MA12 - Unidade 4 Somatórios e Binômio de Newton Semana de 11/04 a 17/04

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1 MA1 - Udade 4 Somatóros e Bômo de Newto Semaa de 11/04 a 17/04 Nesta udade troduzremos a otação de somatóro, mostrado como a sua mapulação pode sstematzar e facltar o cálculo de somas Dada a mportâca de efetuar somas de elemetos de váras sequêcas, esse assuto será retomado em outras udades Outro assuto abordado esta udade, que de certa forma se relacoa com somatóros, é a fórmula do bômo de Newto, que será apresetada aqu de modo puramete algébrco, dexado o estudo de suas relações com a Combatóra para a Udade 16 de MA1 Somatóros Vamos recordar a oção de somatóro que troduzmos a Udade Seja A um cojuto com duas operações satsfazedo às les báscas da artmétca Se (a ) é uma sequêca em A, defmos o somatóro dos seus prmeros 1

2 Udade 4 termos como sedo a a 1 + a + + a Para aprecar o poder do que remos apresetar, tete, este exato mometo, calcular a soma: ( + 1) Se coseguu, parabés! Se ão coseguu, ão desame, pos, com os strumetos de que você dspõe até o mometo, o problema é dfícl Veremos adate como sso va se trasformar, como um passe de mágca, em algo fácl de calcular Provaremos a segur algus resultados bem smples sobre somatóros que rão os ajudar a resolver este e mutos outros problemas do mesmo tpo Proposção 1 Sejam (a ), (b ) duas sequêcas de elemetos do cojuto A e seja c A Etão, () (a + b ) a + () () (v) c a c a b (a +1 a ) a +1 a 1 c c Demostração: () O que sgfca a soma (a + b )? Sgfca que estamos somado os prmeros termos da ova sequêca (c ), ode, para cada N, defe-se c a + b Provemos o resultado por dução sobre Para 1, temos que 1 (a + b ) a 1 + b 1 1 a + 1 b,

3 Somatóros e Bômo de Newto 3 mostrado que a fórmula é válda esse caso que Supoha a fórmula válda para algum úmero atural Temos etão +1 (a + b ) (a + b ) + (a +1 + b +1 ) a + b + (a +1 + b +1 ) a + a +1 + b + b a + +1 b, mostrado assm que a fórmula é válda para +1 Por Idução Matemátca, temos que a fórmula é válda para todo N () A prova também se faz por dução e a dexamos como exercíco () Vamos provar, também por dução sobre, esta fórmula Para 1, temos que 1 (a +1 a ) a a 1, o que mostra a valdade da fórmula este caso Supohamos que a fórmula seja válda para um úmero atural Logo, +1 (a +1 a ) (a +1 a ) + (a + a +1 ) a +1 a 1 + a + a +1 a + a 1, mostrado que a fórmula vale para + 1 e, portato, vale para todo N (v) O somatóro c represeta a soma de parcelas guas a c, e, portato, é gual a c Vejamos agora, com algus exemplos, como podemos trar partdo deste resultado Exemplo 1 Vamos ao desafo, que laçamos acma, de calcular a soma: S ( + 1)

4 4 Udade 4 Com a otação de somatóro, podemos escrever S ( + 1) Ora, aplcado o tem () da proposção acma, temos S ( + 1) + ( ) + ( ), somas estas que já calculamos os Exemplos 1 e da Udade Portato, temos que S ( + 1)( + 1) 6 + ( + 1) ( + 1)( + ) 3 A fórmula do tem () da Proposção 1, chamada de soma telescópca, os forece um método para calcular termos geras de certas recorrêcas e somas, como veremos os dos exemplos a segur Exemplo Vamos deduzr a expressão do termo geral da recorrêca da Pzza de Steer: p +1 p + + 1, p 1 A expressão acma pode ser escrta do segute modo: p +1 p + 1 Tomado somatóros de ambos os lados, obtemos 1 1 (p +1 p ) ( + 1) O prmero membro da gualdade acma é uma soma telescópca e vale ( 1) p p 1, equato o segudo membro é por ós cohecdo e vale + 1 Portato, temos que p ( 1) ( + 1) + 1

5 Somatóros e Bômo de Newto 5 Exemplo 3 Seja N e cosdere a segute detdade 1 : ( + 1) Daí, segue-se que ( + 1) Tomado os somatóros de ambos os membros da gualdade acma e otado que o lado esquerdo é uma soma telescópca, obtemos ( + 1) 4 1 [( + 1) 4 4 ] ( ) Usado agora as propredades () e () dos somatóros eucados a Proposção 1 e as fórmulas obtdas os Exemplos 1 e, da Udade, obtemos Daí, segue-se que ( + 1) 4 1 ( ) ( + 1)( + 1) + ( + 1) + 3 ( + 1)4 1 ( + 1)( + 1) ( + 1) [ ] ( + 1) Obtemos, assm, a fórmula do Problema 1 (c), Udade 1: [ ] ( + 1) Esta detdade, que pode ser verfcada dretamete, é um caso partcular da fórmula do bômo de Newto, que estudaremos em geral a próxma seção

