IND 1115 Inferência Estatística Aula 9

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1 Coteúdo IND 5 Iferêca Estatístca Aula 9 Outubro 2004 Môca Barros Dfereça etre Probabldade e Estatístca Amostra Aleatóra Objetvos da Estatístca Dstrbução Amostral Estmação Potual Estmação Bayesaa Clássca Método de Máxma Verossmlhaça 2 Dfereça etre Probabldade e Estatístca A partr de agora começamos realmete a falar de Estatístca. Os capítulos aterores ldavam com Probabldade. Qual a dfereça? Em Probabldade, a desdade (ou fução de probabldade) era teramete cohecda. Em Estatístca, teremos uma amostra aleatóra de uma dstrbução com certos parâmetros descohecdos, e procuraremos descobrr alguma cosa sobre estes parâmetros. 3 Amostra Aleatóra (a.a.) É apeas um cojuto de varáves aleatóras d (depedetes e detcamete dstrbuídas). Se, formam uma a.a. etão, em partcular, todas as varáves têm a mesma desdade ou fução de probabldade, e portato suas médas são todas guas (o mesmo ocorre com suas varâcas). 4

2 Objetvos - Estatístca A dstrbução da amostra é cohecda exceto por algus parâmetros que buscamos estmar. Objetvo: obter maeras de ecotrar estmadores ("chutes") destes parâmetros. Estes estmadores serão potuas (e começaremos a estudar um mportate método de esmação potual hoje) ou por tervalos (as próxmas aulas). Objetvos - Estatístca Também é precso ter uma déa clara das propredades desejáves destes estmadores, e saber, segudo algum crtéro, se o estmador ecotrado é bom ou rum. Falmete, em Estatístca estamos teressados também em testar hpóteses sobre parâmetros descohecdos. 5 6 Dstrbução Amostral Uma estatístca é qualquer fução das observações uma amostra aleatóra. Por exemplo, duas das estatístcas mas usadas são (a méda amostral) e S 2 (a varâca amostral). Já vmos que: = 2 e S = = = ( ) 2 Dstrbução Amostral Dada uma amostra aleatóra, com uma desdade (ou fução de probabldade), podemos tetar ecotrar a desdade da méda e da varâca amostral, e usá-las para ferr sobre a méda e varâca verdaderas (e descohecdas) de,...,., 2 7 8

3 Estmação Potual Problemas de estmação de parâmetros surgem freqüetemete em Cêcas e Egehara. Por exemplo, mutas vezes desejamos estmar os segutes parâmetros: a méda de uma população, a varâca ou desvo padrão de uma população, a proporção de ítes uma população que pertecem a uma classe de teresse, a dfereça etre as médas de duas populações. Estmação Potual Como estmar estas quatdades? Algus estmadores razoáves estas stuações são: a méda amostral, a varâca ou desvo padrão amostras, a proporção de ítes a amostra que pertecem à classe de teresse, a dfereça etre as médas amostras de duas amostras depedetes, cada uma represetado uma das populações. 9 0 Estmação Potual Estmação Potual, x, x x aleatóras. varáves aleatóras. valores observados das varáves A desdade de, f(x, θ), tem uma forma cohecda, exceto pelo parâmetro θ que vara o cojuto Ω. Seja uma varável aleatóra. com desdade f(x,θ), ode θ é um parâmetro, e θ Ω. O cojuto Ω é chamado de espaço paramétrco. Objetvo: estmar θ. Assm, ão temos apeas uma desdade, mas uma famíla de desdades. A cada valor de θ em Ω. correspode um membro da famíla. Aqu adotaremos o efoque "clássco" de estmação, o qual θ é um parâmetro descohecdo, suposto costate, e ão uma varável aleatóra. 2

