CAPÍTULO 5: AMOSTRAGEM

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1 CAPÍTULO 5: AMOSTRAGEM 5. Itrodução A estatístca dutva busca trar coclusões probablístcas ou fazer ferêcas, sobre populações, com base em resultados verfcados em amostras retradas dessas populações. Além de descrever coveetemete os dados da amostra, é ecessáro garatr que as amostras são obtdas por processos adequados, coferdo-lhes represetatvdade da população. Os problemas de amostragem podem ser mas ou meos complexos e sutís, depededo das populações e das varáves em estudo. Na dústra, ode amostras são frequetemete retradas para efeto de cotrole da qualdade dos produtos e materas, em geral, os problemas de amostragem são mas smples de resolver. Em pesqusas socas, ecoômcas ou de opão, a complexdade dos problemas de amostragem é geralmete bastate grade. A forma de selecoar uma amostra exge algumas cosderações. As observações colhdas uma amostra são tato mas formatvas sobre a população quato mas cohecemos esta mesma população. Por exemplo, a aálse da quatdade de glóbulos bracos obtda de algumas gotas de sague da pota do dedo de um pacete, dará uma déa geral da quatdade de glóbulos bracos o corpo todo, pos sabe-se que a dstrbução dos glóbulos bracos o corpo é mas ou meos homogêea, e de qualquer parte do corpo que seja retrada a amostra, ela será represetatva do todo (população). Porém em sempre a escolha de uma amostra represetatva é medata. Por exemplo, quado se retra uma amostra de habtates para saber sobre a acetação de um projeto goverametal, se escolhermos tecoalmete uma amostra de 00 dvíduos moradores de uma certa regão que será beefcada pelo projeto, saberemos de atemão que o resultado coterá um vés de seleção ; sto é, a amostra, a proporção de pessoas favoráves ao projeto deve ser maor do que o todo (população). Assm, a maera de se obter a amostra é tão mportate, e exstem tatos modos de fazê-la, que estes procedmetos costtuem uma especaldade detro da Estatístca, cohecda como Amostragem. Mas esses város procedmetos podem ser agrupados em dos grades grupos: os chamados plaos probablístcos e os plaos ão-probablístcos. 5. Amostragem Probablístca Exstem dos tpos de amostragem: a probablístca e a ão probablístca. A amostragem será probablístca se todos os elemetos da população tverem probabldade cohecda e dferete de zero, de pertecer à amostra; caso cotráro será ão probablístca. A amostragem probablístca mplca em se ter a população fta e totalmete acessível. 5.. Amostragem Casual Smples Smples ao acaso, aleatóra, casual smples, elemetar, radômca, é aquela em que todos os elemetos da população tem gual probabldade de pertecer à amostra e todas as possíves amostras tem gual probabldade de ocorrer. Sedo N o úero de elemetos da população e o úmero de elemetos da amostra, cada elemeto da população tem probabldade /N de pertecer à amostra. A relação /N deoma-se fração de amostragem, e sedo a amostragem feta sem reposção, exstem C N possíves amostras. Para escolher amostras casuas smples, costuma-se usar tabelas de úmeros aleatóros, que são coleções de dígtos costruídos aleatóramete e que smulam o processo de

2 sorteo. A tabela 5. apreseta um pequeo cojuto de úmeros aleatóros, cuja utlzação pode ser exemplfcada da segute maera: ao se desejar selecoar dez omes de uma lsta de 90 pessoas, deve-se começar umerado-os de 0, 0,..., 90. Em seguda, escolhese uma colua, por exemplo a prmera, e toma-se os dez prmeros úmeros; que o caso serão: 6, 94, 50, 5, 5, 63,, 38,, 07 No caso o 94 deve ser elmado, pos ão exste este úmero a população, e o 6 deverá aparecer repetdo, devedo ser substtuído. Exstem dversas tabelas de úmeros aleatóros, porém em algus casos deve-se fazer uma correlação etre os valores reas da população e os úmeros da tabela de úmeros aleatóros. Tabela 5. Números Aleatóros

