INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA

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1 INTRODUÇÃO ÀS PROBABILIDADES E ESTATÍSTICA 003 Iformações: relembra-se os aluos teressados que a realzação de acções presecas só é possível medate solctação vossa, por escrto, à assstete da cadera. A realzação da acção fca codcoada à scrção de um úmero mímo de 5 aluos. Relatóro do º teste formatvo. População ou uverso, é um cojuto de dvíduos ou objectos que apresetam uma ou mas característcas em comum, que se pretede aalsar. A amostra é um segmeto (subcojuto) da população, recolhda com o objectvo de se obter formação sobre característcas descohecdas da população. A varável é qualquer característca (populacoal) da udade que costtu a população, susceptível de ser epressa por meo de um úmero. Cosderado o segute eemplo: Fo feto um quérto a um grupo de 40 compradores de carros ovos, de determada marca, para determar quatas reparações ou substtuções de peças foram fetas durate o prmero ao de utlzação dos carros. Neste caso, a população será costtuída por todos os compradores de carros ovos, de determada marca, a amostra o grupo dos 40 compradores de carros ovos da mesma marca e a varável o º correspodete às reparações ou substtuções de peças, fetas durate o prmero ao de utlzação dos 40 carros.. Ao estudar uma população, usualmete o que se pretede estudar são algumas das suas característcas umércas, ormalmete descohecdas que desgamos por Parâmetros. Equato que o parâmetro populacoal pode ser cosderado um valor eacto, mas descohecdo, a Estatístca amostral é cohecda, é um úmero que descreve a amostra. Calcula-se o valor de uma estatístca a partr dos valores observados a CMM-003/004 /

2 amostra, varado o valor desta de amostra para amostra. Utlza-se a estatístca para estmar o parâmetro descohecdo da população, também por sso mutas vezes cohecdo por Estmador. 3. Uma vez recolhda a amostra procede-se ao seu estudo. Este cosste em resumr a formação cotda a amostra em tabelas, gráfcos, e calculado algumas característcas amostras estatístcas. Este é o objectvo da Estatístca descrtva. O objectvo da Iferêca Estatístca é, utlzado-se téccas estatístcas coveetes permtr com base uma amostra trar coclusões acerca da população. Pos um estudo estatístco pretede-se, de uma maera geral, cohecer o mas possível sobre a população, estmar um parâmetro ou testar uma hpótese. 4. Ao resultado da observação da varável, chamamos dado estatístco ou smplesmete dado. Estes podem ser de dos tpos: Qualtatvos Dados dscretos Quattatvos cotíuos Dados qualtatvos, represetam a formação que detfca alguma qualdade, categora ou característca, ão susceptível de medda. Dados quattatvos, represetam a formação resultate de característcas susceptíves de serem meddas, apresetado-se com dferetes tesdades que podem ser de atureza dscreta, se só pode tomar um º fto ( ou fto umerável) de valores dsttos, ou de atureza cotíua se toma valores umércos compreeddos um determado tervalo de varação. 5. A. População costtuída por todos os agregados famlares da cdade em estudo; Amostra de dmesão 0, costtuída por algus (0) dos agregados famlares da referda cdade; Varável, º de pessoas de cada agregado famlar, quattatva dscreta. B. População costtuída por todos os países da comudade; Amostra de dmesão 3, costtuída por algus (3) dos países da comudade; Varável, º de pessoas de cada país, quattatva dscreta. C. População costtuída por todos os fucoáros da fábrca; CMM-003/004 /

