas probabldades calculadas pelo professor estão dcadas a tabela que segue. Determar a) A esperaça e o desvo padrão da varável X. b) O professor redefu as otas por meo da ova varável Y=5+3X. Determar a esperaça e o desvo padrão da varável Y p() 0,0 0, 0,5 0,8 0,5 0,0 Resolução: Para obtermos a solução completamos a tabela e utlzamos as fórmulas adequadas. p() p() p() 5 0,0 0,50,50 6 0, 0,7 4,3 7 0,5,75,5 8 0,8,4 7,9 9 0,5,35,5 0 0,0,00 0,00 7,56 59,4 a) E( X) p( ) 7,56 ( X) [ E( X)]. p( ) = E( X ) ( E( X)) 59,4-(7,56) =,9864 e ( X),9864,409,4 b) Sabemos que E( kx b) k E( X) b, logo podemos escrever: E( Y) E(3X 5) 3 E( X) 53.7,56 5 7,68 e Var ( kx c) k Var ( X) Var (5 3 X) 3 Var ( X) 9.(,9864) 7,8776 e o desvo padrão é dado por: ( Y) 7,8776 4,3 9

15 Eercícos de aplcação :. Seja X uma varável aleatóra com E(X)=0 e Var(X)=00 e sejam Z e Y varáves aleatóras defdas por Z e Y 6. Calcular a) E(Z) b) Var( Z) c) Var( Y).Seja X uma varável aleatóra com E(X)=30 e 49 e sejam Z e Y varáves aleatóras defdas X E( X) por Z e Y X E( X). Calcular a) E( Y) b) Var( Y) c) E( Z) d) Var( Z) 30

16 3.Uma dústra produz camsas cujos pesos utáros (X) tem dstrbução ormal com méda 50 g e desvo padrão 3g. Essas camsas são colocadas em caas com três udades. A caa vaza também tem dstrbução ormal (Y) com méda 40 g e desvo padrão g. Calcular a probabldade do peso total (T) ser superor a 80 gramas. 4. Sejam X, Y e Z são três varáves aleatóras, sabedo-se que: E(X)=4, E(Y)=8 e E(Z)= -5. Determar a esperaça matemátca da varável T X Y Z 6 5. Um medcameto tem probabldade 0,4 de cura. Se 0 pessoas são submetdas a esse tratameto, e as mesmas codções, determar Observação 4: A dstrbução este caso é a bomal e tem E( X) p e Var ( X) pq. a) E(X). b) Var(X). c) a probabldade de que pelo meos seja curado. 3

17 6. Em fas de semaa o úmero de mortes por afogameto as praas de Satos é de morte para cada bahstas. Em um fm de semaa com bahstas, determar, Observação 5: A dstrbução este caso é Posso e tem E( X) p e Var ( X) p a) E(X) b) Var(X) c) a probabldade de ocorrer 4 afogametos. 7. Quado da prmera correção dos erros que aparecem as págas de um lvro aleatoramete selecoado tem-se a tabela da dstrbução de probabldade da varável X p() 0,80 0, 0,06 0,0 0,0 Determar a) E(X) b) Var(X) 3

18 9. Fução de dstrbução a varável cotíua 9.. Varável aleatóra cotíua. Seja X uma varável aleatóra. Se seu cotradomío for um tervalo de úmeros reas, etão dremos que X é uma varável aleatóra cotíua. 9.. Fução desdade de probabldade Seja X uma varável aleatóra cotua defda em S e com valores o tervalo dos úmeros reas. Uma fução f deoma-se fução desdade de probabldade e se dca abrevadamete por fdp, se f satsfaz as codções: f() a) f ( ) 0, para todo S b) f ( ) d f Observação 6: São váldas as epressões: Eemplo 7: a) p( a b) = p( a b) p( a b) p( a b) f ( ) d b b) EX ( ) f () d c) Var(X)= Verfque se a [ ( )] ( ) Solução: Devemos verfcar que: E X f d /0( 3) se0 f() 0 se 0ou é uma fdp e calcule a E(X). a) f( ) 0 vale para todo real. b) f ( ) d /0 ( 3) d ( 3 ) /0(4+6) = b 3 3 c) EX ( ) f () d= /0 ( 3) d /0[ ], a 0 b a 33