4 Estmação Bayesaa Clássca Na estmação Bayesaa, θ será ecarado como uma varável aleatóra, e a ele assocaremos uma dstrbução de probabldade. A dstrbução de probabldade de θ ates de observarmos os dados será chamada de dstrbução a pror, e mutas vezes represeta o osso cohecmeto subjetvo sobre o parâmetro θ. A dstrbução de θ após observarmos a amostra é cohecda como dstrbução a posteror de θ. 3 Estmação Bayesaa versus Clássca Em estatístca Bayesaa a verossmlhaça (que remos defr em breve) "carrega" a formação sobre θ cotda a amostra, e resulta a atualzação da desdade de θ, passado de uma pror para uma posteror. A desdade a posteror comba a "formação" subjetva trazda pela pror com a "formação" proveete da amostra. Os dos efoques, Clássco e Bayesao, cocordam se o tamaho da amostra é grade. 4 Defção do Problema de Estmação Potual O problema geral aqu é... A partr dos dados observados x, x x precsamos escolher um membro de uma famíla de desdades para represetar estes dados. Ou seja, precsamos de um estmador potual de θ (um "chute educado" para o valor descohecdo de θ). Defção do Problema de Estmação Potual Seja, uma amostra aleatóra da desdade f(x,θ). O objetvo agora é defr uma estatístca T = T (, ) de tal modo que, após observarmos = x, 2 = x =, x t = t x, x seja uma boa estmatva potual de θ. ( ) Na verdade, a cada amostra obtda, ecotraremos um valor para a estatístca usada para chutar θ, pos esta estatístca é também uma varável aleatóra x 5 6

5 Exemplo No próxmo exemplo exbmos a méda amostral de 5 amostras de tamaho 50 geradas a partr da desdade N(0,) o Excel. A méda amostral serve para estmar a méda da dstrbução (zero, este caso) e portato deve ser, para todas as amostras, um valor próxmo de zero. Os resultados para as 5 amostras geradas estão a segur. Amostra Amostra 2 Amostra 3 Amostra 4 Amostra 5 Méda 0,076 0,50 0,80-0,99 0,055 Desvo Padrão,08,060,020,07 0,923 Medaa 0,68 0,79 0,24-0,206 0,072 7 Exemplo Note que os valores estmados da méda em cada amostra são todos dferetes etre s, e dferetes do valor real da méda da população, que é = 0. Da mesma maera, as estmatvas do desvo padrão (cujo valor real é ) são todas dferetes do valor real, e dferetes etre s. Note que, a prátca, os valores de µ e σ são descohecdos, o que ão acotece este exemplo, ode geramos amostras de uma dstrbução cohecda. 8 Exemplo Exemplo Como fazer a geração destas varáves Normas o Excel? Lembre-se que o suplemeto de aálse de dados deve estar prevamete stalado. 5 varáves 50 valores por varável Pasta ode armazear resultados (opcoal) Semete do gerador (opcoal) 9 20

6 O que é um bom estmador? Exstem potecalmete mlhares de estmadores para um certo parâmetro. Por exemplo, para estmar a méda de uma população poderíamos usar a méda amostral, a medaa amostral, a méda etre a meor e a maor observação a amostra e uma fdade de outros estmadores "razoáves". O que é um bom estmador? Como escolher detre eles? Quas serão os crtéros usados para comparar estmadores e caracterzar os bos estmadores? Por equato ão respoderemos a esta questão, mas começaremos a estudar o (talvez) mas tradcoal método de estmação potual Método da Máx. Verossmlhaça Método da Máx. Verossmlhaça A fuçã ção o de verossmlhaça a (lkelhood fucto) Esta é uma fução relatvamete smples com um ome dgesto! "Lkelhood" em glês é uma palavra de uso correte, que dca "plausbldade". Ao cotráro, "verossmlhaça" é uma cosa meo obscura. Seja, uma amostra aleatóra da desdade f(x,θ). 23 A fução de verossmlhaça é a desdade cojuta ecarada como fução do parâmetro θ. Isto é: L 2 x, = ( θ ) = f ( x, x,..., x ) = f ( θ ) A partr da verossmlhaça podemos ecotrar um estmador, o estmador de máxma verossmlhaça (MLE = maxmum lkelhood estmator). O MLE é obtdo a partr da maxmzação da verossmlhaça, geralmete feta através da equação dl(θ)/dθ = 0. 24