3 3 Um outro etedmeto do sgfcado da amostra casual smples é dado da segute forma: cosderemos a stuação em que se levata todas as possíves amostras de tamaho, com reposção, da população [, 3, 5, 5, 7}. Defda a varável X valor assumdo pelo elemeto a população, tem-se que a dstrbução de X é dada a tabela 5.: Tabela 5.: Dstrbução de X valor assumdo pelo elemeto da população X P(X x) /5 /5 /5 /5 Idcado por X o úmero selecoado a prmera extração e por X o úmero extraído a seguda extração, vê-se que é possível escrever a dstrbução cojuta do par (X, X ). As dstrbuções margas de X e de X, são depedetes e guas à dstrbução de X. Assm, as 5 possíves amostras de tamaho que podemos extrar dessa população correspodem a observar uma partcular realzação da varável aleatóra (X, X ), X e X, depedetes e tas que P(X x) P(X x) para todo x, como dcado a tabela 5.3. Tabela 5.3: Dstrbução de (X, X ) X X Total /5 /5 /5 /5 /5 3 /5 /5 /5 /5 /5 5 /5 /5 4/5 /5 /5 7 /5 /5 /5 /5 /5 Total /5 /5 /5 /5 Uma amostra casual smples de tamaho de uma varavél aleatóra X com uma dada dstrbução é o cojuto de varáves aleatóras depedetes X, X,..., X, cada uma com a mesma dstrbução de X. Ou seja, a amostra será a -upla ordeada (X, X,..., X ), ode X dca a observação do -ésmo elemeto sorteado. 5.. Amostragem Sstemátca Quado os elemetos da população se apresetam ordeados e a retrada dos elemetos da amostra é feta perodcamete, tem-se a chamada amostragem sstemátca Amostragem por meo de coglomerados É quado a população apreseta uma subdvsão em pequeos grupos, chamados coglomerados e é possível e mutas vezes coveete, fazer-se a amostragem por meo desses coglomerados, a qual cosste em sortear um úmero sufcete de coglomerados, cujos elemetos costturão a amostra.

4 Amostragem Estratfcada Mutas vezes a população se dvde em sub-populações ou estratos, sedo razoável supor que, de estrato para estrato, a varável de teresse apresete um comportameto substacalmete dverso, tedo, etretato, comportameto razoavelmete homogêeo detro de cada estrato. A amostragem estratfcada cosste em especfcar quatos elemetos da amostra serão retrados de cada estrato. É de costume cosderar três tpos de amostragem estratfcada: uforme, proporcoal e ótma. Na amostragem estratfcada uforme, sortea-se gual úmero de elemetos de cada estrato; a proporcoal, o úmero de elemetos sorteados em cada estrato é proporcoal ao úmero de elemetos exstetes o estrato; a ótma, por sua vez, toma-se em cada estrato um úmero de elemetos proporcoal ao úmero de elemetos do estrato e também à varação da varável de teresse o estrato, medda pelo seu desvo padrão Amostragem Múltpla Neste caso a amostra é retrada em dversas etapas sucessvas. Depededo dos resultados observados, etapas suplemetares podem ser dspesadas. 5.3 Amostragem Não-Probablístca Amostras ão-probablístcas são também, mutas vezes empregadas em trabalhos estatístcos, por smplcdade ou por mpossbldade de se obter amostras probablístcas. A segur são apresetados algus casos deste tpo de amostragem Iacessbldade a toda a população Essa stuação ocorre com muta frequêca a prátca, obrgado a amostragem somete da parte acessível da população, defdo etão a dstção etre população-objeto e população-amostrada Amostragem a esmo ou sem orma É quado o amostrador, para smplfcar o processo, procura ser aleatóro sem, o etato, realzar o sorteo usado algum dspostvo aleatóro cofável População formada por materal cotíuo Neste caso é mpossível realzar amostragem probablístca devdo á mpratcabldade de um sorteo rgoroso. Se a população for líquda ou gasosa, o que costuma apresetar resultado satsfatóro, é homogeezá-la e retrar a amostra a esmo; o que às vezes também pode ser feto com materal sóldo. Outro procedmeto a ser empregado estes casos, especalmete quado a homogeezação ão é pratcável, é a equartação, a qual cosste em subdvdr a amostra em dversas partes (a orgem do ome pressupõe a dvsão em quatro partes), sorteado-se uma ou mas delas para costtur a amostra ou para delas retrar a amostra Amostras Itecoas É quado o amostrador, delberadamete, escolhe certos elemetos para pertecer à amostra, por julgá-los bem represetatvos da população. O pergo desta amostragem é grade pos o amostrador pode faclmete se equvocar em seu pré-julgameto.