19 Observação 7: Neste caso a fução dstrbução de probabldade é dada por: 0, se 0 F se se ( ) /0( 3 ) 0 0. Dstrbução Uforme Uma varável aleatóra X tem Dstrbução Uforme o tervalo [a,b], se sua fução desdade de probabldade é tal que se a b f() b a 0, caso cotraro Eemplo 8: A produção de camsas de uma costurera vara de 5 a 60 camsas. A eperêca mostra que essa varação é uforme. Qual a probabldade de que uma costurera produza de 35 a 50 camsas? /45 p(35 50) 5/ 45 0, Eemplo 9: Seja a fução desdade de probabldade da varável X dada por: se 6 f() 4 0, se ou 6 Verfque se é uma fdp e determe a fução dstrbução de probabldade. Solução: A fução dstrbução de probabldade é dada por, F( ) dt t ( ) e escrevemos 0, se F( ) /4( ), se 6, se 6 F() 6 34

20 . Dstrbução Epoecal Seja a fução desdade de probabldade da varável X dada por: e, se 0, 0 f() 0, para qualquer outro valor de a) A fução dstrbução de probabldade é dada por t F( ) p( X ) f ( ) d ( e dt e, 0 e 0 0 F ( ) 0, para qualquer outro valor de 0. b) Esperaça f ( ) d ( e d e e d E(X) 0 c) Varâca e t t e 0 0 lm( e ) 0 lm e 0 t t t t te Var X E X E X ( ) ( ) ( ) Calculado prmeramete t lm 0lm e t E( X ) f ( ) d e d, segue 0 0 Var ( X) E( X ) E( X) =. Eemplo 0: Verfque se f ( ) e é fução desdade de probabldade para 0. a) A fução epoecal f ( ) e é sempre postva. b) ( ) ( t f d e dt lm 0 lm( ) = t e dt e 0 e, sto mostra que f ( ) e é uma fdp. 35

21 Eercícos de aplcação :. Seja X uma v. a. cotíua com fdp dada pela le Determar 0, se 0 k, se0 f() k( ), se 0, se a) k para que seja uma fdp. b) p (,5) c) E(X) d) EX ( ) e) Var(X). Seja X uma varável cotíua com fução dstrbução acumulada defda por: 0se 0 F () e se 0 Determar a fução desdade de probabldade fdp 36

22 3.Seja X a varável aleatóra cotíua com fução desdade de probabldade fdp (), se 0 f() 0, quasquer outros valores de a) Determar F (). f dada por: b) Gráfco. 37

23 4.Seja X a varável aleatóra cotíua com fdp dada por f() a se f() 0, para quasquer outros valores Sabe-se que X represeta a duração da vda (em horas) de lâmpadas fluorescetes compactas de 5 w. Determar a) O valor de a para que f() seja fdp. b) Determar E(X) c) Determar Var(X) 5. O dâmetro X dos eos das rodas de motos é uma varável aleatóra cotíua com fdp dada por: 3 ( ), se 0 f() 0, se 0 ou Calcular a probabldade de a) p(0 0,5) b) p ( ) 38

24 c) Defr F() 6. O departameto de estoque da empresa ABS forma que a fdp de que todo estoque dspoível para que seja ateddo por semaa, de peddos, é f ( ) /( 3 3), se 0 e 0 caso cotráro. a) Verfque se f() é uma fdp. b) Determar a probabldade de que o mámo 60% dos peddos sejam ateddos. c) Determar a probabldade de que pelo meos 50% dos peddos sejam ateddos. 7. O departameto de vedas matém em estoque 000 geladeras e forma que a fdp de que todo 3 estoque dspoível seja ateddo por semaa é f ( ), se 0, e 0, caso cotráro. 8 a) Verfque se f() é uma fdp. b) Determar o úmero mámo 0 de geladeras para que sejam ateddos 70% dos peddos. c) Determar o úmero mámo 0 de udades para que sejam ateddos pelo meos 60% dos peddos. 39