3 Amostra costtuída por todos os fucoáros da fábrca; Varável, tempo de percurso etre a casa e a fábrca, quattatva cotíua. D. População costtuída por todos os carros que passam a Pote Vasco da Gama; Amostra costtuída pelos carros observados durate uma hora; Varável, característca dos carros: pequeo, médo, grade, qualtatva. E. População costtuída por todas as famílas Portuguesas; Amostra de dmesão 04, costtuída por algumas (04) das famílas Portuguesas; Varável, valor pago mesalmete por cada famíla, quattatva cotua. F. População costtuída por todos os Estudates da Uversdade, 3500; Amostra de dmesão 80, costtuída por algus (80) dos estudates da Uversdade qurdos; Varável, qualtatva, dcotómca (porque só assume dos valores possíves); 6. A segute tabela apreseta as respostas de 38 aluos de uma Escola, a um quérto, em que se peda que dcassem: Seo, Idade, Nº de rmãos, se tham ou ão Cartão de crédto, Altura (cm), Peso (kg) e Desporto preferdo: a) Seo: varável qualtatva; dcotómca. Idade: varável quattatva cotíua; Nº de rmãos: varável quattatva dscreta; Cartão de crédto: varável qualtatva; dcotómca. Altura: varável quattatva cotíua; Peso: varável quattatva cotíua; Desporto preferdo: varável qualtatva. b) Varável Seo Seo Freq. abs. Freq. relat. F M M F Da aálse do dagrama crcular, verfca-se que os aluos seleccoados estem mas rapargas que rapazes. Varável Idade CMM-003/004 3/

4 Esta varável é de tpo quattatvo e cotíuo, uma vez que a dade pode assumr qualquer valor de um tervalo, passado-se de um valor a outro cotuamete, embora seja usual apresetá-la de forma dscreta. Vamos costrur uma tabela de frequêcas, para posterormete costrur o hstograma, cosderado 4 classes de ampltude : Classes Freq. abs. Freq. relat. [4, 5[ [5, 6[ [6, 7[ [7, 8[ 0.06 Freq. rel dade Da aálse do hstograma, verfca-se que a dstrbução das dades é apromadamete smétrca (apresetado um lgero evesameto para a dreta) em toro de um valor que ada à volta dos 5 aos e meo. Obs: Na costrução do hstograma tvemos em cosderação a Nota da pága 58 do maual. Varável Número de rmãos Sedo uma varável de tpo quattatvo dscreto, para costrur a tabela de frequêcas, cosderamos como classes os dferetes valores que surgem a amostra: Nº de rmãos Freq.abs. Freq. rel Freq. relatva 30% 0% 0% 0% º rmãos CMM-003/004 4/

5 Do dagrama ateror verfca-se que os aluos seleccoados têm etre 0e 6 rmãos, predomado os aluos com ou rmãos. Há ada a destacar o facto de ehum dos 38 aluos ter 5 rmãos. Varável Cartão Freq. rel. Ter Cartão Freq. abs. Freq. rel. Sm Não Sm Não De etre os aluos seleccoados a percetagem dos que dspõem ou ão de cartão é dêtca. Varável Altura Para costrur a tabela de frequêcas, cosderámos a ampltude da amostra 65 50=5, que fo dvdda por 6, que é o úmero de classes sugerdo pela regra empírca utlzada estas crcustâca s (pag. 56 maual). O quocete de 5/6 é.5, pelo que parecera lógco cosderarmos para ampltude de classe este valor. No etato, se procedessemos deste modo, ao costrur as classes utlzado sempre a mesma metodologa, que o osso caso é cosderar tervalos fechados à esquerda e abertos à dreta, ríamos obter as classes [50, 5.5[, [5.5, 55.0[, [55.0, 57.5[, 57.5, 60.0[, [60.0, 6.5[, [6.5, 65.0[. Etão havera um valor da amostra, o 65, que ão pertecera a ehuma das classes, pelo que temos efectvamete de cosderar para ampltude de classe um valor apromado por ecesso do quocete ampltude da amostra úmero de classe facto levou-os a cosderar, por eemplo, para ampltude de classe o valor.6:. Este Classes Freq. abs. Freq. rel. [50, 5.6[ 0.06 [5.6, 55.[ [55., 57.8[ [57.8, 60.4[ 0.89 [60.4, 63.0[ 8 0. Freq. rel [63.0, 65.6[ altura CMM-003/004 5/