5 5 5.4 Estatístcas e Parâmetros Do fato de os valores da amostra serem aleatóros, decorre que qualquer quatdade calculada em fução dos elemetos da amostra também será uma varável aleatóra. Os valores calculados em fução dos elemetos da amostra são chamados de Estatístcas. As estatístcas, sedo varáves aleatóras, terão alguma dstrbução de probabldade, com uma méda, uma varâca, etc. À dstrbução de probabldade de uma estatístca dá-se comumete o ome de Dstrbução Amostral ou Dstrbução por Amostragem. Os símbolos ão-dexados passarão a ser usados para parâmetros populacoas, ao passo que as formações correspodetes às dstrbuções amostras coterão uma dcação quato à estatístca à qual se referem. Os símbolos mas comus são dcados a tabela 5.4. Tabela 5.4: Símbolos mas comus Estatístca Parâmetro Méda x ou E(x) µ Varâca S σ Nº de elemetos N Proporção pˆ ou p p 5.5 Dstrbuções Amostras O coceto de dstrbução de probabldade, mutas vezes assocado à déa dâmca de varável aleatóra, pode ser esteddo às populações, e efetvamete será usado para descrevê-las. Supoha que se procura fazer uma afrmação sobre parâmetros da população, através da amostra. Seja este parâmetro, θ. Será usada uma amostra casual smples, com reposção, de elemetos sorteados dessa população. A decsão será baseada a estatístca T, que será uma fução da amostra (X, X,..., X ), ou seja, T ƒ(x, X,..., X ). Colhda uma amostra, pode-se observar um valor partcular de T, t 0, e baseado esse valor será feta a afrmação sobre θ, o parâmetro populacoal. A valdade da resposta sera melhor compreedda se fosse cohecdo o comportameto da estatístca T em todas as amostras da população. Isto é, qual a dstrbução de T quado (X, X,..., X ) assume todos os valores possíves. Esta dstrbução é chamada de dstrbução amostral da estatístca T. A fgura 5. apreseta esquematcamete este racocío: População Amostras Dstrbução Amostral X θ x k t t.. θ t. θ t k Fgura 5.: Dstrbução Amostral de T

6 Dstrbução amostral de x Determam-se as prcpas característcas da dstrbução amostral da estatístca x, méda de uma amostra de elemetos. Sedo a população fta ou a amostragem feta com reposção, resulta que os dversos valores da amostra podem ser cosderados como valores de varáves aleatóras depedetes, com a mesma dstrbução de probabldade da população, portato com a mesma méda µ e a mesma varâca σ da população. Da teora do cálculo de probabldades, sabe-se que: a) multplcado-se os valores de uma varável aleatóra por uma costate, a méda fca multplcada por essa costate; b) a méda de uma soma de varáves aleatóras é gual à soma das médas dessas varáves: x +... x ( x + x x ) ( x) E( x ) + E( x ) E( x ) (5.) E [ ] [ µ + µ µ ] [. µ ] µ (5.) Portato a méda em toro da qual devem varar os possíves valores da estatístca x é a própra méda da população. c) multplcado-se os valores de uma varável aleatóra por uma costate, a varâca fca multplcada pelo quadrado dessa costate; d) a varâca de uma soma de varáves aleatóras depedetes é gual à soma das varâcas: s ( x) [ s ( x ) + s ( x ) s ( x )] [ + σ... + σ ] σ σ σ (5.3) Portato a varâca com que se dspersam os possíves valores da estatístca x é vêzes meor do que a varâca da população de ode é retrada a amostra. Isto mostra que há detro da amostra uma atural compesação etre valores mas elevados e valores mas baxos, produzdo valores de x que tedem a ser tato mas próxmos da méda µ da população quato maor for o tamaho da amostra. Resulta medatamete que: s ( x) σ σ x (5.4) No caso de amostrages sem reposção de populações ftas, em que a depedêca etre os valores de x ão se verfca, demostra-se que: s ( x) σ N. N (5.5)