25 d) Dar a le F() e seu gráfco. 8. Seja X uma varável aleatóra cotíua com valores o tervalo [0,5] e com fdp dada pela le f ( ) 0,08. a) Verfcar se é uma fdp. b) Qual a probabldade de ) p(0 ) ) p( 4) ) p ( 3) v) p ( 3) 9.Seja X uma varável aleatóra cotíua e tem fdp dada pela le a) Determar o valor de k para que seja uma fdp. k f( ) 0, se 00 /, se 00. b) Calcular p ( 0) 40

26 0. Seja X uma varável aleatóra cotíua com valores o tervalo [,3] e tem fdp dada pela le., se f ( ) 3, se 3 a) Dar o gráfco de f(). 0, caso cotráro. b) Verfcar se f() é fdp. c) Determar E(X) d) Determar ( X) Eercícos de aplcação 3:.A demada de macarrão um supermercado em ceteas de qulogramas por da é uma varável / 3, se 0 aleatóra cotíua com fdp dada pela le f ( ), se 3 3 0, caso cotráro. 4

27 a) Verfcar se f() é fdp. b) Qual a probabldade de se veder mas que 50kg um da escolhda ao acaso? c) Em trta das, quato o gerete do supermercado espera veder? d) Quatos qulogramas se esperam veder um da escolhdo ao acaso para ateder 95% dos peddos?. Seja X uma varável cotua com fução dstrbução acumulada defda por: 0, se 0 F( ) /, se 0, se Determar: a) A fução desdade de probabldade fdp. 4

28 b) p (,5). c) p (,4). 3. A duração em mlhares de horas de um compoete eletrôco é uma v.a. X, com fdp dada por: f() 0, 0, e, se 0 0, se 0 a) Dar o gráfco de f() b) Qual a probabldade de que um compoete escolhdo ao acaso dure b) meos que horas. b) dure etre e horas. 43

29 b3) dure mas que horas.. Dstrbução cojuta de varáves aleatóras Nos problemas utlzados até agora o epermeto era regstrado por um úco Todava, há casos que ecesstamos represetar por dos elemetos. Eemplo: altura e peso. Defmos assm duas varáves aleatóras: X e Y. Seja S um espaço aleatóro assocado a um epermeto aleatóro e duas varáves X X( S),, 3,..., e Y Y( S) y, y, y3,..., y elemeto. XS ( ) S YS ( ) por: Deomamos (X,Y) uma varável aleatóra bdmesoal e defmos probabldade cojuta Satsfazedo: h: S S X( S) Y( S), y p( X ; Y y ) h(, y ) j j j ) p(, y ) 0 ) j j p(, y j) (Dscreta) ou f (, y) ddy (cotíua) 44

30 Eemplo : Uma ura cotém 3 bolas umeradas de a 3.Retrado-se bolas sem reposção, defmos os evetos: X: úmero da prmera bola e Y: úmero da seguda bola. Assm podemos escrever: p(, y ) p( ). p( y / ) j j p(,) p(). p( /). / 6 3 p(,) p(). p(/ ). / 6 e a Dstrbução Cojuta é dada por: 3 X 3 3 Y 3 3 Prob. /6 /6 /6 /6 /6 /6 Eemplo : Dstrbução cojuta. Outra forma para represetar dstrbução cojuta é a tabela de dupla etrada. Assm, p(,3) p(). p(3/) Defmos probabldades margas por: Probabldades margas de X : X Y 3 p ( ) 0 /6 /6 /3 /6 0 /6 /3 3 /6 /6 0 /3 py ( j ) /3 /3 /3 p( ) p(, y y ) j j p( ) p(, y ) p(, y 3) /3 p( ) p(, y ) p(, y 3) /3 p( 3) p( 3, y ) p( 3, y ) /3 Probabldades margas de Y: p( y y j ) j p( y ) p(, y ) p( 3, y ) / 3 p( y ) p(, y ) p( 3, y ) /3 p( y 3) p(, y 3) p(, y 3) /3 p(, y y ) j 45