7 Método da Máx. Verossmlhaça É equvalete maxmzar L(θ) ou seu logartmo atural, l(θ) = log L(θ) ode log(.) dca o logartmo a base e. Esta últma fução é chamada log-verossmlhaça e é freqüetemete mas fácl de maxmzar do que L(θ), pos as verossmlhaças mutas vezes podem ser escrtas como exp{...}. A equvalêca da maxmzação de L(θ) e l(θ) decorre do fato de L(θ) ser sempre maor que 0 (pos é o produto de desdades) e do logartmo ser uma fução bjetora. 25 Método da Máx. Verossmlhaça Por que maxmzar a verossmlhaça? Supoha que temos uma amostra aleatóra, de uma desdade qualquer, completamete cohecda exceto pelo parâmetro θ. Ao observarmos cada x, a desdade cojuta fca completamete especfcada exceto pelo valor de θ. Etão, por que ão "chutar" para θ o valor que tora esta fução um máxmo? Este "chute" para θ é o valor que mas cocorda com os dados observados. 26 Exemplo - MLE (Posso) Supoha que obtemos uma amostra aleatóra de tamaho 5 da dstrbução Posso com méda θ. Os valores observados a amostra são: 0, 6,, 2 e. Etão a fução de probabldade cojuta é: L( θ ) = L( θ) = f ( x, θ ) = = θ e x! e = x -θ -5θ 5 θ θ = e 0!6!!2!! = e 440 = -5θ 0 0-5θ e 27 x x! Exemplo - MLE (Posso) Seja K(θ) = 440.L(θ) = θ 0 e -5θ Podemos fazer um gráfco de K(θ) e ver qual o valor que aparetemete maxmza esta fução, ou, alteratvamete, fazer um gráfco de L(θ) ou l(θ). O gráfco de K(θ) é: K(θ ) = M últplo da Verossmlhaça O máxmo aparete ocorre em θ = 2. 28

8 Método da Máx. Verossmlhaça Podemos cofrmar se este valor realmete correspode ao máxmo através de téccas smples do Cálculo. Lembre-se que uma codção ecessára (mas ão sufcete) para a exstêca de um máxmo local é que a prmera dervada da fução de teresse seja zero. Isso os leva à déa de "equação de máxma verossmlhaça, dscutda a segur. 29 Método da Máx. Verossmlhaça Para maxmzar L(θ), uma codção ecessára é que sua prmera dervada seja gual a zero. Assm, a equação de máxma verossmlhaça é: dl( θ ) = 0 dθ e esta equação deve ser resolvda, por métodos aalítcos ou umércos para θ. Para assegurar que a solução de dl/dθ = 0 seja realmete um máxmo da verossmlhaça, precsamos garatr que a seguda dervada seja Método da Máx. Verossmlhaça A equação de máxma verossmlhaça pode ser reescrta em termos da log-verossmlhaça. Assm, é equvalete resolver: d(log L( θ )) = 0 dθ dl( θ ) = 0 dθ para θ. O estmador obtdo pela maxmzação da fução de verossmlhaça é chamado de estmador de máxma verossmlhaça (MLE). Notação: Geralmete deotaremos o MLE por ˆ θ = T(,,..., 3 2 ) Método da Máx. Verossmlhaça Ateção Em mutos casos o estmador de máxma verossmlhaça é úco e pode ser obtdo por métodos aalítcos. Em outros casos, a equação de máxma verossmlhaça dl/dθ = 0 (ou dl/dθ = 0) ão os dá o resultado correto e precsaremos ecotrar o máxmo da verossmlhaça por outros métodos (por exemplo, grafcamete) 32

9 Exemplo 2 - MLE (Posso) Cosdere o exemplo. A log verossmlhaça é: Dervado esta últma expressão com relação a θ e gualado a zero leva a: dl 0 = = 0-5. θ = -0 ˆ θ = 2 dθ θ l( θ ) = -5. θ +0. logθ - log (440) é o estmador de máxma verossmlhaça para θ. Compare este resultado como exemplo. Este resultado ão é mera cocdêca. 33

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