7 7 N ode N é o úmero de elemetos da população e o fator é chamado de fator de N população fta. Note-se que este fator tede à udade quado o tamaho da população tede ao fto. Quato à forma da dstrbução amostral de x, se a dstrbução da população for ormal, a dstrbução amostral de x será também ormal para qualquer tamaho de amostra, devdo ao teorema das combações leares de varáves ormas depedetes (que dz: uma varável aleatóra obtda pela combação lear de varáves aleatóras depedetes tem também dstrbução ormal). Na fgura 5. é represetado um caso geérco evolvedo a dstrbução amostral de x, o caso de população ormal. Fgura 5. Dstrbução amostral de x - população ormal Por outro lado, se a dstrbução da população ão for ormal, mas a amostra for sufcetemete grade, resultará, pelo teorema do lmte cetral (dz que: sob codções bastate geras, uma varável aleatóra, resultate de uma soma de varáves aleatóras depedetes, o lmte, quado tede para o fto, tem dstrbução ormal), que o caso de população fta ou amostragem com reposção, a dstrbução amostral de x será aproxmadamete ormal, pos o valor de x resultará de uma soma de um úmero grade de varáves aleatóras depedetes. Na fgura 5.3 é represetado um caso geérco evolvedo a dstrbução amostral de x, o caso de uma dstrbução populacoal ão-ormal.

8 8 Fgura 5.3 Dstrbução amostral de x - população ão-ormal e amostra sufcetemete grade 5.5. Dstrbuções Amostras de f e p A frequêca f é uma estatístca, pos é determada em fução dos elemetos da amostra. Para cada elemeto da amostra pode-se cosderar a ocorrêca de um sucesso, caso a característca desejada se verfque, e de um fracasso, caso cotráro. Seja p a probabldade de ocorrêca de sucesso para cada elemeto da amostra. Se a população é fta ou amostragem é feta com reposção, p é costate para todos os elemetos da amostra, e os resultados observados para todos eles serão depedetes. Nestas codções a dstrbução amostral de f será uma dstrbução bomal com parâmetros e p, e pelas suas propredades: E f (5.6) ( ) p s ( f ) p( p) (5.7) A frequêca relatva p, por sua vez, sedo smplesmete o quocete de f pelo tamaho da amostra, terá méda e varâca que são obtdas por: f E ( p' ) E µ ( f ) p p (5.8) s f ( p ) s ( f ) p( p) ( p) p σ (5.9) ' O tpo de dstrbução de p cotua, para todos os efetos, sedo uma dstrbução bomal, porém cujos possíves valores foram comprmdos etre 0 e, com tervalos de /, ao vés de vararem de 0 a, segudo os úmeros aturas. Sedo a amostra sufcetemete grade, pode-se aproxmar as dstrbuções de f e p por dstrbuções ormas de mesma méda e mesmo desvo padrão. Em termos prátcos, em