31 Eemplo 3: Usado o mesmo eemplo e ele defmos duas ovas varáves: ) X + Y e ) X.Y, assm temos a dstrbução: (X,Y) X+Y X.Y Prob. (,) 3 /6 (,3) 4 3 /6 (,) 3 /6 (,3) 5 6 /6 (3,) 4 3 /6 (3,) 5 6 /6 Costrudo as dstrbuções para X+Y e X.Y, seguem Verfque que a) E(X)= X+Y Prob. /3 /3 /3 X.Y 3 6 Prob. /3 /3 /3 b) E(Y)= c) E(X+Y)=4 d) E(X.Y)= /3 Eemplo 4: Usado o mesmo eemplo e ele façamos a reposção da bola retrada. Determar: a) E(X). b) E(Y). c) E(X.Y). Solução: Escrevedo a dstrbução cojuta e represetado a tabela de dupla etrada, segue. X Y 3 p ( ) /9 /9 /9 /3 /9 /9 /9 /3 3 /9 /9 /9 /3 py ( j ) /3 /3 /3 46

32 O cálculo da prmera lha é dado por: p(, y ) p(, y ) p, y 3... Aalogamete para as outras lhas. Observação 7: As dstrbuções margas são guas, porém, a dstrbução cojuta é dferete. Determado a) E(X)= b) E(Y)= Para o cálculo de E(X.Y) costruímos a tabela c) E(X.Y)= d) Verfque que E(X.Y)= 4= E(X). E(Y) (depedetes com reposção) Eemplo 5: Seja a dstrbução cojuta de probabldades a varável (X,Y). Determar: a) E(X) e E(Y) b)var(x) e Var(Y) c) ( X) e ( Y) d) E(X+3Y) Solução: Completado a tabela da dstrbução de probabldades, segue: Usado os dados da tabela segue: a) E(X) =0,5 E(Y)=,5 X.Y Prob. /9 /9 /9 /9 /9 /9 X Y /8 /8 /8 0 0 /8 /8 /8 X Y 0 3 p (). p( ). p( ) 0 /8 /8 /8 0 4/ /8 /8 /8 4/8 4/8 4/8 py () /8 3/8 3/8 /8 E(X)=4/8 E( X )=4/8 y. p( y ) 0 3/8 6/8 3/8 E(Y)=/8 y. p( y ) 0 3/8 /8 9/8 E( Y )=4/8 47

33 4 4 b)var(x)= E( X ) [ E( X)] Var(Y)= E( Y ) [ E( Y)] 0, c) ( X) / 4 0,5 ( Y) 0,75 =0,87 d) E(X+3Y)= E( X) 3 E( Y).(0,5)+3.(,5)=5,5 3 e) Cov(X,Y)= E( XY ) E( X). E( Y) = 0,5, sedo a dstrbução de XY. 4 4 X.Y 0 3 p(xy) 4/8 /8 /8 /8 Eercícos de aplcação 4:. No laçameto de dado defmos as varáves aleatóras: X: a face voltada para cma, Y: a face voltada para bao. Determar a) E(X) b) E(Y) c) E(XY) d) Cov(X,Y) 48

34 . Seja a dstrbução cojuta das varáves aleatóras X e Y dada por: Determar a) p(=4) X Y 3 p ( ) 4 0, 0,3 0, 5 0, 0,05 0,5 py ( ) b) p(y=) 3. A fábrca de autopeças de Aa Carola trabalha em dos turos. A empresa preocupada com as faltas de seus operáros resolveu aalsar o úmero de faltas em cada turo. Seja X: úmero de faltas o turo duro e Y: úmero de faltas o turo oturo. Essa avalação fo feta durate 4 meses e obteve-se a segute dstrbução de probabldades. Determar: X Y 0 3 p ( ) 0 0,05 0,05 0,0 0 0,05 0,0 0,5 0,0 0 0,5 0,0 0,05 py ( ) a) Probabldades margas de X. b) Probabldades margas de Y. 49

35 c) E(X) d)e(y) 50