6 Da aálse do hstograma verfcamos que a dstrbução de frequêcas é apromadamete smétrca, com um lgero evesameto para a esquerda. Obs: Na costrução do hstograma tvemos em cosderação a Nota da pága 58 do maual. Varável Peso Para a costrução da tabela de frequêcas procedemos de forma aáloga à descrta para a varável altura, cosderado para ampltude de classe o valor 3.7, que é um valor apromado por ecesso, do quocete Classes Freq. abs. Freq. rel. [43, 46.7[ [46.7, 50.4[ [50.4, 54.[ [54., 57.8[ [57.8, 6.5[ [6.5, 65.[ Freq. rel peso O hstograma ateror apreseta uma forma que sugere a estêca de uma mstura de duas populações, uma dstrbudo-se à volta do valor 48.5, apromadamete, e outra à volta do valor 59.5, apromadamete. Tedo em cota os dados que estamos a aalsar ão os surpreede os resultados obtdos, pos estamos perate observações resultates das Populações costtuídas pelos pesos dos rapazes e a costtuída pelos pesos das rapargas, que de um modo geral são ferores. Varável Desporto Do mesmo modo que as varáves Seo e Cartão, também esta varável é de tpo qualtatvo, pelo que para proceder ao agrupameto dos dados cosderamos as dferetes categoras que a varável assume: Desporto Freq. abs. Freq. rel. Vóle Natação Futebol 8 0. Adebol Gástca Tés Basket Tés Gástca Basket V óle Natação Futebol Adebol CMM-003/004 6/

7 Da aálse do dagrama ateror sobressaem algumas modaldades como as preferdas dos aluos, omeadamete o Futebol, o Tés e a Natação. c) Para comparar os pesos dos rapazes e das rapargas, podemos utlzar dagramas em caule e folhas ou dagramas de etremos e quarts. Vamos utlzar os dos tpos de represetação: Rapargas Rapazes Para costrur a represetação gráfca ateror cosderamos para cada caule 4, 5 e 6, dos sub-caules e pedurámos um deles as folhas 0,,, 3 e 4 e o outro as folhas 5, 6, 7, 8 e 9 (pága 68 do maual). Como se verfca, os pesos das rapargas são, de um modo geral, ferores aos dos rapazes. rapargas rapazes rapargas rapazes mímo mámo medaa º quartl º quartl Para costrur as represetações aterores tvemos de calcular algumas meddas, tato para os pesos das rapargas, como para os pesos dos rapazes, que eemplfcámos ao lado (cosultar págas 74 e 75 do maual). Esta represetação realça o que já hava sdo observado com os caules e folhas e podemos ada observar a maor varabldade estete os pesos referetes aos rapazes, relatvamete aos pesos das rapargas Chamamos a ateção para que as característcas observadas as represetações gráfcas aterores, já havam sdo sugerdas pelo hstograma da varável Peso, obtdo a alíea b). 7. a) Substtudo o F por um 0 e o M por um, obtemos zeros e 6 us. Como a varável seo é de tpo qualtatvo, podemos usar qualquer etqueta para represetar as categoras. Etão, uma vez que temos um cojuto de úmeros vamos calcular a sua méda: CMM-003/004 7/