9 9 geral, podemos cosderar que a amostra será sufcetemete grade, para efeto dessa aproxmação, se p 5 e (-p) Dstrbução Amostral de s Dstrbução χ Graus de Lberdade de uma Estatístca A varâca de uma amostra é dada por: ( x) ( x x) s (5.0) A razão pela qual se recomeda usar - ao vés de, o deomador dessa expressão, está relacoada com o úmero de graus de lberdade dessa estatístca. A questão de graus de lberdade é, possvelmete, abstrata. Cosdere-se, por exemplo, as estatístcas x x / e ( ) / x µ. Essas estatístcas tem graus de lberdade, e de tal fato pode ser eteddo como dcado haver valores x lvres que devem ser cosderados para se poder calcular o valor da estatístca. Em outras palavras, descohecedo qualquer dos valores de x da amostra, ão se pode determar o valor da estatístca, pos todos os valores são lvres, podedo varar aleatoramete. s x, coforme dada acma, por usar x ao vés do parâmetro Já a estatístca ( ) populacoal µ, tem um grau de lberdade a meos. Isso porque o cálculo dessa estatístca pressupõe que aterormete já se teha calculado x, quado já se tera usado uma vez todos os valores da amostra, os quas estaram sedo usados pela seguda vez para o cálculo de s. No mometo de se usar ovamete os valores da amostra para o cálculo de s, esses valores tem apeas - graus de lberdade, pos, dados quasquer - deles, o valor restate estará automatcamete determado, pelo fato de já cohecermos sua méda artmétca x, ão sedo portato este, um valor lvre. Adota-se o símbolo para deotar o úmero de graus de lberdade de uma estatístca Dstrbução Amostral de s Coforme já mecoado, a varâca de uma amostra é calculada por: ( x) ( x x) s (5.) A dstrbução amostral da estatístca s ( x) está relacoada com uma famíla de dstrbuções de probabldades, que são as dstrbuções tpo χ, que são dadas por: χ ode: x µ z (5.) σ x valores aleatóros depedetes retrados de uma população ormal µ méda dos valores aleatóros depedetes retrados de uma população ormal σ desvo padrão dos valores aleatóros úmero de graus de lberdade da dstrbução χ

10 0 Os valores z são os correspodetes valores da varável ormal reduzda. Portato pode-se cosderar a dstrbução da varável χ com graus de lberdade, como a soma dos quadrados de valores depedetes da varável ormal reduzda, a qual µ ( z ), e dode pode-se trar: µ ( χ ) µ z µ ( z ) (5.3) Pode-se também demostrar que: σ χ, (5.4) ( ) e que a moda da dstrbução de χ é -, para >. Como a varável χ resulta de uma soma de varáves depedetes e gualmete dstrbuídas, segue-se pelo teorema do lmte cetral que a famíla de dstrbuções do tpo χ tede à dstrbução ormal quado o úmero de graus de lberdade aumeta. Uma outra propredade das dstrbuções χ é a da adtvdade, que dz que a soma de duas varáves depedetes com dstrbuções χ com e graus de lberdade, terá também dstrbução χ com ( + ) graus de lberdade. A fgura 5.4 mostra algumas dstrbuções da famíla χ e a tabela 5.5 forece valores das varáves χ, para,,..., 30, em fução de valores otáves da probabldade correspodete à cauda à dreta, determada a respectva dstrbução. Fgura 5.4 Dstrbuções χ

11 Tabela 5.6 Dstrbuções χ - valores de χ, P, ode P P(χ χ, P ) O cohecmeto das dstrbuções χ coduz à determação da dstrbução amostral da estatístca s, coforme segue: A estatístca (x x ) x x σ σ tem dstrbução do tpo χ com (-) graus de lberdade. Logo: (x x) χ dode resulta: σ ( ) ( )sx x x σ σ (5.5) (5.6)