6 6 Udade 4 É possível geeralzar este procedmeto para obter fórmulas recorretes para as somas 1 p + p + + p, quado p vara os aturas (veja Problema ) Problemas 1 Calcule fórmulas fechadas para as segutes somas: a) 1 + (1 + ) + ( ) + + ( ) b) ( + 1)( + ) c) ( 1)( + 1) d) 1 + (1 + ) + ( ) + + ( ) e) ( 1) f) ( 1) 3 a) Cosdere, para N, a segute detdade: ( + 1) Efetue o somatóro de ambos os lados para varado de 1 até Utlzado problemas aterormete resolvdos, determe uma fórmula para 4 b) Pese em um modo de calcular 5 Mostre como sto pode ser geeralzado 3 Demostre a Propredade () a Proposção 1 4 Prove as desgualdades: ( + 1 1) < <

7 Somatóros e Bômo de Newto 7 Sugestão: Mostre calmete que + 1 < 1 < 1 e em seguda use somas telescópcas 5 Seja a 1, a,, a +1 uma PA com de razão r Calcule a soma Sugestão: Mostre calmete que S 1 a 1 a + 1 a a a a +1 1 a a +1 1 r [ 1 a +1 1 a Tome o somatóro, para varado de 1 até, em ambos o lados da gualdade acma e ote que o somatóro do lado dreto é um múltplo de uma soma telescópca Coclua que S 1 r Bômo de Newto [ 1 a +1 1 a 1 ] ] a 1 a +1 Cosdere a expressão (1 + X), ode X é uma determada e é um úmero atural É claro que o desevolvmeto dessa potêca é um polômo de grau em X, cujos coefcetes são úmeros aturas (você pode provar esta afrmação por dução sobre ): (1 + X) a 0 + a 1 X + a X + + a 1 X 1 + a X Os coefcetes a, 0, (,, ) serão chamados de úmeros ( bomas ) e deotados pelos símbolos a Se >, é cômodo defr 0 Observe que, tomado X 1 o desevolvmeto de (1 + X), obtemos a segute detdade: ( ) ( ) ( )

8 8 Udade 4 Queremos determar fórmulas explíctas para esses úmeros bomas Como os coefcetes do termo depedete de X, do termo em X e do termo em X o desevolvmeto de (1 + X) são, respectvamete, 1, e 1, temos que ( ) 1, 0 ( ) e 1 ( ) 1 Lema 1 (Relação de Stfel) Para todo N e todo N com 0, tem-se que ( ) ( ) ( ) Demostração: Para, a relação acma é trvalmete verfcada Para 0 <, as relações decorrem, medatamete, das segutes gualdades: ( ) ( ) ( ) ( ) X + + X + X [( ) ( ) ( ) ( ] (1 + X) +1 (1 + X) + X + + X 1 + )X ( ) + 0 [( ) + 0 ( )] [( ) X ( )] X + ( ) X +1 Lema Para todos, N, com 1, tem-se que ( )! ( 1) ( + 1) Demostração: Vamos provar sto por dução sobre A gualdade é trvalmete verfcada para 1 Supoha que as gualdades sejam váldas para algum N e todo com 1 Pela relação de Stfel, temos, para, que ( ) ( ) ( ) + 1! ( 1)! +! 1

9 Somatóros e Bômo de Newto 9 ( 1) ( + ) + ( 1) ( + 1) ( 1) ( + )( + + 1) ( + 1)( 1) ( ), o que prova a gualdade para + 1 e para todo com 1 Uma verfcação dreta mostra que a fórmula também vale para +1 Portato, a gualdade vale para todo e todo com 1 Segue-se do Lema que, para, N, com 1, vale a segute fórmula para os coefcetes bomas: ( ) ( 1) ( + 1)!!!( )! Note que os termos extremos as gualdades acma têm setdo e são guas quado 0 Da fórmula acma, decorre medatamete, para todo N e todo com 0, a segute detdade fudametal: ( ) ( ) Seja A um cojuto com duas operações, uma adção e uma multplcação, sujetas às les báscas da artmétca Teorema (Bômo de Newto) Sejam a e b elemetos do cojuto A e seja N Tem-se que ( ) ( ) ( ) (a + b) a + a 1 b + a b + + ab 1 + b 1 1 Demostração: Se a 0, o resultado é óbvo Se a 0, substtua X por b a a expasão de (1 + X) e multplque ambos os lados por a

10 10 Udade 4 Exemplo 4 (a + b) a + ab + b (a + b) 3 a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b + 10a b 3 + 5ab 4 + b 5 Problemas 6 Demostre a detdade das coluas: ( ) ( ) ( ) ( ) Demostre a detdade das dagoas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m + m m m 8 a) Demostre, para todos, m, k N, a detdade de Euler: k 0 ( )( ) m k ( + m b) Em partcular, deduza a detdade de Lagrage: 0 ( ) k ( ) ( ) 9 a) Mostre que é o úmero de subcojutos dsttos com elemetos de um cojuto com elemetos b) Mostre que o cojuto das partes de um cojuto com elemetos tem elemetos )

11 Somatóros e Bômo de Newto 11 c) Usado os tes acma, dê uma outra prova para a gualdade: ( ) ( ) ( ) Seja N Mostre que ( ) ( ) <, se 0 < 1 ; e que + 1 ( ) ( ) >, se > 1 + 1

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