8 0 6 méda = Substtudo agora o F por e o M por, obteremos 38 um cojuto de úmeros de que vamos também calcular a méda: 6 méda =. 4. Não podemos dzer que os valores obtdos sejam a 38 méda da varável seo, pos sedo uma varável de tpo qualtatvo, ão tem setdo calcular a méda. Como acabámos de ver, coforme as etquetas utlzadas para represetar as classes, assm obteríamos uma méda dferete! b) Méda dos pesos dos 6 rapazes = 56.4 Méda dos pesos das rapargas = Méda dos pesos dos aluos = Cosegue-se obter o total dos de pesos e a méda global dos pesos dos 38 aluos. c) A medaa das dades dos aluos é 5 e a méda é Estes valores são apromadamete guas, o que era alás sugerdo pelo hstograma apromadamete smétrco- obtdo para a varável Idade, um eercíco ateror. d) O hstograma apresetado ão é smétrco e apreseta um evesameto para a dreta, o que sugere que a méda dos pesos deva ser superor à medaa. O cálculo destas característcas cofrma esta suposção, já que se obtém para a méda o valor apromado de 5.9, equato que a medaa é 5 (cosultar págas 90 e 9 do maual). e) Desvo padrão dos pesos dos 6 rapazes = 6.3 Desvo padrão dos pesos das rapargas = 4.4 Os pesos dos rapazes apresetam maor varabldade que os pesos das rapargas. Esta característca já hava sdo realçada, quado apresetámos aterormete, os dagramas de etremos e quarts, para comparar as dstrbuções dos pesos dos rapazes e das rapargas. f) A méda obtda para os pesos dos aluos é apromadamete 5.9, e o desvo padrão é apromadamete 6.0. Etão, se os dados tvessem uma dstrbução apromadamete ormal, o que já vmos ão ser verdade, esperaríamos obter o tervalo [46.9, 58.9], apromadamete /3 dos dados, ou seja apromadamete 5 ou 6 (cosultar pága 99 do maual). g) A moda é o Futebol, pos é a categora predomate. Não se podem calcular outras característcas amostras. CMM-003/004 8/

9 8. a) Nº do sapato Freq. Absoluta Freq. Relatva F. A. Acumulada F. R. Acumulada X f N F 8 0,05 0, ,5 7 0, ,4 3 0, , , , N f F frequêca absoluta da - ésma frequêca absoluta acumulada frequêca relatva f frequêca relatva acumulada k º de observaçõe sda amostra observação 5 k b) f 3, 40 Moda é o valor com maor frequêca absoluta, este caso será 3. Como é par ( =40) Me = 0 3 Comparado a méda, a moda e a medaa podemos coclur que a dstrbução é smétrca. 9. c) CMM-003/004 9/

10 a) População é um cojuto de dvíduos ou objectos que apresetam uma ou mas característcas em comum, que se pretede aalsar, este caso, costtuída por todas as craças da escola prmára em estudo; Amostra, é um subcojuto da população, recolhda com o objectvo de se obter formação sobre característcas descohecdas da população, este caso, de dmesão 60, costtuída pelo úmero amas doméstcos de algumas (60) craças da referda escola prmára. b) Varável, º de amas doméstcos de cada craça que respodeu ao quérto, quattatva (característca susceptível de ser medda) dscreta (só pode tomar um º fto ( ou fto umerável) de valores dsttos). X c) d) c) d) g) f N F X e) 40, 40 craças. 3 4 f) F 0. 67, 67% das craças têm meos de 3 amas em casa g) f Moda é o valor com maor frequêca absoluta, este caso temos dos valores para a moda, e, dz-se que é bmodal. Como é par ( =60) Me = 30 3 Comparado a méda e a medaa podemos coclur que a dstrbução é apromadamete smétrca. CMM-003/004 0/

11 h) Mímo da amostra X Mámo da amostra X 60 4 AI Q3 Q 3, ampltude ter - quartl Q = Q 3= a) Como os dados os são forecdos agrupados, para calcular as médas, vamos escolher como elemetos represetatvos das classes os seus potos médos: méda da Turma = méda da Turma =. 3 b) O facto de termos obtdo os mesmos valores para a méda ão os permte afrmar que as turmas teham tdo comportameto semelhate. Para caracterzar um cojuto de dados é ecessáro utlzar meddas de localzação e dspersão. Vejamos o que se passa com os desvos padrão dos dos cojutos de dados: Desvo padrão Turma = (5 -.) 0.67 =3.7 (7 -.) 3 (9 -.) 5 (-.) 9 7 (7 -.) = Desvo padrão Turma = (5 -.) 0 (7 -.) 3 (9 -.) 5 (-.) 3 6 (7-.) 0 = 6.88 CMM-003/004 /

12 Como vemos, a dspersão fo muto maor a turma do que a turma, o que sgfca que os aluos desta turma são mas homogéeos: ão há tedêca para haver aluos muto maus em muto bos. CMM-003/004 /

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