12 σ sx χ (5.7) Verfca-se pos que a estatístca s se dstrbu coforme uma dstrbução do tpo χ com (-) graus de lberdade. Cosderado a estatístca acma e a expressão (5.6), obtém-se a méda da mesma: σ σ µ ( s ) µ ( χ ) ( ) σ (5.8) Cosderado a expressão (5.3), tra-se a varâca da estatístca: σ σ σ σ ( s ) σ ( χ ) ( ) (5.9) ( ) ( ) Dstrbução t de Studet Supõe-se que para uma amostra de valores retrados de uma população ormal de méda µ e desvo padrão σ, é defda a estatístca: x µ z (5.0) σ / Como a dstrbução amostral de x sera precsamete ormal, com méda µ e desvo padrãoσ /, segue que essa estatístca tera smplemete dstrbução ormal reduzda, o que justfca o emprego de z a sua represetação. Porém se for utlzado a expressão o desvo padrão da amostra s ( x) /, obtém-se uma estatístca cuja dstrbução ão é mas ormal. Assm Studet (W.S. Gosset estatístco glês) demostrou que a estatístca: x µ t (5.) s( x) / dstrbu-se smetrcamete, com méda 0, porém ão ormalmete em toro da méda. Para grades amostras, s(x) se aproxma de σ, e as correspodetes dstrbuções t se aproxmam da dstrbução ormal reduzda. Exste, portato, uma famíla de dstrbuções t cuja forma tede à da dstrbução ormal reduzda, quado cresce. A estatístca dcada a expressão (5.) tem (-) graus de lberdade, o que passa a ser dcado por: t -. A fgura 5.5 mostra comparatvamete uma dstrbução t geérca e a dstrbução ormal reduzda z, sedo que a prmera é mas alogada do que a seguda. Fgura 5.5 Dstrbução t e dstrbução ormal reduzda

13 3 A tabela 5.7 forece valores de t em fução de dversos valores do grau de lberdade e de probabldades otáves correspodetes à cauda dreta da dstrbução. Tabela 5.7 Dstrbuções t de Studet valores de t,p, ode P P(t t,p ) A expressão (5.) pode ser escrta da segute maera também: x µ σ σ t z (5.) σ / s( x) s( x) e cosderado a expressão (5.6), obtém-se: t z (5.3) χ que geércamete é dada por: t z (5.4) χ e que demostra a relação exstete etre as dstrbuções de t de Studet e a de χ

14 Dstrbução F de Sedecor Cohecdas duas amostras depedetes retradas de populações ormas com varâcas amostras s e s, uma dstrbução amostral do quocete delas s / s será deomada como dstrbução F de Sedecor (G. Sedecor adaptou coveetemete essas dstrbuções, aterormete estudadas por Fsher, adotado F em sua deomação como uma homeagem a este estatístco). Defe-se a varável F com graus de lberdade o umerador e graus de lberdade o deomador, ou smplesmete, F,, por: F, χ / χ / (5.5) ode, coforme a própra otação dca, χ desga uma varável aleatóra com dstrbução χ com graus de lberdade, sedo que estas devem ser depedetes. Esta defção geral egloba uma famíla de dstrbuções de probabldades para cada par de valores (, ) e a tabela 5.5 apreseta os valores da varável F que determam caudas à dreta com probabldades 0,5; ;,5; 5 e 0%, forecdos para dversos pares de valores (, ). Tabela 5.8 Dstrbução F de Sedecor valores de F,,p, ode P P ( F, F,,p); P 0,0

15 5 A fgura 5.6 mostra esquematcamete como se avala a probabldade de ocorrer um valor acma de um dado aleatóro: Fgura 5.6 Dstrbução F de Sedecor Cosdere-se que de duas populações ormas com mesma varâca σ (ou o que sera equvalete, de uma mesma população ormal), sejam extraídas duas amostras depedetes com, respectvamete, e elemetos e toma-se o quocete s / s das varâcas dessas amostras. Utlzado a expressão (5.7), pode-se coclur que a dstrbução amostral desse quocete será uma dstrbução F,, pos: [ σ /( ) ] σ /( ) ( ) ( ) F, [ ] χ χ / s s χ χ / (5.6) Relações partculares etre as dstrbuções z, t, χ e F A famíla de dstrbuções t de Studet coverge para a dstrbução ormal padrozada de z quado cresce. Logo a dstrbução z equvale à dstrbução t. A dstrbução χ surge de uma soma de valores depedetes de z. Logo a dstrbução de χ equvale à dstrbução do quadrado de z. Quato à dstrbução F, tem-se que: F, χ (5.7) χ Como χ z, tem-se que a dstrbução F, equvale à dstrbução do quadrado de t. Por outro lado sabedo que: µ χ (5.8) ( ) quado tede ao fto, a dstrbução de F, tede à de χ / : χ, F (5.9) Em partcular, a dstrbução de F, equvale à de χ, ou de z.